北航数理统计期末考试题

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北航2015级硕士研究生数理统计参考答案(B层)

2015－2016 学年第一学期期末试卷参考答案学号姓名成绩考试日期： 2016年1月15日考试科目：《数理统计》（B 层）一、填空题（本题共16分，每小题4分）1．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(0,)N σ的简单样本，则当c = 时，统计量221()nkk x cxx η==-∑服从F -分布，其中11nk k x x n ==∑。

（(1)n n -）2. 设12,,n x x x ，是来自两点分布(1,)B p 的简单样本，其中01p <<，2n ≥，则当c = 时，统计量2ˆ(1)cx x σ=-是参数()(1)q p p p =-的无偏估计，其中11nk k x x n ==∑。

（1n n -）3．设总体X 的密度函数为22,[0,](;)0,[0,]x x p x x θθθθ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩，其中0θ>，12,,,n x x x 是来自总体X 简单样本，则θ的充分统计量是。

（()n x ） 4．设12,,n x x x ，是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，已知样本均值 4.25x =，μ的置信度为0.95的双侧置信区间下限为3.1，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为(,)。

（(3.1,5.4)）二、（本题12分）设12,,,n x x x 是来自正态总体2(1,2)N σ的简单样本。

（1）求2σ的极大似然估计2σ；（2）求2σ的一致最小方差无偏估计；（3）问2σ的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论。

解（1）似然函数为22211()exp{(1)}4nnii L x σσ==--∑对数似然函数为222211ln ()(ln(4)ln )(1)24n i i n L x σπσσ==-+--∑求导，有222241ln ()1(1)24n i i L n x σσσσ=∂=-+-∂∑ 令22ln ()0L σσ∂=∂，可得θ的极大似然估计为2211ˆ(1)2n i i x n σ==-∑。

北航数理统计答案

北航数理统计答案【篇一：北航数理统计考试题】术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?,?2)的样本，令t?x?x)，试证明t服从t-分布t（2）二、（6分，b班不做）统计量f-f(n,m)分布，证明1f的?（0?1）的分位点x?是1f1??(n,m)。

三、（8分）设总体x的密度函数为?(1??)x?,0?x?1p(x;?)??0,其他?其中???1，是位置参数。

x1，x2，…，xn是来自总体试求参数?的矩估计和极大似然估计。

四、（12分）设总体x的密度函数为?1?x???exp???，x???p(x;?)??????，??0,其它其中???????,?已知，??0,?是未知参数。

x1，x2，…，xn是来自总?体x的简单样本。

（1）试求参数?的一致最小方差无偏估计?；（2）?是否为?的有效估计？证明你的结论。

五、（6分，a班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，y1，y2，…，yn是来自正态总体n(?两样本相互独立，其中?设h0:?1??2,h1:?1??2,1221?,?1)2的,?2)的简单样本，且21,?1,?2,?222是未知参数，???22。

为检验假可令zi?xi?yi, i?1,2,...,n ,???1??2 ,则上述假设检验问题等价于h0:?1?0,h1:?1?0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z1，z2，…，zn，在显著性水平?下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、（6分，b班不做）设x1，x2，…，xn是来自正态总体n(?简单样本，?0已知，?2未知，试求假设检验问题h0:?2,?)02的??0,h1:?22??02的水平为?的umpt。

七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？八、（6分）设方差分析模型为?xij????i??j??ij?2??ij服从正态总体分布n(0,?)且?ij相互独立??i?1,2,...,p;j?1,...,q?pq??和?满足??i?0,??j?0.j?ii?1j?1?总离差平方和pst?sa?sb?se中sa?q?(xi??x),x?i?1x??pqi?1j?11pqij,xi??1qijx?qj?1,且e(se)=(p-1)(q-1)?.?...??p?0的拒绝2试求e(sa)，并根据直观分析给出检验假设h0:?1??2域形式。

北航数理统计期末考试题

材料学院研究生会学术部2011年12月2007-2008学年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。

三、（8分）设总体X 的密度函数为其中1α>-，是位置参数。

x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。

四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。

x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。

（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧；（2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。

