利用导数求函数极值
利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值要利用导数研究函数的极值，首先需要了解什么是极值以及极值的判定条件。
在微积分中，极值是指函数在其中一点附近取得的最大值或最小值。
函数的极值可以有两种类型：局部极值和全局极值。
1.局部极值：函数在其中一点附近取得的最大值或最小值称为局部极值。
极大值表示函数取得的最大值，极小值表示函数取得的最小值。
2.全局极值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为全局极值。
全局极值可以是局部极值中最大的值或最小的值。
接下来，我们将利用导数进行极值的研究。
根据极值的定义，我们可以得到以下判定条件：1.一阶导数的零点：如果函数在其中一点的一阶导数为零，那么该点可能是极值点。
2.二阶导数的符号：如果函数在其中一点的二阶导数为正，那么该点可能是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点可能是极大值点。
现在，我们来具体介绍如何通过导数研究函数的极值。
1.首先，求出函数的一阶导数。
一阶导数表示了函数在每一点的变化率。
将一阶导数设置为零，求解方程，可以得到导数的零点，即可能的极值点。
2.然后，求出函数的二阶导数。
二阶导数表示了函数的变化率的变化率，即加速度。
通过二阶导数的符号可以判断极值是极小值还是极大值。
3.分析导数的零点和二阶导数的符号，确定极值点。
如果对于其中一点，一阶导数为零且二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果一阶导数为零且二阶导数为负，那么该点是极大值点。
需要注意的是，以上只是判定条件，并不代表确定该点一定是极值点。
在判定的基础上，还需要进行极值的验证。
验证的方法可以使用导数的一阶和二阶的判断性质，例如利用导数的增减性、凸凹性等性质，来进一步确定函数的极值点。
不过，对于更复杂的函数，有时在求导的过程中会遇到难以处理的情况，这时可以考虑使用其他方法，如拉格朗日乘数法、平方差和法等。
综上所述，利用导数研究函数的极值主要通过求导、求导数的零点和二阶导数的符号进行判定，并通过验证来确定极值点。
同时，需要注意在复杂的情况下使用其他方法进行研究。
导数求函数最值
导数求函数最值导数是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解函数的最值。
函数的最值包括最大值和最小值，而导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，通过斜率的正负性可以判断函数在该点是增函数还是减函数，从而找到函数的极值点。
下面将介绍如何利用导数来求解函数的最值。
我们需要找到函数的导数。
导数表示函数在某一点的变化率，可以通过求导数来找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点要么是导数为0的点，要么是导数不存在的点。
所以，我们首先需要求出函数的导数，并将导数等于0或不存在的点作为候选的极值点。
我们需要利用导数的正负性来判断极值点的类型。
如果在导数为0的点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是函数的局部最大值点；如果在导数为0的点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是函数的局部最小值点。
通过这种方法，我们可以找到函数的极值点。
除了求解函数的极值点，导数还可以帮助我们判断函数的凹凸性。
函数的凹凸性可以告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。
具体来说，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是向上凸起的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是向下凹陷的。
通过分析函数的凹凸性，我们可以更好地理解函数的形状。
导数还可以帮助我们求解函数的拐点。
拐点是函数曲线上的一个点，在这个点处函数的曲率发生突变。
通过求解函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。
具体来说，如果函数的二阶导数在某一点发生了从正到负或从负到正的变化，那么这个点就是函数的拐点。
通过分析函数的拐点，我们可以更加全面地了解函数的性质。
总的来说，导数在求解函数的最值、凹凸性和拐点等方面起着重要作用。
通过对函数的导数进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并找到函数的极值点。
因此，在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们解决各种数学和物理问题，对于深入理解函数的行为规律起着至关重要的作用。
导数求极值经典例题
导数求极值经典例题
导数求极值理论是数学中极为重要的一个概念，它可以用来解决各种数学问题，是应用数学和科学计算的重要方法之一。
本文以两个经典例题为例，介绍一下导数求极值理论及其在解决问题上的应用。
首先来看第一个例题：求函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的极值。
首先，要求函数f(x)的导数：
f′(x)=2ax+b
然后，求f′(x)的极值：
2ax+b=0，即x=-b/2a
知道x=-b/2a以后，再将x带入原函数f(x)，即可得出极值：f(-b/2a)=(-b2/4a)+cb/a+c
接下来，我们来看第二个例题：求函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的极值。
同样，首先求函数f(x)的导数：
f′(x)=3ax2+2bx+c
再求f′(x)的极值：
3ax2+2bx+c=0，即x=-b/3a
知道x=-b/3a以后，再将x带入原函数f(x)，即可得出极值：f(-b/3a)=(-b3/27a)+cb2/6a+cd/3a+d
以上两个例题，简述了导数求极值的一般步骤，即求函数的导数，求导数的极值，将极值带入原函数即可求出原函数的极值。
此外，我们还可以用一阶导数法和二阶导数法来近似求解极值问题，也就是说
