高三期末考试数学试题及答案
山东省威海市2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
高三数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{||1|}A x x =-≥1，2{|20}B x x x =--<，则A B = A.(20)-, B.(10)-, C.(20]-, D.(10]-,2.已知向量(22)=,a ，(1)x =,b ，若∥a b ，则||=b A.1D.23.若复数z 满足(1i)|1|z -=+，则z =A .1i- B.1i+ C.22i- D.22i+4.cos 28cos73cos62cos17︒︒︒︒+=A.2B.2-C.2D.2-5.若正实数a ，b ，c 满足235a b c ==，则A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c b a<<6.已知函数()y f x =的图象是连续不断的，且()f x 的两个相邻的零点是1，2，则“0(12)x ∃∈,，0()0f x >”是“(12)x ∀∈,，()0f x >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知1F ，2F 分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>,的左、右焦点，过点1F 的直线与圆222x y a +=相切于点P ，且与双曲线的右支交于点Q ，若2||||PQ QF =，则该双曲线的离心率为A.2B.3C.2D.58.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA PD ==，二面角P AD B --为60︒，则该四棱锥外接球的表面积为A.163πB.283π C.649π D.20π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-4．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减5．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．257．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题8．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．3510．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D ．511．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>12．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题及答案
2024届高三名校期末测试数学考生注意：1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,2,U A B xx k k ====∈Z ∣，则U B A ⋂=ð（）A.{}4 B.{}2,4 C.{}1,2 D.{}1,3,52.复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的虚部为（）A.8B.-8C.8iD.8i-3.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则ab ⋅= （）A.2B.52-C.-2D.1124.在ABC 中，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.4B.14-C.4D.146.,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻，那么排法种数为（）A.24B.120C.48D.607.若系列椭圆()22*:101,n n n C a x y a n +=<<∈N 的离心率12nn e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =（）A.114n⎛⎫- ⎪⎝⎭B.112n⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，那么以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.499B.500C.501D.502二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左､右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左､右两支分别交于,P Q 两点，与其两条渐近线分别交于,R S 两点，则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ∥ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()2,22y x a RS SB =--= ，则双曲线C 11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC -容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4+C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入），则小球半径的最大值为25三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于__________.13.已知函数()()ln 11axf x x x =+-+，若()0f x 恒成立，则a =__________.14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点P 为抛物线上的动点，点4,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点P 的距离AP 的最小值为2，则p =__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,cos 0b c a C b ==+=.（1）求a ；（2）已知点D 在线段BC 上，且3π4ADB ∠=，求AD 长.16.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲､乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X 的分布列与数学期望.17.（15分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11111,224A ACC AC AA A C ===，B 为底面圆周上异于,A C 的点.（1）在平面1BCC 内，过1C 作一条直线与平面1A AB 平行，并说明理由.（2）设平面1A AB ⋂平面11,,C CB l Q l BC =∈与平面QAC 所成角为α，当四棱锥11B A ACC -的体积最大时，求sin α的取值范围.18.（17分）已知函数()()ln 1f x x ax x =--.（1）当0a <时，探究()f x '零点的个数；（2）当0a >时，证明：()32f x -.19.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1),MQ MPλλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=，定点分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于,B D （点B 在x 轴上方），点,S T 是椭圆C 上异于,B D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分BTD ∠.①求BS DS的取值范围；②将点S F T ､､看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.2024届高三名校期末测试·数学参考答案､提示及评分细则1.【答案】A【解析】{}{}{}U 1,2,3,4,5,2,3,1,4,5U A A ==∴= ð，又{}2,B x x k k ==∈Z ∣{}U 4B A ∴⋂=ð.故选：A.2.【答案】B【解析】因为331i (i i)8i i ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.故选：B.3.【答案】C【解析】由题b 在a 上的投影向量为()()2cos 0,||a b a ab t a a θ⋅⋅⨯== ，又()10,1,12a t -=∴= ，即()()1,1,01212b a b =∴⋅=⨯+-⨯=-.故选：C.4.【答案】A【解析】在ABC 中，πA B C ++=，则πB C A =--，充分性：当π2C =时，ππ,sin sin cos 22B A B A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2222sin sin sin cos 1A B A A +=+=，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分条件；必要性：当22sin sin 1A B +=时，取ππππ,121222A B A ==+=+，此时满足2222ππsin sin sincos 11212A B +=+=，但ππ32C =≠，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的不必要条件.综上所述，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分不必要条件.故选：A.5.【答案】B【解析】圆22410xy x +--=圆心()2,0C ，半径为r =；设()0,2P -，切线为PA PB ､，则PC PBC == 中，sin2BC PC α==，所以21cos 12sin 24αα=-=-.故选：B.6.【答案】C【解析】将,A B 看成一体，,A B 的排列方法有22A 种方法，然后将A 和B 当成一个整体与其他三个人一共4个元素进行全排列，即不同的排列方式有44A ，根据分步计数原理可知排法种数为2424A A 48=，故选：C.7.【答案】A【解析】椭圆n C 可化为22:111n x y a +=.因为01n a <<，所以离心率12nn ce a⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得：114nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A.8.【答案】D【解析】由题意得：210031003410030S T -⨯ ，其中()110031003502100310032a a S a +==，()110031003502100310032b b T b +==，代入上式得：250250240a b - ，要方程()201,2,3,,1003i i x a x b i -+== 无实数解，则240i i a b -<，显然第502个方程有解.设方程2110x a x b -+=与方程2100310030x a x b -+=的判别式分别为11003Δ,Δ，则()()()22221100311100310031100311003ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-=+-+()()()22110035022502502502502242824022a a ab b a b +-⨯=-=- ，等号成立的条件是11003a a =，所以11003Δ0,Δ0<<至多一个成立，同理可证：21002Δ0,Δ0<<至多一个成立，501503Δ0,Δ0<< 至多一个成立，且502Δ0 ，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.【答案】AD【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为12,16,22,24,25,31,33,35,45，其中位数为25，平均数是()121622242531333545927++++++++÷=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899⎡⎤⨯-+-+-+-+-++++=⎣⎦，由40%9 3.6⨯=，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35，其中位数为25，平均数是()1861622242531333577++++++÷=，方差是222222217432181131455919167777777749⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+-+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由40%7 2.8⨯=，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A ，D 正确，B ，C 错误.故选：AD.10.【答案】BD【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线:l y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B C ､项判断；根据2RS SB =，求出b =，从而可对D 项判断.