五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。

为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。

基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。

六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。

数理统计期末考试试题

2014—2015 学年度概率论与数理统计期末考核试卷一、填空题（每小题3分，共15分）1，设(1000,0.7)X B ，用中心极限定理计算(650750)P X <≤= （(3.5)0.99977Φ=）2，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而1210(,,)X X X 和1210(,,)Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，则U =服从的分布是_______ .3，设1ˆθ与2ˆθ都是总体未知参数θ的估计，且1ˆθ比2ˆθ有效，则1ˆθ与2ˆθ的期望与方差满足_______ .4，设大学生男生身高的总体(,16)X N μ (单位：cm)，若要使其平均身高置信度为0.95的置信区间长度小于1.2，问应抽查多少名学生的身高？（0.975 1.96U =）_______ . 5，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的一个样本，X为样本均值，2s为样本方差，则（）（A ）(0,1)nX N ；（B ）223(2)/(1,2)nni i n X X F n =--∑ ；（C ）(1)/()n X s t n - ；（D ）22()ns n χ . 2，若总体2(,)X N μσ ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果减少样本容量n ，则μ的置信区间长度（）. （A ）变大；（B ）变小；（C ）不变；（D ）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是（）.（A ）α减小时β也减小；（B ）α增大时β也增大；（C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大；（D ）（A ）和（B ）同时成立.4，设单因素试验方差分析的总离差平方和T S ，误差平方和e S ，效应平方和A S ，则总有（）.（A ）T e A S S S =+；（B ）22/(1)A Sr σχ- ；（C ）/(1)//()(1,)A e S r S n r F r n r ---- ；（D ）A S 与e S 相互独立.命题教师张学新院系负责人5，在一元回归分析中，判定系数定义为2TS R S =R，则回归效果显著在哪种情形显著（）. （A ）2R 接近0时；（B ）2R 接近1时；（C ）2R 接近∞时； D ）前述都不对.三、（本题15分）已知总体X 的概率密度函数为, 0(),0, x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩others其中未知参数0λ>, 12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，（1）求λ的矩估计量，估计量是否为无偏估计量？（2）证明X 是1λ的一个UMVUE ．四、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θθθ=+<<，其中未知参数1θ>-，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．五、计算题（本题15分）合格核桃的重量标准差应小于0.005kg ．在一批核桃中随机取10个核桃称重, 得其样本标准差为0.0075s =kg, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批核桃重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？参考数据:20.025(10)20.483χ=, 20.05(10)18.307χ=, 20.025(9)19.023χ=,20.05(9)16.919χ=．六、应用题（本题30分）（1）（本题20分）对一种溶剂在不同的温度x 下，研究其在一定量的水中的溶解度y ，进行了9次试验。

专业学位研究生应用数理统计期末试题

专业学位研究⽣应⽤数理统计期末试题航天学院2019-2020学年第⼀学期专业学位研究⽣《应⽤数理统计》课程考试卷（A卷）考核形式：开卷部门：班级：姓名：说明：下列试题均可⽤SPSS软件计算，所有问题均要求提供纸质答案及电⼦答案。

最后⼀题要求提供数据⽂件.sav和输出⽂件.spv.⽤两种软件提供答案的试卷可适当加分。

2章参数估计⼀、随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻（单位：）设测试数据分别服从正态分布，在下列两种情况下讨论两总体均值差的区间估计。

（1）两总体⽅差相等；（2）两总体⽅差不等。

3章假设检验⼆、为研究长跑运动对增强普通⾼校学⽣⼼脏功能的效果,对某⾼校15名男⽣进⾏测试,经过5个⽉的长跑训练后看其晨脉是否减少。

锻炼前后的晨脉数据如下表所⽰。

试问锻炼前后的晨脉在显著性⽔平0.05下有⽆显著性差别。

4章⽅差分析三、为了研究⽕箭燃料和推进器对⽕箭射程的影响，选⽤了4种不同燃料和3种不同推进器，将他们相互搭配并在每⼀种搭配下做了两次试验，得到⽕箭射程（海⾥）数据如下表。

在显著性⽔平0.05下，试分析燃料、推进器以及燃料和推进器这两种因素的交互作⽤对⽕箭射程的影响是否显著？6章回归分析四、国家需要⼤⼒发展国际旅游⾏业以增加国家的外汇收⼊，外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间构成什么样的统计关系呢？根据2004年的中国统计年鉴，得到1985—2002年间的统计数据如下表：（1）试根据上述数据建⽴外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 之间的回归模型，并进⾏回归分析，对2003年和2004年的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。

