拉格朗日乘数法word版
使用拉格朗日乘数法计算最速降线
使用拉格朗日乘数法计算最速降线【原创版】目录1.引言2.拉格朗日乘数法的基本原理3.最速降线的定义和求解方法4.使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤5.结论正文1.引言在物理学中，最速降线问题是一个经典的力学问题。
它描述了一个物体在重力作用下，从一点到另一点的最短时间路径。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法来求解。
拉格朗日乘数法是一种数学方法，可以将带有约束条件的最优化问题转化为一个无约束条件的极值问题。
在本文中，我们将使用拉格朗日乘数法来计算最速降线。
2.拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。
它将一个有 n 个变量与 k 个约束条件的最优化问题转换为一个有 n+k 个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。
这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。
3.最速降线的定义和求解方法最速降线是指一个物体在重力作用下，从一点到另一点的最短时间路径。
求解最速降线的方法可以分为两类：一类是基于微分几何的方法，另一类是基于最优化方法的方法。
其中，拉格朗日乘数法是一种基于最优化方法的求解最速降线的方法。
4.使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤使用拉格朗日乘数法计算最速降线的步骤如下：（1）首先，根据物体的运动方程，得到物体的速度和加速度。
（2）其次，根据最速降线的定义，构建一个带有约束条件的优化问题。
约束条件通常是物体在运动过程中不能超出一定的边界。
（3）然后，引入拉格朗日乘数法，将带有约束条件的优化问题转化为一个无约束条件的极值问题。
（4）接着，求解得到的方程组，得到物体在运动过程中的速度和加速度。
（5）最后，根据物体的速度和加速度，求解物体在最短时间内到达终点的路径，即最速降线。
5.结论拉格朗日乘数法是一种有效的求解最速降线的方法。
通过引入拉格朗日乘数，可以将带有约束条件的最优化问题转化为一个无约束条件的极值问题。
多条件极值 拉格朗日乘数法推导
多条件极值拉格朗日乘数法推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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条件极值拉格朗日乘数法
Fx (x0 , y0 , z0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
通过点M ( x0 , y0 , z0 )而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线.
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程：
Fy Gy
Fz Gz
x
x0
Fz Gz
Fx Gx
y
y0
Fx Gx
Fy Gy
z
z0
0
例2、求曲线 x2 y2 z2 6 , x y z 0 在点
（ 1 ，-2 ，1）处的切线及法平面方程。
解：
2 y 2z
T
1
1
即：
2z 2x ,
11
2x 2y
, 1
1
1, 2 ,1
T
1
,
y
' t
2t
,
z
' t
3t 2
在（ 1 ，1 ，1 ）点对应参数为 t = 1
T
1
,
2
,
3
切线方程：
x1 y1 z1
1
2
3
法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0
即： x + 2 y + 3 z = 6
2
y x
:
z
x
M0 x0 , y0 , z0
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 , 曲面在M处的法线方程为
第八章_拉格朗日乘子法
应用力学研究所
第10页
§8.1 Lagrange第一类方程
例8-2 质量为m1的质点A，放在倾角为α、质量
y
B( x2 , y2 )
m1g
A( x1 , y1 )
为m2的三角形楔块的斜边上，楔块又可在水平面
上滑动。不计摩擦，适用Lagrange第一类方程求 质点和楔块的加速度以及它们所受的约束力。 解：系统的约束方程
应用力学研究所 李永强 第6页
