北师大版高中数学必修《函数的单调性》PPT(新版)1
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2.3函数的单调性 课件-北师大版高中数学必修1
单调性的定义
在函数y f (x)的定义域内的一个区间A 上，
y
抽
如果对于任意两数x1, x2 A, 当 x11 xx22 时，都有 ff((xx11)) ff((xx22)) ，
那么，就称函数y f (x)在区间A上是增加 的，
象
有时也称函数y f (x)在区间A上是递增 的. 区间A 称为函数的单调增区间.
一般地，对于函数y f (x),其定义域为D,如果存在x0 D, f (x0 ) N , 使得对于任意的x D，都有（f x) N ,那么，我们称N是函数y=f (x) 的最小值， 即当x x0时，f (x0 )是函数y f (x) 的最小值，记作ymin N.
导入课题 新知探究 例题讲解 课堂小结 布置作业
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最大值、最小值的定义
一般地，对于函数y f (x),其定义域为D,如果存在x0 D, f (x0 ) M , 使得对于任意的x D，都有（f x) M ,那么，我们称M 是函数y=f (x) 的最大值， 即当x x0时，f (x0 )是函数y f (x) 的最大值，记作ymax M .
y
4
例
3
分
2
析
1
二次函数y=x2 ,在区间( ，0)内，函数值
随着自变量的增大而 减小 ，从图像上看， 在y左侧,从左到右是 下下降降 的； 在区间(0, )内，函数值随着自变量的增 大而 增增大大 ，从图像上看，在y轴右侧，从
-2 -1
O 1 2x
左到右是 上升 的.
-1
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–2
–3
–4
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函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
北师大版高中数学必修 -函数的单调性 PPT教学课件1
例4.（1）已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区 间(-∞,4]上是减函数，求实数a的范围。 （2）已知函数g(x)在R上是单调减函数 且g(t)>g(1-2t)，求实数t的范围。
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1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
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结
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取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(
x
)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
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1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
则△x= x2 -x1>0时
2.作差变形:作差△y=f(x2)-f(x1)
并适当变形；
3.判断差符号:确定△y的正负； 4.下结论:由定义得出函数的单调性.
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结
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取自变量－1< 1，
而 f(－1) < f(1)
y
-1 1
f
(
x
)
1 x
O1
x
-1
∴不能说 y 1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 因为 x1、x2 不具有任意性.
(-∞,0]上当x增大时f(x)随着减小
当x增大时f(x)随着增大 (0,+∞)上当x增大时f(x)随着增大
函数在R上是增函数 函数在(-∞,0]上是减函数
函数在(0,+∞)上是增函数
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北师大版必修1数学【原创精品课件】：2.3函数的单调性(导学式)(共25张PPT)
1
O
x
结论：单调区间通常不能合并，除非确 无错误.
探究点3
函数单调性概念的辨析
2.任意性：x1，x2的取值是任意的.
定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么f(x)一定是R上 问题5：
的增函数吗？
y
f(2)
提示：不一定，仅由f(2)>f(1)并不能推出 对于任意x1，x2，x1<x2时，f(x1)<f(x2). 结论：特殊代替不了一般.
间D上的图象是上升的或下降的．
探究点3
函数单调性概念的辨析
1.局部性：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质.
反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减 问题4： 函数吗？
y
提示：不能！因为函数单调性是一个 局部性质.例如取x1=2，x2=1，此时 x1<x2，但是f(x1)<f(x2)，不符合减函数 的定义.
第二章
函数
§3 函数的单调性
高中数学必修1· 精品课件
学习目标
1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义． 2．掌握定义法判断函数单调性的步骤． 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)
引入课题
生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖 加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？ 这就谈到了本节课的课题：函数的单调性.
[解析]
(1) y(x>0) ；
变式训练
(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝
＝.
∵0<x1<x2， ∴x1－x2<0，且>0，>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)＝在(0, +∞)上是增函数．
O
x
结论：单调区间通常不能合并，除非确 无错误.
探究点3
函数单调性概念的辨析
2.任意性：x1，x2的取值是任意的.
