静定结构的位移计算

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4.2.3变形体系的虚功原理
Ⅰ.虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合 变形体系约束条件的任意微小的连续虚位移，变形体系 上所有外力所做的虚功总和W，等于变形体系各微段截 面上的内力在其虚变形上所做的虚功U。即外力虚功等 于变形虚功（或称虚应变能）。
M+d M FN +d FN
FQ +d FQ
ds
ds
A
C
B
D A1
C2 C1
ds
D2
B1
D1
(a)力状态
(b)位移状态
图4.7虚功原理的证明
（1）按外力虚功与内力虚功计算W总
dW总=dW外+dW内
W内 dW内
dW总 dW外 dW内
W总=W外+W内
W外 dW外
W总 W外 W
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【例4.3】试求图示刚架中截面C的水平位移ΔCH和角位移 j C。
设各杆EI为常数q q 。
BB B
q
xx x
CC C
MM=0=0
11
M =0
1
MM=1=(1上(上) ) M =1(上)
11
1
aa a
xx x
MM=x=(x右(右) )
MM=1=(1左(左) )
● 难点 变形体系的虚功原理及其证明；广义力及广义位 移的概念。
1
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4.1 概述
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4.1.1 位移
荷载、温度变化、支座位移等外因作用下， 结构各截面位置的移动，称为位移。
分相 绝对 对位 位移 移角 相 相 线位 对 对 位移 角 线 移位 位移 移
④虚功原理同样适用于刚体系。此时变形虚功U=0，则 W=0
即外力虚功之和为零。刚体系的虚功原理是变形 体系虚功原理的一个特例。
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虚功原理的两种表述形式：
①若平衡力系状态实际存在，位移状态是虚 设的，称为虚位移原理，可用于求未知力。
②若位移状态实际存在，平衡力系是虚设的,称 为虚力原理。此时式(4.4)表示变形协调条件， 可用于求位移。
(2)加相应单位力，并求各杆内力
BC杆 M x, FQ 1, FN 0
AB杆 M a, FQ 0, FN 1
(3)计算△ CV
由式(4.7) 得
D M P M ds FQP FQ ds FNP FN ds
EI
GA
EA
a x 1 qx2 dx a a 1 qa2 dx a qx 1 dx a (1)(qa) dx
(2)加相应单位力，求 M
(3)计算位移
DCH
A M M P dx 1
B EI
EI
a 1 qa2 xdx qa4
02
4EI
()
jC
A M M P dx B EI
B M M P dx 1
C EI
EI
a1 1 qa2dx 1
02
EI
a
1
1
qx
2dx
02
2qa3 （）
3EI
K
ds
i1
FR2 (b) 虚拟状态
D FRc Md FQd FNdu
D Md FQd FNdu FRc
此即平面杆件结构位移计算的一般公式，这种计算位
移的方法又称为单位荷载法。
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4.3.2单位力设置法 虚拟状态所加的荷载应是与所求广义位移相应的广义单位力。
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4.4.1梁和刚架的位移计算
D
MM EI
P
ds
(4.8)
正负号规定：MP与M同侧受拉相乘为正，否则为负。 D的方向确定：当D的计算结果为正时，其方向与单位力指向 相同；D为负时，其方向与单位力指向相反。
【例4.1】求简支梁在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向 位移(即挠度)ΔCV，已知抗弯刚度EI为常数。
i 1 K
i1
1
1
1
K
K
K
1
1 K1
K1
(a)
求i-i 1方向上的D
(b)
(c)
图4.10单位力设置法
求jK
求DKK1
(d)
求jKK1
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4.4 静定结构在荷载作用下的位移计算
只考虑荷载作用时，一般公式(4.6)成为
D Md FQd FNdu
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4.3平面杆件结构
i
FP2
FP1
K ds
位移计算的一般公 式
K1
d d du
i1
4.3.1一般公式
c2
c1 (a) 实际状态
FPD 1 D F R1c1 F R2c2 D F Rc
FR1
图4.9虚力原理
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i FP =1
M、FQ、FN
x
a
M =x(右)
M =1(左)
A
a
(a)
图4.13 例4(.b2)图
(c)
【解】(1)先建立各杆的x坐标，各杆内力方程为
BC杆
MP
1 qx2 , 2
FQ P qx,
FN P 0
AB杆
MP
1 2
qa2 ,
FQP 0,
FN P qa
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需预先知道其位移。
4
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4.2 变形体系的虚功原理
4.2.1实功
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外力（其值由零逐渐增加到最大值）在其自身引起的 位移上所作的功称为实功。
FP
A
FP
FP1 FP
O
B
1
d1
图4.3 静力荷载所做的实功
| T=
D
0 FP1d D1
D 0
D1d D1
W=U
(4.3)
Ⅱ.证明 图示力状态和位移状态互不相关。将图4.7(a)中微段
上的各力在图4.7(b)中微段上的对应位移上做虚功，并把 所有微段的虚功总加起来，便是整个结构的虚功W总。
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W内 dW内
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M
q
FP2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ds
FP1
q
M
FN FQ ds
W总 dW变 W变
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（3）变形虚功W变的计算
d
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d
ds
ds
ds du
图4.8 微段变形
dW变=Mdq+FQdh+FNdu
U W变 dW变 Md FQd FNdu
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第4章 静定结构的位移计算
本章导读
●基本要求 了解变形体系虚功原理的内容及其在结构位 移计算中的应用；理解广义力及广义位移的概念；熟练掌握 计算结构位移的单位荷载法；熟练掌握图乘法在位移计算中 的应用；了解线性弹性体系的互等定理。