§8.1 Lagrange第一类方程
Fi mi i A ,i 0 x
1
d g
i 1, 2,
,3 n
这就是LagrangeΒιβλιοθήκη 一类方程3 解法：联合
d g x Fi mi i A ,i 0 1 f x1 , x2 , , x3n , t 0 3n A ,i xi D 0 i 1
系统为完整系统。
应用力学研究所 李永强 第9页
2
2
2
§8.1 Lagrange第一类方程
小球A受到的主动力为重力，沿负x2轴方向，即有
F1 = F3 = 0，F2 = -mg
系统的完整约束的个数 d = 2，
A ,i f xi
代入Lagrange第一类方程
1,2, , d
4 Lagrange乘子的物理意义
假设质点系仅受一个含时间的几何约束， f x1 , x2 ,, x3n , t 0
则Lagrange第一类方程写成
Fi mi i x f 0 xi
i 1, 2, ,3n
如上述约束所引起的对第 i 个质点的约束反力为Ni ，则由达朗伯原理，存在:
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法（拉格朗日乘子法）
首先关于φ(x,y)的偏导数：即多元函数对某一变元求导
例如φ(x,y)=
则其对x的偏导数为：=2x+y
其对y的偏导数为：=2y+x
做法：假设限制条件为φ(x,y)=M，目标函数f(x,y)。
则引入新变量使，
则用偏导数方法列出方程：
解出想x、y与，代入目标函数即可得到极值。
那该如何理解：
考虑两个变元的情况，
如上图，当f(x,y)取不同值时，得到一簇曲线，其类似于等高线。
当f(x,y)取不同值时，若f(x,y)和φ(x,y)=M有且只有一个交点时，取得最大值，在该点的法向量共线。
上面的方法就是求这个交点的方法。
原理我也不太清楚。
例题：设x,y为实数，若=1,则2x y的最大值是令f(x,y)= 2x y，φ(x,y)=
F(x,y,)= 2x y+()
求偏导数：=2+(8x+y)=0
=1+(2y+x)=0
两方程联立：可得2x=y，代入方程
解得：y=
则：2x y
令f(x,y)=, φ(x,y)=
F(x,y,)=+()
偏导数：=2x+(8x-5y)
=2y+(8y-5x)
显然易得=时方程成立
解得，==。
不等式约束拉格朗日乘子法
不等式约束拉格朗日乘子法摘要：一、引言二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍2.拉格朗日乘数法的基本思想三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内2.极值点在可行域外四、拉格朗日乘数法的优势与局限性五、结论正文：一、引言拉格朗日乘数法作为一种优化算法，主要用于解决条件极值问题。
在不等式约束的情况下，拉格朗日乘数法同样可以发挥作用。
本文将从不等式约束的拉格朗日乘数法的基本思想和应用入手，详细介绍这一方法在不等式约束问题中的应用。
二、不等式约束的拉格朗日乘数法概述1.背景介绍在实际问题中，我们常常会遇到一些带有约束条件的优化问题。
例如，在经济学中，资源有限的情况下，我们需要在多种生产要素之间进行优化选择，以实现利润最大化。
这类问题中，约束条件往往表现为不等式形式，如生产要素的边界条件、技术水平等。
2.拉格朗日乘数法的基本思想拉格朗日乘数法的核心思想是将原始问题转化为一个新的问题，通过求解新问题来间接地解决原始问题。
在新问题中，原始问题的约束条件被转化为拉格朗日乘数项，通过引入拉格朗日乘数项，我们可以将原始问题的约束条件转化为函数的形式，进而利用导数等工具求解最优解。
三、不等式约束的拉格朗日乘数法的应用1.极值点在可行域内当极值点落在可行域内时，我们可以通过构建拉格朗日函数，并求解其梯度方程来找到最优解。
在这个过程中，我们需要分别讨论极值点在可行域内的不同情况，如极值点在可行域内的某个角点、极值点在可行域内的边界等。
2.极值点在可行域外当极值点落在可行域外时，最优解往往出现在可行域的边界上。
此时，我们需要通过求解拉格朗日函数在边界上的最小值来找到最优解。
同样，我们需要根据极值点在可行域外的具体位置，分情况讨论求解问题。
四、拉格朗日乘数法的优势与局限性拉格朗日乘数法在不等式约束问题中的应用具有一定的优势，如易于理解和实现，能够有效地处理有界闭区域上的最值问题等。
然而，拉格朗日乘数法也存在一定的局限性，如在处理非凸优化问题时，可能存在多个极值点，需要通过其他方法进一步筛选。
拉格朗日数乘法
拉格朗日乘数法专门用来解决带有限制条件的多元函数极值。
我们有连续可导二元函数z=f(x,y)并且有限制条件ϕ(x,y)=0那么我们要求的是z=f(x,y)在该限制条件下的极值。