定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，那么f(x)一定是R上 问题5：
的增函数吗？
y
f(2)
提示：不一定，仅由f(2)>f(1)并不能推出 对于任意x1，x2，x1<x2时，f(x1)<f(x2). 结论：特殊代替不了一般.
间D上的图象是上升的或下降的．
探究点3
函数单调性概念的辨析
1.局部性：函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质.
反比例函数在，上均为减函数，能说其在定义域内为减 问题4： 函数吗？
y
提示：不能！因为函数单调性是一个 局部性质.例如取x1=2，x2=1，此时 x1<x2，但是f(x1)<f(x2)，不符合减函数 的定义.
第二章
函数
§3 函数的单调性
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学习目标
1．理解单调函数的定义，理解增函数、减函数的定义． 2．掌握定义法判断函数单调性的步骤． 3．掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法)
引入课题
生活中我们都有这样的常识：在一碗水中加入一定量的糖，糖 加得越多水就越甜，在这一现象中又蕴含着什么样的数学知识呢？ 这就谈到了本节课的课题：函数的单调性.
[解析]
(1) y(x>0) ；
变式训练
(2)证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝
＝.
∵0<x1<x2， ∴x1－x2<0，且>0，>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)＝在(0, +∞)上是增函数．
北师大版高中数学课件必修第1册第二章 §3 第1课时 函数的单调性
特别提醒作差变形的常用技巧:
(1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后通常进行因式分解.
(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因
式分解.
(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判
断符号.
(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.
提示不能.不连续的单调区间必须分开写,中间用“,”或“和”连接,不能用符
1
x
号“∪”连接.如y= 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减.
课堂篇 探究学习
探究一
判断函数的单调性
1.利用图象判断函数的单调性
例1根据函数图象直观判断下列函数的单调性:
(1)y=|x2+2x-3|;(2)y=-x2+2|x|+1.
递增;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔
f(x 1 )-f(x 2 )
x 1 -x 2
x 1 -x 2
>0⇔f(x)在[a,b]上单调
<0⇔f(x)在[a,b]上单调递减.
二、单调性、单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间
I上具有单调性.此时,区间I为函数y=f(x)的单调区间.
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
即 y=
北师大版高中数学必修《函数的单调性》课件(完整版)1
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x(0,);
(3) f (x) x 1 x
解析: (3)
பைடு நூலகம்
因为
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
(2) 因为 f (x) sin x x, x(0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
(3) f (x) x 1 x
因此, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, )上单调递减.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》课 件（完 整版）1
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运 算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函
数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
y
y
y
y
o
x
yx
函数在R上 f '(x) 1 0
ox
y x2
（-∞，0）
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) sin x x, x(0,);
(3) f (x) x 1 x
解析: (3)
பைடு நூலகம்
因为
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
(2) 因为 f (x) sin x x, x(0, ) , 所以
f (x) cos x 1 0.
(3) f (x) x 1 x
因此, 函数 f (x) sin x x 在 x (0, )上单调递减.
