中学数学求解最值问题的方法探寻-
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
初中数学求最大值最小值的方法
初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。
一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。
插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。
在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。
二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。
二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。
在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。
三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。
具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。
四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。
在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。
具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。
最值问题解法初探
最值问题解法初探作者：胡红娣来源：《考试周刊》2013年第95期摘要：最值是中学数学中的一个重要知识点，教材中没有系统地介绍极值的求法.本文从七个方面探讨了求初等函数最值的常用方法.关键词：初等函数最值问题求解方法中学数学的最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中有广泛的应用.中学数学的最值知识是进一步学习高等数学中最值问题的基础.最值问题历来是各类考试的热点，但教材中只是零散地介绍了几种求最值的方法.本文旨在归纳与总结，并系统地介绍几种求最值的方法.1.配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此法，中学大部分求极值的问题都是用此法求解的.2.换元法此类最值问题，往往是已知两个或两个以上变量的一个关系，求这些变量的另一个关系的最值.用函数极值法处理这一类最值时，需利用已知条件，将几个变量通过换元化为一个变量的关系，再求其最值，但换元过程中必须注意对元的取值范围的确定.3.不等式法不等式法是一种根据题设，利用基本不等式或不等式的性质进行求解的方法.4.判别式法所给函数式如能转化为以某个变量为主元的二次方程，则用判别式法求函数的最值是行之有效的.5.导数法各种类型的函数求最值的问题都可以用导数作为有力的工具来解决.5.1函数单调性判定定理若对？坌x∈（a，b），f′（x）>0或f′（x）5.2极值点概念若对定义在[a，b]上的可导函数f（x），对任意c∈[a，b]，使f′（c）=0的点叫做f（x）的极值点.5.3求函数最值的步骤5.3.1求函数f（x）的导数.5.3.2令f′（x）=0，解出极值点x■，x■…x■.5.3.3求f′（x）的导数f″（x）.当f″（x）0时取极小值.5.3.4计算函数各局部极值和定义域两端点的值，进行比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值.6.函数单调性法利用函数的单调性质，是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性.7.向量法本文系统地探讨了极值的七种求法.在实际解题中使用哪种方法，要根据具体的题目进行选择，灵活地运用.参考文献：[1]陈慧珍.关于一元函数的极值问题[M].武汉：武汉交通管理干部学报，1994（3，4）.[2]赵平中，刘海军，王文.高中物理中求极值问题的数学技巧[M].保定：保定师范专科学校学报，2002（10）：15.[3]薛金星.怎样解题[M].北京教育出版社.。
初中数学中最值问题解法的探讨
初中数学中最值问题解法的探讨【摘要】仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，也是初中数学中比较常见的题目。
而此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
我通过多年教学经验的积累，总结出最值问题的常用方法有“配方法、运用一次函数的性质、运用二次函数性质、运用基本不等式”。
本文举例介绍初中数学中有关最值问题的一些常用的方法和运用，仅供参考。
【关键词】初中数学最值问题配方法一次函数性质二次函数性质基本不等式求最值问题是一类常见的题型，这类问题没有固定的公式，需要结合图形集体分析后，灵活的运用各种数学思想、方法和解题技巧才能顺利的走出“最值”的问题，找到解题的途径。
而且仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。
纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。