首先构造函数gg(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)现在问题变成了类似于我要对g(x,y)求极值，因此就变成了∂g(x,y)∂x=0∂g(x,y)∂y=0∂g(x,y)∂λ=0整理可得{Fx′=fx′(x,y)+λϕx′(x,y)=0Fy′=fy′(x,y)+λϕy′(x,y)=0Fλ′=ϕ(x,y)=0三个方程组联立，就得到了限制条件下的z的极值。
那么问题来了，为什么这种方法是奏效的？推导过程假设我们有函数f(x)，并且存在一个限制函数g(x)=0，我们要找f(x)的最大值。
这里x是D维向量。
x=[x1,x2,...,xD]那么限制方程g(x)=0，就是一个D-1维的限制曲面。
（很好理解吧？自由度少了1）考虑在限制曲面上的点x，以及同样位于这个限制曲面上的另一个临近点x+ϵ。
在x处对这个曲面上的临近点进行泰勒展开，则有g(x+ϵ)≈g(x)+ϵT∇g(x)* 一阶泰勒展开就简单理解为物理学的匀速运动方程，s1=s0+vt* ϵT：就是临近点的微小偏移，并且跟x一样是D维的，之所以有转置符号，是为了和后面的梯度做点乘，记住g是一个数* ∇ g(x)：我是对g(x)作泰勒展开，这个就是一阶导，即梯度那么我们首先应该注意到，g(x)=0，所以显然g(x)=g(x+ϵ)那么显然ϵT∇g(x)≈0在极限条件||ϵ||→0的情况下，我们有ϵT∇g(x)=0也就是说这俩向量垂直。
由于ϵ平行于限制曲面，那么∇g只能正交(垂直)于曲面。
接下来寻找限制曲面的一点x∗，使得f(x)最大。
那么我们假想一下，如果我们找到了这个x∗，在这个平面上f(x)是最大的，那么在这一点上，∇f(x)一定也正交于此限制曲面。
如果这个性质不满足，那么就余地让x∗稍微沿着梯度上升方向再挪那么一点，使得f(x)更大。
(完整word版)拉格朗日乘数法.doc
1. 应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1） f ( , )x 2y 2,若 x y 1 0;x y（2） f ( x, y, z,t ) x y z t, 若 xyzt c 4 （其中 x, y, z,t , 0, c 0 ）；（3） f ( x, y, z) xyz ，若 x 2 y 2 z 21, x y z0 .解 (1) 设 L( x, y,) x 2 y 2( x y 1) 对 L 求偏导数 ,并令它们都等于 0,则有L x 2x 0, L y 2 y0,L zx y 1 0.解之得x y 1 , 1.由于当 x, y时 ,f.故函数必在唯一稳定点处2 1 1 1取得极小值 , 极小值 f ( ,2 ) .2 2(2) 设 L (x, y, z, t,) x y zt( xyzt c 4 ) 且L x 1 yzt 0, L y 1xzt 0, L z1 xyt 0, L t 1xyz 0,Lxyzt c 40,解方程组得 x y z t c. 由于当 n 个正数的积一定时 ,其和必有最小值 ,故 f 一定存在唯一稳定点 (c, c ,c, c)取得最小值也是极小值 ,所以极小值 f(c, c ,c, c)=4c .(3) 设 L( x, y, z, ,u)xyz( x 2 y 2z 2 1) u( xy z) ,并令L x yz 2 x u 0, L y xz 2 y u 0, L z xy 2 z u 0,L x 2 y 2z 2 10,L ux y z 0,解方程组得x, y, z 的六组值为 :1 2 1 1 1 x1 xxxxx66 6 6 6 61 12 1 , y2 2 y , y , y , yy.6 6 66662 1 1 2 1 z1 zz z z z6666 66又 f (x, y, z) xyz 在有界闭集{( x, y, z) | x 2 y 2 z 21, x y z0}上连续 ,故有最值 .因此 ,极小值为f ( 1 , 1,2 ) f (2 , 1 , 1 )3 1 ,6 666666极大值为f (1 , 1 ,2 ) f ( 2, 1 , 1 ) 3 1 .66666662.(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
拉格朗日乘子法
11.2(b)
z Describe how a wavefunction determines the dynamical properties of a system and how those properties may be perdicted.