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1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会 数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运 算素养。
问题1:我们已经学习过函数的单调性，你能从数、形、定义等不同的角度描述函
数f(x)在区间 I 上是单调递增的吗？
(1)如果在区间I上，自变量增大函数值也增大，那么f(x)在区间I上是单调递增的。
追问2：在高台跳水运动员问题中，可以用函数导数的正负判断函数的单调性， 那么这种做法是否具有一般性？
y
y
y
y
o
x
yx
函数在R上 f '(x) 1 0
ox
y x2
（-∞，0）
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它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数， 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
北师大版高中数学必修《函数的单调 性》演 示PPT1
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1.3 函数的基本性质 1.3.1函数的单调性
引
入
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别 反映了相应函数的哪些变化规律：
观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 随x的增大，y的值有什么变化？
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上__升__? 2.在区间 _(_-_∞_,_+_∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值 随着 _增__大___ ．
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
1.在区间_(_-_∞__, _0_] 上,f(x)的值随着x的增大而_减__小__． 2. 在区间_(_0_,_+_∞__)上,f(x)的值随着x的增大而 _增__大__．
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☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：11作差 化简
f(x1)-f(x2) x1 x 2 x 2 x1
y
y 1
x
x1 x 2 由x1、x2∈（0，+∞） ，得 x2 x1 ＞0
x
又由x1<x2 ，得 x2- x1 ＞0
判号 于是 f(x1)-f(x2) ＞ 0，即 f(x1) ＞ f(x2)
定论 所以，f(函 x)数 1在（ 0， ）上是减函
高中数学北师大版必修一 函数的单调性 课件(35张)
[迁移探究 1]
(变换条件、改变问法)将典例 2 中区
间“(2，＋∞)”改为“(0，2)”，试判断函数 f(x)的单调 性并证明． 4 解：函数 f(x)＝x＋ 在(0，2)上是减函数． x 证明：任取 x1，x2∈(0，2)，且 x1<x2，
4 4 则 f(x1) － f(x2) ＝ x1 ＋ － x2 － ＝ (x1 － x2) ＋ x1 x2 4（x2－x1） x1x2－4 ＝(x1－x2) . x 1 x2 x1x2
1 1 (2)y＝ 的图象可由函数 y＝x 的图象向右平移一 x－1 个单位得到， 如图所示， 其单调递减区间是(－∞， 1)和(1， ＋∞)．
答案：(1)[－5，－2)，[1，3) (2)(－∞，1)，(1，＋∞)
[－2，1)，[3，5]
归纳升华 1． 利用函数图象确定函数的单调区间， 具体做法是： 先化简函数解析式， 然后画出它的草图， 最后根据函数定 义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间． 2．注意：当单调性相同的区间多于一个时，用 “和”“， ”连接，不能用“∪”“或”连接．
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那 么就说函数 f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫作 f(x)的单调区间．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数在其定义域上都具有单调性．( (2)函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3)．( ) )
证明：任取 x1，x2∈(2，＋∞)，且 x1<x2， 4 4 则 f(x1) － f(x2) ＝ x1 ＋ － x2 － ＝ (x1 － x2) ＋ x1 x2 4（x2－x1） x1x2－4 ＝(x1－x2) . x1x2 x1x2
北师大版必修一第二章2.3.1函数的单调性课件
__减__小__．
2.在区间_(_0_,_+__∞_)_上，f(x)的值随着x的增大而
_增__大__.
概念讲授
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自变
量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
由于x1,x2 0, ,得x1x2>0,又由
x1<x2 ,得x2-x1>0, 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
推广：反比例函数的单调性 y k (k 0) x
结论：k 0时，
函数在（ ，0）和（0， ）
例2 证明函数f (x) 3x 2在R上是增函数.
证明：任取 x1 ， x2 (, ) ，且 x1 x2 ，则
f (x1) f (x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
3(x1 x2 )
x1 x2
x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x1) f (x2 )
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 f (x) 是1减小的.
x
练习：证明：函数 f (x) 1 在(0，+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 1 x2 x1 . x1 x2 x1x2
(3)函数的单调区间是其定义域的子集；
(4)一般地，函数f(x)在区间A、B上都是增（减） 函数，并不能说函数f(x)在A∪B上是增（减）函数.
2.在区间_(_0_,_+__∞_)_上，f(x)的值随着x的增大而
_增__大__.
概念讲授
1．函数单调性的定义
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 D . 如果对于定义域 D 内的某个区间 I 内的任意两个自变
量 x1 ， x2 ，当 x1 x2 时，都有 f (x1) f (x2 ) ，那么就
由于x1,x2 0, ,得x1x2>0,又由
x1<x2 ,得x2-x1>0, 所以f(x1)- f(x2)>0, 即f(x1)> f(x2). 因此 f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数.
推广：反比例函数的单调性 y k (k 0) x
结论：k 0时，
函数在（ ，0）和（0， ）
例2 证明函数f (x) 3x 2在R上是增函数.
证明：任取 x1 ， x2 (, ) ，且 x1 x2 ，则
f (x1) f (x2 ) (3x1 2) (3x2 2)
3(x1 x2 )
x1 x2
x1 x2 0
f (x1) f (x2 ) 0 f (x1) f (x2 )
解:（-∞，0）和（0，+∞）都是函数的单调区间，在 这两个区间上函数 f (x) 是1减小的.
x
练习：证明：函数 f (x) 1 在(0，+∞)上是减函数。 x
证明: 设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则
f(x1)- f(x2)=
1 1 x2 x1 . x1 x2 x1x2
(3)函数的单调区间是其定义域的子集；
(4)一般地，函数f(x)在区间A、B上都是增（减） 函数，并不能说函数f(x)在A∪B上是增（减）函数.