（2）试查找2005-2016年间连续6年的国家的外汇收⼊与接待的旅游⼈数的相关统计数据，分析其是否符合（1）中的模型，如不符合，试建⽴新的回归模型。

（3）利⽤（2）中的回归模型对我国2017年（可验证）和2019年（预测）的外汇收⼊Y 与接待的旅游⼈数X 进⾏预测。

北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题

北航2010-2015年研究生数值分析报告期末模拟试卷与真题数值分析模拟卷A一、填空（共30分，每空3分）1 设-=1511A ，则A 的谱半径=)(a ρ______，A 的条件数)(1A cond =________. 2 设 ,2,1,0,,53)(2==+=k kh x x x f k ，则],,[21++n n n x x x f ＝________, ],,[321+++n n n n x x x x f ，＝________.3 设≤≤-++≤≤+=21,1210,)(2323x cx bx x x x x x S ，是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=________,c=________.4 设∞=0)]([k k x q 是区间［0，1］上权函数为x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，则?=10)(dx x xq k ________，=)(2x q ________.5 设=11001a a a a A ，当∈a ________时，必有分解式，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i L ii 满足条件________时，这种分解是唯一的.二、（14分）设49,1,41,)(21023====x x x x x f , （1）试求)(x f 在]49,41[上的三次Hermite 插值多项式)(x H 使满足2,1,0),()(==i x f x H i i ，)()(11x f x H '='.（2）写出余项)()()(x H x f x R -=的表达式.三、（14分）设有解方程0cos 2312=+-x x 的迭代公式为n n x x cos 3241+=+，（1）证明R x ∈?0均有?∞→=x x n x lim （?x 为方程的根）；（2）取40=x ，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过，列出各次迭代值；（3）此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16分) 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度. 试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？五、（15分）设有常微分方程的初值问题=='00)(),(y x y y x f y ，试用Taylor 展开原理构造形如)()(11011--++++=n n n n n f f h y y y ββα的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.六、（15分）已知方程组b Ax ＝，其中= ??=21,13.021b A ，（1）试讨论用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性.（2）若有迭代公式)()()()1(b Ax a x x k k k ++=+，试确定一个的取值围，在这个围任取一个值均能使该迭代公式收敛.七、（8分）方程组，其中，A 是对称的且非奇异.设A 有误差，则原方程组变化为，其中为解的误差向量，试证明 .其中1λ和2λ分别为A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟卷B填空题（每空2分，共30分）1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________；=]4,3,2,1,0[f ________；4. 已知???? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；5. 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]的根，进行一步后根所在区间为_________，进行二步后根所在区间为_________________；6. 求解线性方程组=+=+04511532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________；7. 为使两点数值求积公式：?-+≈111100)()()(x f x f dx x f ωω具有最高的代数精确度，其求积节点应为=0x _____ , =1x _____,==10ωω__________.8. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈?是否是插值型的__________，其代数精度为___________。

数理统计期末练习题

数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(| y x P .5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92 s x ,试求)6.0|(| x P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有)|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X9．设21,x x 是来自),0(2 N 的样本,试求22121x x x x Y 服从分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221 k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221m n t s y d x c t md nc 其中22222,2)1()1(y x yx s s m n s m s n s 与分别是两个样本方差.12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2N 的样本,11,n n i i x x n _2211(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n nc nx x t cs 服从t 分布,并指出分布的自由度。

13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2221s s 试求).2(2221 S S p14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于,问至少应检查多少只灯泡？15．设 )(171x x 是来自正态分布),(2N 的一个样本,_x 与 2s 分别是样本均值与样本方差。

