高等数学笔记

高等数学

1、双曲正弦曲线：2x x e e shx --=；双曲余弦：2x

x e e chx -+=；双曲正切：

x

x

x x e e e e thx --+-=；双曲余切：x

x x

x e e e e chx ---+=2、极限的定义表示方法：A

x f A x f x =⇒=→)()(lim 0

3、两个函数的重要准则：1sin lim 0=→x x x ；e

x x

x =⎪⎭⎫ ⎝

⎛+→11lim θ4、函数的间断点：第一类间断点：（两边极限都存在且相等：可去间断点；两边极限都

存在，不相等为跳跃间断点。第二类间断点：极限不存在或震荡间断点。

5、关于函数的求导法则：一：隐函数的求导法则：

Fy

Fx

dx dy -

=；参数函数的求导法则：)()(t y t x ϕφ==；)

()

(//t t dx dy φϕ=；

6、关于二元函数的极值、单调性、凸凹性、拐点问题：关于二元函数的单调性： ,0)(/

>x f 表示函数递增；小于0，表示函数递减； ,0)(//

>x f 表示函数凹，小于0，表示函数凸。函数的二阶导数为0，表示函数为拐点；求函数极值的办法为：首先找出驻点（一阶导数为0的点或导数不存在的点，判定两边的一阶导数是否变号，若左边小于0，右边大于0，则表示为最小值；左边大于0，右边小于0，则表示为最大值。若二阶导数不为0，大于0，则有最小值，小于0，这有最大值。

7、关于几个二次曲线、曲面：

（1）双曲线：12222=-c z a x ，若绕Z 轴旋转：旋转单页双曲面：122

2

22=-+c z a y x 绕X 轴旋转：12

2

222=+-c

z y a x ，旋转双叶双曲面。（2）椭圆锥面：2

2222z b y a x =+；椭圆球面：1222222=++c z b y a x ；单叶双曲面：

1222222=-+c z b y a x ；双叶双曲面：1222222=--c z b y a x ；椭圆抛物面：z b y a x =+22

22；双曲抛物面：z b

y a x =-22

22；

8、多元函数的极值：0),(;0),(==y y x f y x f x ；

设yY XY XX y x f C y x f B y x f A ),(;),(;),(===；首先用一阶导数求出可能的极值点，若B 2-AC<0,则有极值，若A 大于0，表示极小值，若A 小于0，表示极大值；B 2-AC>0没有极值；B 2-AC=0，可能有极值也可能没有极值。

条件极值：L （x,y ）=F(x,y)+λψ（x,y ）；（其中前项为已知条件，后项为限制条件）。求导和限制条件，建立三个方程组，求解。

9、多元函数的应用：求曲线面积：dxdy

f f A D

y x ⎰⎰

++=22110、曲线积分：（1）、对弧长的曲线积分：

);();(t y t x ϕφ==;

)()(())(;)((),(2/2/dt t t t t f ds y x L

ϕφϕφβ

α

+=⎰⎰（2）、对弧长的坐标积分：

);();(t y t x ϕφ==;

))()())((;)((),(//dt t t t t f ds y x L

φϕϕφβ

α

+=⎰⎰（3）格林公式：

⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L

D

Qdy Pdx dxdy Y P

x Q (

11、关于级数的审敛法则：（1）、正向级数：P 级数：p p p p 5

1

4131211++++

，当P>1,级数收敛；P ＜1，级数发散，P=1，级数可能收敛，也可能发散。

比较审敛法：ρ=+n

n u u 1

，若ρ>1，级数发散；ρ＜1级数收敛。ρ=1，可能收敛也可能发散。

根号审敛法：n

n u =ρ，若ρ>1，级数发散；ρ＜1级数收敛。ρ=1，可能收敛也可

能发散。

（2）、交错级数

定义审敛：n n u 1

)

1(--；n n u u >+1；0=n linu ；则级数收敛。

对于级数：n u u u u ++++....321若：n

u 收敛则绝对收敛；若n

u 收敛，而n u 发散则条件收敛。

12、关于函数的展开：（1）公式一：

+++++=-432111

x x x x x

（2）特殊级数：

∑++=n

n n nx b nx a a x f 1

)

sin cos (2)(其中：dx nx x f T a n ⎰∏∏-=cos )(2；dx nx x f T b n ⎰∏

∏

-=sin )(2

对于奇函数：只有b n ；对于偶函数有a 0，a n ；

对于函数的收敛：若连续则收敛于f(x)，若不连续，收敛于（f(x 左)+f(x 右)）/213、关于微分方程的特征根问题：

2=++q pr r 特征根：2

421

q p p r -+

-=

；2

422q p p r ---=

若：p 2-4q>0，则有两个不等实根，则通用解为：x

r x

r e c e c x 22111+=p 2-4q=0，则有两个相等实根，则通用解为：2

,1211)(x r e

x c c x +=p 2-4q<0，则有两个不等虚根，则通用解为：)sin cos (211x c x c e x x

ββα+=13、关于代数余子式：A ij =(-1)(i+j)M ij;

矩阵对换两列或两行，值变号。行列式为A 或记为detA 。

关于矩阵：nn

n n n n

n

n a a a a a a a a a a a a a a a a .......................................321333323122322211131211的代数余子式nn

n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A (3213)

3323132

322212*********、关于矩阵的逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的相似、矩阵合同（1）、AA -1=E ；AA*=[A]E;A -1=A*/[A]（2）、P -1AP=B ，称为B 与A 相似。（3）、P T AP=B ，称为B 与A 合同。当合同时：P T =P -1。称为P 矩阵正交。15、关于矩阵的秩、特征值、特征向量（1）、矩阵的秩：r(A)表示，所有N 阶为零，则秩为N-1。（2）、矩阵的特征值：AX=λX ；即满足方程：（A-λE ）=0的λ为特征值，然后根据每个特征值解出一个向量叫特征向量。

16、关于正交矩阵、矩阵的范数（1）、正二次型：对角线的为正，其余的为0.（2）、范数：（XX ）0.5。

17、关于概率论的几个概念：

（1）、和事件：A 、B 至少有一个要发生。记为B A ⋃（2）、积事件：A 、B 同时发生。记为B

A ⋂