北师大版高中数学必修一课件单调性(1).ppt
o x1 x2 x
课堂小结
1.增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性：
增函数的图象从左到右 上升 减函数的图象从左到右 下降
3.(定义法)证明函数单调性的步骤:
设值 作差变形 判断差符号 下结论
布置作业
作业:课本38页A组第1、2、3题
思考题：
如何确定函数 f (x) x 4x, x[1,5]的单调区间？
y
如果对于区间A内的任意两个值 x1, x2 ,
y=f(x)
当x1＜x2时， 都有 f x1 f x2
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
那么就说y=f(x)在区间A上是增加的.
也说y=f(x)区间A上是递增的.
x1、x2的三大特征：①属于同一区间 ②任意性 ③有大小:通常规定x1＜x2
如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或减少的, 那么称A为单调区间.
反比例函数：y 1 x
在(-∞,0)上是_减__少_ 的 在(0,+∞)上是_减__少_ 的
y
1 -2 -1
f
(
x)
1 x
O 1 2x
-1
思考：
能否说在y (-1x∞,0)∪(0,+∞)上是减少的?
例1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y=f(x)的
那么就说y=f(x)在区间A上是减少的. 也说y=f(x)区间A上是递减的.
如果函数y=f(x)在整个定义域内是减少的， 则称这个函数为减函数.
函数y=f(x)在整个定义域内是增函数或减函数， 统称为单调函数.
单调性与单调区间
函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
间 D 上是递减的.
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
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例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
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– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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– 二级
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（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
《函数单调性北师大》PPT课件
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的 或减少,这个函数为增函数或减函数,统称 为单调函数.
精选课件ppt
8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
精选课件ppt
9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
精选课件ppt
x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
精选课件ppt
5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
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8
练习:给出下列函数的图象,指出函数的单调区间, 并指明其单调性.
图（1）
图（2）
注意：单调区间不能求并集
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9
[-6,-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8]上是增加的 [-5,-2],[1,3],[4.5,7],[8,9]上是减少的
1.3.1.1函数的单调性
y
0
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x
1
【教材分析】
函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数 的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理 论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数 大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中 对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利 用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我 们整个高中数学教学。
yB
A
1
0 x1 x2
1
Ay
B
1
x x1 x2 0 1 x
y
B A
1
1 0 x 1 x1 x2
1
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5
思考交流
对于下图的函数,你能说出它的函数值y随自变 量x值的变化情况吗?
问题2：如何描述函数图像的上升和下降趋势？
图像上升：y随x的增大而增大 图像下降：y随x的增大而减少
精选课件ppt
借助多媒体动态地展示图象的上升与下 降过程，完成从感性认识到理性思维的质 的飞跃．注重学生的参与意识，让学生从 问题中发现、归纳、总结，最终运用概 念．同时，潜移默化地渗透各种数学思想 方法．精选课件ppt Nhomakorabea4
高中数学北师大版必修一 函数的单调性 课件 (41张)
[ 规律总结 ]
1. 进行集合的交、并、补运算时应紧扣定
义，适当借助Venn图及数轴等工具．
2．交、并、补运算时常用的性质 (1)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． (2)(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)．
设全集U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝
0}，若(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，求A∪B. [解析] 因为(∁UA)∩B＝{2}， 所以2∈B，且2∉A. 因为A∩(∁UB)＝{4}，所以4∈A，且4∉B. 所以42＋4p＋12＝0,22－5×2＋q＝0， 所以p＝－7，q＝6. 此时A＝{3,4}，B＝{2,3}，所以A∪B＝{2,3,4}.