为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。
本文通过我多年教学经验的积累总结，举例介绍出最值问题的一些常用的方法，仅供参考。
１运用配方法来求解最值问题配方法是中学数学解题中一种重要的方法，通常用于解一元二次方程及其演变而来的题型。
再求最值问题中也有着广泛的应用，而学生却经常忘记或者忽视这种方法。
在求最值问题时，通过配方，将代数式变形成“完全平方式”的形式，最后利用完全平方式在实数范围内具有非负性确定最值。
初中数学最值问题解题策略与技巧
初中数学最值问题解题策略与技巧【摘要】本文将探讨初中数学最值问题的解题策略与技巧。
文章将介绍最值概念并探讨其在数学问题中的应用。
接着，将详细讲解求解最值问题的基本步骤，并总结常见类型最值问题的解题技巧。
还将介绍如何利用代数方法和图像法解决最值问题。
结论部分将总结初中数学最值问题解题策略，强调练习对掌握解题技巧的重要性，并提出培养数学思维、提高解题能力的建议。
通过本文的学习，读者将更好地掌握解决最值问题的方法，提升数学学习成绩和解题能力。
【关键词】初中数学、最值问题、解题策略、技巧、概念、基本步骤、常见类型、代数方法、图像法、总结、练习、数学思维、解题能力。
1. 引言1.1 初中数学最值问题解题策略与技巧初中数学最值问题是学生在学习数学时经常遇到的难题之一，解题的策略与技巧对于学生的数学能力提高至关重要。
掌握解决最值问题的方法，不仅能够提高学生的解题速度，还可以锻炼学生的数学思维和逻辑推理能力。
最值概念在数学中是指在一组数中的最大值和最小值。
解决最值问题首先要对这一概念有清晰的理解，并能灵活运用到解题过程中。
而求解最值问题的基本步骤包括确定问题类型、建立数学模型、分析问题求解方式、检验答案的正确性等。
在解题过程中，常见类型最值问题的解题技巧包括利用函数最值性质、利用代数方法求解等。
学生可以通过掌握这些技巧来提高解题效率。
利用图像法也是解决最值问题的重要方法之一，通过绘制函数图像或几何图形来找到最值点。
初中数学最值问题解题策略与技巧的掌握需要不断的练习和实践。
只有通过大量的练习，才能真正掌握解题方法并提高解题能力，培养学生的数学思维，让他们在面对各种复杂的最值问题时能够游刃有余、灵活应对。
最终，希望学生们能通过解决最值问题，提高数学解题能力，为将来的学习和发展打下坚实基础。
2. 正文2.1 最值概念理解与应用最值概念在数学中是指一组数中的最大值和最小值。
在解决最值问题时，首先需要理解最值的概念并掌握其应用方法。
浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)
福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。
以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。
本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。
关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。
例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。
2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。
处理高中数学最值问题的方法探析
的取 值范 围进行讨论 ， 去 掉绝对值 ， 从 而简化题 目 ， 找
高中数 学内容 涉及很多 的公式 ， 尤其 是 三角 函数公 式非 常多 ， 使得学 生在三角 函数求最值 的题 型 中感觉无 从 下手 ，所 以高 中数 学教 师需要 帮助学生 灵活运 用公 式， 通过公 式变换 ， 利用函数的有界性求解最值．
则 函 ） 在 （ 一 ∞ ， ａ ］ 上 的 最 小 值 为 ） （ ÷ １ ＿ 叶 ． 依据具体条件求出最值．
２ ０ １ ５ 年 ９ 月
解 析 ） ＝ ｓ ｉ ｎ ＋ ２ ｓ ｉ 似ｃ 。 眦＋ ３ ｃ 。 ｓ ＝ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋
… 究 鍪
生在 利 用数 列 知 识 解 题 时 总 感 觉 力 不从 心 ， 无 法 找 到 正
ｆ （ ｘ ） 的最小值．
二、 根 据实 际情况 灵活 变换 数 学公 式 ， 借
卧 千 函 的 右 界 十 牛 卜 王 ｌ 目 晶信 ｆ ＝ － － ］ 颢
ห้องสมุดไป่ตู้
思路 分析 ： 由题 目中的已知 条件可知 ： 题 目中既 含 有 未知参数ａ ， 又含有绝对值 ， 解题 的关键是对未知参数
功率 。 体 现 了 函数 模 型 处 理 极 值 ｆ ， － ＇ Ｉ 题 的 优 越 性．
其他 知识点的联系也 比较 紧密 ， 在求解最值方 面也 不例
外． 高 中数学教 师在 指导学 生解 此类题 型 时 ， 应 引导 学
生善于建立函数模型 ， 利用 函数思想求解最值． 例１ 已知ａ 为实 数 ， 函数厂 （ ） ＋ ｉ ｘ — ａ ｌ ＋ ｌ ， 求 函数
例２ 已知 函数 厂 （ ） ＝ ｓ ｉ ｎ Ｚ ｘ ＋ ２ ｓ ｉ ｃ ｏ ＋ ３ ｃ ０ ｓ ， ∈Ｒ，
初中数学 如何求解三角函数的最值问题