在计算极值时，可以用一些近似的方法来求解，而不必要求出精确的极值，从而有效提高求解效率。
总之，导数求极值理论是一种有效而又简单的方法，它可以有效地帮助我们解决一些数学问题。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。
这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。
下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。
我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。
根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。
例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
2. 解方程f'(x) = 0。
将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。
这些驻点就是函数的极值点。
需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。
二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。
这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。
我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。
具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。
如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。
二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。
具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。
如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。
三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。
下面举一个例子来说明。
例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
高中数学的解析如何利用导数求函数的极值
高中数学的解析如何利用导数求函数的极值在高中数学中，求解函数的极值是一个常见的问题。
通过计算函数的导数，可以帮助我们找到函数的极大值或者极小值。
解析法是一种常用且简洁的方法，它基于导函数的性质进行推导和分析。
本文将介绍解析法如何利用导数求解函数的极值。
一、解析法的基本思想解析法利用导数的性质来求解函数的极值。
对于一个函数 f(x)，如果它在某个点 x0 处取得极大值或者极小值，那么 f'(x0) = 0。
此外，如果 f'(x0) 不存在，也可能代表 f(x) 在该点取得极值。
二、求解过程1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数 f(x) 的导函数 f'(x)。
根据具体的题目，可以通过求导法则来计算函数的导数，例如常用的求导法则包括和差法、乘法法则、除法法则和链式法则等。
求导的过程需要运用高中数学中学过的求导公式和技巧。
2. 解方程 f'(x) = 0根据解析法的基本思想，我们需要找到函数导数为零的点。
因此，我们需要解方程 f'(x) = 0，找出满足条件的 x 值。
3. 判定极值类型在找到满足 f'(x) = 0 的 x 值后，我们可以通过二阶导数的符号来判定具体的极值类型。
如果 f''(x) > 0，那么函数在该点取得极小值；如果f''(x) < 0，那么函数在该点取得极大值。
如果 f''(x) = 0，则需要结合其他方法进一步进行判定。
4. 给出极值点和极值根据判定的结果，我们可以得到函数的极值点和极值。
我们可以通过代入原函数 f(x) 进行计算，得到极值点的具体数值和函数的极值。
三、解析法的应用举例为了更好地理解解析法的应用，以下以一个具体的数学问题为例来演示。
问题：已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) 的极值点和极值。
解答：1. 求解导函数将函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
利用导数研究函数的极值
题型五.函数的极值与最值的综合应用
例9. 已知f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1和x=2时取得极值.
(1). 求a、b的值； (2). 若对于x∈[0, 3]，都有f(x)<c2，求c的取值范围. 例10.已知f(x)是[-e,0) (0,e]上的奇函数，当x∈(0, e]时, f(x)=ax+lnx; (1)求f(x)的解析式； ln x 1 ,求证:当x (0, e]时f (x) g(x) 恒成立 . (2)若a=-1, g(x) x 2
一.函数极值的概念
2. 极值与导数的关系：
(2). “f '(x0)=0”与“ x0是f(x)的极值点”的关系？ (3). f(x)的极大值与极小值的关系？
y
f(x) x3
y
g(x) | x |
o
x
o
x
二.求函数极值的方法与步骤 题型一.求函数的极值
例1. 判断下列函数在其定义域内是否有极值？ (1). y=8x3-12x2+6x+1； (2). y=x|x|； (3). y=1-(x-2) .
求f(x)在[a, b]上的最值的步骤：
题型三.求连续函数在闭区间上的最值 (1)求f(x)在开区间(a,b)上的极值；
例6. 求下列函数的最值： (2)求f(a)和f(b)；
1 3 (3)比较f(a)、f(b)与极值，的最值. (1). f(x)= x -4x+4 , x∈[-3, 4] ; 3 x (2). y x ，x∈[0, 2]; e 1 2 (3). y=ln(1+x) - x , x∈[0, e]; 4
(4). 已知x、y∈R+, x2-2x+4y2=0, 求xy的最大值.