北航研究生数理统计答案完全版

n
令
ˆ 于是，的极大似然估计
⑵ 似然函数

1 。 x x0
L( x0 ; x1 , x 2 , , x n ) n e
( xi x0 )
i 1
n
n e n ( x0 x ) ， xi x0 0 （ i 1 ， 2,, n ）
当已知时，为 x 0 的单调递增函数，于是由极大似然估计定义可知，
书后部分习题解答整理版
即 ~ t (n 1) .
5. (P35.28) 设 x1 ， x 2 ，…， x m 和 y1 ， y 2 ，…， y n 分别是从 N ( 1 , 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 总体中抽取的独立样本，和是两个实数，试求
( x 1 ) ( y 2 )
北航研究生数理统计课后答案完全版
北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
P{ xi2 1.44} P{ (
i 1
10
xi 2 1.44 ) } 0.09 i 1 0.3 10 x 1 P{ ( i ) 2 16} i 1 0.3 1 0.9 0.1
2 1m
2

2 (n 1) S 2 n
2
( x 1 ) ( y 2 )
2 (m 1) S12m (n 1) S 2 n mn2
2
m

2
n
~ t (m n 2) 。
6．（ P80.1）设总体 X 服从两点分布 B(1, ) ， 0 1 ， x1 ， x 2 ，…， x n 为简单随机样本，⑴ 求 q( ) Var ( x ) ；⑵ 求 q( ) 的频率估计。

中国民航大学《概率论与数理统计》期末考试试题及答案B[1]

《概率论与数理统计》期末考试试题一、填空题（每题3分，共15分）1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为。

4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _5、设12,,,n X X X 是取自总体),(2σμN 的样本，则统计量2211()nii Xμσ=-∑服从__________分布.二、选择题（每题3分，共15分）1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为【】(A) 11a a b -+-； (B) (1)()(1)a a a b a b -++-； (C) a a b +； (D) 2a ab ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【】(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ;(C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =.3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和()1,1N ，则【】 (A)()210=≤+Y X P ； (B) ()211=≤+Y X P ； (C)()210=≤-Y X P ； (D)()211=≤-Y X P 。

4、如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【】（A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【】(A)()()211,210====z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ； (C) ()()431,410====z P z P ；(D) ()()411,430====z P z P 。

04北航概率期末试卷

北京航空航天大学概率论与数理统计试卷 2004-01姓名: 班级: 学号: 得分:一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，0)(=A P 当且仅当A 是不可能事件 ( )2．连续型随机变量的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 相互唯一确定 ( )3．若随机变量X 与Y 独立，且都服从1.0=p 的 (0，1) 分布，则Y X = ( )4．设X 为离散型随机变量, 且存在正数k 使得0)(=>k X P ，则X 的数学期望)(X E 未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( )二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(a) r n r r n p p C ----)1(11； (b) rn r r n p p C --)1(；(c) 1111)1(+-----r n r r n p pC ； (d) r n r p p --)1(.2. 离散型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则==)(k x X P .(ａ) )(1k k x X x P ≤≤-； (ｂ) )()(11-+-k k x F x F ；(ｃ) )(11+-<<k k x X x P ； (ｄ) )()(1--k k x F x F .3. 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003,(max X Y =的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点；(ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数,6.0=XY ρ则方差=-)23(Y X D .(ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) )(~/21n t nX -； (ｂ) )1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；(ｃ) )1,0(~/21N nX -； (ｄ) )(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2. 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f则条件密度函数为,当时 ,=)(x y f X Y5. 设)(~m t X ,则随机变量2X Y =服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值和方差分别为36.0,152==S X ，则μ的置信度为95%的单侧置信区间上限为7. 设X 的分布律为X 1 2 3P 2θ )1(2θθ- 2)1(θ-已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，则参数的极大似然估计值为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体),(~2σμN X ，),,,(21n X X X 为总体X 的一个样本.求常数 k , 使∑=-ni i X X k 1为σ 的无偏估计量.5．（1）根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ，现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？（%5=α）（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10=α作假设检验.四. 证明题（7分）设随机变量Z Y X ,,相互独立且服从同一贝努利分布),1(p B . 试证明随机变量Y X +与Z 相互独立.附表：标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 7531.1)15(05.0=t9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 7459.1)16(05.0=t概率统计试卷参考答案一. 判断题（10分，每题2分）是非非非是 .二. 选择题（15分，每题3分）（ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）.三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f y Y ； 3.0.9772 ；4. 当10<<x 时⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f XY；5. ),1(m F6. 上限为 15.263 .7. 5 / 6 .四. 计算题（40分，每题8分）1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件. (2分)9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P ， (4分).998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P (2分)2. ⎩⎨⎧>=-其他0)(x e x f xX λλ ⎩⎨⎧>=-其他)(y e y f y Y μμ (1分)时，0)(=z F Z ，从而 0)(=z f Z ； (1分)0≤z 时， ⎰∞+-∞-=dx x z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21(2分))(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰(2分)所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ[ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμ] (2分)3. 设 i X 为第i 周的销售量, 52,,2,1 =i i X )1(~P (1分)则一年的销售量为 ∑==521i iXY ，52)(=Y E , 52)(=Y D . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P (4分)6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=. (1分)4. 注意到()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze nn z X X E nz i 222121|||)(|σσπ-∞+∞-⎰-=-dz e nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i ni i X X E k X X k E 11||||σπnn kn122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π5. (1) 要检验的假设为 570:,570:10≠=μμH H (1分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (2分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg .[ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外，故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (1分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]检验用的统计量)1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn (2分)41.1=x [49.1=x ]488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.020<==χ,落在拒绝域内，]故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、证明题 (7分) 由题设知0 1 YX+0 1 2P p22p(2分)q P2q pqXY=P+ZXP；=YZqP()0)0=)0,0((3=+==XYPP+ZY=P；XZpq)0)1(=)1,0((2====+YPX=+ZY=P；ZpqPX(2)1(=)0)0,1+=(2==XY+Z=PPY=P；XZpq=2()1)1)1(=,1+=(2=XP+ZPYY=P；XZpq,2()2(=)0)0==+(2==X+ZPPYY=P.XZp(3=()2()1=)1=,2=+=X+与Z相互独立. (5分)所以Y。