【解析】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线:l y kx t =+，与双曲线联立22221y kx tx y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()()1122,,,P x y Q x y ，由根与系数关系得：2222212122222222,a kt a b a t x x x x b a k b a k++==---，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kta k t N tb a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线:l y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,atbt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线:l y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,atbt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以线段RS 中点222222222,a kt a k tM t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22112,,22ORBR ab b R S OB y OB b ak b ak b ak -⎛⎫=⨯=⎪+++⎝⎭ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率ba-时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线by xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线by xa =-，解得2R 由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R B y y y =+，=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD.11.【答案】ACD【解析】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ⋂=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB AE ⊥，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于4AD CD AC ===，2222221cos 23CD AD AC ADC CD AD ∠+-===⋅，π22cos cos sin 23ADB ADC ADC ∠∠∠⎛⎫=+=-=-⎪⎝⎭，所以222222cos 2221633AB BD AD BD AD ADB ∠⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故AB ABE ==的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON PM ⊥于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM ==，同理PM =，则133MF BM ==，故3PF ==，设OF ON R ==，故3OP PF OF R =-=-，因为PNO PFM ∽，所以ON OP FM PM =3233R-=，解得63R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C 选项可知，其高为263r ，由C 选项可知，PF 是正四面体P ABC -的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则26,3QS r SF r ==，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体P HIJ -中，,3QZ r QP r ==，正四面体P ABC -高为2633r r r++43=，解得25r =，D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.【答案】3920【解析】小于300的所有末尾是1的三位数是101,111,121,,291 ，是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为()202010129139202S ⨯+==，故答案为:3920.13.【答案】1【解析】由题意得()()22111(1)(1)x a af x x x x -'-=-=+++，①当0a 时，()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增，所以当()1,0x ∈-时，()()00f x f <=，与()0f x 矛盾；②当0a >时，当()1,1x a ∈--时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x a ∞∈-+时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()min ()1ln 1f x f a a a =-=--，因为()0f x 恒成立，所以()ln 10a a -- ，记()()()11ln 1,1,ag a a a g a a a-=--=='-当()0,1a ∈时，()()0,g a g a '>单调递增，当()1,a ∞∈+时()()0,g a g a '<单调递减，所以()max ()10g a g ==，所以()ln 10a a -- ，又()ln 10a a -- ，所以()ln 10a a --=，所以1a =.14.【答案】24,12【解析】设()()2222222,,||424428342222p p p p P x y AP x y x x px x p x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2234822p x p p⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（i ）当3402p -，即803p < 时，2||AP 有最小值282p p -，即AP2=，解得2p =823+>，故2p =-.（ii ）当3402p -<，即83p >时，2||AP 有最小值242p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即AP 有最小值422p -=，解得4p =或12.综上，p的值为24,12.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.【答案】（1）a =（2）455【解析】（1）cos 0a C b +=，由余弦定理得22202a b c a b ab+-⋅+=，即22230,4a b c b c +-===，则可得a =；（2）由余弦定理2225cos 25b a c C ab +-===-，3ππsin ,544C ADB ADC ∠∠∴===∴= ，则在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AD ACC ADC∠=，sin sin 52AC CAD ADC∠⋅∴==.16.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件B ，则事件B 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则()0.20.60.10.60.10.20.2P B =⨯+⨯+⨯=.（2）由题可知X 的所有可能取值为0,1,2,3，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则()3,0.2X B ~，所以()()0312330C 0.2(10.2)0.512,1C 0.2(10.2)0.384P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，()()()22330332C 0.210.20.096,3C 0.2(10.2)0.008P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，故X 的分布列为X 0123P0.5120.3840.0960.008所以()30.20.6E X =⨯=.17.【解析】（1）取BC 中点P ，作直线1C P ，直线1C P 即为所求，取AB 中点H ，连接1,A H PH ，则有PH ∥1,2AC PH AC =，如图，在等腰梯形11A ACC 中，1112A C AC =.HP ∴∥1111,,A C HP A C =∴四边形11A C PH 为平行四边形.1C P ∴∥1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，1C P ∴∥平面1;A AB（2）由题意作BO '⊥平面11A ACC ，即BO '为四棱锥11B A ACC -的高，在Rt ABC 中，22190,22BA BC BA BC ABC BO AC AC AC ∠⋅+=='=，当且仅当BA BC =时取等号，此时点O '为2O 重合，梯形11A ACC 的面积S 为定值，1113B A ACC V S BO -=⋅'，∴当BO '最大，即点O '与2O 重合时四棱椎11B A ACC -的体积最大，又22,2BO AC BO ⊥=，以2O 为原点，射线2221,,O A O B O O 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA A C ===，此梯形的高h =11A C 为OAC的中位线，(()()((()11,2,0,0,0,2,0,,1,,2,2,0O A B C BC AB ∴-=--=-，(()20,,2,0,0BO O A =-=，设,R BQ BO λλ=∈，则()2,22AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=-- ，设平面QAC 的一个法向量(),,n x y z = ，则()2202220n O A x n AQ x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，取111,1),sin cos ,||n BC n n BC n BC λα⋅=-∴===，令1t λ=+，则sin α=0t =时，sin 0α=，当0t ≠时，0sin 4α<=，当且仅当75t =，即25λ=时取等号，综上0sin 4α .18.【解析】（1）()21212ax ax f x ax a x x-++=-+='，定义域为()0,∞+.二次函数221ax ax -++的判别式为28a a +，对称轴为14x =.当0a <时，二次函数221ax ax -++的图象开口向上，①280a a +<，即80a -<<时，()f x '在()0,∞+上无零点；②280a a +=，即8a =-时，()f x '在()0,∞+上有1个零点14；③280a a +>，即8a <-时，()f x '在()0,∞+有2个不同的零点；综上，当80a -<<时，()f x '在()0,∞+上无零点；当8a =-时，()f x '在()0,∞+上有1个零点；当8a <-时，()f x '在()0,∞+有2个不同的零点；（2）由（1）分析知，当0a >时，()f x '在()0,∞+上有1个零点，设零点为0x ，则20012ax ax +=，解得，04a x a=，进一步，当00x x <<时，()0f x '>，当0x x >时，()0f x '<，所以()()()20000000ln 1ln f x f x x ax x x ax ax =--=-+ ()0000011ln ln 22ax ax x ax x +-=-+=+※易证ln 1x x - ，所以()()()()000822133341222222a a a x ax a x +++--+=-==※ .19.【答案】（1）22186x y +=（2）①1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭②22y x =-【解析】（1）方法①特殊值法，令()222,0,22c c M a a -+±=-+，且2a c =，解得22c =.22228,6a b a c ∴==-=，椭圆C 的方程为22186x y +=，方法②设(),M x y，由题意MF MAλ==（常数），整理得：2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，故222222220141c a a c λλλλ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，又12c a =，解得：a c ==.2226b a c ∴=-=，椭圆C 的方程为22186x y +=.（2）①由1sin 21sin 2SBFSDF SB SF BSF SB S S SD SD SF DSF ∠∠⋅⋅==⋅⋅ ，又SBF SDF BF S S DF = ，BS BF DSDF∴=（或由角平分线定理得），令BF DFλ=，则BF FD λ=，设()00,D x y ，则有2203424x y +=，又直线l 的斜率0k >，则()0001,B B x x x y y λλλ⎧=+-⎪∈-⎨=-⎪⎩代入2234240x y +-=得：)22200314240x y λλλ⎤+-+-=⎦，即()()01530x λλ+-=，10,,13λλ⎛⎫>∴=⎪⎝⎭.②由（1）知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF NB DFND=，即22BF r BF DFr DF-=+，解得：111r BF DF=-.又1281ππ8C S r ==圆，故119r BF DF =∴-=又012DF x ==，0000052111112111933222BF DF DF DF x x x λ--∴-=-===⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得：00,,242x y k =-=-∴=∴直线l的方程为22y x =-.。