利用导数解决函数极值问题的技巧
利用导数解决函数极值问题的技巧在数学中，函数极值问题是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
导数的应用使这一过程变得更加简单和高效。
本文将介绍一些利用导数解决函数极值问题的技巧。
1. 极值点的定义在深入讨论如何利用导数解决函数极值问题之前，我们首先来了解一下什么是极值点。
对于一个函数f(x)，如果在某一点a处，它的函数值f(a)是在函数的邻域内最大值或最小值，那么我们称a为函数f(x)的极值点。
极大值点指函数在该点处取得最大值，而极小值点指函数在该点处取得最小值。
2. 导数与极值点之间的关系在解决函数的极值问题时，导数是非常重要的工具。
导数能够告诉我们函数在某一点处的斜率，也就是函数值的变化速率。
在函数的极值点，导数的值为零或不存在。
3. 利用导数求取极值点的步骤3.1 求取函数的导数首先，我们需要求取给定函数的导数。
导数代表了函数的变化趋势，通过求导，我们可以得到函数的斜率函数。
3.2 导数的根与极值点导数函数的零点或不存在的点是我们寻找极值点的关键。
当导数为零时，函数的斜率为零，这意味着函数在该点的增长或减少的速度变为了0。
因此，导数为零的点有可能是函数的极值点。
此外，当导数不存在时，也需要进一步研究该点是否是极值点。
导数不存在意味着函数在该点处的切线斜率无限大或无限小，也可能代表极值点的存在。
3.3 寻找极值点找到导数为零或不存在的点后，我们需要通过进一步的计算来判断其是否为极值点。
一种简单的方法是求取二阶导数，即求取一阶导数的导数。
如果二阶导数大于0，那么此点为极小值点；如果二阶导数小于0，那么此点为极大值点；如果二阶导数等于0，那么无法得出明确的结论。
此外，我们还可以通过绘制函数的图像来验证求得的极值点，并进一步分析函数在其他区间的变化情况。
4. 实例演示以函数f(x) = x^3-3x为例来演示如何利用导数解决函数极值问题。
4.1 求取函数的导数f'(x) = 3x^2-34.2 导数的根与极值点令3x^2-3=0，解得x=±1。
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
利用导数求函数极值
利用导数求函数极值函数极值是数学中的一个重要概念，它描述了函数在其定义域内的最大值和最小值。
为了确定函数的极值点，我们可以使用导数的概念和求导的方法。
本文将介绍如何利用导数求函数极值。
一、导数的定义在开始讲解之前，我们先来回顾一下导数的定义。
对于函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。
这个极限表示的是函数在点x处的切线斜率。
当导数为正时，函数呈现上升趋势；当导数为负时，函数呈现下降趋势。
而极值点就是在导数变号的地方。
二、求解极值的步骤为了求解函数的极值，我们可以遵循以下步骤：1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数的导函数。
导函数是通过求原函数的导数得到的，即将原函数中的自变量进行求导。
2. 求解导函数的零点接下来，我们需要求解导函数的零点，即令导函数等于零，解出自变量的值。
这些零点就是可能的极值点。
3. 判断极值类型通过对导函数的零点进行二阶导数的正负性判断，可以确定每个零点处的极值的类型。
当二阶导数大于零时，表示该点为极小值；当二阶导数小于零时，表示该点为极大值。
三、举例说明为了更好地理解如何利用导数求函数极值，我们举一个具体的例子来说明。
例题：求函数y = x^2 - 4x + 3的极值点及极值类型。
解答：1. 求解导函数：首先，我们需要求解原函数的导函数。
对函数y = x^2 - 4x + 3求导得到导函数y' = 2x - 4。
2. 求解导函数的零点：令导函数等于零，解方程2x - 4 = 0得到x = 2。
所以x = 2是一个可能的极值点。
3. 判断极值类型：对导函数y' = 2x - 4求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数大于零，即y'' > 0，所以x = 2处为极小值。
利用导数求函数的变化率和极值
利用导数求函数的变化率和极值在微积分中，导数是非常重要的概念之一。
利用导数可以求解函数在某一点的变化率以及找到函数的极值点。
本文将介绍如何利用导数求函数的变化率和极值，并逐步展示具体的计算方法。
一、函数的变化率函数的变化率描述的是函数在某一点上的变化趋势。
具体来说，若函数f(x)在某一点x=a处可导，则f(x)在x=a处的变化率可以由导数f'(a)来表示。
导数f'(a)表示函数f(x)在x=a处的瞬时变化率。
示例：考虑函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求该函数在x=2处的变化率。
解：首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = 4x + 3然后，计算函数f(x)在x=2处的导数值：f'(2) = 4(2) + 3 = 11因此，函数f(x)在x=2处的变化率为11。
二、函数的极值函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
