高考数学三角函数典型例题
三角函数典型例题(高考题)及详细解答
1．已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)． (1)若0AB AC ⋅=,求c 的值； (2)若c=5，求sin ∠A 的值．2 已知函数()sin()(0,0),f x A x A x R ϕϕπ=+><<∈的最大值是1，其图像经过点1(,)32M π。
（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2παβ∈，且312(),(),513f f αβ==求()f αβ-的值 3.已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中)2,0(πθ∈（1）求θsin 和θcos 的值;（2）若ϕϕθcos 53)cos(5=-，<<ϕ02π,求ϕcos 的值 4．设函数()3sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知94125f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值． 5.已知函数1()2sin(),36f x x x π=-∈R .(1)求(0)f 的值；(2)设10,0,,(3)2213f ππαβα⎡⎤∈+=⎢⎥⎣⎦，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值. 一．选择填空题1.在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 2..在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=(A)-12 (B) 12(C) -1 (D) 1 3.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）94.设函数（A ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（B ）y=在单调递增，其图像关于直线对称（C ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 4π对称（D ）y= f (x) 在（0，2π）单调递减，其图像关于直线x = 2π对称5.）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且25sin 5θ=-，则y=_______.6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ 7．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（A ）(0,]6π（B ）[,)6ππ（C ）(0,]3π（D ）[,)3ππ二：解答题1.已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。
高中三角函数经典例题精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版一、选择题1．如果角θ的终边经过点（3，-4），那么θsin 的值是（ ） A53 B 53- C 54 D 54- 2．)314sin(π-的值等于（ ） A21 B 21- C 23 D 23-3．若0835-=α，则角α的终边在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4．已知21sin -=θ，则)sin(θπ+等于A21 B 21- C 23 D 23-5．已知θ是第一象限角，那么2θ是（ ） A 第一或第三象限角 B 第二或第三象限角 C 第三或第四象限角 D 第一或第四象限角 6．已知θ是三角形的一个内角，且22sin =θ，则角θ等于（ ） A4π B 43π C 4π，43π D 3π7．已知0tan sin <⋅θθ，那么角θ是（ ）A 第一或第三象限角B 第二或第三象限角C 第三或第四象限角D 第一或第四象限角8．)421sin(2π+=x y 的周期、振幅、初相分别是（ ）A4,2,4ππB 4,2,4ππ-- C 4,2,4ππ D 4,2,2ππ9. sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在10．(08·全国Ⅰ文)y ＝(sin x －cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数11． 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )12．为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位13．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 14．下列函数中，图象的一部分符合下图的是( )A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(4x －π3) D ．y ＝cos(2x －π6)二、填空题15.与34π终边相同的角的集合 16．已知45cos sin -=-θθ，则=⋅θθcos sin17．已知θ是第四象限角，125tan -=θ，则=θcos 18．已知=-=+-θθθθθtan ,35cos 2sin 3cos sin 2则19．函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为________．20..若a ＝sin(sin2009°)，b ＝sin(cos2009°)，c ＝cos(sin2009°)，d ＝cos(cos2009°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________．三、解答题21．)660cos()330sin(750cos 420sin 0000-•-+•：计算22．求使)42sin(3π+=x y 取到最大值、最小值的自变量的集合，并分别写出最大值、最小值，及这个函数在[]π2,0的单调递增区间。
2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)
专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。
高中三角函数经典例题50道
高中三角函数经典例题50道1.求解三角形中角度的相关问题是高中数学学习中的重要内容。
例如，考虑正三角形ABC，已知∠A=60°，求∠B和∠C的大小。
2.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠C=60°，求∠B的大小。
3.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，求∠C的大小。
4.在锐角三角形ABC中，已知边b=5，c=10，∠A=30°，求边a的长度。
5.在钝角三角形ABC中，边a=6，b=10，∠A=120°，求边c的长度。
6.若在任意三角形ABC中，边a=8，b=6，∠A=45°，求∠B的大小。
7.在直角三角形ABC中，边a=1，b=√3，求∠A和∠B 的大小。
8.若在锐角三角形ABC中，已知边a=5，b=7，求∠A 和∠B的大小。
9.在任意三角形ABC中，边a=10，b=15，∠A=30°，求∠B的大小。
10.若在直角三角形ABC中，边b=4，c=5，求∠A和∠C的大小。
11.在锐角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，∠A=60°，求∠C的大小。
12.若在任意三角形ABC中，边a=7，c=9，∠A=45°，求边b的长度。
的长度。
14.在锐角三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的大小。
15.若在任意三角形ABC中，边a=12，b=16，求∠A和∠B的大小。
16.在直角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，求∠A和∠C的大小。
17.在锐角三角形ABC中，边a=5，b=8，∠C=60°，求边c的长度。
18.若在任意三角形ABC中，边a=7，b=10，∠B=30°，求边c的长度。
19.在直角三角形ABC中，边a=2，c=√5，求∠A和∠B的大小。
20.在锐角三角形ABC中，已知边b=3，c=4，∠A=45°，求∠C的大小。
21.若在任意三角形ABC中，边a=9，c=12，∠C=45°，求边b的长度。
高三数学三角函数练习大题经典22套
三角函数（三）1、在△ABC 中，AC=3，sinC=2sinA.（1）求AB 的值。
（2）求sin(2A －4π)的值。
2、设△ABC 的内角A 、B 、C 所以的边长分别为a,b,c ，3cos cos 5a Bb A C -=，（1）tan cot A B 的值。
（2）tan()A B -的最大值。
3、在△ABC中，5cos13B=-，4cos5C=.（I）sin A的值；（II）设△ABC的面积S△ABC=332，求BC的长。
4、设△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，且A=60°，c=3b。
求（I）ac的值；（II）cot cotB C+的值.三角函数（四）1、在△ABC 中ambmc 分别为角A 、B 、C 的对的边长，a = ，tantan 422A B C++=，2sin sin cos 2AB C =。
求A 、B 及a 、c .2、在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（I ）若S △ABC ,a b .（II ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求△ABC 的面积。
3、设锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为,,a b c，2sina b A=.（I）求角B的大小；（II）求cos sinA C+的取值范围。
4、在△ABC中，1tan4A=，3tan5B=,（I）求角C的大小；（II）若△ABC三角函数（五）1、已知△ABC的内角A、B及其对边,a b满足cot cot,a b a A b B+=+求内角C.2、△ABC中，D为BC上的一点，BD=33，5sin13B=，3cos5ADC∠=，求AD.3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1cos 24C =-. （I ）求sin C 的值；（2）当2,2sin sin a A C ==时，求b c 及的长。