初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。
下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。
1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。
因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。
-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。
因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。
-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。
2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。
-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。
-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。
-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。
3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。
解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。
然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。
f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。
最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。
例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。
解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中数学求线段最值的方法
初中数学求线段最值的方法初中数学中，求解线段的最值是一个基本的问题，它可以用来优化一些实际问题的解法，例如最短路径、最大收益、最小支出等。
本文将为大家介绍在初中数学中求解线段最值的方法，包括整体流程和每个环节的详细描述。
一、问题描述和基本概念假设有一条直线段AB，其中A(x1,y1)和B(x2,y2)是已知的点。
我们的问题是如何求出该直线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
我们需要了解一些基本的概念和知识：1. 直线段：由两个端点确定的线段，其中端点A是起点，端点B是终点。
2. 函数：将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素的规则。
通常用f(x)表示函数。
3. 函数的最值：给定一个函数f(x)，若存在x1，x2∈D，使得f(x1)≥f(x) ∀x∈D 或f(x2)≤f(x) ∀x∈D，则称f(x)在D上取得最大值或最小值。
4. 坐标系：用于描述点或图形位置的平面直角坐标系，由x轴和y轴组成、原点为(0,0)。
5. 勾股定理：在直角三角形ABC中，设直角边分别为a,b,斜边为c，则有c²=a²+b²。
二、分析求解思路和方法对于我们的问题，我们可以用函数来描述直线段AB上每个点P(x,y)的值。
为了方便，我们通常称这个函数为f(x)。
如果我们要求f(x)的最大值，则需要寻找使得f(x)取得最大值的点x值。
同理，如果我们要求f(x)的最小值，则需要寻找使得f(x)取得最小值的点x值。
基于这个思路，我们可以考虑用以下的方法来求解线段最值：1. 明确问题：首先需要明确问题的具体描述和目标，即要求线段上某个点P(x,y)的函数值的最大值或最小值。
2. 理解数据：仔细查看题目给定的图形或数据，注意理解每个点的坐标和重要的约束条件。
3. 定义函数：用函数f(x)来描述线段上每个点P(x,y)的值，需要注意函数的定义域D，即x的取值范围。
4. 求解方法：根据问题的不同，可以选用合适的求解方法来求解线段的最值。
巧求最值问题八种方法
如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感慨，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、 利用配方求最值例1：假设x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。
分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原式=1990)96(21)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990； 例2，设x 为实数，求y=312-+-xx x 的最小值。
分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。