20082009第1学期北京航空航天大学概率统计期末考试卷A卷及答案A和B卷

北京航空航天大学BEIHANG UNIVERSITY2008－2009 学年第一学期期末考试统一用答题册班级_____________ 学号 _____________姓名______________ 成绩 _________考场教室_________ 任课教师_________A2009年1月16 日10：30—12：30一、单项选择题（每小题3分，满分18分）1、设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,)N σ的样本，设∑==4141i i X X ，当2σ= ( )时，概率}21{≤≤X P 最大。

（A，（B ）6ln2 ，（C，（D ） 32ln 2。

2、设总体X 的密度函数为1(1)01(;)0x x x f x θθθθ-⎧+<<=⎨⎩(1-)，，其它，其中0θ>，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，则参数θ的矩估计量为（）。

（A ）1X X - ，（ B ）22X X - ，（C ） 2X X - ，（ D ） 21XX-。

3、设1,,n X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，当c =（）时，222ˆˆX c μσ=+是 2μ的无偏估计，其中2211ˆ()n i i X X n σ==-∑，∑==n i i X n X 11 。

（A ）11n -- ，（B ）11n - ，（ C ） 1n - ，（ D ）1n。

4、设随机变量),(~2σμN X ,则=-||μX E [ ].(A) 0, (B) σ, (C)σπ22, (D) μ.5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[ ]. (A) 3625, (B) 7225, (C)5247, (D)3611.6、设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是总体),(2σμN 的样本,μ已知,下列几个作为2σ的估计量中,较优的是[ ].(A) 2121)(1ˆX X n n i i -=∑=σ, (B) 2122)(11ˆX X n n i i --=∑=σ, (C) 2123)(1ˆμσ-=∑=n i i X n , (D) 21124)(11ˆμσ--=∑-=n i i X n .二、填空题（每小题3分，满分18分）1、有n 个白球与n 个黑球任意地放入两个袋中,每袋装n 个球.现从两袋中各取一球,则所取两球颜色相同的概率为。

北航研究生数理统计答案完全版

m
) ， y ~ N ( 2 ,
2
n
)，
(m 1) S12m

2
~ (m 1) ，
2
2 (n 1) S 2 n

2
~ 2 (n 1) ，
于是有， ( x 1 ) ~ N (0,
2
m
2 ) ， ( y 2 ) ~ N (0,
2
n
2)，
则
( x 1 ) ( y 2 ) ~ N (0, (
解：
E( X )
1 1 1 xdx xdx 0 2 2(1 ) 1 1 2 1 1 (1 2 ) 2 2 2(1 ) 2 1 1 1 2 (1 ) 4 4 4