z 1. In quantum mechanics all dynamical properties of a physical system have associated with them a corresponding operator. The system itself is described by a wavefunction.
11.1（b）
z Explain why Planck’s introduction of quantization accounted for the properties of black-body radiation
z 1. explain the energy density distribution of the radiation as a function of wavelength, in particular ,the observed drop to zero as λ 0
∂F ∂x1
=
0
=
∂f ∂x1
+ C1
∂y1 ∂x1
+ C2
∂y2 ∂x1
+ LCm
∂ym ∂x1
L
∂F ∂xn=来自0=∂f ∂xn
+ C1
∂y1 ∂xn
+ C2
∂y2 ∂xn
+ LCm
∂ym ∂xn
z 很显然，这n 个方程式已经巧妙地把约束条件融合到求解的要求之中 了。拉格朗日就是这样把约束条件的信息放到了求解进程中了。
拉格朗日乘数法解方程技巧
拉格朗日乘数法解方程技巧（原创实用版3篇）目录（篇1）1.引言2.拉格朗日乘数法的基本原理3.拉格朗日乘数法解方程的步骤4.拉格朗日乘数法解方程的优点和限制5.结论正文（篇1）一、引言拉格朗日乘数法是一种常用的数学方法，用于解决包含一个或多个约束条件的优化问题。
该方法起源于18世纪法国数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的研究成果，具有广泛的实用价值。
二、拉格朗日乘数法的基本原理拉格朗日乘数法的基本思想是将约束条件转化为等式，并通过求解优化问题的函数来求解方程。
这种方法基于一个基本公式：对于一个包含n 个变量和m个约束条件的优化问题，其目标函数可以表示为：f(x1, x2, ..., xn) = f(x1, x2, ..., xn, lambda1, lambda2, ..., lambdam)其中，lambda1, lambda2, ..., lambdam是约束条件。
通过求解这个函数，可以得到一组方程，这些方程包含了变量和约束条件的信息。
三、拉格朗日乘数法解方程的步骤1.定义目标函数和约束条件。
2.将约束条件转化为等式，并添加到目标函数中。
3.求解目标函数，得到一组方程。
4.解方程得到变量的取值。
5.检查解是否满足约束条件。
如果不满足，则重新求解目标函数，直到得到满足约束条件的解。
四、拉格朗日乘数法解方程的优点和限制1.优点：拉格朗日乘数法提供了一种简洁的方法来处理包含约束条件的优化问题。
这种方法允许我们在优化过程中同时考虑约束条件，避免了传统方法中需要额外求解子问题的缺点。
此外，拉格朗日乘数法还可以处理具有多个变量和约束条件的复杂问题。
2.限制：拉格朗日乘数法虽然可以处理包含多个约束条件的优化问题，但它的计算复杂度较高。
对于大规模的问题，可能需要使用数值优化算法来加速计算过程。
此外，对于一些特殊类型的约束条件，例如非线性约束条件，拉格朗日乘数法可能无法直接应用。
(完整word版)拉格朗日乘数法
（2）设长方体的长、宽、高分别为 ，体积为 ,则表面积 ,
限Hale Waihona Puke 条件: .设并令 解得
故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
3.求空间一点 到平面 的最短距离.
解:由题意,相当于求 在条件 下的最小值问题.由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在.
设 且
由(1),(2),(3)得 , , .