由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-xx x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01=-x x ，解得x=1,于是当x=1时，y=312-+-xx x 的最小值是-1。
二、 利用重要不等式求最值例3：假设xy=1,那么代数式44411y x +的最小值是 。
分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：44411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。
中学数学求解最值问题的方法探寻-
中学数学求解最值问题的方法探寻数学的核心就是问题的解决，在科学研究和生产实践中，人们竭尽全力使耗量最少而成效最佳，因此最值问题是生产实践、科学研究和日常生活中无法回避的现实问题，同时它又是中学数学的重要内容之一。
对于最值问题的求解它没有通用的方法，根据所求的问题背景不同，涉及的数学模型也就不同，进而求最值的方法一般需要进行选择。
求解最值的问题，要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。
一、通过配方求最值这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。
用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。
例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10由此可知，当x=2，y=-1时，有最小值-10。
例2：求函数y=5sinx+cos2x的最值。
解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-）2+，可知，取sinx=1，即当x=2kπ（k∈Z）时，ymax=-2×+=4，取sinx=-1，即当x=π+2kπ（k∈Z）时，ymin=-2× + =-6。
评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的图像来求。
在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x=而sinx的最大值为1）。
这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。
二、通过均值不等式求最值均值定理构成的注意事项。
首先，我们应当关注如下的预备知识。
二元均值不等式：≥（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号）。
三元均值不等式：≥ ，（a>0，b>0，当且仅当a=b=c时取等号）。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
高中数学二元函数最值问题求解方法论文
高中数学二元函数最值问题求解方法浅析我们把形如z=f（x，y）的函数称为二元函数。
其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。
求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。
学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。
求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元——将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。
通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。
下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。
同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义——利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。
此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。
均值不等式法就体现了这一思想。
下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。
1. 配方法利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。
例1：求二元函数z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。
分析：原式配方得：z=（x2+y2-2） 2+（y+1）2+10，当且仅当x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，z的最小值是10例2：已知x∈r ，y ∈r，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。
分析：原式配方可得 u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，当且仅当x+y-12=0及y-1=0时即x=0，y=1时取最小值42. 消元法消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。