第1套：浙江宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷与答案
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2{560},{13},A x x x B x x =-+≤=-≤<则A B = （）A.{13}x x -≤<B.{13}x x -≤≤C.{23}x x ≤<D.{23}x x ≤≤2．函数3()29x f x x =+-的零点所在区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.(2,3)D.()3,45.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.//l αB.l β⊥ C.若a αβ⋂=，则//a lD.αβ⊥e ．．C ．D ．8.设实数,x y 满足3,32x y >>，不等式3322(23)(3)8123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为（）A.12B.24C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于x =1对称B.()g x 为奇函数C.()02f = D.()f x 为偶函数11.已知O 为坐标原点，曲线()()22222:3x y ay x y Γ+=-，0a >，()00,P x y 为曲线Γ上动点，则（）A.曲线Γ关于y 轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.09,16y a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.OP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
安徽省六安市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题含答案
六安市2024年高三教学质量检测数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2log 1,A x x x =≤∈Z，{}220B x xx =+-<，则A B = （）A.{}0,1 B.{}2,1-- C.{}1,0- D.{}1-【答案】D 【解析】【分析】解出对数不等式和一元二次不等式，再根据交集含义即可.【详解】2log ||1x ≤，即22log ||log 2x ≤，则22x -≤≤且0x ≠，则{}2,1,1,2A =--，{}21B x x =-<<，所以{}1A B ⋂=-.故选：D .2.已知复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为()2,2-，则复数1z的虚部为（）A.1-B.i- C.14-D.1i 4-【答案】C 【解析】【分析】得到22i z =+，利用复数除法法则得到111i 44z =-，求出虚部.【详解】由已知得22i z =+，()()122i 1i 11i 22i 22i 444z --===-+-，则复数1z 的虚部为14-.故选：C3.已知向量a =，向量(1,b =- ，则a 与b 的夹角大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量a =，(1,b =-，则cos ,222a b 〈〉==-⨯ ，而0,180a b ︒≤〈〉≤︒ ，所以a，b的夹角为150︒.故选：D4.等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，若()83124m S a a a =++，则m =（）A.11B.12C.13D.14【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式与通项公式转化为基本量计算即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以81828S a d =+，则有()11118282214a d a d a m d a +=+++-+⎡⎤⎣⎦，即()141d m d =+，又0d ≠，所以114m +=，所以13m =.故选：C.5.函数()e 4,1ln ,1x x x f x x x ⎧+-<=⎨≥⎩，若()()()21105f a f a f +≤--，则实数a 的取值范围是（）A.{}1- B.(],1-∞-C.[)1,-+∞ D.11,e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】原不等式变形为()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，再利用分段函数的单调性即可得到不等式，解出即可.【详解】当1x <时，()e 4xf x x =+-，因为e ,4x y y x ==-在(),1∞-上单调递增，此时()f x 单调递增，当1x ≥时，易知()ln f x x =单调递增，且当1x =时，1e 14e 30ln1+-=-<=，则()f x 在R 上单调递增，因为211a +≥，则()()()()()222215ln 1ln5ln5151f a f a a f a ⎡⎤++=++=+=+⎣⎦，所以由()()()21105f a f a f +≤--得()()25110f a f a ⎡⎤+≤-⎣⎦，所以()25110a a +≤-，解得1a =-.故选：A .6.已知ππcos 2cos 63αα⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.35 B.45C.45-D.35-【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式结合二倍角公式，利用齐次式计算可得.【详解】因为πππ632αα⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ππsin 2cos 33αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222πππ2sin cos 2tan 2πππ4333sin 22sin cos πππ3335sin cos tan 1333ααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=++=== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.7.圆()222:0O x y r r +=>上一点1,22A r r ⎛⎫⎪⎝⎭关于x 轴的对称点为B ，点E ，F 为圆O 上的两点，且满足EAB FAB ∠=∠，则直线EF 的斜率为（）A.B.3C.3D.13【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质以及斜率乘积与直线垂直的关系即可.【详解】由EAB FAB ∠=∠知BOE BOF ∠=∠，所以OB EF ⊥，而212OB OArk k r =-=-=，∴3EF k =.故选：B.8.某种生命体M 在生长一天后会分裂成2个生命体M 和1个生命体N ，1个生命体N 生长一天后可以分裂成2个生命体N 和1个生命体M ，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M 的生长开始计算，记n a 表示第n 天生命体M 的个数，n b 表示第n 天生命体N 的个数，则11a =，10b =，则下列结论中正确的是（）A.413a = B.数列{}nnb a 为递增数列C.5163ni b==∑ D.若{}n n a b λ+为等比数列，则1λ=【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出递推公式，进而求出数列{},{}n n a b 的通项公式，再逐项分析判断即得.【详解】依题意，12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，则113()n n n n a b a b +++=+，而111a b +=，因此数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，13n n n a b -+=，又11n n n n a b a b ++=--，因此111n n a a b b -=-=，于是1312n n a -+=，1312n n b --=，对于A ，3431142a +==，A 错误；对于B ，11131213131n n n n n b a ----==-++，显然数列12{}31n -+是递减数列，因此{}n n b a 为递增数列，B 正确；对于C ，51014134058ni b==++++=∑，C 错误；对于D ，1122331,2,54a b a b a b λλλλλ==+=++++，由{}n n a b λ+为等比数列，得2(2)54λλ+=+，解得1λ=或1λ=-，当1λ=时，13n n n b a λ-+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，当1λ=-时，1n n a b λ+=，显然数列{}n n a b λ+是等比数列，因此当数列{}n n a b λ+是等比数列时，1λ=或1λ=-，D 错误.故选：B【点睛】思路点睛：涉及求数列单调性问题，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答，也可以借助函数单调性进行判断.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.ln y x =B.ln y x= C.2y x -= D.e e x xy -=+【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，根据函数奇偶性得到()ln f x x =为偶函数，且在()0,∞+单调递增，A 正确；B 不满足奇偶性，C 不满足单调性；D 选项，满足为偶函数，且求导得到函数在()0,x ∈+∞上单调递增，得到答案.【详解】A 选项，()ln f x x =定义域为()(),00,x ∈-∞⋃+∞，且()()ln ln f x x x f x -=-==，故()ln f x x =为偶函数，且()0,x ∈+∞时，ln y x =单调递增，故A 正确；B 选项，ln y x =的定义域为()0,∞+，故不是偶函数，故B 项错误；C 选项，()0,x ∈+∞时，2y x -=单调递减，故C 项错误；D 选项，()e exxg x -=+的定义域为R ，且()()e e x xg x g x --=+=，故()e exxg x -=+是偶函数，且()0,x ∈+∞时，()e e0xxg x -'=->，函数单调递增，故D 项正确.故选：AD10.地震释放的能量E 与地震震级M 之间的关系式为lg 4.8 1.5E M =+，2022年9月18日我国台湾地区发生的6.9级地震释放的能量为1E ，2023年1月28日伊朗西北发生的5.9级地震释放的能量为2E ，2023年2月6日土耳其卡赫拉曼马拉什省发生的7.7级地震释放的能量为3E ，下列说法正确的是（）A.1E 约为2E 的10倍B.3E 超过2E 的100倍C.3E 超过1E 的10倍D.3E 低于1E 的10倍【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，结合对数运算公式，即可判断.【详解】A.()12lg lg 1.5 6.9 5.9E E -=⨯-，所以 1.51210E E =，故A 错误；B.()32lg lg 1.57.7 5.9E E -=⨯-， 2.73210100E E =>，故B 正确；C.()31lg lg 1.57.7 6.9E E -=⨯-， 1.2311010E E =>，故C 项正确，D 项错误.故选：BC11.已知函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的正数x ，都满足()()()22f x xf x f x x <<-'，则下列结论正确的是（）A.()1122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭B.()()1122f f <C.()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭D.