利用导数，我们可以很方便地找到函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求解函数的导数f'(x)。
2. 找到导数f'(x)的根，即f'(x)=0的解。
3. 利用二阶导数或者图像等进一步判断每个根对应的点是极大值点还是极小值点。
示例：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2，求该函数的极值点。
解：首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = 3x^2 - 6x然后，求解方程f'(x)=0，得到导数f'(x)的根：3x^2 - 6x = 0化简得，x(x - 2) = 0解得x=0和x=2。
接下来，需要判断x=0和x=2所对应的点是极大值点还是极小值点。
为此，求解函数f(x)的二阶导数f''(x)：f''(x) = 6x - 6计算f''(0)和f''(2)：f''(0) = 6(0) - 6 = -6f''(2) = 6(2) - 6 = 6根据二阶导数的正负性可以得知：当f''(x) > 0时，函数在对应的x值处取得极小值；当f''(x) < 0时，函数在对应的x值处取得极大值。
利用导数求极值问题
利用导数求极值问题在微积分中，利用导数求解极值问题是一种常见的方法。
本文将介绍利用导数求解极值问题的步骤和原理。
通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解决实际问题。
1. 导数的基本概念在了解如何求解极值问题之前，我们需要了解导数的基本概念。
导数描述了函数在某点的斜率，可以帮助我们理解函数的变化趋势。
函数f(x)在点x处的导数可以用f'(x)来表示，它的计算方法是求函数在该点的切线斜率。
2. 寻找极值的条件要寻找函数的极值，我们需要找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点。
函数在驻点处可能是极大值或极小值。
当导数从正数变为负数时，代表函数经过一个极大值点；当导数从负数变为正数时，代表函数经过一个极小值点。
3. 求解极值的步骤为了求解极值，我们需要按照以下步骤进行计算：- 求函数的导数；- 找到函数的驻点，即导数为零或不存在的点；- 判断驻点处的极值类型，通过导数的变化来确定是极大值还是极小值；- 根据题目要求，计算函数在极值点处的函数值，得到最终的极值。
4. 实例分析为了加深对导数求极值问题的理解，我们来看一个实例。
假设我们要在一个长度为10的墙上建造一个矩形花坛，花坛的两边将与墙平行。
我们需要确定花坛的长和宽，使得花坛的面积最大。
首先，我们设矩形花坛的长为x，宽为y。
由题目可知，矩形花坛的面积为xy。
我们需要表示出面积函数S(x)。
根据题目要求，矩形花坛的两边将与墙平行，因此矩形的周长为2x+2y。
又因为墙的长度为10，所以2x+2y=10，由此得到y=5-x。
将y=5-x代入面积函数S(x)=xy中，得到S(x)=5x-x^2。
接下来，我们需要求解函数S(x)的驻点。
求导得到S'(x)=5-2x，令S'(x)=0，可以得到x=2.5。
我们可以通过计算S''(x)来判断这个点是极大值点还是极小值点。
因为S''(x)=-2，小于零，所以x=2.5是一个极大值点。
利用导数求函数的极值
利用导数求函数的极值
求极值是微积分中一个重要而复杂的问题，导数是一种有效的方法来求解极值。
导数可以通过表示函数变化的快慢和方向，为求解极值提供强有力的理论支持。
求函数的极值，可以先得到函数的导数，然后求函数的导数的零点，它们就是极值点。
求函数的导数，可以根据求导公式，逐项对函数中的每项均求导数，然后根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，得到函数的导数。
求函数的导数的零点，也就是求函数的极值点的方法有很多，其中最常用的是图解法、二分法和牛顿法。
图解法是通过函数的前后变化情况来求得函数的极值点。
二分法是它的原理是，取一个函数的的前后的若干点，根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，经过不断的二分，得到函数的极值点。
牛顿法是一种采用泰勒展开式，取相邻两个点来线性近似拟合函数，然后反复重复，直至精确求得函数的极值点。
由于极值是特定范围内函数的取值极大或极小的点，所以导数的形变的状态，也是求函数的极值的依据，根据导数的取值来判断函数的取值大小，而且，所有函数极值点都等于零点，可以通过求导数的零点来得到函数极值点。
用导数求函数的极值是一种可行的方法，它可以正确准确的得到函数极值点。
总而言之，用导数求函数的极值，不仅可以准确求解函数极值点，而且还能依据函数的变化形态来判断函数的局部最值，是使用频繁的方法之一。
数学解决函数极值的三种方法
数学解决函数极值的三种方法函数的极值指的是函数在某个区间内取得的最大值或最小值。
求解函数的极值是数学中的重要问题之一，有着广泛的应用。
本文将介绍三种常用的数学方法来解决函数的极值问题。
一、导数法导数法是求解函数极值最常用的方法之一。
该方法基于导数的性质，通过求函数的导数来研究函数在不同点的变化情况。
假设函数f(x)在[a, b]区间内连续可导。
下面是求解函数极值的步骤：1. 求出函数f(x)的导数f'(x)。
2. 求出导数f'(x)的零点，即解方程f'(x) = 0。