高考数学三角函数典型例题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴cos B =21. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) 设sin A =t ,那么t ∈]1,0(.那么m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(. ∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值.依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A . I.试判断△ABC 的形状;II.假设△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos =A, (1)求B C cos ,cos 的值; (2)假设227=⋅BC BA ,求边AC 的长｡ 【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．在ABC ∆中,A B >,且A tan 及B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)假设AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴sin C =∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=∴2BC ==6 ．在ABC ∆中,内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1)//m n ⇒ 2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒ tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3 ⇒ B=π3或5π6①当B=π3时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤ 3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴a c≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2- 3∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B CA 2cos 2sin 2++的值; (2)假设b =2,求△ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C ++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3158 ．)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡ 【解析】aa -12;9 ．()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()fα(II)假设α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值｡ 【解析】10．函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)2x f x x x -=+++132cos 22223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度, 就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡11．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)假设函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f ∴当]223,22[34ππππππk k x ++∈-时,)(x f 单调递减 解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡(2)∵函数)(x g y =及)(x f y =关于直线1=x 对称 ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x 时,23)(max =x g12．cos 2sin αα=-,求以下各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αααα-+; (2)2sin2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+(2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值及最小正周期; (II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡ 【解析】14．向量)1,32(cos --=αm ,)1,(sin α=n ,m 及n 为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 及n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α 2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此, 127cos sin 2sin =-ααα15．如图,A,B,C,D 都在同一个及水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=｡试探究图中B,D 间距离及另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果准确到,2≈1.414,6≈2.449)【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为｡16．函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象及x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域.【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进展测量,50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡【解析】:作//DMAC 交BE 于N ,交CF 于M .22223017010198DF MF DM =+=+=, 222250120130DE DN EN =+=+=, 2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=在DEF ∆中,由余弦定理,2222221301501029816cos 2213015065DE EF DF DEF DE EF +-+-⨯∠===⨯⨯⨯18．51cos sin =+θθ，),2(ππθ∈，求〔1〕sin cos θθ-〔2〕33sincos θθ-〔3〕44sin cos θθ+【解析】：〔1〕3344791337sin cos (2)sin cos (3)sin cos 5125625θθθθθθ-=-=+=19．函数)sin(ϕω+=x A y 〔0>A ， 0ω>，πϕ<||〕的一段图象如下图，〔1〕求函数的解析式；〔2〕求这个函数的单调递增区间。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
高考数学最新真题专题解析—三角函数(全国通用)
高考数学最新真题专题解析—三角函数（全国通用）考向一 三角函数的图像【母题来源】2022年高考全国I 卷【母题题文】 设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ）A. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B. 519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【试题解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：C ．【命题意图】本题主要考查正弦型函数的图象的变换，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道中档题．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择形式出现．多为低档题，本类题型主要考查三角函数的图像和性质以及三角函数的平移变换问题. 常见题型：平移变换、辅助角公式、诱导公式. 【得分要点】（1）利用降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简； （2）利用三角函数的一些性质解题. 考向二 三角函数的性质 【母题来源】2022年高考北京卷【母题题文】 已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ） A.()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 C. ()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D.()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 【答案】C【试题解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，B 错；对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错. 故选：C.【命题意图】本题考查倍角公式及三角函数的单调性.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为中档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）三角函数的图像；（2）三角函数的性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性等； 【得分要点】（3）利用倍角公式、降幂公式及辅助角公式对三角函数进行化简； （4）利用三角函数的一些性质解题. 真题汇总及解析 一、单选题1．（2022·天津市求真高级中学高二期末）函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为2π，则ω的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1D ．12【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】由2T πω=，∴2242Tππωπ===.故选：A. 2．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知,x y ∈R ，则表达式22cos cos cos x yxy（ ）A ．既有最大值，也有最小值B ．有最大值，无最小值C ．无最大值，有最小值D ．既无最大值，也无最小值【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数，可分别得到2cos x ，2cos y ，()cos xy 的范围，再确定端点值是否可以同时取等，即可判断. 【详解】由[]22cos ,cos 0,1x y ∈，()[]cos 1,1xy ∈-，易知22cos cos cos 1,3x yxy.同时，由于π是无理数，因此当cos cos 0xy时，cos 1xy ；当22cos cos 1xy时，cos 0xy，故两端均不能取得等号.补充证明：二元表达式22cos cos cos x yxy（,x y R ）可以取到任意接近1-和3的值，从而该式无最值.①取x π=，y n （*n ∈N ），则222cos cos cos 2cos x y xy n .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得22N N .再考虑*k ∈N ，使得1k k（由π的无理性，两头都不取等）.则nkN 时，212122NN kkN k，从而2cos 1,coskN，22cos cos cos 2cos ,3x y xy ，即证.②取2x π=，2yn（*n ∈N ），则22221cos cos cos cos4n x y xy .对任意0ε>，由抽屉原理，存在*N N ，使得224N N .再考虑k ∈Z ，使得4k k（不取等的理由同上）.则nkN 时，2244244N kN N kk，从而221cos cos ,14kN ，22cos cos cos 1,cosxy xy，即证.故选：D 【点睛】易错点点睛：2cos x ，2cos y ，()cos xy 均有最值，但三者加和后，需确定能否同时取得最值.3．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知函数()sin cos f x a x b x c ωω=++（a ，b ，0>ω）的部分图象如图所示，则=a （ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】整理()()22f x a b x c ωϕ=+++，且tan b aϕ=222a b +，利用相邻对称轴的距离求得ω，根据对称轴求得ϕ，进而可得tan 1ϕ=，即a b =，即可求解. 【详解】由题，()()22sin cos f x a x b x c a b x c ωωωϕ=+++++，tan b aϕ=，223a b c +=，221a b c -+=-，所以1c =222a b +，又51882T ππ-=，所以T π=，则22T πω==，因为对称轴为8x π=，所以2282k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，则24k ϕπ=+π，k ∈Z 所以tan 1ϕ=，即a b =， 所以2a = 故选：B4．（2023·广西柳州·模拟预测（文））若()4sin π5α-=，则cos2α＝（ ） A ．－2425B ．725C ．－725D ．2425【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答. 【详解】依题意，4sin 5α=，所以2247cos 212sin 12525αα⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：C5．（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2cos 34cos f x x x 的最小正周期为（ ） A ．23πB ．43π C ．π D ．2π【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数()f x 的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期. 【详解】222cos 22cos 2cos 1cos 2sin cos2sin sin 2cos2cos f xx x x x x xx x x xcos3x =-，所以，函数()f x 的最小正周期为23T π=. 故选：A.6．（2022·上海闵行·二模）“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+="的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条许 D ．既不充分也不必要各件【答案】B 【解析】 【分析】先证明充分性，再举出反例说明必要性不成立，得到答案. 【详解】由角,αβ的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，可知cos cos αβ=-，即cos cos 0αβ+=成立，充分性成立；当cos cos 0αβ+=时，角,αβ的终边关于y 轴对称或(21),k k Z αβπ=++∈， 所以“角,αβ的终边关于y 轴对称”是“cos cos 0αβ+=”的充分不必要条件， 故选：B.7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A ．6π=ϕB ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈. 【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()23sin cos cos 0f x x x x ωωωω+>，若函数f (x )在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角和辅助角公式化简解析式，然后利用正弦函数的单调性解决即可. 【详解】 函数()()()2313sin cos cos 0sin 21cos222f x x x x x x ωωωωωω=+>=++311sin 2cos2222x x ωω=++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，得26232262k k ππωππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .又因为ω>0，12222πππω⨯≥-，所以k ＝0，所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B9．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数， 与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()4f π=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致， 故选：C ．10．（2022·北京·北大附中三模）如图矩形,6ABCD AB =，沿PQ 对折使得点B 与AD 边上的点1B 重合，则PQ 的长度可以用含α的式子表示，那么PQ 长度的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．2D 93【答案】D 【解析】 【分析】设PQ y =，由三角比的定义可得sin PB y α=，sin cos2PA y αα=⋅，继而求得()262sin 1sin y αα=-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭，求导可得()g t 的最大值为：343g =⎝⎭PQ 长度的最小值. 【详解】设PQ y =，1PB PB =，11180APB B PB ∠+∠=，12180B PB α+∠=，则12APB α∠=，则有sin PB y α=和11cos cos2PA PB APB PB ∠α==，代入6AB PA PB =+=，解得：()()266sin 1cos22sin 1sin y αααα==+-，令()()221g t t t =-和2sin t α⎛=∈ ⎝⎭， 导函数()226g t t '=-，即可得()g t 的最大值在3t =此时343g =⎝⎭min 93y =， 故选：D .二、填空题11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知tan 2α=，则222222cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2αααααα--+=++_________．【答案】16799-##68199-【解析】 【分析】利用同角间的三角函数关系，把待求式化为关于tan α的式子，然后代入已知计算． 【详解】2222222222222222cos 2sin 2cos 3sin cos 2sin 2cos 3sin sin 1cos 2sin sin cos cos 2(sin cos )αααααααααααααααα----+=+++++++22222222cos 2sin 2cos 3sin 2sin cos 2sin 3cos αααααααα--++=+222212tan 23tan 2tan 12tan 3αααα--+=++ 182128183--=+++16799=-． 故答案为：16799-． 12．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））将最小正周期为π的函数()2sin(2)1(0)6f x x πωω=-+>的图像向左平移4π个单位长度，得到()g x 的图像，则函数()g x 的一个对称中心为___________【答案】,13π⎛⎫⎪⎝⎭，不唯一【解析】 【分析】根据最小正周期求出ω ，再根据函数平移规则即可求出()g x 的解析式. 【详解】由题意，T π= ，2,12ππωω∴== ，即()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ，()f x 向左平移4π得()g x ， ()2sin 212sin 21463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，令2,33x x πππ+== ，∴()g x 的一个对称中心为,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭；故答案为： ,13π⎛⎫⎪⎝⎭.13．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[2,1]- 【解析】 【分析】由题意可得()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，a 的取值范围即为函数()f x 的值域.【详解】2()322cos 132cos 22sin(2)6f x x x x x x π-+=-=-，方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，即()a f x =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根， ,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，得2()1f x -≤≤，即a 的取值范围是[2,1]-，故答案为：[2,1]-14．（2022·北京工业大学附属中学三模）已知函数ππ()sin()sin()44f x x x =+-给出下列四个结论： ①f (x )的值域是[1,1]-； ②f (x )在π[0,]2上单调递减： ③f (x )是周期为π的周期函数④将f (x )的图象向左平移π2个单位长度后，可得一个奇函数的图象 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先将()f x 化简，然后根据余弦函数的性质逐一判断即可 【详解】ππ()sin()sin()44f x x x =+-2222()()x x x x =+ 2211cos sin 22x x =- 1cos22x =所以()f x 的值域为11[,]22- ，故①错误； 令2π2π2π,k x k k Z ≤≤+∈ ，πππ,2k x k k Z ∴≤≤+∈当0k =时，()f x 的一个单调递减区间为π[0,]2，故②正确；()f x 的周期2ππT ω== ,故③正确()f x 的图像向左平移π2个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为π1π1()()cos[2()]cos 22222g x f x x x =+=+=- ，是偶函数，故④错误故答案为：②③ 三、解答题15．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π0,02A ϕ>≤≤）部分图象如图所示，1(,)3P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π4PMN PNM ∠+∠=，求A 的值． 【答案】(1)2；π6ϕ=；(2)71A =. 【解析】 【分析】（1）利用()f x 的解析式求出周期，再由给定的最高点P 求出ϕ作答.（2）由（1）求出点M ，N 的坐标，结合图形求出PMN ∠和PNM ∠的正切，再利用和角公式计算作答.(1)函数()sin(π)f x A xϕ=+的最小正周期2π2πT==，因1(,)3P A是函数()f x图象的最高点，则1ππ2π,Z32k kϕ+=+∈，而02πϕ≤≤，有0k=，π6ϕ=，所以函数()f x的最小正周期为2，π6ϕ=.(2)由（1）知，π()sin(π)6f x A x=+，由ππ06x+=得16x=-，即点1(,0)6M-，由ππ2π6x+=得116x，即点11(,0)6N，于是得tan211()36APMN A∠==--，2tan111363APNM A∠==-，而π4PMN PNM∠+∠=，则22tan tan3tan()121tan tan123A APMN PNMPMN PNMPMN PNM A A+∠+∠∠+∠===-∠⋅∠-⋅，又0A>，解得712A=-，所以712A=-.16．（2022·上海奉贤·二模）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．20AB=km，10BC=km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A、B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．(1)设BAOθ∠=（弧度），将y表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置． 【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 103km 【解析】 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决； （2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+- 则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤(2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+π10sin 10320,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ=此时π101010tan 103(km)63OP =-=所以确定污水处理厂的位置是在线段AB的中垂线上且离AB103km。
高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案)
1．tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．假设,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求以下函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，那么,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，那么]2,2[-∈t 那么，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y 7．假设函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)假设],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)假设]2π,0[∈x ，那么]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 2tan =θ，求〔1〕θθθθsin cos sin cos -+；〔2〕θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：〔1〕2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.说明：利用齐次式的结构特点〔如果不具备，通过构造的方法得到〕，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
三角函数高考试题精选(含详细答案)
三角函数高考试题精选一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C26．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．9．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．513．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是．22．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．三角函数2017高考试题精选（一）参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2017•山东）函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为（）A．B． C．πD．2π【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∵ω=2，∴T=π，故选：C2．（2017•天津）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π．若f （）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，又f（）=2，f（）=0，得，∴T=3π，则，即．∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），由f（）=，得sin（φ+）=1．∴φ+=，k∈Z．取k=0，得φ=＜π．∴，φ=．故选：A．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为（）A．4πB．2πC．πD．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为：=π．故选：C．4．（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D 错误，故选：D5．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．6．（2017•新课标Ⅲ）函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（）A．B．1 C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin（x+）+cos（﹣x+）=sin（x+）+sin（x+）=sin（x+）．故选：A．7．（2016•上海）设a∈R，b∈[0，2π），若对任意实数x都有sin（3x﹣）=sin （ax+b），则满足条件的有序实数对（a，b）的对数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵对于任意实数x都有sin（3x﹣）=sin（ax+b），则函数的周期相同，若a=3，此时sin（3x﹣）=sin（3x+b），此时b=﹣+2π=，若a=﹣3，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（﹣3x+b）=﹣sin（3x﹣b）=sin（3x ﹣b+π），则﹣=﹣b+π，则b=，综上满足条件的有序实数组（a，b）为（3，），（﹣3，），共有2组，故选：B．8．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．9．（2016•新课标Ⅲ）若ta nθ=﹣，则cos2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ==．故选：D．10．（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴f（x）图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B11．（2016•新课标Ⅱ）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．12．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B13．（2016•四川）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x 的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x ﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．14．（2016•新课标Ⅰ）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．15．（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s ＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（2016•四川）为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A17．（2016•新课标Ⅱ）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+） D．y=2sin （x+）【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，=，故T=π，ω=2，故y=2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，则φ=﹣满足要求，故y=2sin（2x﹣），故选：A．18．（2016•新课标Ⅱ）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1=﹣2（t﹣）2+，由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：B．二．填空题（共9小题）19．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则sinβ=．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β=π+2kπ，k∈Z，∵sinα=，∴sinβ=sin（π+2kπ﹣α）=sinα=．故答案为：．20．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值为．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．21．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是1．【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，令cosx=t且t∈[0，1]，则y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，当t=时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1，故答案为：122．（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=2cosx+sinx的最大值为．【解答】解：函数f（x）=2cosx+sinx=（cosx+sinx）=sin（x+θ），其中tanθ=2，可知函数的最大值为：．故答案为：．23．（2016•上海）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为4．【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．24．（2016•江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．故答案为：7．25．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），令f（x）=2sinx，则f（x﹣φ）=2in（x﹣φ）（φ＞0），依题意可得2sin（x﹣φ）=2sin（x﹣），故﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ+（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．26．（2016•新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．27．（2016•江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C 均为锐角．三．解答题（共3小题）28．（2017•北京）已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣29．（2016•山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1+sin2x=2•﹣1+sin2x=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx+﹣1的图象，∴g（）=2sin+﹣1=．30．（2016•北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．。
(完整版)高考大题-三角函数题型汇总精华(含答案解释)
【模拟演练】1、[2014·江西卷16] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值．2、[2014·北京卷16] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图像如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．3、[2014·福建卷18] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．4、( 06湖南）如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若求β的值.BDCαβ A图5、（07福建）在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．6、（07浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．7、（07山东）如图,甲船以每小时302海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时, 乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20 海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里, 问乙船每小时航行多少海里?8、（2013年全国新课标2）在ABC ∆中，c b a ,,C B A 所对的边分别为，，角，已知B cC b a sin cos +=（1）求B ；（2）若b=2, 求ABC S ∆的最大值。
2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解
2023届高考数学《三角函数与解三角形》典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+−.(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期；(2)若当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式. (),f x m ≥求实数m 的取值范围. 请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.【解析】（1）222()cos cos )sin cos cos sin f x x x x x x x x x =+−=+−π2cos22sin(2)6x x x +=+． 所以函数()f x 的最小正周期πT =． 由πππ2π22π,Z 262k x k k −+++∈剟，解得ππππ,Z 36k x k k −++∈剟． 所以函数()f x 的单调增区间为ππ[π,π],Z 36k k k −++∈，（2）若选择①由题意可知，不等式()f x m …恒成立，即min ()m f x …． 因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x +剟． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1π2f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭． 所以1m −…，实数m 的取值范围为(],1−∞−．若选择②由题意可知，不等式()f x m …有解，即max ()m f x …． 因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x +剟．故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 所以2m …，实数m 的取值范围(],2−∞．例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a 2b =；③sin sin sin ++=−B C a c A b c ；④21cos sin sin 24−⎛⎫−= ⎪⎝⎭B C B C ． (1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．【解析】（1）对于③，()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++−=⇒=−∈∴=−； 对于④，()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +−−=⇒−−=−， 即()1cos 2B C +=−，且π,0,,πA B C A B C ++=<<，则π3A =，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．（2）选①②③：2π2,3a b B ===时， 由余弦定理：22221cos22a c b B ac +−=⇒−=整理得：210c −=且0c >，则c =，ABC ∴的面积为31sin 28ABC S ac B ==．选①②④：π2,3a b A ===时， 由余弦定理：2222143cos 224b c a c A bc c+−+−=⇒=， 整理得：2210c c −+=，则1c =，ABC ∴的面积1sin 2ABC S bc A ==． 例3．（2022春·浙江·高二期中）在①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+，②2cos 2b A a c +=，222sin B a c b =+−三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．(1)求角B 的大小； (2)如图所示，当sin sin A C +取得最大值时，若在ABC 所在平面内取一点D （D 与B 在AC 两侧），使得线段2,1DC DA ==，求BCD △面积的最大值．【解析】（1）若选①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B −=−+，由正弦定理得，()()()c a c a b a b −=−+，整理得222a c b ac +−=， 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===，又0πB <<，所以π3B =； 若选②2cos 2b A a c +=， 由余弦定理得222222b c a b a c bc+−+=，化简得222a c b ac +−= 所以2221cos 222a cb ac B ac ac +−===，又0πB <<，所以π3B =；222sin B a c b =+−，sin 2cos B ac B =， 化简得tan B 0πB <<，所以π3B =；（2）由（1）得2π3A C +=，故2π03A <<，所以2π3πsin sin sin sin sin 326A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+−==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由ππ5π666A <+<，所以当ππ62A +=即π3A =时，sin sin A C + 令,ACD ADC θα∠=∠=，AB AC BC a ===， 在ACD 中由正弦定理可得，1sin sin a αθ=，所以sin sin a αθ=， 由余弦定理可得22221221cos 54cos a αα=+−⨯⨯⨯=−，所以()2222222cos 1sin sin a a a a θθθ=−=−()22254cos sin cos 4cos 42cos ααααα=−−=−+=−， 因为1,2DA DC ==，可得π02θ<<，所以cos 2cos a θα=−，1π12sin cos sin 232BCD S a a θθθ⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭)1π2cos sin sin 23ααα⎛⎫=−+=− ⎪⎝⎭ 当且仅当ππ=32α−即5π=6α时,等号成立， 所以BCD △．本课结束。
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解 若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。