()()11214f f <+【答案】BC 【解析】【分析】设()()()0f x g x x x=>，利用导数求出()g x 的单调性，据此即可判断A 和B 选项，设()()()220f x x h x x x-=>，根据导数求出()h x 的单调性，据此即可求解C 和D 选项.【详解】设()()()0f x g x x x=>，则()()()20xf x f x g x x'-='>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，由()112g g ⎛⎫>⎪⎝⎭得()1122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 项错误；由()()12g g <得()()1122f f <，故B 项正确；设()()()220f x x h x x x-=>，则()()()()()()()()243222220f x x f x x x xf x f x x h x x x ---⋅--=''=<'，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，由()112h h ⎛⎫<⎪⎝⎭得()11422f f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故C 项正确：由()()12h h >得()()11214f f >+，故D 项错误.故选：BC.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱上一点，满足1PA PC d +=（d 为定值），记P 点的个数为n ，则下列说法正确的是（）A.当d =2n =B.1d <<+时，6n =C.当d =时，15n =D.n 的最大值为18【答案】AD 【解析】【分析】由点P 的位置进行分类讨论判断求解即可.【详解】当点P 位于A 或1C 处时，d当P 在AB 棱上由A 到B 移动时，d 1，当P 在AD ，1AA ，1C C ，11C B ，11C D 等棱上移动时，d 1+当P 在1BB 棱上由B 到1B 移动时，d 由11+；当P 在BC ，DC ，1D D ，11A B ，11A D 等棱上移动时，d 也是由1+再由增大到1+.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线24y x =的焦点F 与x 轴上一点A 的连线的中点P 恰在抛物线上，则线段AF 的长为______.【答案】316##0.1875【解析】【分析】根据题意求线段AF 的中点坐标，结合抛物线的定义分析求解.【详解】因为24y x =，即214x y =，可知抛物线的焦点10,16F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为116y =-，设(),0A a ，则线段AF的中点为1,232a ⎛⎫⎪⎝⎭，则113321632PF =+=，所以3216AF PF ==.故答案为：316.14.如图，在四边形ABCD 中，AD AB ⊥，120ADC ∠=︒，AB =，1AD =，2CD =，求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积为______.【答案】(12π+【解析】【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以AB 为半径的圆的面积，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积，以BC 为母线的圆台的面积，相加后得到答案.【详解】作CE AD ⊥，CFAB ⊥，E ，F 为垂足，因为120ADC ∠=︒，所以60EDC ∠=︒，因为2CD =，所以1DE =，CE =，故==AF CE ，又AB =1AD =，故2CF AE AD DE ==+=，BF AB AF =-=，由勾股定理得CB ==，四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积分为三部分，以AB 为半径的圆的面积(2π12π=，以CD 为母线和CE 为半径的圆锥的侧面积πrl =，以BC 为母线的圆台的侧面积+=所以该几何体的表面积为(12π+.故答案为：(12π+15.已知函数()()()22cos0f x x ωω=>的最小正周期为π，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据()f x 的最小正周期求得ω，根据三角函数图象变换的知识求得()g x ，进而求得()g x 在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域.【详解】()cos21f x x ω=+，2ππ2ω=，22ω=，()cos21f x x =+，将函数()y f x =的图象上的所有点向右平移π6个单位长度，得到ππcos 21cos 2163y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到()πcos 413g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ππ,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π40,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π1cos 4,132x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()y g x =在ππ,124⎡⎤⎢⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，圆222:O x y a +=与双曲线C 的渐近线在第一象限交于点A ，点B 在双曲线C 上，222BF F A =-，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】2y x =±【解析】【分析】求出点A 的坐标及2AF 长，由222BF F A =-可得点A 为2BF 的中点，再结合双曲线定义求解即得.【详解】由222BF F A =-，得点A 为2BF 的中点，记1F 为C 的左焦点，连接1BF ，令半焦距为c ，则122BF OA a ==，由222b y x ax y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2(,)a ab A c c ，而2(,0)F c ，因此2222()()a ab AF c b c c=-+=，由双曲线定义得222b a a -=，即2b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±.故答案为：2y x=±四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()140n n S a λλλ-=->.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）当2λ=时，设1221log log n n n a n a n b a a ++++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析（2）261939n n nT n +=+【解析】【分析】（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差得到1n n a a λ+=，即可得证；（2）由（1）可得12n n a +=，则321122323n n n b n n n n ++=+=+-++++，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为()()140n n S a λλλ-=->，当1n =时，()1114S a λλ-=-，解得14a =，由()14n n S a λλ-=-得()1114n n S a λλ++-=-，两式作差得()()()111144n n n n S S a a λλλλ++---=---，即()111n n n a a a λλλ++-=-，则1n n a a λ+=，又0λ>，所以数列{}n a 是首项为4，公比为λ的等比数列.【小问2详解】当2λ=时，由（1）得11422n n n a -+=⨯=，又223121322232log log log log 2322n n n n n n n a n a n n n b a a n n ++++++++++=+=+=+++，所以322131112232323n n n n n b n n n n n n +++++-=+=+=+-++++++，所以1111112344523n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112344523n n n ⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭21161923339n n n n n +⎛⎫=+-=⎪++⎝⎭.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .（1）若12b a =，6sin sin B A -=，求角A 的值；（2）若π3A =，且b 是a 和3c 的等差中项，求cos B 的值.【答案】（1）π3A =或2π3（2）1cos 7B =-【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角即可得结果；（2）由等差中项可得23a b c =-，结合余弦定理解得83b c =，73a c =，代入余弦定理即可得结果.【小问1详解】因为12b a =，由正弦定理sin sin b a B A=得1sin sin 2B A =，又因为6sin sin B A -=sin 2A =，且()0,πA ∈，所以π3A =或2π3.【小问2详解】显然0,0,0a b c >>>，由b 是a 和3c 的等差中项得23b a c =+，即230a b c =->，可得32b c >，因为π3A =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得()22223b c b c bc -=+-，化简得2231180b bc c -+=，即()()380b c b c --=，解得83b c =或b c =（舍去），由23a b c =-，可得73a c =，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得22278133cos 7723c c c B c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.19.已知函数()()36R f x x ax a =+-∈.（1）若函数()f x 的图象在2x =处的切线与x 轴平行，求函数()f x 的图象在3x =-处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性.【答案】19.15480x y -+=20.答案见解析【解析】【分析】（1）先求导函数再求斜率最后写出切线方程；（2）分类讨论列表根据导函数求单调性.【小问1详解】()23f x x a ='+.由题意()2120f a ='+=，解得12a =-，所以()3126f x x x =--，()33f -=，()315f '-=()f x 在3x =-处的切线方程为15480x y -+=【小问2详解】()23f x x a ='+.①当0a ≥时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当0a <时，由()0f x '=得x =，()f x 在R 上的变化情况如下表：由上表可得()f x 在,∞⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上单调递增.综上，当0a ≥时，增区间为(),∞∞-+，无减区间；当0a <时，增区间为,∞⎛- ⎝和∞⎫+⎪⎪⎭，减区间为⎛ ⎝.20.如图，在三棱锥A BCD -中，CE BD ⊥，垂足为点E ，AH ⊥平面BCD ，垂足H 在CE 上，点F 在AC 上，且CEF CAH ∠=∠.（1）证明：AC ⊥平面BDF ；（2）若22BE DE ==，22CH EH ==，三棱锥A BCD -的体积为BF 与平面ABD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5.【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到线线垂直，由CEF CAH ∠=∠，可得出AC EF ⊥，利用线面垂直的判定定理可以证得AC ⊥平面BDF ；（2）通过三棱锥A BCD -的体积，可以求出AH ，进一步求AC ，由两个三角形AHC ，EFC 相似，得出F 为AC 的中点，然后建立空间直角坐标系，求平面ABD 的法向量，进而可以求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】由AH ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，得AH BD ⊥，又CE BD ⊥，而AH ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，AH CE H = ，所以BD ⊥平面ACE ，又AC ⊂平面ACE ，所以BD AC ⊥.再由AH ⊥平面BCD ，EC ⊂平面BCD ，得AH EC ⊥，得90AHC ∠=︒，又CEF CAH ∠=∠，ACH ECF ∠=∠，得90EFC AHC ︒∠=∠=，即AC EF ⊥.