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北京航空航天大学
研究生应用数理统计
书后部分习题解答整理版
做矩估计， x
1 2 ， 4 1 。 2
ˆ 2x 可得的矩估计，
9. （ P80.7）
解：（1）由分布函数得出概率密度函数
f ( x; )
d ( F ( x; ) x 1 x 1 dx 0x 1
n
2
(1 x ) ，
令
ln L n n - 2 (1 x ) 0 ，得到 2 x 1 ， 2 2 2
i
ˆ x ˆ x min{x } 。于是 2 的极大似然估计为 2 1 i
13. （ P81.12） x1 ， x 2 ，…， x n 为来自总体 X 的简单样本，试证明下列估计量来自m ， nm n
。
ˆz 于是有，

北京航空航天大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案

北京航空航天大学2021 学年概率论与数理统计第一学期期末一、单项选择题〔每题3分，总分值18分〕1、设随机变量),0(~2i i N X σ,2,1=i,则以下说法中正确的选项是〔〕。

〔A 〕12(,)X X 必服从二维正态分布；〔B 〕12()0E X X =；〔C 〕221212()()X X σσ+服从2(2)χ分布；〔D 〕12()0E X X += 。

2、设随机变量X 存在数学期望EX 和方差0DX ≠,则对任意正数ε,以下不等式成立的是〔〕。

〔A 〕2{||}DXP X EX εε-≥>；〔B 〕2{||}1DXP X EX εε-<<-〔C〕21{||P X EX εε-≥≤；〔D 〕||{||}kkE X EX P X εε-≥≤,(1)k ≥。

3、设1,,n X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，当c =〔〕时，222ˆˆX c μσ=+是2μ的无偏估计，其中∑==n i i X n X 11，2211ˆ()1n i i X X n σ==--∑ 。

〔A 〕11n -- ，〔B 〕11n - ，〔 C 〕 1n - ，〔 D 〕1n。

4、设随机变量),(~2σμN X ,则4||E X μ-=〔〕.(A) 4σ； (B) 42σ； (C) 46σ； (D) 43σ 。

5、设B A ,为任意两事件,则以下关系成立的有( )(A) A B B A =-+)( ;(B) ()A B B A B +-=- ;(C) A B B A =+-)( ;(D) ()A B B AB -+=.6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：〔A 〕4190 ;〔B 〕12；〔C 〕4090；〔D 〕3290。

二、填空题〔每题3分，总分值18分〕1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为。

北华航天工业学院概率论与数理统计期末复习题

复习题1.设123,,X X X 是取自总体X 的一个样本，α是未知参数，以下函数是统计量的为（）. A. ()123X X X α++ B. 123X X X ++ C. 1231X X X α D. ()32113i i X α=-∑2.设总体),(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知。

321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，则非统计量是（）。

A.)(31321X X X ++ B. μ221+X X C. ),,max(321X X X D.)(12322212X X X ++σ。

3.设123,,X X X 为总体X 的样本，参数μ和σ均未知，则下列选项是统计量的是（）；A. 1233X X X σ++B. 123X X X μ++-C.1X μσ-D.222123X X X ++. 4. 设12,,...,n X X X 为取自总体()2,XN μσ的样本，则()k E X 的矩法估计量为____.A.()1ki X X n-∑ B.()11ki X Xn --∑ C.1kiX n ∑ D.11k i X n -∑ 5.设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，2122(1)____________.ni i n X X =-∑6.设随机变量21(),X t n Y X =，则Y 服从（）分布 A. (,1)F n B. (1,1)F C. (1,)F n D. ()2n χ 7. 下列关于分布、t 分布和F 分布的分位数的性质正确的是（）.A. 1()()z n z n αα-=B. 221()()n n ααχχ-=C. 1()()t n t n αα-=-D.8.设12,,,n X X X 是来自总体2()n χ的分布, 则()_____.D X =2χ()()21211,1,n n F n n F αα=-9.设n X X X ,...,,21为取自总体),(~2σμN X 的样本，X 为样本均值，2211()1ni i S X X n ==--∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的统计量为（）。