由图可知B＝{2,3,5,7}．
[规律总结] 1.求补集的两个步骤 (1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U. (2) 借助补集定义：利用 ∁UA ＝ {x|x∈U ，且 x∉A} 求 A 的补 集．
2．根据补集定义，借助Venn 图，可直观地求出全集，此
类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中 元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
4 ． 设 全 集 U ＝ {x|x<9 且 x∈N} ， A ＝ {2,4,6} ， B ＝ {0,1,2,3,4,5,6} ， 则 ∁UA ＝ ________ ， ∁UB ＝ ________ ， ∁BA ＝ ________.
[答案] {0,1,3,5,7,8} {7,8} ∁BA＝{0,1,3,5}
1.(2014· 湖北高考 ) 已知全集 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7} ，集合 A ＝
{1,3,5,6}，则 ∁UA＝( A．{1,3,5,6} C．{2,4,7} [答案] C [解析] ∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{1,3,5,6}， ∴∁UA＝{2,4,7}． ) B．{2,3,7} D．{2,5,7}
北师大版高中数学必修第一册2.3.1函数的单调性课件
第1课时 函数的单调性
【最新课标】 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
教材要点 要点一 增函数与减函数的定义
f(x1)<f(x2)
增函数
f(x1)>f(x2)
减函数
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明 时不能以特殊代替一般；
解析：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4， ∴a＝－3.
答案：D
答案：ABD
答案：D
3．(5分)若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0，3)上不单调，则实
数m的取值范围为( )
A．[0，2]
B．(0，2)
C．(－∞，0]
答案：B
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系
式正确的是( )
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(1)<f(－1)
答案：C
D．f(1)<f(－1)<f(2)
解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞， 2]上单调递减．因为2>1>－1，所以f(2)<f(1)<f(－1)．故选C.
4 ． 函 数 y ＝ (2m － 1)x ＋ b 在 R 上 是 减 函 数 ， 则 m 的 取 值 范 围 为 ________.
题型1 利用函数图象求单调区间——自主完成 1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
【最新课标】 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
教材要点 要点一 增函数与减函数的定义
f(x1)<f(x2)
增函数
f(x1)>f(x2)
减函数
状元随笔 定义中的x1，x2有以下3个特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明 时不能以特殊代替一般；
解析：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4， ∴a＝－3.
答案：D
答案：ABD
答案：D
3．(5分)若函数f(x)＝x2－3mx＋18(m∈R)在(0，3)上不单调，则实
数m的取值范围为( )
A．[0，2]
B．(0，2)
C．(－∞，0]
答案：B
跟踪训练2
(1)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系
式正确的是( )
A．f(－1)<f(1)<f(2)
B．f(1)<f(2)<f(－1)
C．f(2)<f(1)<f(－1)
答案：C
D．f(1)<f(－1)<f(2)
解析：因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f(x)在(－∞， 2]上单调递减．因为2>1>－1，所以f(2)<f(1)<f(－1)．故选C.
4 ． 函 数 y ＝ (2m － 1)x ＋ b 在 R 上 是 减 函 数 ， 则 m 的 取 值 范 围 为 ________.
题型1 利用函数图象求单调区间——自主完成 1．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
北师大版必修一：第二章3函数单调性(共23张PPT)
④判断：根据定义得出结论.
分享心得
？ 你学到了什么知识？ ？掌握了什么方法？ ？ 收获了什么思想？
证步 明骤
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
关 注
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即 函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区 间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪 个区间内.
能 不 能 说 y 1 (x 0)在 定 义 域(, 0) (0,合函数的图象可知上述说 法是错误的.
函 数 在 （ - ， 0 ） 上 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ： 证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 , 则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？用定义证明 你的结论.
函数图象如图
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2 )函 数 在 （ ， 0 ） 上 和 （ 0 ， ） 上 都 是 减 函 数 .
【思考交流】
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 . 所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
即f(x1)f(x2） .
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 . x
探究一 函数单调性的定义
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x1
o
x
分享心得
？ 你学到了什么知识？ ？掌握了什么方法？ ？ 收获了什么思想？
证步 明骤
取 值 → 作 差 变 形 → 定 号 → 下结论
关 注
函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即 函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区 间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪 个区间内.
能 不 能 说 y 1 (x 0)在 定 义 域(, 0) (0,合函数的图象可知上述说 法是错误的.