又EF ⊂平面BDF ，BD ⊂平面BDF ，EF BD E = ，所以AC ⊥平面BDF .【小问2详解】由条件知11133322A BCD BCD V S AH BD CE AH AH -=⋅=⨯⨯⨯⨯==所以AH =，在Rt AHC 中，2228412AC AH CH =+=+=，所以AC =由（1）知Rt Rt AHC EFC ~△△，所以FC ECHC AC =，即2FC =，得FC =，可知F 为AC 的中点，过点H 作HG BD ∥交BC 于点G由（1）易得HG ，HC ，HA 两两垂直，以{HG 、HC 、}HA正交基底，建立空间直角坐标系H xyz -，如图所示由题意可知，(0,0,A ，()2,1,0B -，()0,1,0E -，()0,2,0C，(F .则(0,1,EA = ，()2,0,0EB =，(2,BF =- ，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020EA n y EB n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1z =-，则y =，所以平面ABD的一个法向量()0,1n =-，设直线BF 与平面ABD 所成角θ，则sin =cos<,5n BF n BF n BFθ⋅>===⋅.故直线BF 与平面ABD所成角的正弦值为5.21.平面内一动点P 到直线:4l y =的距离，是它到定点()0,1F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）经过点F 的直线（不与y 轴重合）与轨迹Γ相交于M ，N 两点，过点M 作y 轴平行线交直线l 于点T ，求证：直线NT 过定点.【答案】（1）22143y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得4y -=，化简即可得解；（2）设直线MN 的方程以及,,M N T 的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得()121232kx x x x =+，表示出NT 的方程，令0x =，证明此时y 为定值即可得证.【小问1详解】由题意，设动点P 的坐标为(),x y，则4y -=，平方整理得22143y x +=，所以点P 的轨迹Γ方程为22143y x+=.【小问2详解】由题意，设直线MN 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1,4T x .将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，所以122634k x x k -+=+，122934x x k -=+，显然0∆>，所以()121232kx x x x =+.因为直线NT 的方程为()212144y y x x x x --=--，令0x =，则()21221221122121214144x x kx x x y x x kx x y x x x x x x -+---===---()()21122121213545222x x x x x x x x x x --+-===--，因此，直线NT 过定点50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线MN 的方程为1y kx =+，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到()121232kx x x x =+，再得到直线NT 的方程，令0x =计算即可.22.已知函数()()()22ln 211R 2m f x x x m x m =+-++∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x ，求证：()()122f x f x f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，对导函数因式分解，分0m ≤，12m =，12m >，102m <<，得到函数的单调性，进而得到函数的极值情况；（2）由（1）得110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，并得到()()12212ln 222f x f x m m m +=---，2222ln 44f m m ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，作差法得到()()21222f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，结合m 的范围得到结论.【小问1详解】()()22ln 2112m f x x x m x =+-++的定义域为()0,∞+，()()()()()()2212212210mx m x x mx f x mx m x x x x-++--'=+-+==>①若0m ≤，则()20f '=，()0,2x ∈时()0f x '>，()2,x ∞∈+时()0f x '<，故()f x 在()0,2x ∈上单调递增，在()2,x ∞∈+上单调递减，所以函数的极大值为()22ln221f m =--，无极小值，②若12m =，则()()2202x f x x'-=≥，()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值.③若12m >，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '>，1,2x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，()2,x ∞∈+时()0f x '>，故()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,∞+上单调递增，在1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.④若102m <<，由()()()210x mx f x x--'==得2x =或1x m =，()0,2x ∈时()0f x '>，12,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，1,x m ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0f x '>，故()f x 在()0,2，1,m ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递增，在12,m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=---⎪⎝⎭.综上，当0m ≤时，极大值为()22ln221f m =--，无极小值；当102m <<时，极大值为()22ln221f m =--，极小值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭；当12m =时，()f x 无极值；当12m >时，极大值为112ln 12f m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，极小值为()22ln221f m =--.【小问2详解】由（1）知函数()f x 有两个极值点时，110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()121122ln2212ln 12f x f x f f m m m m ⎛⎫+=+=----- ⎪⎝⎭212ln222m m m=---，()222224ln 222122ln 44f m m m m m ⎛⎫=+-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()()122122462f x f x f m m m ⎛⎫+-=--++- ⎪⎪⎝⎭22442⎫=-+-=-⎪⎭，因为110,,22m ∞⎛⎫⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2≠，所以()()212220f x f x f m ⎛⎫⎫+-=-+< ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即()()1222f x f x f m ⎛⎫+<- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，导函数能因式分解的要进行因式分解，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题(解析版)
哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知{}21log 1,12xA x xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=<⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A. ()1,2- B. ()1,0- C. ()0,2 D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()22log 1log 2020,2x x A <=⇒<<⇒=，由()011100,22x x B ⎛⎫⎛⎫<=⇒>⇒=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A B = ()0,2，故选：C 2. 复数12iiz +=的虚部为（ ）A. 1- B. 2C. i- D. i【答案】A 【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由()()2212i i 12i 2i i 2i i iz +-+===--=--，所以虚部为-1.故选：A3. 函数()232f x x x =+的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为0x ≠，()()()223322f x x x f x xx -=-+=+=-为偶函数，采用特殊值法代入，当x 趋近于零时，2x 趋近于零，23x 趋于正无穷；此时()232f x x x =+取值趋于正无穷；当x 趋近于正无穷时，2x 趋近于正无穷，23x 趋于零，此时()232f x x x=+取值趋于正无穷；所以只有B 图像符合；故选：B4. 若()(),1,2,,3a b a b a b m +=-==，则实数m =（ ）A. 6B. 6- C. 3D. 3-【答案】B 【解析】【分析】将a b a b +=- 两边平方，结合数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b +=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅=，即60+=m ，解得6m =-.故选：B.5. 已知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),10,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. []1,0-D. (]1,0-【答案】D 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，讨论a 是否为0，结合0a ≠时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：2000R,210x ax ax ∃∈+-≥为假命题，则命题：2R,210x ax ax ∀∈+-<为真命题，故当0a =时，2210ax ax +-<，即为10-<，符合题意；当0a ≠时，需满足2Δ440a a a <⎧⎨=+<⎩，解得10a -<<，综合可得实数a 的取值范围是(]1,0-，故选：D6. 若椭圆221259x y +=和双曲线22197x y -=的共同焦点为12,,F F P 是两曲线的一个交点，则12PF F △的面积值为 （ ）A.B.C. D. 8【答案】A 【解析】【分析】设点(),P m n ，根据方程组求点P 的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆221259x y +=可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则128F F =，设点(),P m n ，则22221259197m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得=n 所以12PF F △的面积值为182⨯=.故选：A.7. 等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则1015SS =（ ）A.37B.73C.12D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据51051510,,S S S S S --构成等比数列求解即可.【详解】因为{}n a 为等比数列，51013S S =，设510,3,0S k S k k ==>，所以51051510,,S S S S S --构成等比数列.所以15,2,3k k S k -构成等比数列，所以157S k =，所以10153377S k S k ==.