3. 求出[a, b]区间内导数f'(x)的极值点，即对导数f'(x)求导，得到f''(x)，再求出f''(x) = 0的解。
4. 将[a, b]区间内得到的所有解代入原函数f(x)中，得出这些点对应的函数值。
5. 比较得出的函数值，找出最大值和最小值。
导数法求解函数极值的优点是简单易懂，只需要求导和解方程，相对较快。
但该方法的缺点是依赖函数的可导性，对于非连续或不可导的函数不适用。
二、一元二次函数法一元二次函数法是解决函数极值问题的另一种常用方法。
该方法适用于形如f(x) = ax² + bx + c的二次函数。
下面是使用一元二次函数法求解函数极值的步骤：1. 将函数f(x)化为顶点形式，即使用平方完成或配方法将函数转化为f(x) = a(x-h)² + k的形式。
2. 根据一元二次函数的性质，当a>0时，函数在顶点(h, k)处取得最小值；当a<0时，函数在顶点(h, k)处取得最大值。
3. 找出顶点的横坐标h，即x = -b/2a。
代入f(x)，求得函数的极值。
一元二次函数法的优点是适用范围广，并且可以直观地得到函数的极值点。
但对于不是二次函数的情况，该方法并不适用。
三、二阶导数法二阶导数法是一种更加精确的求解函数极值的方法。
繁华.高二. 利用导数求函数极值
75889454.doc 编写人：苑介刚3.3.2 利用导数研究函数极值审核人： 班级： 姓名： 学习目标：结合函数图像，了解函数在某点取得机制的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。
学习过程：一．复习引入：1.利用导数判断函数单调性的原理：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么y=f(x)为这个区间内的 ；如果在这个区间内0y '<，那么y=f(x)为这个区间内的 。
二．自主学习1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 ，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作 ， 是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有 .就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作 ， 是极小值点 3. 与 统称为极值4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“ ”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值.5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1) ； (2) ； (3) .6.函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值不要忘记昨天，认真计划明天，好好把握今天，用心做好每一件事！ 最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个三．合作学习思考并讨论：利用导数求函数的最值步骤:⑴ ；⑵ .例1.已知函数31()443f x x x =-+ （1）求函数的极值（2）求函数在区间[-3,4]上的最大值，最小值四．巩固练习1.独立完成课本P98 练习A 2（2），B 1。
利用导数求解函数的极值与最值
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
用导数求函数极值
①首先确定函数定义域。
②二次函数通过配方或分解因式可求极值。
③通过求导是求极值最常用方法。
f'(x)=0，则此时有极值。
>0为↑
<0为↓
判断是极大还是极小值。
例如：
①求函数的二阶导数，将极值点代入，二级导数值>0
为极小值点，反之为极大值点
二级导数值=0，有可能不是极值点；
②判断极值点左右邻域的导数值的正负：左+右-
为极大值点，左-右+
为极小值点，左右正负不变，不是极值点。
极大值和极小值
也可以为集合定义极大值和极小值。
一般来说，如果有序集S具有极大的元素m，则m是极大元素。
此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素，则m是T中S的极小上限。
类似的结果适用于极小元素，极小元素和极大的下限。
在一般的部分顺序的情况下，极小元素（小于所有其他元素）不应该与极小元素混淆（没有更小）。
同样，部分有序集合（poset）的极大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的极大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。
高中物理-求极值的六种方法
高中物理-求极值的六种方法求极值是数学中的重要问题，解决这个问题不仅有助于我们理解函数的性质，还有助于应用于很多实际问题的求解。
下面介绍六种常用的方法求极值：导数法、辅助线法、割线法、牛顿法、拉格朗日乘数法和试探法。
一、导数法：导数法是最常见，也是最基本的求极值方法。
极值点处的导数为零或不存在。
1.求导数：设函数y=f(x)，首先求出导数f'(x)。
2.导数为零：令f'(x)=0，得出x的值。
