(精品)数学讲义第7课时 二元一次方程组(教师版)

二元一次方程（组）

知识精要

一、二元一次方程的概念

1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的次数是一次的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。

3、二元一次方程的解集：二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做二元一次方程的解集。

4、二元一次方程组：如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。

5、二元一次方程组的解：在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解。

二、方程组的解法

1、代入消元法：

（1）求表示式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用另一个未知数的式子表示出来

（2）代入消元：将所得的式子代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

（3）求解方程：解得到的一元一次方程

（4）回代得解：把求得的一个未知数的值代入先前的表示式，得到另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

2、加减消元法：

（1）变换系数：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等（即绝对值不相等），就用适当的数去乘某一个或两个方程的两边，使这个未知数的系数互为相反数或相等（即绝对值相等）

（2）加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个以另一个未知数为未知数的一元一次方程。 （3）求解方程： （4）回代得解：

热身练习

1、下列各式：

2

1(1)233;(2)0;(3)4;3

x y x y x y -=-=-=

1(4);2xy = 1

(5)32;(6)1;(7)6;(8)523x y y x y z x y x y x ++=++=-=-

属于二元一次方程的是______（1）（3）（8）_________

2、若4x-5y=0，x≠0，且y≠0，求125125x y x y

-+的值。

解：由4x-5y=0得4x=5y ，12x=15y

125125x y x y -+=

2

1

2010515515==+-y y y y y y

3、已知2

(321)20x y x y -++--=，求x ，y 的值。 解：∵3x-2y+1=0且x-y-2=0 ∴x=-5，y=-7

4、已知x=1，y=1是方程组2

3ax by x by +=⎧⎨-=⎩

的解，则a=_4__,b=__-2___

5、已知关于x ，y 的方程组23322

x y k

x y k +=⎧⎨+=+⎩的解的和为11，求k 的值。

解：由题得：5x+5y=2k+2 5

2

2+=+k y x ∵x+y=11 ∴5

2

2+k =11 ∴2

53=k

6、对于实数x ，y ，定义一种新的运算“※”：x ※y=ax+by ，其中a ，b 为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3※5=15，4※7=28，求a+b 的值。

解：由题得：⎩⎨⎧=+=+287415

53b a b a

∴a=-35，b=24 a+b=-11

精解名题

含字母系数的二元一次方程组的解法：

例1、a 为何值时，关于x ，y 的方程组3534287ax y a x

x y x +=+-⎧⎨+=-⎩有唯一解？

解：当23

113≠+a 时，方程组有唯一解 即227≠a 时，方程组有唯一解。

备选例题

含绝对值的方程组的解法：

例1、解方程组7

231

x y x y ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩

解：①×3+②得：5x=20 x=4 把x=4代入①，得3=y 3±=y

∴⎩⎨⎧-==34y x ⎩⎨⎧==34

y x

方法提炼

不同时为零）21212221

11,,,(b b a a c y b x a c y b x a ⎩⎨

⎧=+=+ 当

2

1

21b b a a ≠时，方程组有唯一解； 当

2

1

2121c c b b a a ≠=时，无解； 当2

1

2121c c b b a a ==时，方程组有无数解。

巩固练习

一、填空题

1、5x+y=18的非负整数解是⎩⎨⎧==180y x ⎩⎨⎧==131y x ⎩⎨⎧==82y x ⎩⎨

⎧==33

y x 。 2、已知方程3x+2y=4，用含x 的式子表示y ，则y=22

3

+-

x 。 3、在二元一次方程3x+4y=6的解中，如果x 和y 互为相反数，那么这个方程的解是⎩⎨⎧=-=66

y x 。

4、已知2

22(4)0x y y +-++=，则2007()x y +=___-1___。 5、若实数a ，b 满足条件a+b=5，且a-b=2，则a=

27 ，b=2

3

。 6、若一个二元一次方程的一个解为x=2，y= -1，则这个方程可以是__x+y=1___。 7、在等式y=kx+b 中，当x=0时，y=2，当x=3时，y=3，则

b

k

=__6_。 8、如果2x+y 与x+2y 的比是

4

5

，那么x ：y=___1:2__。

9、如果314

x y =-⎧⎪

⎨=⎪⎩是方程组325546ax y x by +=⎧⎨

+=⎩的解，那么a=21-，b=___21__。