高考三角函数及数列大题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. (Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2s i n ,3m B =- ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡ (I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡高考数学数列大题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。
三角函数 高考数学真题分类大全 专题06解析
专题6三角函数第一部分近3年高考真题一、选择题1．（2021·北京高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-，试判断函数的奇偶性及最大值（）A ．奇函数，最大值为2B ．偶函数，最大值为2C ．奇函数，最大值为98D ．偶函数，最大值为98【答案】D【解析】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.2．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C【解析】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．3．（2021·全国高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（）A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和2【答案】C【解析】由题，()34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==，最大值为.故选：C ．4．（2021·全国高考真题（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（）A ．1515B ．55C ．53D ．153【答案】A【解析】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，15cos 4α∴==，sin 15tan cos 15ααα∴==.故选：A.5．（2021·全国高考真题（理））把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x x ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【解析】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.6．（2021·全国高考真题（文））22π5πcos cos 1212-=（）A ．12B ．3C ．2D ．2【答案】D【解析】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos26π==.故选：D.7．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.8．（2020·天津高考真题）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【解析】因为()sin(3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin(sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.9．（2020·北京高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．A ．30303sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．30306sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．60603sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．60606sin tan n n n ︒︒⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】单位圆内接正6n 边形的每条边所对应的圆周角为360606n n ︒︒=⨯，每条边长为302sin n︒，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012sin n n︒，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tann ︒，其周长为3012tan n n︒，303012sin12tan 303026sin tan 2n n n n n n n π︒︒+︒︒⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，则30303sin tan n n n π︒︒⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.10．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C11．如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β,面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB +S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选B .12.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确，由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即<3ϖ，∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．13.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2-B．CD ．2【答案】C【解析】因为()f x 为奇函数，∴(0)sin 0=,0,f A k k ϕϕπ==∴=，0ϕ=；又12()sin ,2,122g x A x T πωπω=∴==2ω=，2A =，又(4g π=∴()2sin 2f x x =，3()8f π=故选C ．14.函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为（）A．B．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ．15．（2020·海南高考真题）下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕπ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.二、填空题16．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】 (cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.17．（2021·全国高考真题（文））已知函数()()2cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭_______________.【答案】【解析】由题意可得：31332,,241234T T Tπππππω=-=∴===，当1312x π=时，()131322,2126x k k k Z πωϕϕπϕππ+=⨯+=∴=-∈，令1k =可得：6πϕ=-，据此有：()52cos 2,2cos 22cos 62266f x x f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：.18．（2021·全国高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【解析】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.19．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：120．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，//BH DG ，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =，因为5AP =,所以45AGP ︒∠=，因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥，即OAH △为等腰直角三角形；在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以3252212522r r -=-，解得22r =等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯=；扇形AOB 的面积(221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+.故答案为：542π+.21．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图象关于y 轴对称．②f （x ）的图象关于原点对称．③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.三、解答题22．（2021·浙江高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）π；（2）212+.【解析】（1）由辅助角公式得()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，则2223332sin 1cos 21sin 22442y fx x x x x ππππ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫ ⎪⎭⎦⎝，所以该函数的最小正周期22T ππ==;（2）由题意，()2sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin sin cos cos 22x x x x x x ⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 2222sin 22222242x x x x x π-⎛⎫=+=-+=-+⎪⎝⎭，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值212+.23．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．