求最值问题的五种方法
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【专题研讨】
试析广告语在成功广告中的重要性
田子昂
（濮阳职业技术学院，河南 濮阳 457000）
摘要：广告是艺术和科学的融合体，而广告词又往往在广告中起到画龙点睛的作用。好的广告语就是品牌的眼睛，对
于人们理解品牌内涵，建立品牌忠诚都有不同寻常的意义。
关键词：广告语；广告；重要性
中图分类号：F713.8
=8-4sinxcosx-1+4cos2x-4cos4x =8-2sin2x-（1-sin22x） =7-2sin2x+sin22x =6+（1-sin2x）2 ymax=10，ymin=6。 解法2：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x =7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）
的最值。
解：将函数式变形为y= 4（3（scinoxsx--142）），只需求函数u=
. A操l、l羽毛R球ig的h活t动s ，R而e参s加er其v他e项d.目的人数少于20％。从学
生选课项目来看，多大部分学生选择娱乐性、非对抗性的项 目，如乒乓球、健美操、羽毛球等。新《纲要》特别强调，确定 体育课程内容的主要原则，即健身性与文化性相结合的原 则，不但把健康第一的指导思想作为确定课程内容的基本 出发点，同时重视课程内容的体育文化含量。随着生活的 富裕、体育社会化的开展，休闲体育也在高校内蓬勃发展， 体育活动逐渐向运动负荷小的休闲娱乐性的方向发展。新 时期大学生的知识结构、文化品味、个人素养相对提高，大 部分学生喜欢协调、优雅且韵律性较强的运动项目，他们多 以满足身心愉悦、增强健身意识为主要目的。现有的体育 活动课的形式还不能满足学生自我个性的发展，要扩大自 由度、自主权，积极开展服务于学生喜欢的娱乐性、休闲性 的运动项目。
中学数学最值问题方法探讨
在中学数学的教学和学习过程中，最值问题是一个重要的知识点，它涉及到许多数学概念和技巧的应用。
本文将探讨中学数学最值问题的解决方法，以期帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、最值问题的概念和分类最值问题是指在一定范围内，寻求最大或最小的数值问题。
根据不同的数学概念和解题方法，最值问题可以分为不同的类型，如代数最值问题、几何最值问题、三角函数最值问题等。
二、最值问题的解决方法1.代数最值问题解决方法对于代数最值问题，通常需要使用函数、不等式和方程等方法进行求解。
具体步骤如下：（1）分析题意，找出变量和参数，建立数学模型；（2）利用函数性质，如单调性、奇偶性等，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。
例如，求函数f(x)=x²+2x+1的最小值。
可以通过配方得到f(x)的最小值为1。
2.几何最值问题解决方法对于几何最值问题，通常需要使用几何图形、三角函数和向量等方法进行求解。
具体步骤如下：（1）根据题意，画出相应的几何图形；（2）利用三角函数性质和向量方法，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。
例如，求圆x²+y²=4上的点到直线y=x+b的最短距离。
可以通过三角函数求解得到最小距离为。
3.三角函数最值问题解决方法对于三角函数最值问题，通常需要使用三角函数的性质和公式进行求解。
具体步骤如下：（1）根据题意，确定变量和参数；（2）利用三角函数的性质和公式，求出最大或最小值；（3）结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果。
例如，求在三角形ABC中，已知A为锐角，a、b分别为内角A和B的对边，c为BC上的高，求bc的最大值。
可以通过正弦定理和余弦定理求解得到最大值为。
三、解题思路总结1.仔细审题，明确题意，找出变量和参数；2.根据不同的数学概念和解题方法，选择合适的解决方法；3.建立数学模型，利用数学方法求解最大或最小值；4.结合实际问题，进行验证和讨论，得出最终结果；5.总结解题思路和方法，加强理解和应用。
初中数学求最值问题的方法
・ ．
．
三 、 用 点 到 直 线 的距 离垂 线 段 最 短 求 最 值 利 【 ３ 如 图 ３所 示 ， 气 象 站 台 Ａ 的 正 西 方 向 例 】 在 ２ ０ｋ 的 Ｂ 处 有 一 台 风 中 心 ， 台 风 中 ｆ以 每 小 时 ４ ｍ 该 ， ｌ ２ ｍ的速 度 沿 北 偏 东 ６ 。 Ｂ 方 向移 动 ， 距 离 台 风 ０ ｋ ０的 Ｄ 在 中心 １０ｋ 内 的地 方 都 要 受 到 其 影 响 ． ３ ｍ
的平 方 ， 是 依 据 上 述 三 式 构 造 直 角 三 角 形 ＡＢ 如 于 Ｃ，
图 １ ．
评析 ： 由常数 特征 联 想到 几何意 义 ， 能巧妙 地 构造
图形 ， 难 为 易 化 （ 责任 编辑 ： 金 铃）
６ ０ 中学教学参考 （ 中旬）２ 【 －。总第 ２ ］ １ Ｏ９ ９期
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中学 教学 参考