故选：A8. 哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到,A B 两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（ ）A. 14 B. 20 C. 28 D. 40【答案】C 【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有22A 2=种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有122424C A C 14+=种方法，根据分步计数原理可得共有21428⨯=种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知111,,,202420232023α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,∞+上递减，则α只能为1-B. 函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012C.函数y =与函数3y x =-是同一个函数D. 已知函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则函数()22f x +的定义域为[]1,1-【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B ，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C ，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D ，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A ，当1α=-时，幂函数()1f x x xα==奇函数，且在()0,∞+上递减，满足题意，当12023α=时，幂函数()1f x x x α==在()0,∞+上递增，不满足题意，当12023α=-时，幂函数()f x x α==()0,∞+上递减，满足题意，当2024α=-时，幂函数()20241f x x xα==为偶函数，在()0,∞+上递减，不满足题意，故A 错误；对于B ，12log y t =关于t 在定义域内单调递减，若函数()212log 20242023y x x =-+-关于x 在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知220242023x x t -+-=关于x 单调递增，而二次函数220242023x x t -+-=开口向下，对称轴为2012x =，所以22024202302012x x x ⎧-+->⎨<⎩，解得12012x <<，所以函数()212log 20242023y x x =-+-的单调递减区间为()1,1012，故B 正确；对于C ，()13333y x x ⎡⎤==-=-⎣⎦，故C 选项正确，对于D ，若函数()21f x +的定义域为[]1,1-，则[][]1,1,211,3x x ∈-+∈-，所以函数()22f x +的定义域满足[]221,3x +∈-，解得[]1,1x ∈-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知正数,a b ，2a b +=，且a b >，则下列说法正确的是（ ）为A.1b a> B. e e a b a b+>+ C.114a b+> D.1<【答案】AB 【解析】【分析】选项A ，将不等式1b a>等价转化为1ab <，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B ，需要研究函数e x y =的单调性，即可判断不等式；对于选项C ，1111()2a b a b a b ++=+⨯，应用基本不等式即可；对于选项D 平方，2a b =++，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A ，1b a>等价1ab <，2a b =+≥1≤，其中a b >1<，1ab <，不等式成立，选项A 正确；对于选项B ，因为e 1>，指数函数e x y =是增函数，且a b >，所以e e a b >所以e e a b a b +>+，选项B 正确；对于选项C ，1111()112222a b b a a b a b a b ++=+⨯=++≥+=，由于a b >，22b a a b ≠，等号取不到，112a b+>，选项C 不正确；对于选项D ，22()4a b a b +=++≤+=，由于a b >，等号取不到，所以24<2<，选项D 不正确；故选：AB.11. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的有（ ）A. 11//AC 平面1B CDB. 点1C 到平面1B CDC. 当P 在线段11C D 上运动时，三棱锥11A B PC -的体积不变D. 若Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF +的最小值【答案】BCD【解析】【分析】对于A 通过观察可得直线11A C 与平面有公共点1A 所以A 不正确；对于B 利用等体积法计算点到平面距离；对于C 观察到点P 到平面11A B C 的距离为定值，确定三棱锥11A B PC -的体积不变；对于D 利用线段1AC 关于平面11BCC B 的对称直线，将QE QF +转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A ，因为平面1B CD 也就是平面11A B CD 与直线11A C 有公共点1A ，所以A 选项不正确. 对于B ，设点1C 到平面1B CD 的距离为h ，由1111C B CD D CC B V V --=得11111133B CD CC B S h S ⨯=⨯ ，由已知易得11,CD B C D ===则1B CD △是直角三角形，所以1B CD S =112C CD S =，解得h =.故B 选项正确对于C ，设点P 到平面11A B C 的距离为h ，易知点P 所在的直线11C D 与平面11A B C 平行，则点P 到平面11A B C 的距离为定值，因为11111113A B PC P A B C A B C V V S h --==⨯ ，其中11A B C S 也为定值，故C 选项正确.对于D ，如图1QE QF QE QF +=+，当1E Q F 、、共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中222111111cos 23C A C M AMAC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()cos sin (0)f x a x b x ωωω=+>在π6x =处取得最大值2，()f x 的最小正周期为π，将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）A. π6x =是()f x 图象的一条对称轴 B. ()π2cos 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. π2g x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 D. 方程()2lg 0g x x -=有3个实数解【答案】ACD 【解析】【分析】由()f x 最小正周期为π，求出ω，由最值点和最值，求出,a b ，得()f x 的解析式，判断AB 选项；由函数图象的变换，求()g x 的解析式，验证C 选项，数形结合验证D 选项．【详解】()()cos sin f x a x b x x ωωωϕ=+=-，其中tan b aϕ=，()f x 的最小正周期为πT =，则有2π2π2πT ω===，故()()2f x x ϕ=-，函数()f x 在π6x =处取得最大值2，则πππcos sin 26332f a b ⎧⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭=，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩()πcos22cos 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，B 选项错误；函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π6x =处取得最大值2，则π6x =是()f x 图象的一条对称轴，A 选项正确；将()y f x =图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数π2cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度得到()2cos g x x =的图象，ππ2cos 2sin 22g x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数为奇函数，C 选项正确；在同一直角坐标系下作出函数()2cos g x x =和函数2lg y x =的图象，如图所示，的两个函数图象有3个交点，可知方程()2lg 0g x x -=有3个实数解，D 选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知α为第二象限角，2sin 3α=，则tan2α=_______．【答案】-【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为2sin 3α=，α为第二象限角，所以cos ===α则sin tan cos ===ααα22tan tan21tan ααα=-2⎛⨯==-故答案为：-14. 已知边长为2的等边三角形ABC 所在平面外一点,S D 是AB 边的中点，满足SD 垂直平面ABC，且SD =S ABC -外接球的体积为_______．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥S ABC -外接球的体积.【详解】因为SD 垂直平面ABC ，ABC 为等边三角形，且D 是AB 边的中点，以D 为坐标原点，分别以,,DB DC DS 所在的直线为x 轴，y 轴，z轴，建系如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心(),,O x y z ，半径为R ，因为2AB BC AC ===，则DC ===，又因为SD =(S ，()1,0,0B ，()1,0,0A -，()C ，则====OS OA OB OC R ，即RRR R ====，解得0x y z R =⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=⎪⎩所以三棱锥S ABC -外接球的体积3344R 33V ππ===.15. 直线l 与抛物线24x y =交于,A B 两点且3AB =，则AB 的中点到x 轴的最短距离为_______．【答案】916【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线l 的方程为y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ；联立24y kx m x y=+⎧⎨=⎩，2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，12124,4x x k x x m +==-.AB ==因为3AB =3=，整理可得()229161m k k =-+.由()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点到x 轴的距离为()2212292112161y y k m k k +=+=++-+设21t k =+，则1t ≥，1291216y y t t +=+-，由对勾函数的单调性可得129216y y +≥，当且仅当0k =时，取到最小值916.故答案为：91616. 设()f x 是定义在()(),00,∞-+∞U 上的奇函数，对任意的()12,0,x x ∈+∞满足()()1221120x f x x f x x x ->-且()315f =，则不等式()5f x x >的解集为_______．【答案】(,3)(0,3)-∞-⋃【解析】【分析】根据题意可设()(),0f x g x x x=≠，结合()f x 的奇偶性判断()g x 的奇偶性，再结合题设判断()g x 的单调情况，进而结合不等式()5f x x >，讨论x 的正负，结合()g x 的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设()(),0f x g x x x=≠，而()f x 是定义在()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，即()()f x f x -=-，故()()()()f x f x g x g x xx---===--，即()(),0f x g x x x=≠为偶函数；对任意的()12,0,x x ∞∈+，不妨设12x x <，则()()()()121212f x f xg x g x x x -=-()()211212x f x x f x x x -=，又对任意的()12,0,x x ∞∈+满足()()1221120x f x x f x x x ->-，当12x x <时，120x x -<，则()()12210x f x x f x -<，即()()21120x f x x f x ->，而120x x >，故()()()()1212120,f x f x g x g x x x ->∴>，则()g x 在()0,∞+上单调递减，又()g x 为偶函数，故()g x 在(),0∞-上单调递增，()315f =，故()3(3)53f g ==，则(3)5g -=-，而不等式()5f x x >，即为不等式()50f x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或()50f x x x ⎧<⎪⎨⎪<⎩，即()5(3)0g x g x >=⎧⎨>⎩或()5(3)g x g x <=-⎧⎨<⎩，故03x <<或3x <-，即不等式()5f x x >的解集为(,3)(0,3)-∞-⋃，故答案为：(,3)(0,3)-∞-⋃【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c)sin b C C =-．