1.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：
（1） 若
（2） 若 （其中 ）；
（3） ，若 .
解(1)设 对L求偏导数,并令它们都等于0,则有
解之得 由于当 时, .故函数必在唯一稳定点处取得极小值,极小值
(2)设 且
解方程组得 由于当n个正数的积一定时,其和必有最小值,故f一定存在唯一稳定点(c, c ,c, c)取得最小值也是极小值,所以极小值f(c, c ,c, c)=4c .
(3)设 ,并令
解方程组得 的六组值为:
, , , , .
又 在有界闭集
上连续,故有最值.因此,极小值为
极大值为
2.(1)求表面积一定而体积最大的长方体；
（2）求体积一定而表面积最小的长方体。
解：（1）设长方体的长、宽、高分别为 ，表面积为 ，
则体积为 ，限制条件为 。
设
并令
解得 。
因此求长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值 。
代入(4)解得 .
所以
故 为所求最短距离.
4.证明:在 个正数的和为定值条件 下,这 个正数的乘积 的最大值为 .并由此结果推出 个正数的几何中值不大于算术中值 .
证:设 ,
, ,
多元函数极值与拉格朗日乘数法
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
二元函数lagrange乘数法
二元函数lagrange乘数法拉格朗日乘数法是一种在求解有约束条件的优化问题时常用的方法。
它的核心思想是通过引入一个称为拉格朗日乘数的参数，将含有约束条件的问题转化为不含约束条件的问题。
这种方法在经济学、物理学和工程学等领域中都有广泛应用。
我们首先来考虑一个简单的无约束优化问题，即找到一个函数f(x)使得f(x)在某个区间上取得极值。
在这种情况下，我们可以通过求解f'(x)=0来获得极值点。
然而，当问题涉及到有约束条件的优化问题时，我们的目标是找到一个函数f(x)在满足一定约束条件下取得极值。
这时，我们需要对约束条件进行建模，并将其与目标函数相结合。
设我们要求解的问题为：最大化或最小化目标函数f(x)在满足约束条件g(x)=0的情况下其中x为一个n维向量，代表问题的解。
f(x)和g(x)分别为目标函数和约束函数，它们都是关于x的函数。
为了使用拉格朗日乘数法解决这个问题，我们首先构建一个新的函数，称为拉格朗日函数：L(x,λ)=f(x)+λg(x)其中，λ是一种我们引入的拉格朗日乘数，它是一个标量。
接下来，我们通过求解拉格朗日函数的梯度为0的点来找到问题的解。
即：∇L(x,λ)=0我们可以将∇L(x,λ)拆解成两个部分：∇L(x,λ)=∇f(x)+λ∇g(x)=0根据这个方程，我们可以通过求解来找到最优解x和对应的拉格朗日乘数λ。
需要注意的是，拉格朗日乘数法通常只能找到局部最优解，而不一定是全局最优解。
此外，可能存在多个极值点，因此我们需要进行合理的判断和选择。
举一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法的应用。
假设我们要找到函数f(x, y)=x^2+y^2的最小值，但是有一个约束条件x+y=1。
首先，我们构建拉格朗日函数：L(x, y, λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)接下来，求解∇L(x, y, λ)=0：∂L/∂x=2x+λ=0∂L/∂y=2y+λ=0∂L/∂λ=x+y-1=0解这个方程组，我们可以得到满足约束的最小值点(x, y)和对应的拉格朗日乘数λ。
2021年高考数学拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法对于给定二元函数(,)z f x y =和附加条件(,)0x y ϕ=，为寻找(,)z f x y =在附加条件下的最值，先构造拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+，其中λ为参数．然后分解为几个不同部分，同时利用不等式求最值，再利用等号成立条件求出参数λ的值回代即可．范例：已知ax by k +=，其中a ，b ，x ，y 均为正数，求d e x y +最小值．步骤：构造拉格朗日函数()(0)d e L ax by k x yλλ=+++->，则()()d e L ax by k k x yλλλλ=+++-，当且仅当d ax xλ=，e by y λ=时即x y =L 取得最小值．例3已知11112x y z ++=，其中x ，y ，z 均为正数，求222x y z ++得最小值．解答：解法一：12224()2x y z x y z ++=++1114()()x y z x y z=++++4(3)x x y y z z y z x z x y =++++++4(3)x y x z y z y x z x z y=++++++4(3222)36+++=≥，当且仅当6x y z ===时等号成立，所以222x y z ++得最小值为36．解法二：1111222222()2x y z x y z x y z λ++=+++++-(2(2)(2)22x y z x y z λλλλλ=+++++-，当且仅当6x y z ====时等号成立，所以222x y z ++得最小值为36．变式1已知正数a ，b 满足1a b +=，求证：228127a b +≥．解答：解法一引入常数λ(0)λ>，222281812(1)a b a b a b λ++++-=2281()()2a a b b a b λλλλλ=+++++-。