解题 方法 与技巧
初中数学最值问题的解法探究
初中数学最值问题的解法探究梅宁宁【摘要】就初中数学最值问题中常用方法:线段法、换元法、判别式法、垂线段最短法、函数法作了探究,有利于提高学生的解题能力,减轻学生的学习负担,提高数学教学质量.【期刊名称】《宁波教育学院学报》【年(卷),期】2016(018)006【总页数】3页(P121-122,125)【关键词】初中数学;最值问题;换元法;判别式法;函数法【作者】梅宁宁【作者单位】宁海县越溪乡初级中学,浙江宁海315605【正文语种】中文【中图分类】G633.6初中数学中，最值问题一直是难点与重点题型之一。
由于求最值问题的题型范围比较广，命题角度比较宽，因而学生感到无从下手，找不到适当的切入点，导致思维阻滞，为了让学生开拓思维，提高分析能力，使学生从困境中解脱出来，先将常用解法举例如下。
例1：如图1，已知正方形ABCD边长为4，P为DC上的一点，且DP=1，Q为AC上一动点，求QD+ QP的最小值。
解：连接BQ、BP，设AC与BP交于点E，由点B、D关于AC对称知QB=QD，有QD+QP=QB+QP。
显然QB+QP≥BP，易知当Q运动到点E时，等号成立，即两点B、P之间距离线段BP最短。
由勾股定理得，而PC=4-1=3，有，从而QD+QP的最小值为BP=5。
析：上例运用了两点之间线段最短或用对称性与三角形三边关系求最值，为我们提供了一种思路。
触类旁通，由此派出一系列针对线段和差的最值问题的解题思路。
例2：若x、y、z均为非负数，且满足则可取得的最小值为（）（宁波市2015年初中毕业生学业考试甬真卷B数学试题第12题）。
解：设有x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，则由x、y、y均为非负数知解得当时，二次函数14t2+10t+6是增函数，从而当时，二次函数14t2+10t+6=达到最小值析：例中求含3个未知数的代数式的最小值，通过换元法巧妙地转化成含t的二次代数式，再利用二次函数的性质，求得最小值。
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中学数学求解最值问题的方法探寻
数学的核心就是问题的解决，在科学研究和生产实践中，人们竭尽全力使耗量最少而成效最佳，因此最值问题是生产实践、科学研究和日常生活中无法回避的现实问题，同时它又是中学数学的重要内容之一。
对于最值问题的求解它没有通用的方法，根据所求的问题背景不同，涉及的数学模型也就不同，进而求最值的方法一般需要进行选择。
求解最值的问题，要求学生有坚实的数学基础，具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。
一、通过配方求最值
这是一种应用甚广的基本方法，也是处理多元函数最值问题比较有效的方法。
用配方法求最值问题的基本思路是设法将问题通过变式配成若干个完全平方式之和的形式，然后根据一元二次函数的单调性进行求解。
例1: 2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值为多少？解：原式二（x+2y）
2+ （x-2）2+（y+1）2-10
由此可知，当x=2，y=-1 时，有最小值-10。
例2:求函数y=5sinx+cos2x的最值。
解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-）2+，
可知，取sinx=1，即当x=2k n （k€ Z）时，ymax=-2x +=4 取sinx=-1，即
当x= n +2k n k € Z）时，ymin=-2 x + =-6
评注：用配方法求最值问题的依据是把问题转换成二次函数，结合二次函数的
图像来求。
在最后一步把数据代入配方得到的式子中要注意自变量的取值范围，也
就是确定定义域的范围（如例2中对称轴是x二而sinx的最大值为1）。
这种方法适用于求二次函数的最值或可转化为与二次函数有关的最值问题。
二、通过均值不等式求最值
均值定理构成的注意事项。
首先，我们应当关注如下的预备知识。
二元均值不等式：>（a>0, b>0,当且仅当a=b时取等号）。
三元均值不等式：> ,（a>0, b>0,当且仅当a=b=c时取等号）。
n元均值不等式：> （a1>0, a2>0,…，an>0,当且仅当a1=a2= —=a时取不等号）。
同时，在运用均值不等式求最值时应注意以下三点。
1. 函数解析式中各项均为正数。
2. 函数的解析式中含有变数的各项的和或积必须有一个定值。
3. 含变数的各项均相等时才能取得最值。
例3:求函数y （x>-1且a>0）的最小值.
解：y二ax+ +（1-a）=a（1+x）+ +1-2a>2H-2a=1，当且仅当 a （x+1）二，即x=0时等号成立，所以y的最小值为1满足其等号成立的条件，若不满足则改用其他方法，如单调性。
三、通过数形结合法求最值
数形结合法在中学数学教学过程中的应用十分广泛，它的主要思路是代数和几何思想的完美结合。
通常是在解决代数问题时，纯代数方法有时很难达到目的，这时把几何的思想渗透进来，往往问题能得到较好的解决。
例4：若a、b是小于1的正数，证明：
+ + + >2
证明：作边长为1的正方形ABCD分别在AB、CD上取AE=a AG=b，过E、G 作EF// AD, GH// AB,交DC于F, BC于H, EF与GH交于0,连结0A、OB、OC、OD、BD、AC.