04北航概率期末试卷

2020年大学基础课概率论与数理统计期末考试卷及答案精选版

2020年大学基础课概率论与数理统计期末考试卷及答案(精选版)一、单选题1、设X , X ，…,X 是取自总体X 的一个简单样本，则E (X 2)的矩估计是 1 2n,【答案】D2、若X 〜t (n )那么X 2〜【答案】A设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则D (X + 丫-D (X ^+D ^Y )是X 和Y 的不相关的充分必要条件；、 X - R 、 X - RB) t = ---- J== C) t =S /Vn -1 S / nn2 3S 2 =(A) 1n -1i =1(B) S 2 =1E (X - X )22nii =1(C)S 12+X 2(D)S 2+ X2(A)F (1,n )(B )F (n ,1)(C)殍(n )(D)t (n )3、 A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； B) 独立的必要条件，但不是充分条件；D) 独立的充分必要条件【答案】C4、设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H0成立时，样本值(XjX,x n )落入亚的概率为0.15,则犯第一类错误的概率为 (A) 0.1(B) 0.15(C) 0.2(D) 0.25【答案】B5、设X , X ，…X 为来自正态总体N (R ,。

2)简单随机样本，X 是样本均值 12 n记 S 2 = -L-Z(X -X )2，S 2 =1Z (X - X )22n ii =1S 2 = -L- Z (X -^)2，3n -1 iS 2 = 1 Z(X -^)2， 4nii =1则服从自由度为n -1的t 分布的随机变量是X - RA) t = ----- =S /- nn -1 1X -RD) t = -------S / nn【答案】BnrX = 1 £x i6、X服从正态分布，EX =T, EX 2 =5, (x i，…,X n )是来自总体x的一个样本，则ni=1服从的分布为o(A)N( —1,5/n) (B)N( —1,4/n) (C)N( —1/n,5/n) (D)N( —1/n,4/n) 【答案】B7、设X〜N(从 e 2),那么当o增大时，尸{X -川＜°} =A)增大B)减少C)不变D)增减不定。

数理统计期末试题

数理统计期末试题数理统计期末试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(| y x P .5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92s x ,试求)6.0|(| x P .6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有)|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X9．设21,x x 是来自),0(2N 的样本,试求22121 x x x x Y 服从分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样本,c,d是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221m n t s y d x c t md nc 其中22222,2)1()1(y x yx s s m n s m s n s 与分别是两个样本方差.12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2N 的样本,11,n n i i x x n _2211(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n nc nx x t cs 服从t 分布,并指出分布的自由度。

北航09-10高数第2学期期末试卷及参考答案.doc

北京航空航天大学2009-2010学年第二学期期末考试统—用答题册考试课程高等数学2院菜_____________ 学号_______________ 姓名__________________2010年6月29日一.填空题(每小题4分，共20分)1.设函数z = z(x,y)由方程X2-2/+ Z2-4X +2Z-5=0所确定，则该函数在点(5,2,2)处的梯I T 4 T度事% 2,2)= - / + y J•(巧103)09 。

2.设一平面薄片所占的区域D由抛物线为与直线兀=2所围成，其面密度为p = y\则72该薄片的质fim= y .(|$ 103)7Y3.微分方程2yy -xy1 =xe x满足初始条件y |v=0= 1的特解为y = (一 + 104.设厶为由点0(0,0)到点A(l, 1)的圆弧(X一I)2 +)，= 1，则J(x2 + 2xy)dx +(x2 + y4)dy=—. L155 .设函数f (x) = x2 (0 < x < 1) , s(x) = b n sin mix, b n = 2 j' /(x) sin nnx ,则/;=!5.设稳定流动的不可压缩的流体的速度场V =(兀,y,Z),球面E:才+才+ z2二4,则单位吋间内流体从E内流向为外的流虽为32兀.二.单项选择题(每小题4分，共20分)1.设函数f(x, y)连续,且在点P(x0,y0)处存在二阶偏导数，则f(x, y)在点P(x0,y0)处_人(A)几人不一定连续；(B) f；-定连续；(C)沿任何方向的方向导数都存在；(D)m2.设函数.f(兀』)连续，则jjd^S，n6?(rcos^, rsin^)dr = ______ D_.(A)J；&广心/(x, y)dy; (B) J； dxj：*心/(x, y)dy ；(C) J；/(X,^)dx ；( D)J： dyJ f(x, y)dx.3.已知级数》知条件收敛，记v… =| u n | +知,w“ =1 u n | -u n（n = 1,2,…），则B.n=\8 8 8 8（A）工匕和工叫都收敛；（B）工乙和工叫都发散；/?=1 /?=1 ?z=l n=l8 8 8 8（C） D和工w”必有一个收敛；（D） D和工叫的收敛性不能确定.n=\ n=\ n=\ n=\4.设y；, y；是线性非齐次微分方程y"+ p（x）y' + q（x）y = f（x）的两个不同的解，y：, y；是对应齐次方程的两个线性无关的解，则*+ p（x）y+q{x）y = f（x）的通解为_B_ （q心为任意常数）.（A） y = +C2（y；— y：）+*（y； + y；）; （B） y = +02（力一必）+ *0；+ 歹；）；（C）y = cj+C2（y；—y：）—y； ; （D）y = c^+c2（y2-y}）-yi5.下列级数屮发散的是_C_.（A）£—（B）fln（cos丄）；（c）£f）"; （D）£（-1）"^^；^nAn2n幺 / 幺徧+（_1）”幺H2三.（10分）^z = /（x2-y2,^）,其中/具有二阶连续偏导数，求罠氏冀.dx dy dxdy解釜=2兀斤+）泸乃，¥ = -2卅+心・dyw=_ 4x y幷 + 2（兀- y2 y xy fn + xye 心咒2 + （1 + •dxdy四（10分）求平面-+^+- = 1和柱面F+y2= 1的交线上与xO y^标面距离最短的点.解设所求点为*O,y,z）,该点至吹0），面的距离d=\z\・于是设拉格朗日函数厶（X, y, z） = z? + 久（扌 + 彳 + ； -1） + /（x2 + /-1根据问题的实际意义，最短距离一定存在，故人上2匕）为所求的点. 5 5 12五.设 E : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > 0), f(x, y, z)= < / =jj(x 2 + y 2 + z 2)^S. 解记锥面z = J/ + y2上面的球面部分为乙，下面的球面部分工2. 由题设，[[f （x,y 9z ）dS = 0,= （2-V2）^4,其小 D ：F + y2s 幺・六.（io 分）求幕级数£处2”的收敛区间与和函数，并求级数££的和. n=\ n=\3解 lim | - \= lim | （n + 1）f （?I+1）|= x 2,介* 血（兀）・•・当F v 1时,级数绝对收敛，解方程组L x =-^2^ = 0 如=彳+ 2/ = 0 厶_ = 2z — = 0 H 、也 22,"八,IAr 厶ZrKT l 、E 乩 / ，八 2 (1-x 2)2 ~(l-x 2)20, 若 Ze# + y所以和函数5(X)=———,XG (-1,1)1占3〃-计」-犖3七.(10分)求微分方程-y = 4xe x在原点与y二兀相切的特解.解由题设，初始条件为歹(0)二0,.『(0)二1・对应齐次方程的通解丫= CQ + C2e~\ 由于久=1是单根，故设特解形式为y=x(ax^b)e\代入原方程解得Q = l,b = -1.所以)产一y 二4劇的通解y 二C}e x + C2e'x + (x2-x)e x.代入初始条件，得C] =1, C2 =-b故所求特解为y = e x -e~x 4-(x2-x)e x.… 2 2 2八.(10分)计算jj xzdydz + xydzdx + c2dxdy ,其中27为上半椭球而二~ +厶-+ * = 1 、: /x C (a9b9c>0,z>0)的F侧.2 2解补一平z = 0,4 + ^v<l,取上侧，设Q为》和乙所围的立体，a kr则由高斯公式JJ xzdydz + xydzdx + c2dxdy=JJ xzdydz + xydzdx + crdxdy - jj xzdydz + xydzdx + c~dxdy=-JJJd + - jj xzdydz + xydzdx + c2dxdyQ而Jj xzdydz + xydzdx + c2 dxdy =兀abc2,jjj (z + x)dV = jjj zdV + 0(2 (22 \=£ zJzjj dxdy =兀ab^ z(l 一三)dz = — nabc1・0 D. °c 4・•・ jj xzdydz + xydzdx + c2dxdy = - * nabc2一nabc2 =彳nabc2.。