（1）求角B ；（2）D 为AC 边上一点，DB BA ⊥，且4AD DC =，求cos C 的值．【答案】（1）2π3； （2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）BCD △和Rt ABD 分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得2c a =，再由余弦定理求得b =，然后可解.在【小问1详解】)sinb C C=-，)sin sinA B C C=-，又()()sin sinπsin sin cos cos sinA B C B C B C B C⎡⎤=-+=+=+⎣⎦，)cos sin sin sinB C B C B C C+=-，整理得)πsin sin2sin sin03C B B C B⎛⎫+=+=⎪⎝⎭，因为()0,π,sin0C C∈>，所以πsin03B⎛⎫+=⎪⎝⎭，又()ππ4π0,π,,333B B⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3B+=，即2π3B=.【小问2详解】由（1）知B，因为DB BA⊥，所以π6CBD∠=，记BDCθ∠=，则πBDAθ∠=-，在BCD△中，由正弦定理得πsinsin6CD aθ=，得2sinaCDθ=，在Rt ABD中，有()sinπsinc cADθθ==-，因为4AD DC=，所以2sin sinc aθθ=，得2c a=，在ABC中，由余弦定理可得22222π422cos73b a a a a a=+-⨯=，即b=，所以cos C==18. 已知{}n a是公差不为零的等差数列，11a=，且125,,a a a成等比数列．（1）求数列{}n a的通项公式；.（2）若114(1)n n n n nb a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】（1）21n a n =- （2）101220242025T =【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-=-.【小问2详解】由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.19. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点为12,A A ，点G 是椭圆C 的上顶点，直线2A G 与圆2283x y +=相切，且椭圆C．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于A B 、两点，若点()0,M m ，且MA MB =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）22184x y +=（2）[【解析】【分析】（1）先由离心率得出a =，再由直线2A G 与圆2283x y +=相切得到圆心(0,0)O 到直线2A G 的距离等于半径得出2222883a b a b +=，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线AB 方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出AB 的中点H 坐标，利用条件MA MB =判断MH 是直线AB 的中垂线，求出方程，将求m 的取值范围转化成求关于t 的函数的值域问题即得.【小问1详解】由c a =可得：a =①因2(,0),(0,)A a G b ，则2:1A Gx y l a b +=即：0bx ay ab +-=，又因直线2A G 与圆2283x y +==2222883a b a b +=②，联立①②，可解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为：22184x y +=.【小问2详解】如图，因直线l 与x 轴不重合，椭圆焦点为(2,0)F ，故可设:2l x ty =+，由222184x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x整理得：22(2)440t y ty ++-=，易得：0∆>，不妨设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12212242,42t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩设AB 中点为00(,)H x y ，则：1202222y y t y t +==-+,1212022()442()222222x x t y y t t x t t ++==+=⋅-+=++，即：2242(,)22t H t t -++，因MA MB =，则MH 为直线AB 的中垂线.又因直线AB 的斜率为1t，故直线AB 的中垂线MH 的斜率为t -，于是2224:()22MH t l y t x t t +=--++，因()0,M m ，则有：222422222t t tm t t t =-=+++，①当0=t 时，0m =，此时直线:2l x =，点(0,0)M ，符合题意；②当0t ≠时，22m t t=+，若0t >，则2t t +≥可得m ∈，当且仅当t =时取等号；若0t <，则2t t +≤-,可得[m ∈，当且仅当t =.综上，实数m的取值范围为[.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，//,4,2,60AB CD AB BC CD BP DP BCD ︒=====∠=，AD PD ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若线段PC 上存在点F ，满足CF FP λ= ，且平面BDF 与平面ADP实数λ的值．【答案】（1）证明见解析（2）2λ=【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证AD ⊥平面PBD ，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为2CB CD ==，60BCD ∠=︒，所以BCD △为等边三角形，2BD =又//AB CD ，所以60ABD BDC ∠=∠=︒，又4AB =，所以22212··cos 60164242122AD AB BD AB BD =+-︒=+-⨯⨯⨯=.因为222AD BD AB +=，所以ABD △为直角三角形，AD BD ⊥.又AD PD ⊥，BD ，PD 为平面PBD 内的两条相交直线，所以AD ⊥平面PBD ，AD ⊂ABCD ，所以：平面PBD ⊥平面ABCD .【小问2详解】取BD 中点O ，AB 中点E ，因为PB PD =⇒PO BD ⊥，又平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PO ⊂平面PBD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又OE BD ⊥，故以O 为原点，建立如图空间直角坐标系，所以()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3P ，)E，()1,0A -，()C .设(),,F x y z ，因为CF FPλ=⇒()(),,,3x y z x y z λ+=---⇒()3x xy y z z λλλ⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩解得031x y z λλ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，所以31F λλ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭.设平面ADP 的法向量为()111,,m x y z =，则m AD m DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0m AD m DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒()()()()111111,,0,,0,1,30x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒111030x y z =⎧⎨+=⎩，取()0,3,1m =- ；设平面BDF 的法向量为()222,,n x y z = ，则n BD n BF ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒·0·0n BD n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ⇒()()()222222,,0,2,003,,1,01x y z x y z λλ⎧⋅-=⎪⎛⎫⎨⋅-= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⇒222030y z λ=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取),0,1n =.那么⋅=m n ()0,3,1-⋅),0,11=-，m =，n = .由m n m n ⋅=⋅⇒231λ+=⇒24λ=，又0λ>，所以2λ=.【点睛】关键点睛：根据CF FP λ=，和点C 、F 的坐标，求F 点坐标是本题的一个关键.21. 圆G经过点(()2,,4,0-，圆心在直线y x =上．（1）求圆G 的标准方程；（2）若圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，A 为直线:16l x =上的动点，直线,AM AN 与曲线圆G 的另一个交点分别为,E F ，求证直线EF 经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）2216x y +=（2）证明见详解，直线EF 过定点()1,0【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线AM 的方程和直线AN 的方程，分别与圆的方程联立写出E F 、的坐标，进而写出直线EF的方程，化简即可证明直线EF 经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线y x =上，设圆心为(),,a a 又因为圆G经过点(()2,,4,0-则()(()222224a a a a -+-=++，解得0a =，所以圆心()0,0,4=，所以圆G 的标准方程为2216x y +=【小问2详解】由圆G 与x 轴分别交于,M N 两点，不妨设()()4,0,4,0M N -，又A 为直线:16l x =上的动点，设()()16,0A t t ≠，则,,2012==AM AN t t k k 则AM 方程为()420t y x =+，AN 方程为()412ty x =-，设()()1122,,,E x y F x y ，联立方程()2242016t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22224008164000t x t x t +++-=，所以()212164004400t x t --=+，即()211224400160,400400t t xy t t --==++，即()2224400160,400400t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.联立方程()2241216t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，解得()()22221448161440t x t x t +-+-=，所以()222161444144t x t -=+，即()22222414496,144144t t x y t t --==++，即()222414496,144144t t F t t ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭.所以()()2222221609640014444004144400144EFt tt t k t t t t --++=----++232240=-t t，所以直线EF 的方程为()222241449632,144240144t t t y x t t t ⎛⎫-- ⎪-=- ⎪+-+⎝⎭化简得()2321,240ty x t =--所以直线EF 过定点()1,0.22. 已知函数()()()22e e e ,,e 12x x x xf xg xh x x -+===+．