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数(,)z f x y =在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数(,)(,)(,)L x y f x y x y λϕ=+其中λ为参数.求其对x 与y 的偏导数，并使之为0.即联立方程组：00L x L yL λ⎧∂=⎪∂⎪∂⎪=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩由这个方程组解出,x y 及λ，这样得到的(,)x y 就是函数(,)f x y 在附加条件(,)0x y ϕ=下的可能极值点.例1. 求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三条棱长分别为,,x y z ，则问题转化为求在条件2(,,)2220x y z xy yz xz a ϕ=++−=下，函数(0,0,0)V xyz x y z =>>>的最大值.作拉格朗日函数2(,,)(222)L x y z xyz xy yz xz a λ=+++−对,,x y z 和λ分别求偏导数，有22()02()02()02220x y z L yz y z L xz x z L xy x y L xy yz xz a λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++−=⎩ 解得6x y z a ===这是唯一可能的极值点.所以，表面积为2a 的长方体中，体积最大的长方体的体积为336a . 例2. (2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)曲线22231x xy y −−=上的点到坐标原点的距离的最小值为 .解 作拉格朗日函数2222(,)(231)L x y x y x xy y λ=++−−−对,,x y λ分别求偏导数并令其等于0，有22222022602310x y L x x y L y x y L x xy y λλλλλ⎧=+−=⎪=−−=⎨⎪=−−−=⎩ 由前两个式子可以得到，3x y x y x y−=+，即2240x xy y +−=，再因式分解，得[(2][(2]0x y x y ++=即(2x y =−+①或2)x y =−②①式代入条件222310x xy y −−−=，有22221(104y x y y +=⇒+=+= ②式代入条件，有20y =< 这显然不可能，故(,)f x y 有唯一可能的极值点00(,)x y ，且满足220014x y += 故曲线22231x xy y −−=.。
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§4 条件极值(一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值．(二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法．基本要求：(1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法．(2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握．(2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题．(3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给较好学生．在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为xy yz xz z y x S ++=)(2),,(这实际上是求函数 ),,(z y x S 在xyz V = 限制下的最小值问题。
这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件)(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。
例如，求马鞍面 122+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。
请看这个问题的几何图形（x31马鞍面）从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
二. 条件极值点的必要条件 设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有0)(='+=x g f f dxdzy x . 代入 ),(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,( 以下x f 、y f 、x ϕ、y ϕ均表示相应偏导数在点),(00y x 的值 . ) 即 x f y ϕ—y f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= . 可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使(x f ,y f ) + λ(x ϕ,y ϕ)0=.亦即⎩⎨⎧=+=+. 0 , 0y yx x f f λϕλϕLagrange 乘数法 : 由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+.0),(, 0),(),(,0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ的解.引进所谓Lagrange 函数),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )则上述方程组即为方程组⎪⎩⎪⎨⎧===.0),,( , 0),,(, 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x因此，解决条件极值通常有两种方法 1）直接的方法是从方程组（１）,,,2,1,0),,,(21m k x x x n k ==ϕ中解出 m x x x ,,,21 并将其表示为m k x x x g x n m m k k ,,2,1,),,,(21 ==++代入 ),,,(21n x x x f 消去 m x x x ,,,21 成为变量为 n m x x ,,1 +的函数),,(),,,,,(),,(1111n m n m m n x x F x x g g f x x f ++==将问题化为函数 ),,(1n m x x F + 的无条件极值问题；2）在一般情形下，要从方程组（1）中解出 m x x x ,,,21 来是困难的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。
通常采用的拉格朗日乘数法，是免去解方程组（1）的困难，将求 ),(1n x x f 的条件极值问题化为求下面拉格朗日函数 ∑=+=mk n k k n m n x x x x f x x L 11111),,(),,(),,;,,( ϕλλλ的稳定点问题，然后根据所讨论的实际问题的特性判断出哪些稳定点是所求的极值的。
一.用Lagrange 乘数法解应用问题举例 :例1 抛物面z y x =+22被平面1=++z y x 截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离.例3求函数xyz z y x f =),,( 在条件)0,0,0,0( 1111>>>>=++r z y x rz y x 下的极小值. 并证明不等式 311113abc c b a ≤⎪⎭⎫⎝⎛++-, 其中 cb a , , 为任意正常数 .现在就以上面水箱设计为例， 看一看拉格朗日乘数法求解条件极值的过程解： 这个问题的实质是求函数 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 在条件 0=-V xyz 下的最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令 L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx =2*z+y+v*y*zdLdy =2*z+x+v*x*zdLdz =2*x+2*y+v*x*ydLdv =x*y*z-V令Ｌ的各偏导等零，解方程组求稳定点s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v =[-2*2^(2/3)/V^(1/3)][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1 /3))^2/V][ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1 /3))^2/V]x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)] y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)] z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]这里显然只有实数解才有意义， 所以 Ｌ 的稳定点只有下面一个33221,2V z V y x ===又已知所求的问题确实存在最小值，从而解出的稳定点就是最小值点， 即水箱长宽与为高的２倍时用钢板最省。
下面再看一个条件极值求解问题 例2 抛物面 z y x =+22 被平面 1=++z y x 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长最短距离。
(x73)解 这个问题的实质是求函数 222),,(z y x z y x f ++= 在条件 022=-+z y x 与 01=-++z y x 下的最大、最小值问题， 应用拉格朗日乘法，令L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)'; dLdx=diff(L,'x') dLdy=diff(L,'y') dLdz=diff(L,'z') dLdv=diff(L,'v') dLdh=diff(L,'h') dLdx =2*x+2*v*x+hdLdy =2*y+2*v*y+hdLdz =2*z-v+hdLdv =x^2+y^2-zdLdh =x+y+z-1s1='2*x+2*v*x+h';s2='2*y+2*v*y+h';s3='2*z-v+h';s4='x^2+y^2-z';s5='x+y+z-1';[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5); x0,y0,z0x0 =[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ 3/4+1/4*i*13^(1/2)][ -1/2+1/2*3^(1/2)][ -1/2-1/2*3^(1/2)]y0 =[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)][ 3/4-1/4*i*13^(1/2)][ -1/2+1/2*3^(1/2)][ -1/2-1/2*3^(1/2)]z0 = -1/2， -1/2， 2-3^(1/2)， 2+3^(1/2) 即 L 的稳定点有两个32,23132,231222111+=--==-=+-==z y x z y x 因为函数 ),,(z y x f 在有界闭集}1,|),,({22=++=+z y x z y x z y x 上连续，必有最大值和最小值，而求得的稳定点又恰是两个，所以它们一个是最大点， 另一个是最小，其最大 最小值为。
(x73)x1=-1/2+1/2*3^(1/2); x2=-1/2-1/2*3^(1/2); y1=-1/2+1/2*3^(1/2); y2=-1/2-1/2*3^(1/2); z1=2-3^(1/2); z2=2+3^(1/2);f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2) f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2) f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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