【答案】（I ）3B π=；（II ）313,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【解析】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：32sin sin ,sin 2B A A B =∴=△ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos sin 222A A A =-++311sin cos 222A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin ,132A π⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，1313sin ,2232A π⎛⎤+⎛⎫++∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.即cos cos cos A B C ++的取值范围是313,22⎛⎤+ ⎥⎝⎦.24．（2020·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．第二部分模拟训练1．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示.若实数n 满足224sin 184n ︒+=，则221sin188sin 18n ︒︒-=（）A ．14B ．12C．4D．2【答案】A【解析】根据题中的条件可得()22222221sin181sin181sin181sin188sin 188sin 184cos 188sin 368sin 1844sin 18n -︒-︒-︒-︒===︒︒⨯︒︒︒-︒()1sin181sin1811cos 7241cos 72482-︒-==-︒︒︒=-⨯.故选：A ．2．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，()f x 的图象过,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，5,14B π⎛⎫- ⎪⎝⎭两点，将()f x 的图象向左平移712π个单位得到()g x 的图象，则函数()g x 在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A．BC．D ．1-【答案】A【解析】由图象知，5244T πππ=-=，∴2T π=，则1ω=，∴()()2sin f x x ϕ=+，将点,14A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入得，2sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 42πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，∴12πϕ=-，则()2sin 12f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将()f x 的图象向左平移712π个单位得到函数()72sin 2sin 2cos 12122g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 在30,4π⎡⎤⎢⎣⎦上的最小值为32cos 4π=，故选：A3．如图所示，扇形OQP 的半径为2，圆心角为3π，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，则ABCD S 的最大值是（）A ．233B ．CD ．23【答案】A【解析】如图，记COP α∠=，在Rt OBC 中，2cos OB α=，2sin BC α=，在Rt OAD 中，3323sin 333OA DA BC α===，所以232cos sin 3AB OB OA αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S，2(2cos )2sin 34323234sin cos 2sin 2cos 2333sin(2)363S AB BC ααααααααπα=⋅=-⋅=-=+-=+-由03πα<<，所以当262ππα+=，即6πα=时，S 取最大值，为432323333-=,故选：A.4．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.图中的ABCD 为矩形，弧CED 为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为（）A．210cm 3π⎛+⎝B．28cm 3π⎛+⎝C．2(4π+D．2(2π+【答案】B 【解析】如图，由图可知，球半径2r cm =，设阴影部分面积为1S ，则截面面积为1ABCD S S S S =+-圆矩形截面,()224S r cm ππ==圆，)21233ABCD S cm =⨯=矩形，3AB CD cm ==，连接CD ,作OF CD ⊥于F 点，2OD OC r cm === ，F ∴为CD 中点，3,2F D D O =∴=，3cos 2DF ODF OD ∴∠==，故30ODF ︒∠=，60DOF ∴∠=︒,∴扇形ODC 的面积()22114242233S r cm ππα==⨯⨯⨯=扇形，)21131322ODC S DC OF cm =⋅=⨯= ，)21433ODC ODC S S S cm π∴=-=扇形)2484333333S cm πππ∴=+-+=+截面，故选：B5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()ln 2f x f x =--，函数()()2sin cos xx x f x g π++=，若()()1ln2a g e a =∈R ，则()a g e -=______．【答案】2ln 2【解析】∵()()ln 2f x f x =--，∴()()ln 2f x f x +-=，故()()ln 2aaf e f e +-=；令()2sin cos xh x x π=+，则()()()g x f x h x =+，而()()2sin cos xx h x h x π-=+-=-，即()()0h x h x +-=，该函数是奇函数，故()()0a a h e h e +-=；故()()()()()()()()()a a a a a a aa a g e g e f e h e f e f e f e h e h e ⎡⎤⎡⎤+-=++-=+-++-⎣⎦⎣⎦ln 20ln 2=+=，又∵()1ln ln 22ag e==-，∴()()ln 2ln 22ln 2ag e -=--=.故答案为：2ln 2.6．已知函数()sin sin 2f x x x =⋅，[]0,2πx ∈.下列有关()f x 的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号).①不等式()0f x >的解集为π04x x ⎧<<⎨⎩或3ππ4x ⎫<<⎬⎭；②()f x 在区间[]0,2π上有四个零点；③()f x 的图象关于直线πx =对称；④()f x ；⑤()f x 的最小值为2；【答案】③④【解析】由()2sin sin 22sin cos f x x x x x =⋅=⋅①()0f x >，即cos 0x >，又[]0,2πx ∈，则02x π<<或322x ππ<<，故①不正确.②()0f x =,则sin 0x =或cos 0x =，又[]0,2πx ∈所以30,,,,222x ππππ=，共有5个零点，故②不正确.③()()()()2222sin 2cos 22sin cos f x x x x x f x πππ-=-⋅-=⋅=所以()2f x π-=()f x ，则()f x 的图象关于直线πx =对称，故③正确.④()()222sin cos 2cos 1cos f x x x x x =⋅=⋅-设[]cos 1,1x t =∈-，则322y t t =-+，则262y t '=-+由2620y t '=-+>解得3333t -<<-，由2620y t '=-+<解得313t -<<-或313t <<所以322y t t =-+在313⎡--⎢⎣⎦，上单调递减，在3333⎡-⎢⎣⎦，上单调递增，在313⎤⎥⎣⎦上单调递减.当33t =时,y =,当t 3=-时,y =,当1t =时，0y =，当1t =-时，0y =，所以当33t =时，函数322y t t =-+有最大值9所以当t 3=-时,函数322y t t =-+有最小值439-所以④正确，⑤不正确.故答案为：③④7．已知函数2()cos 222x x x f x =+-.（1）求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦；（2）5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）2()cos 2222sin()4x x x f x x x x π=+=++-，令4U x π=+，[]0,x π∈ ，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由sin y U =的图像知，2sin 2U ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即sin ,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>(f x ωQ2sin()4x πω∴+=，即3sin()=42x πω+[]0,x π∈ ，444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
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|三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.(Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2B =, 由ABC ∆为锐角三角形得π6B =. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭&1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.2 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ．(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ⋅的最大值是5,求k 的值.【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C ,∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ．-即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C )∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0<A <π,∴sin A ≠0. ∴co s B =21. ∵0<B <π,∴B =3π. (II)m n ⋅=4k sin A +cos2A ． =-2sin 2A +4k sin A +1,A ∈(0,32π) …设sin A =t ,则t ∈]1,0(.则m n ⋅=-2t 2+4kt +1=-2(t -k )2+1+2k 2,t ∈]1,0(.∵k >1,∴t =1时,m n ⋅取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k =23. 