函 数 在 （ - ， 0 ） 上 单 调 递 减 的 证 明 如 下 ： 证 明 ： 任 取 x 1 ,x 2 ( ,0 ) ,且 x 1 x 2 , 则 f(x1)f(x2)x 11x 12x2 x1 x2 x1.
x （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？用定义证明 你的结论.
函数图象如图
( 1 ) 函 数 的 定 义 域 是 ( - , 0 ) ( 0 , + ) .
(2 )函 数 在 （ ， 0 ） 上 和 （ 0 ， ） 上 都 是 减 函 数 .
【思考交流】
由 x 1 ,x 2 ∈ (- ∞ ,0 )得 x 1 x 2 > 0 ;由 x 1 < x 2 得 x 2 -x 1 > 0 . 所 以 f(x 1 )-f(x 2 )> 0 ，
即f(x1)f(x2） .
根 据 函 数 单 调 性 的 定 义 ， 函 数 （ fx ) 1 在 （ ， 0 ） 上 是 减 函 数 . x
探究一 函数单调性的定义
上升
y y x 1
o
x
下降
y
y x1
o
x
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的定义，并解读定义中的关键词，如：区间
内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)。
类似地分析图象在y轴的左侧部分?
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》P PT （新版）1
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 小组探究，归纳结论.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 学情分析：
一次函数、 二次函数、 反比例函数
对函数的增减性 有了初步的感性 认识
用符号语言刻画 图形语言，用定 量分析解释定性 结果
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》P PT （新版）1
1 在教材中的地位和作用：来自定量分析性质一次函数、二次 函数、反比例函 数
仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。
注意强调：函数的单调性是函数在定义域某个区间上 的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可 以有不同的单调性。（我将给出函数y==X2，并画出 这个函数的图像，让学生观察函数图像的特点，让他 们描述函数图像的增减性，慢慢得到函数单注调释内性容的二概 念。在这个过程中，学生把对图像的感性认识转化为 了数学关系，这种从特殊到一般的学习过程有利于学 生对概念的理解）
理。
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 教学方法
启发引导 互动式探究
教学手段
信息技术辅助教学
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
(1)培养从概念出发，进一步提高研究性质的意识及能力； (2)体会数形结合、分类讨论的数学思想。
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1 知识导入.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
作出这些函数y=x、y=-x、y=|x| 的图像
探究1：讨论这些函数图像是上升的还是
下降的?
y
y
y
0
x
0
x
0
x
y=x
y=-x
y=|x|
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y
A.
0
x
y=x2
探究4：
类似地分析图象在y轴的左侧部分?
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.
y
A.
0
y=x2
探究4：
通过对以上问题的分析，从正、反两方面领 x 会函数单调性。师生共同总结出单调增函数
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 观察思考，小组探究.
.y
A
0
x
y=x2
探究2：观察函数y=X2的图像，观察图像上A点的运动情况，
指出上面的函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下
降的？
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3.2.1 函数的单调性
普通高中教科书 数学（必修一）A版 人民教育出版社
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 在教材中的地位和作用：
函数是高中数学重要的课程，它是描述事物 运动变化的模型，而函数的单调性是函数的一大
特征，它为我们之后的学习奠定重要基础。
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3
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
1 知识导入，初探性质；
2 小组探究，观察图象；
生成概念；
4 研究性质，巩固练习；
5 课堂总结，布置作业
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已学 函数
图象
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 教学目标：
知识与能力
过程与方法
情感态度 与价值观
(1)理解函数的单调性 和单调函数的意义； (2)会判断和证明简单
函数的单调性。
(进质1)一的培步意养研识从究及概函能念数力出性；发(，2)体会数形由探突结合求出合适数学、的学生例知的子识主引的观发欲能学望动生，
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 观察思考，小组探究.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： (1)y轴的右侧部分图象具有什么特点？ (2)如果在y轴右侧部分取两个点(x1,y1)、(x2,y2),当x1<x2时，
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： 教师补充：这时我们就说函数y==X2在x>0时是增函数。 反过来，如果y=f(x)在x>0时是增函数,我们能不能得到自变量 与函数值的变化规律呢？
分类讨论的数学思 想。
性，激发学生学习数学 的兴趣。
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 3 教学重点难点：
教学重点
教学难点
函数单调性的概 念，判断和证明 简单函数的单调 性。
1.函数单调性概念的认知 （1）自然语言到符号语言的转化； （2）常量到变量的转化。 2.应用定义证明单调性的代数推
y1,y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这 规律呢？
(3)如何用数学符号语言来描述这个规律？
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.
