第三章 3.1.4《空间向量的正交分解及其坐标表示》

3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

知识点一 空间向量基本定理

思考 平面向量基本定量的内容是什么？

答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

梳理 (1)如果三个向量a ，b ，c 共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a ，b ，c 中，没有零向量．

(3)单位正交基底：如果{e 1，e 2，e 3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两垂直，长度为1；且向量e 1，e 2，e 3有公共的起点． 知识点二 空间向量的坐标表示 思考 平面向量的坐标是如何表示的？

答案 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．

设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →

＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立(O 是坐标原点)．

梳理 (1)设e 1，e 2，e 3为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e 1，e 2，e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1，e 2，e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP →

＝p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，我们把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记

作p ＝(x ，y ，z )，此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标(x ，y ，z )． (2)向量p 的坐标是把向量p 的起点平移到坐标原点O ，则OP →

的终点P 的坐标就是向量p 的坐标，这样就把空间向量坐标化了.

类型一 空间向量的基底

例1 若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底？

解 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ、μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .

∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面．

∴{ 1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ，此方程组无解．∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．

反思与感悟 空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．

跟踪训练1 以下四个命题中正确的是________． ①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；

②若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量；

③如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线； ④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底． 答案 ②③

解析 因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确． 类型二 用基底表示向量

例2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →

＝b ，AA ′→

＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．

(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连接AC ，AD ′.

(1)AP →＝12(AC →＋AA ′→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′→

)＝12(a ＋b ＋c )．

(2)AM →＝12(AC →＋AD →

′)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12

c .

(3)AN →＝12(AC →′＋AD →′)＝12[(AB →＋AD →＋AA →′)＋(AD →＋AA →

′)]＝12

a ＋

b ＋

c .

(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA →′＝AC →＋45(AA →′－AC →)＝15AC →＋45AA →

′＝15(AB →＋AD →)＋45AA →′＝

15a ＋15b ＋4

5

c . 反思与感悟 求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义．

跟踪训练2 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量GH →. 解 ∵H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点， ∴OD →＝12(OB →＋OC →)，OH →＝23OD →，

从而OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →

)

＝1

3

(b ＋c )． 又OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →，AD →＝OD →－OA →，

∴OG →＝OA →＋23×12(OB →＋OC →

)－23OA →

＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝1

3(a ＋b ＋c )． ∵GH →＝OH →－OG →，

∴GH →＝1

3(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .

类型三 应用空间向量坐标表示解题

例3 棱长为1的正方体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→

}为基底，求下列向量的坐标． (1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.

解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD →′＝AD →＋12

AA →′＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →