利用导数求函数极值

1 3．函数f(x)=x＋ 的极值情况是( D ) x
(A) 当x=1时取极小值2，但无极大值
(B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取 极大值2 (D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取 极小值2
4．若函数y=x3+ax2＋bx＋27在x=－3时有
间[－3，4]上
1 最大值是9 ， 3 4 最小值是－ 3
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
例2．求y=(x2－1)3+1的极值.
解：y’=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y’=0解得x1=－1，x2=0，x3=1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表:
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(4)函数的极值点一定出现在区间的内 部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部, 也可能在区间的端点. 在上节课中,我们是利用函数的导数来 研究函数的单调性的.下面我们利用函数的 导数来研究函数的极值问题.
右图为函数y=2x3－6x2+7
的图象,从图象我们可以看出 下面的结论:
0
y
2
x
函数在x=0的函数值比它附近所有各点 的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个 极大值； 函数在x=2的函数值比它附近所有各点 的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个 极小值。
课前预习
函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定 义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极 大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个 极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值 点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值 步骤如下： （1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有 使f ’(x)=0的点； （2）计算函数f(x)在区间内使f ’(x)=0的 所有点和端点的函数值，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值。
1 例1．已知函数y= 3 x3－4x+4，
（1）求函数的极值，并画出函数的大致 图象； （2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和 最小值 1 3 解：（1）y’=( x －4x+4)’=x2－4 3 =(x+2)(x－2) 令y’=0，解得x1=－2，x2=2
y
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
o a X0
f ( x ) 0
0
b
x
如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0
两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此,
x0的左侧附近f(x)只能是增函数, 即f ’(x) >0;
x0的右侧附近f(x)只能是减函数, 即f ’(x) <0.
及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可
导函数的极值的步骤.
教学目标
利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调 性这个问题.其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数f ’(x) ; ③解不等式f ’(x)>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f ’(x) <0得f(x)的单调递减区间.
如何求函数的最大（小）值呢？
假设y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是 一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b] 一定能够取得最大值与最小值，函数的最 值必在极值点或区间端点取得。由于可导 函数在区间(a，b)内的极值只可能在使 f ’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点 的值与区间内使f ’(x)=0的点的值作比较， 最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最 小者必为最小值。
如果在f’(x)=0的根x=x0的左、右侧，f’(x) 的符号不变，则f(x0)不是极值. 即:f’(x)=0的根不一定都是函数的极值点。 由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值 的充分必要条件是f’(x0)=0，且在x0左侧 与右侧，f’(x)的符号不同。很明显， f’(x0)=0是x0为极值点的必要条件， 并非充分条件。
达标练习
1．函数y=1 +3x－x3有( D ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3
(C) 极小值－2，极大值2
(D) 极小值－1，极大值3
2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( C )
(A) 极大值点x=－1
(B) 极大值点x=0 (C) 极小值点x=0 (D) 极小值点x=1
求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0) 是极大(小)值的方法是: （1）求导数f ’(x); （2）求方程f’(x)=0的所有实数根; (3) 如果在根x0附近的左侧 f ’(x) >0, 右 侧f ’(x) <0, 那么, f(x0)是极大值; (4) 如果在根x0附近的左侧f ’(x) <0, 右 侧f ’(x) >0, 那么, f(x0)是极小值.
由上图可以看出, 在函数取得极值处, 如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从 而有f ’(x) =0 .但反过来不一定. 如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水 平的, 但这点的函数值既不比它附近的点 的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 假设x0使f ’(x) =0 .那么在什么情况下x0 是f(x)的极值点呢？
请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是 某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小.并不意味着它在函数的整个的 定义域内最大或最小.也就是说极值与最值 是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在 某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小 关系.即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点, 而f(x4)>f(x1).
令y ’=0 即4x3－4x=0， 解得x1=－1，x2=0，x3=1. 导数y ’的正负以及f(－2)，f(2)如下表：
x －2 (－2,－1) －1
y’ y 13 － ↘ 0 4
(－1,0)
＋ ↗
0
0 5
(0,1)
－ ↘
1
0 4
(1,2)
＋ ↗
2
13
从上表知:
当x=±2时，函数有最大值13， 当x=±1时，函数有最小值4
课堂小结
一、极值的概念 二、 求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判 别f(x0)是极大(小)值的方法是:
课后作业
课本 P99 练习B 1
x y’ y
(－∞, －1)
－1 0 无极值
(－1,0) － ↘
0 0
(0,1)
1 0 无极值
(1, +∞)
－ ↘
+
↗
+
↗
极小值 0
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2] 上的最大值与最小值 解：先求导数，得y ’=4x3－4x,
教学目标
知识与技能目标：理解极大值、极小值的概
念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数 的极值；掌握求可导函数极值的步骤；
过程与方法目标：多让学生举例说明，培养
他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问 题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，
激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以
y
f ( x ) 0
f ( x0 ) 0
o
f ( x ) 0
x
a
X0
b
同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点, 则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即 f ’(x) <0; 在x0的右侧附近只能是增函数,
即 f ’(x) >0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极 值点, f(x0)是极值,并且如果f ’(x)在x0两侧满 足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f ’(x) 在x0两侧满足“左 负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极 小值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处 切线的斜率为0, 并且,曲线在极大值点左侧 切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值 点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
极大值，在x=1时有极小值，则a= 3
b= －9 .
；
5．函数y=－3＋48x－x3的
极大值是 y|x=4=125 ,
极小值是
y|x=－4=－131
．
x 6．函数y= ，当x= 0 时取得极 x 1 大值为 0 ；当x= 2 时取得极小
2
值为 4
.
7．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx＋a2在x＝1处 有极值为10，求a，b的值． a=4，b=－11
当x变化时，y’，y的变化情况如下表:
x y’
, 2
+
－2 0
28 极大值 3
(－2,2) －
2 0
2,
+
y
↗
↘
4 极小值 3
↗
28 ∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 3 4 当x=2时，y有极小值且y极小值=－ 3
28 1 （2）f(－3)=7，f(4)=9 = ， 3 3 与极值点的函数值比较得到该函数在区