内，任意，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)。
类似地分析图象在y轴的左侧部分?
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 小组探究，归纳结论.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 学情分析：
一次函数、 二次函数、 反比例函数
对函数的增减性 有了初步的感性 认识
用符号语言刻画 图形语言，用定 量分析解释定性 结果
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1 在教材中的地位和作用：来自定量分析性质一次函数、二次 函数、反比例函 数
仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。
注意强调：函数的单调性是函数在定义域某个区间上 的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可 以有不同的单调性。（我将给出函数y==X2，并画出 这个函数的图像，让学生观察函数图像的特点，让他 们描述函数图像的增减性，慢慢得到函数单注调释内性容的二概 念。在这个过程中，学生把对图像的感性认识转化为 了数学关系，这种从特殊到一般的学习过程有利于学 生对概念的理解）
理。
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 教学方法
启发引导 互动式探究
教学手段
信息技术辅助教学
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
(1)培养从概念出发，进一步提高研究性质的意识及能力； (2)体会数形结合、分类讨论的数学思想。
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1 知识导入.
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
作出这些函数y=x、y=-x、y=|x| 的图像
探究1：讨论这些函数图像是上升的还是
下降的?
y
y
y
0
x
0
x
0
x
y=x
y=-x
y=|x|
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y
A.
0
x
y=x2
探究4：
类似地分析图象在y轴的左侧部分?
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.
y
A.
0
y=x2
探究4：
通过对以上问题的分析，从正、反两方面领 x 会函数单调性。师生共同总结出单调增函数
北师大版 高中数 学必修 《函数 的单调 性》P PT （新版）1
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 观察思考，小组探究.
.y
A
0
x
y=x2
探究2：观察函数y=X2的图像，观察图像上A点的运动情况，
指出上面的函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下
降的？
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3.2.1 函数的单调性
普通高中教科书 数学（必修一）A版 人民教育出版社
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 在教材中的地位和作用：
函数是高中数学重要的课程，它是描述事物 运动变化的模型，而函数的单调性是函数的一大
特征，它为我们之后的学习奠定重要基础。
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3
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明
1 知识导入，初探性质；
2 小组探究，观察图象；
生成概念；
4 研究性质，巩固练习；
5 课堂总结，布置作业
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已学 函数
图象
教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 2 教学目标：
知识与能力
过程与方法
情感态度 与价值观
(1)理解函数的单调性 和单调函数的意义； (2)会判断和证明简单
函数的单调性。
(进质1)一的培步意养研识从究及概函能念数力出性；发(，2)体会数形由探突结合求出合适数学、的学生例知的子识主引的观发欲能学望动生，
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 观察思考，小组探究.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： (1)y轴的右侧部分图象具有什么特点？ (2)如果在y轴右侧部分取两个点(x1,y1)、(x2,y2),当x1<x2时，
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.
y
A.
0
x
y=x2
探究3：
观察函数y=X2的图像，随自变量x变化的情况，设置启发式问题： 教师补充：这时我们就说函数y==X2在x>0时是增函数。 反过来，如果y=f(x)在x>0时是增函数,我们能不能得到自变量 与函数值的变化规律呢？
分类讨论的数学思 想。
性，激发学生学习数学 的兴趣。
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 3 教学重点难点：
教学重点
教学难点
函数单调性的概 念，判断和证明 简单函数的单调 性。
1.函数单调性概念的认知 （1）自然语言到符号语言的转化； （2）常量到变量的转化。 2.应用定义证明单调性的代数推
y1,y2的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这 规律呢？
(3)如何用数学符号语言来描述这个规律？
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教材分析 教学方法 学法指导 教学过程 设计说明 1 小组探究，观察图象.