3.导数不存在：检查导数在f'(x)为零的点附近是否存在极值点。
二、辅助线法：辅助线法是通过构造一条辅助线，将函数转化为一个变量的方程，然后通过解方程来求解极值点。
1.构造辅助线：根据函数的特点，选取一个合适的辅助线方程（比如斜率为1或-1），将函数转化为一个变量的方程。
2.解方程：将辅助线方程和原函数方程联立，解得x的值。
3.求解极值点：将x的值代入原函数方程，求出对应的y值。
三、割线法：割线法是通过构造一条割线，通过不断迭代来逼近极值点。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.构造割线：构造一条过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))两点的割线，其中x1=x0-λf(x0)，λ是一个合适的步长。
3.迭代求值：迭代求解极值点，即不断重复步骤2，直到割线趋近于极值点。
四、牛顿法：牛顿法利用函数的导数和二阶导数的信息来逼近极值点，是一种高效的求解极值的方法。
1.选择初始值：选择一个合适的初始值x0。
2.迭代求值：根据牛顿迭代公式x1=x0-f(x0)/f'(x0)，不断迭代求解极值点，直到满足结束条件。
五、拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法是一种求解约束条件下极值问题的方法，适用于那些涉及多个变量和多个约束条件的问题。
1. 列出函数和约束条件：设函数为f(x1, x2, ..., xn)，约束条件为g(x1, x2, ..., xn)=c。
2. 构造拉格朗日函数：构造拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn) + λ(g(x1, x2, ..., xn)-c)，其中λ是拉格朗日乘数。
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极大值，在x=1时有极小值，则a= 3
b= －9 .
；
5．函数y=－3＋48x－x3的
极大值是 y|x=4=125 ,
极小值是
y|x=－4=－131
．
x 6．函数y= ，当x= 0 时取得极 x 1 大值为 0 ；当x= 2 时取得极小
2
值为 4
.
7．已知函数f(x)＝x3+ax2+bx＋a2在x＝1处 有极值为10，求a，b的值． a=4，b=－11
教学目标
知识与技能目标：理解极大值、极小值的概
念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数 的极值；掌握求可导函数极值的步骤；
过程与方法目标：多让学生举例说明，培养
他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问 题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，
激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
(4)函数的极值点一定出现在区间的内 部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部, 也可能在区间的端点. 在上节课中,我们是利用函数的导数来 研究函数的单调性的.下面我们利用函数的 导数来研究函数的极值问题.
1 3．函数f(x)=x＋ 的极值情况是( D ) x
(A) 当x=1时取极小值2，但无极大值
(B) 当x=－1时取极大值－2，但无极小值
(C) 当x=－1时取极小值－2，当x=1时取 极大值2 (D) 当x=－1时取极大值－2，当x=1时取 极小值2
4．若函数y=x3+ax2＋bx＋27在x=－3时有
如何求函数的最大（小）值呢？
假设y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是 一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b] 一定能够取得最大值与最小值，函数的最 值必在极值点或区间端点取得。由于可导 函数在区间(a，b)内的极值只可能在使 f ’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点 的值与区间内使f ’(x)=0的点的值作比较， 最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最 小者必为最小值。
请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是 某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小.并不意味着它在函数的整个的 定义域内最大或最小.也就是说极值与最值 是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在 某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个.
(3)极大值与极小值之间无确定的大小 关系.即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点, 而f(x4)>f(x1).
