2017-2018学年广东省广州市高二(上)期末数学试卷(理科)附解析

2017-2018学年广东省广州市高二（上）期末数学试卷（理

科）

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合A={-1，0，1}，B={x|x2-2x-3≤0}，则A∩B=（）

A. 0，

B.

C.

D.

2.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围

是（）

A. B. C. D.

3.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中

等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（）

A. B. C. D.

4.已知cos（-x）=，则sin2x=（）

A. B. C. D.

5.椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是

2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为（）

A. B. C. D.

6.在某项体育比赛中，七位裁判为一个选手打出的分数如下：90，89，90，95，93，

94，93去掉一个最高分和一个最低分，所剩分数的平均值和方差为（）

A. 92，2

B. 92，

C. 93，2

D. 93，

7.若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0，且a≠1）．满足0＜f（x）≤1，则函数y=log a||

的图象大致是（）

A. B.

C. D.

8.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程

中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面

构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣

合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中

四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）

A. B. C. D.

9.若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为N≡r

（modm），例如10≡2（mod 4）．下面程序框图的

算法源于我国古代算术《中国剩余定理》，则执行

该程序框图，输出的i等于（）

A. 8

B. 16

C. 32

D. 41

10.已知椭圆C的中心在原点，左焦点F1右焦点F2均在x轴上，A为椭圆的有顶点，B

为椭圆的上端点，P是椭圆上的一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

11.已知圆x2+y2=1，点A（1，0），△ABC内接于圆，且∠BAC=60°，当B、C在圆上

运动时，BC中点的轨迹方程是（）

A. B.

C. D.

12.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别为棱

DD1、AB上的点，则下列判断正确的个数有（）

①A1C⊥平面B1EF；

②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的

三角形；

③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；

④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的

大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是______．

14.已知向量||=1，||=2，且，，则向量，的夹角为______．

15.函数f（x）=A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f（）

的值为______．

16.设函数f（x）=x+，记函数g（x）=，求函数g（x）在区间[-2，-]

上的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知锐角△ABC内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且2a sin B=b，

（1）求角A的大小；

（2）若a=，b=2，求cos C．

18.已知公比大于1的等比数列{a n}中，a2=2且6是a1+3与a3+4的等差中项．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）若数列{b n}满足b1+2b2+3b3+••+nb n=a n，求数列{b n}的通项公式．

19.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1B1B

是边长为2的正方形，四边形BB1C1C是以∠BB1C1=60°

的菱形，平面AA1B1B⊥平面BB1C1C，AC1=2

（1）求证：B1C⊥AC1；

（2）求平面AB1C1与平面BB1C1C所成二面角的正切

值．

20.2015年我国将加快阶梯水价推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基

本”是指保证至少80%的居民用户用水价格不变．为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如下（单位：吨）：

（1）在郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；

（2）设该城市郊区和城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定义为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变．试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．

21.已知函数f（x）=．

（1）用函数单调性的定义证明f（x）为R上的增函数；

（2）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＞的离心率为，且

椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；