3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin=++CB A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.)42sin(22sin 2cos 2sin2sinππ+=+=+-C C C C C￥2242πππ==+∴C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,此时面积的最大值为()24632-.4 ．在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A ． B ．C 的对边,C =2A ,43cos =A , (1)求BC cos ,cos 的值; (2)若227=⋅,求边AC 的长｡ 【解析】:(1)81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由~()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B (2)24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ① 又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ② 由①②解得a=4,c=625169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ,即AC 边的长为5.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根.(Ⅰ)求)tan(B A +的值;》(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==.∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=-231123+==--⨯(Ⅱ)∵180=++C B A ,∴)(180B A C +-=.由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,∵C 为三角形的内角,∴2sin 2C =∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴3sin 10A =, 由正弦定理得:sin sin AB BCC A=，∴53352102BC =⨯=. 6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2sin ,3m B =-,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡(I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡【解析】:(1) //m n2sinB(2cos 2B2-1)=-3cos2B2sinBcosB=-3cos2B tan2B=- 3∵0<2B<π,∴2B=2π3,∴锐角B=π3(2)由tan2B =- 3B=π3或5π6)①当B=π3时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2-ac≥2ac -ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=34ac ≤3∴△ABC 的面积最大值为 3②当B=5π6时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a 2+c 2+3ac≥2ac +3ac=(2+3)ac (当且仅当a=c =6-2时等号成立) ∴ac≤4(2-3)∵△ABC 的面积S △ABC =12 acsinB=14ac≤ 2-3>∴△ABC 的面积最大值为2- 37 ．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B CA 2cos 2sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=142sin 2A C ++cos2B= 41-(2)由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b =2, a2+c 2=12ac +4≥2ac ,得ac ≤38, S △ABC =12ac si nB ≤315(a =c 时取等号)：故S △ABC 的最大值为3158 ．已知)1(,tan >=a a α,求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值｡ 【解析】aa-12;9 ．已知()()()()3sin 5cos cos 23sin cos tan 322f ππααπααππαααπ⎛⎫-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(I)化简()fα(II)若α是第三象限角,且31cos 25πα⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()f α的值｡ 【解析】<10．已知函数f(x)=sin 2x+3sinxcosx+2cos 2x,x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x ∈R)的图象经过怎样的变换得到【解析】:(1)1cos 23()2(1cos 2)22x f x x x -=+++ 3132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈ 即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦？(2)先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度, 得到sin(2)6y x π=+的图象,再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度, 就得到3sin(2)62y x π=++的图象｡11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a,)4cos ,4(sin xx b ππ=,x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡【解析】:(1))34sin(34cos 234sin 23)(ππππ-=-=x x x x f∴当]223,22[34ππππππk k x ++∈-时,)(x f 单调递减 )解得:]8322,8310[k k x ++∈时,)(x f 单调递减｡ (2)∵函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x∵]34,0[∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32,334ππππx∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ∴0=x 时,23)(max =x g 12．已知cos 2sin αα=-,求下列各式的值; (1)2sin cos sin 3cos αααα-+;；(2)2sin 2sin cos ααα+【解析】:1cos 2sin ,tan 2ααα=-∴=-(1)1212sin cos 2tan 1421sin 3cos tan 3532αααααα⎛⎫⨯-- ⎪--⎝⎭===-++-+(2)2222sin 2sin cos sin 2sin cos sin cos αααααααα++=+ 2222112tan 2tan 322tan 15112ααα⎛⎫⎛⎫-+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭13．设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈,函数()()f x a a b =⋅+(I)求函数()f x 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合｡#【解析】14．已知向量)1,32(cos --=α,)1,(sin α=n ,与为共线向量,且]0,2[πα-∈(Ⅰ)求ααcos sin +的值;(Ⅱ)求αααcos sin 2sin -的值.｡【解析】:(Ⅰ) m 与n 为共线向量, 0sin )1(1)32(cos =⨯--⨯-∴αα, 即32cos sin =+αα (Ⅱ) 92)cos (sin 2sin 12=+=+ααα ,972sin -=∴α [2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα ,916)32(2)cos (sin 22=-=-∴αα 又]0,2[πα-∈ ,0cos sin <-∴αα,34cos sin -=-αα 因此,127cos sin 2sin =-ααα 15．如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075,030,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060,AC=0.1km ｡试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D 的距离(计算结果精确到0.01km,2≈,6≈【解析】:在ACD ∆中,DAC ∠=30°,ADC ∠=60°-DAC ∠=30°,所以CD=AC=又BCD ∠=180°-60°-60°=60°,<故CB 是CAD ∆底边AD 的中垂线,所以BD=BA 在ABC ∆中,ABCACBCA AB ∠=∠sin sin , 即AB=2062351sin 60sin +=︒︒AC因此,km 33.020623≈+=BD故 B ．D 的距离约为0.33km ｡16．已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为2π,且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.(Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)当[,]122x ππ∈,求()f x 的值域.【解析】： (1)由最低点为2(,2)3M π-得A=2.！由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2π,即T π=,222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππϕϕ⨯+=-+=-即sin(故42,32k k Z ππϕπ+=-∈ 1126k πϕπ∴=- 又(0,),,()2sin(2)266f x x πππϕϕ∈∴==+故(2)7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈ 当26x π+=2π,即6x π=时,()f x 取得最大值2;当7266x ππ+=即2x π=时,()f x 取得最小值-1,故()f x 的值域为[-1,2]17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C 三点进行测量,已知50AB m =,120BC m =,于A 处测得水深80AD m =,于B 处测得水深200BE m =,于C 处测得水深110CF m =,求∠DEF 的余弦值｡。