课堂小结
一、极值的概念 二、 求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判 别f(x0)是极大(小)值的方法是:
课后作业
课本 P99 练习B 1
由上图可以看出, 在函数取得极值处, 如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从 而有f ’(x) =0 .但反过来不一定. 如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水 平的, 但这点的函数值既不比它附近的点 的函数值大,也不比它附近的点的函数值小. 假设x0使f ’(x) =0 .那么在什么情况下x0 是f(x)的极值点呢？
当x变化时，y’，y的变化情况如下表:
x y’
, 2
+
－2 0
28 极大值 3
(－2,2) －
2 0
2,
+
y
↗
↘
4 极小值 3
↗
28 ∴当x=－2时，y有极大值且y极大值= 3 4 当x=2时，y有极小值且y极小值=－ 3
28 1 （2）f(－3)=7，f(4)=9 = ， 3 3 与极值点的函数值比较得到该函数在区
令y ’=0 即4x3－4x=0， 解得x1=－1，x2=0，x3=1. 导数y ’的正负以及f(－2)，f(2)如下表：
x －2 (－2,－1) －1
y’ y 13 － ↘ 0 4
(－1,0)
＋ ↗
0
0 5
(0,1)
－ ↘
1
0 4
(1,2)
＋ ↗
2
13
从上表知:
当x=±2时，函数有最大值13， 当x=±1时，函数有最小值4
求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值 步骤如下： （1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有 使f ’(x)=0的点； （2）计算函数f(x)在区间内使f ’(x)=0的 所有点和端点的函数值，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值。
1 例1．已知函数y= 3 x3－4x+4，
（1）求函数的极值，并画出函数的大致 图象； （2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和 最小值 1 3 解：（1）y’=( x －4x+4)’=x2－4 3 =(x+2)(x－2) 令y’=0，解得x1=－2，x2=2
右图为函数y=2x3－6x2+7
的图象,从图象我们可以看出 下面的结论:
0
y
2
x
函数在x=0的函数值比它附近所有各点 的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个 极大值； 函数在x=2的函数值比它附近所有各点 的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个 极小值。
课前预习
函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定 义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极 大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个 极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值 点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
x y’ y
(－∞, －1)
－1 0 无极值
(－1,0) － ↘
0 0
(0,1)
1 0 无极值
(1, +∞)
－ ↘
+
↗
+
↗
极小值 0
y
fx = x2-13+1
-1
O
1
x
∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0
例3．求函数y=x4－2x2+5在区间[－2，2] 上的最大值与最小值 解：先求导数，得y ’=4x3－4x,
求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0) 是极大(小)值的方法是: （1）求导数f ’(x); （2）求方程f’(x)=0的所有实数根; (3) 如果在根x0附近的左侧 f ’(x) >0, 右 侧f ’(x) <0, 那么, f(x0)是极大值; (4) 如果在根x0附近的左侧f ’(x) <0, 右 侧f ’(x) >0, 那么, f(x0)是极小值.
y
f ( x ) 0
f ( x0 ) 0
o
f ( x ) 0同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点, 则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即 f ’(x) <0; 在x0的右侧附近只能是增函数,
即 f ’(x) >0.
从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极 值点, f(x0)是极值,并且如果f ’(x)在x0两侧满 足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f ’(x) 在x0两侧满足“左 负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极 小值. 从曲线的切线角度看,曲线在极值点处 切线的斜率为0, 并且,曲线在极大值点左侧 切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值 点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
间[－3，4]上
1 最大值是9 ， 3 4 最小值是－ 3
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
例2．求y=(x2－1)3+1的极值.
解：y’=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y’=0解得x1=－1，x2=0，x3=1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表:
如果在f’(x)=0的根x=x0的左、右侧，f’(x) 的符号不变，则f(x0)不是极值. 即:f’(x)=0的根不一定都是函数的极值点。 由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值 的充分必要条件是f’(x0)=0，且在x0左侧 与右侧，f’(x)的符号不同。很明显， f’(x0)=0是x0为极值点的必要条件， 并非充分条件。
及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可
导函数的极值的步骤.
教学目标
利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调 性这个问题.其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数f ’(x) ; ③解不等式f ’(x)>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f ’(x) <0得f(x)的单调递减区间.
达标练习
1．函数y=1 +3x－x3有( D ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3
(C) 极小值－2，极大值2
(D) 极小值－1，极大值3
2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( C )
(A) 极大值点x=－1
(B) 极大值点x=0 (C) 极小值点x=0 (D) 极小值点x=1
y
f ( x0 ) 0
f ( x ) 0
o a X0
f ( x ) 0
0
b
x
如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0
两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此,
x0的左侧附近f(x)只能是增函数, 即f ’(x) >0;