高考二轮复习考前增分训练数学(理) 大题规范练10 “20题、21题”24分练

大题规范练(十) “20题、21题”24分练

(时间：30分钟 分值：24分)

解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，点P 在直线AB 上，且AP →＝32

PB →，|AB →|＝2＋ 3.

(1)求点P 的轨迹E 的方程；

(2)已知曲线E 上的定点K (－2,0)及动点M ，N 满足KM →·KN

→＝0，试证：直线MN 必过x 轴上的定点.

[解] (1)设P (x ，y )，A (x A,0)，B (0，y B )，则AP →＝(x －x A ，y )，PB →＝(－x ，y B

－y )，由AP →＝32PB →，得x A ＝x ＋32x ，y B ＝y ＋23

y ，由|AB →|＝2＋3，即可求得点P 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)证明：设直线KM ：y ＝k (x ＋2)(k ≠0)与x 24＋y 2

3＝1联立，

消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0.

设M (x 1，y 1)，则－2＋x 1＝－16k 23＋4k 2，x 1＝－16k 23＋4k 2＋2＝6－8k 23＋4k 2

， y 1＝k (x 1＋2)＝12k 3＋4k 2，∴M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫6－8k 23＋4k 2，12k 3＋4k 2， 设直线KN ：y ＝－1k (x ＋2)(k ≠0)，

同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2－83k 2＋4

，－12k 3k 2＋4， k MN ＝y M －y N x M －x N ＝－7k 4(k 2－1)

(k 2≠1)， 则MN ：y －12k 3＋4k 2＝－7k 4(k 2－1)(x －6－8k 23＋4k 2

)， 化简可得y ＝－7k 4(k 2－1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋27， 即直线MN 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0，另MN 斜率不存在时，也过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－27，0，

∴直线MN 必过定点⎝ ⎛⎭

⎪⎫－27，0. 21．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋ax 2有两个零点．

(1)求a 的取值范围；

(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，求证：x 1＋x 2＜0.

[解] (1)f ′(x )＝x e x ＋2ax ＝x (e x ＋2a )．

(ⅰ)当a ＞0时，e x ＋2a ＞0，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．因为f (0)＝－1＜0，f (2)＝e 2＋4a ＞0，取实数b 满足b ＜－2且b ＜ln a ，则f (b )＞a (b －1)＋ab 2＝a (b 2＋b －1)＞a (4－2－1)＞0，所以f (x )有两个零点．

(ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝(x －1)e x ，故f (x )只有一个零点，不满足题意．

(ⅲ)若a ＜0，当a ≥－12，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又当x ≤0时，f (x )

＜0，故f (x )不存在两个零点，不满足题意；当a ＜－12，则函数f (x )在(ln(－

2a )，＋∞)上单调递增；在(0，ln(－2a ))上单调递减．又当x ≤1时，f (x )＜0，故不存在两个零点．综上所述，a 的取值范围是(0，＋∞)．

(2)证明：不妨设x 1＜x 2.由(1)，知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，＋∞)，－x 2∈(－∞，0)，则x 1＋x 2＜0等价于x 1＜－x 2.因为函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以x 1＜－x 2等价于f (x 1)＞f (－x 2)，即f (－x 2)＜0.由f (x 2)＝(x 2－1)e x 2＋ax 22＝0，

得ax 22＝(1－x 2)e x 2，f (－x 2)＝(－x 2－1)e －x 2＋ax 22＝(－x 2－1)e －x 2＋(1－x 2)e x

2，令g (x )＝(－x －1)e －x ＋(1－x )e x ，x ∈(0，＋∞)．则g ′(x )＝－x (e x －e －x )＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0.所以f (－x 2)＜0，即原命题成立，x 1＋x 2＜0.