0B=,0C=,0D= .而0A+0C> A,C0B+0D>
二0A=,
故+ + + >2 .
评注：所有数形结合就是代数与几何结合起来探寻解决问题的方法。
其应用范围在于用纯粹的代数思想很难解决的代数问题时，可借助相关的几何图形，根据几
何性质能有助于我们把复杂问题简单化。
四、利用函数单调性求最值
先判明函数给定区间上的单调性，而后依据单调性求函数的最值。
1.对于一次函数、指数函数、对数函数等单调递增或单调递减的函数，若定义域的闭区间，女口x€ ［m , n］，则f (m)与f (n)中较大者为最大值，较小者为最小值。
2.求二次函数f (x) =ax2+bx+c在［m , n］上的最值时，先判定对称轴x=-是否属于［m，n］,若x=-€ ［m, n］,贝S f (m)、f (n)与f (-)中较大者是最大值，较小者是最小值，若x=-?埸［m, n］则f (m)与f (n)中较大者为最大值，较小者为最小值；若二次函数f (x) =ax2+bx+c的定义域为R,当a>0时，有最小值ymin二.当a0 时f (x)解：令x仁x2=0,则f (0) =f (0) +f (0),f (0)
=0.
令x仁x, x2二-x,则 f (x) +f (-x) =f (0) =0, /. f (x) =-f (-x), /. f (x) 为奇函数。
设x1, x2€ R,且x10,f (x2) -f (x1)=
f(x2) +f(-x1) =f(x2-x1) -2)的最大值。
分析：此题为含根号的分式函数,不能直接运用均值不等式求最值,考虑分子常数化,变形后对分母用均值不等式。
解：设=t，则x=t2-2,故y= ? = ? < ?=当且仅当t+仁且t>0,即t=-1,
x=2-2时，等号成立，即所求的最大值为.
2.三角换元。
三角函数中的求最值问题因其注重数学知识间的交叉、渗透, 解法灵活多变,突出对思维的灵活性和严密性的考察,历来都是高考中的常见题型。
学生在解决这些问题的过程中常常由于个别环节上的疏漏而导致失误丢分。
下面通过对典型错解例题的剖析,揭示题型规律,提高解题的准确性。
例9:已知a2+b2<2 c2+d2w,求ac+bd的最大值。
分析：若这道题直接运用不等式进行解题可能会产生错解，因为
2ac < a2+c22bd < b2+d2 所以ac+bd < =3
但其中取等号的条件a=c, b=d才能成立。
于是得到a2+b2=c2+d2,与已知相矛盾。
在这种情况下，我们应用三角函数替代得到a= cos a b= sin a
c=2cosB, d=2s in伏代入原式得到一道简单的三角函数题。
解解设a=cos a b=sin a c=2cos g d=2sin g 贝U ac+bd=2
(cos a cos g +si n a)i=2g os (a g < 2 , •••当且仅当cos ( a- g) =1 时，即
(a=b=1 , c=d=或a=b=-1 , c=d=-成立时取等号)，• ac+bd 的最大值为 2 .
评注:换元的方法形式多种多样有的甚至涉及到多步换元或多种换元相互运用我们要注意的是不管怎样变换其变换的取值范围都不能改变。
这种方法有助于我们把复杂的式子简单化利于我们求解。
七、结语
近几年的高考题往往会在函数、三角、立体几何、解析几何等知识的交汇点处命题注重知识之间的交叉、渗透和综合性。
求函数的最值时首先要仔细、认真观察其题型特征然后再选择恰当的方法。
一般优先考虑配方法、数形结合法、函数单调性法和基本不等式法然后再考虑其他各种特殊方法。
在以上介绍的方法中最简单的方法是配方法和单调性法最重要的方法是基本不等式法。
总之以上各种方法需要灵活应用有些题目可用多种方法只有熟练掌握各种方法才能在解题中做到得心应手根据具体的题目选择最好的方法。