●重点 静定结构由于荷载、支座位移、温度变化等原因 引起的位移计算，特别是用图乘法计算静定梁和刚架在荷载 作用下的位移。
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（2）按刚体虚功与变形虚功计算W总
将微段的虚位移分解为两步：先只发生刚体位移(由ABCD 移到A1B1C2D2)，然后再发生变形位移(截面A1B1不动，C2D2再 移到C1D1)，如图4.7(b)所示。
dW总=dW刚+dW变
dW刚=0
即 W W变
虚功原理 可写为
W=U
位位移移状状态态
FPD Md FQd FNdu
平衡力系
(4.4)
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(4)变形体系的虚功原理的几点说明
①力系是平衡力系，位移是可能的、微小的、连续的位移。
②平衡力系和位移状态是相互独立无关的。
③虚功原理具有普遍适用性。
0 2 EI 0 2 EI 0 GA
0 EA
5qa4 qa2 qa2
8EI 2GA EA
5qa4 8EI
(1
4 5
EI
GAa2
8 5
I Aa2
)
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讨论：上式中，第一项为弯矩的影响，后两项分别为剪力和
轴力的影响。设为矩形截面(b×h)，则A=bh，I=bh3/12，
其中，微段的变形d、 d、 du均由实际状态中的荷载引起。
FP
A ds C B
1 A ds
B C
d
FQP
MP
MP
d
FQ
FNP
FNP
M
M
FN
FN
ds
ds FQP
ds du
FQ
(a) 实际状态
(b) 虚拟状态
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图4.11 荷载引起的微段变形
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根据工程力学，有
d M P ds EI
2
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AH
FP A
A
A1
A
图4.1绝对位移
AV
C
C
D
D
A
A
B
B
AB
图4.2相对位移
3
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4.1.2计算位移的目的
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①保证刚度条件
D≤ [D] ②为计算超静定结构打下基础。 ③在结构(或构件)的制作、施工过程中，也常
【解】(1)建立x坐标，求荷载作用下的MP
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q A
B C
x
l/2
l/2
1 A
B C
x
(a)
(b)
图4.12 例4.1图
当0≤x≤ l / 2
MP
q 2
(lx
x2 )
(2)加相应单位力，求 M
M
1 2
x
（0≤x≤ l
/2）
(3)计算△ CV
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【例4.4】试求图示桁架中结点5的挠度△ 5V。设各杆的横截
面面积均为A=144cm2，弹性模量E=850kN/cm2。 20kN
40kN
20kN 3 1 -40√5 0
4 -20 √5 -20√5
-20√5 7 20 0 0
-20√5
1 2
D12
D 0
1 2
D2
1 2
FP D
（4.1a）
即T为三角形OAB的面积。
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FP
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M
图4.4 静力荷载所做的实功
T 1 M
2
（4.1b）
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外力在其他原因（其他荷载、温度变化、支座位移等） 引起的位移上所做的功称为虚功。
DCV
2
C A
MMP EI
dx
2 EI
l /2 1 x q (lx x2 )dx 5 ql 4
02 2
384EI
()
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【例4.2】试求图示刚架C点的竖向位移DCV。各杆材料相同， 截面的A、I均为常数。
q
B
x
C
M =0
1
M =1(上) 1
d
FQP GA
ds
du FNP ds EA
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则线弹性结构在荷载作用下的位移计算公式为：
D
MMP EI
ds
FQ FQP GA
ds
FN FNP EA
ds
(4.7)
式中，为反映剪应力沿截面高度不均匀分布的修正系 数。如对矩形截面， =1.2；对圆形截面， =1.1。
FP
FP1
FP
W1=FPΔ （4.2）
图4.5虚功
FP
FP1
力状态
位移状态
FP1
图4.6虚功
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4.2.2刚体体系的虚功原理
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对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理可
表述为：刚体体系处于平衡的必要和充分条件是， 对于符合刚体体系约束情况的任意微小虚位移，刚 体体系上所有外力所做的虚功总和等于零。
=6/5，带入上式，
得
D CV
5qa4 8EI
1
2 25
E G
( h )2 a
2 15
(
h a
)
2
可以看出，高跨比 h 愈大，则剪力和轴力所占比例
愈大。
a
若取 h 1 ，G 0.4E ，可算得
a 10
5qa4
11
D CV
8EI
(1 ) 500 750
即剪力和轴力的影响非常小。故用公式(4.8)计算 梁和刚架的位移已足够精确。
M =x(右)
M =1(左)
AA A
aa a
(a)(a) (a)
(b()b) (b)
图4.14 例4.3图
(c)(c) (c)
【解】(1)先建立各杆的x坐标，并求荷载作用下的MP
BC杆
MP
1 2
qx2
（上侧受拉）
AB杆
MP
1 2
qa2
（左侧受拉）
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4.4.2桁架的位移计算
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在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的FNP、
FN 及EA沿杆长l均为常数，故式(4.7)化简为：
D
FN FNP ds FN FNP ds FN FNP l
EA
EA
EA
(4.9)
FNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。 FN ：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。
8
80 2 80 5 40 6 40
2m
2m
2m
2m
1m 1m
- √5 /2
- √5 /2 0
01
1
1
1
-√5 /2 00 1
-√5 /2 1
(a) FNP图(kN)