（1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）当0x >时，试比较()()(),,f x g x h x 的大小关系，并说明理由；（3）设n *∈N ，求证：1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--．【答案】（1）e e 44y x =+ （2）()()()f x g x h x <<；理由见解析； （3）证明见解析.【解析】【分析】（1（2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论；（3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论.【小问1详解】由()e1xf x x =+得，()()2e 1xx f x x '=+，所以()f x 在1x =处的切线的斜率()e 14k f ='=，切点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以所求切线方程：()e e124y x -=-，即e e 44y x =+；【小问2详解】结论：()()()f x g x h x <<；理由如下：要证()()f x g x <，即证e e e 12x x x x -+<+，只需证()()2e 1e e x x xx -<++，为令()()()2e 1e e x x x x x ϕ-=-++，则()()()()()2e e e 1e -e ee x x x x x x x x x x ϕ---=-+-+=-'，当0x >时，1x e -<，e 1x >，故()0x ϕ'<，所以()()()2e 1e e xx x x x ϕ-=-++在0x >时单调递减，所以()()00x ϕϕ<=，即()()2e 1e e 0x x x x --++<，所以e e e 12x x xx -+<+，故()()f x g x <；要证()()g x h x <，即证22e ee 2x x x -+<，只需证22e e ln ln e 2x x x -+<，令()222e e e e 1ln ln e ln 222x x x x x v x x --++=-=-，则()e e e e x x x x v x x ---=-+'，令()e e e ex xx x w x x ---=-+，则()()241e e x x w x -=-+'，当0x >时，e e 2x x -+>，从而()2e 4x ->，故()()2410e e x x w x -=-'<+，所以()e e e ex xx x v x x ---=-+'在0x >时单调递减，所以()()00v x v ''<=，从而()2e e 1ln 22x x v x x -+=-在0x >时单调递减，所以()()00v x v <=，即22e e ln ln e 20x x x -+-<，即22e e ln ln e 2x x x -+<所以22e ee 2x x x -+<，故()()g x h x <，又因为()()f xg x <，所以()()()f x g xh x <<.【小问3详解】令()()()ln 101x u x x x x =-+>+，则()()()22110111x u x x x x -=-=<+++'所以()()ln 11x u x x x =-++在当0x >时单调递减，所以()()00u x u <=，所以()ln 11x x x <++，即()1ln 111x x <++，令1x n =，则有()11ln 1ln 1ln 1n n n n ⎛⎫<+=+- ⎪+⎝⎭，即()1ln 1ln 1n n n <+-+，所以()()1ln 2ln 12n n n <+-++，()()1ln 3ln 23n n n <+-++，⋯()1ln 2ln 212n n n<--，所以111ln 2ln ln 2112n n n n n++<-=++ ，所以111111234212n n-+-+⋅⋅⋅+--11111111223421242n n ⎛⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪-⎝⎝⎭1111111112342122n n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以11111111112342121112n n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=+++-+++ ，因为1111ln 21112n n n n+++<+++ ，所以111111ln 2234212n n -+-+⋅⋅⋅+-<-；下面先证当0x >时，ln 1≤-x x ，令()()1ln 0p x x x x =-->，()111x p x x x'-=-=，令()0p x '>，则1x >，所以()1ln p x x x =--在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10p x p ≥=，从而()1ln 0p x x x =--≥，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，ln 1x x =-，所以当0x >时，()ln 1x x +<，令1x n =，则有11ln 1n n⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()1ln 1ln n n n+-<，所以()()1ln 2ln 11n n n +-+<+，()()1ln 3ln 22n n n +-+<+，⋯()()1ln 2ln 2121n n n --<-，所以()1111ln 2ln 1221n n n n n n -<++++++- ，即111ln 2121n n n ++++>+- ，因为1111123421n -+-+⋅⋅⋅+-111111112234212422n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭111111112342121n n ⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以111111111234211221n n n n n -+-+⋅⋅⋅+=++++-++- ，因为1111ln 21221n n n n ++++>++- ，所以11111ln 223421n -+-+⋅⋅⋅+>-，综上所述，1111111111ln2123421223421n n n -+-+⋅⋅⋅+-<<-+-+⋅⋅⋅+--.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。
河北省唐山市滦南县第二高级中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省唐山市滦南县第二高级中学2023届高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}23,R A y y x x ==-+∈，{B x y ==，则A B = （）A ．()(){}0,3,1,2B ．()3,3-C ．[]3,3-D ．{}3y y ≤2．在复平面内，复数z 对应的点为()2,1-，设i 是虚数单位，则1iz=+（）A ．31i22-B ．31i22--C ．13i22--D ．13i22-+3．已知a 为函数()327f x x x =-的极小值点，则a =（）A ．3-B ．3C ．9-D ．94．已知数列{}n a 为等差数列，且1594a a a π++=，则37tan()a a +=（）A B ．C ．D 5．如图过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点,,A B C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则p =（）A ．2B ．32C ．3D ．66．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x R ∈，则（）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为2πD ．3x π=为()f x 图象的一条对称轴7．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．808．已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60︒，若PAB ，则该圆锥的体积为（）．A ．BC ．3D ．39．椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍10．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()0f x >，()()0xf x f x '-<，则对任意正数,a b ，当a b >时，下列不等式一定成立的是()A ．()()af b bf a <B ．()()bf a af b <C ．()()af a bf b <D ．()()af b af a <二、多选题11．已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A ．14ab ≤B ．2212a b +≤C ．22a b +≥D ．415b a b+≥12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =，ABC S = 且cos cos 2cos 0c B b C a A +-=，则有（）A ．a B ．2C π=C ．3A π=D ．2c =13．已知函数3()1f x x x =-+，则（）A ．()f x 有一个极值点B ．()f x 有一个零点C ．点(0,1)不是曲线()y f x =的对称中心D ．直线23y x =+是曲线()y f x =的一条切线14．如图，1F ，2F 是双曲线1C ：2213y x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限内的公共点，设2C 方程为()222210,0x y a b a b+=>>，则下列说法正确的是（）A ．224a b +=B ．12AF F △的内切圆与x 轴相切于点()1,0C ．若121F F AF =，则2C 的离心率为23D ．若12AF AF ⊥，则2C 的方程为22173x y +=三、填空题15．已知平面向量a 与b 的夹角等于π2，如果1a =，b ，那么2a b -= _________．16．已知等差数列{}n a {}n b 的前n 项和分别为Sn ，Tn ，若73n n S n T n =+，则55a b =__________.17．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.18．已知函数()2e xf x x ax =+-在点()()1,1f 处切线的斜率是3，则实数=a __________.四、解答题19．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1sin()cos(364A A ππ-+=-，2A π<.(1)求角A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，且1a =，求b 的取值范围.20．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24n n S a =-，*n ∈N .（1）求通项公式n a ；（2）设22log 3n n b a =-，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T .3πPD⊥底面ABCD．(1)证明：PA BD⊥；(2)若异面直线AD与PC所成角为π3，求二面角A PB C--的余弦值．参考答案：1．C【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得.【详解】因为233y x =-+≤，所以(],3A =-∞，由30x +≥，可得3x ≥-，故[)3,B =-+∞，所以A B = []3,3-.故选；C.2．D【分析】根据复数对应点写出复数的代数形式，再应用复数的除法化简即可.【详解】由题设，2i z =-+，故2i (i 2)(1i)3i 11i 1i (1i)(1i)2z -+---===+++-.故选：D 3．B【解析】求出导数2()327f x x '=-，判断函数的单调性从而找出极小值点.【详解】2()327f x x '=-，令()0f x '>，解得3x <-或3x >，所以函数()f x 在(,3),(3,)-∞-+∞上单调递增，在()3,3-上单调递减，3为函数()f x 的极小值点，所以3a =故选：B【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于基础题.4．C【分析】由题知543a π=，进而根据3752a a a +=结合诱导公式求解即可.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，且1594a a a π++=所以159534a a a a π++==，解得543a π=，所以3758tan()tan 2tan tan 3tan 333a a a ππππ⎛⎫+===-=-= ⎪⎝⎭故选：C 5．B【分析】分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，根据抛物线定义可知|BD |＝a ，进而推断出∠BCD 的值，在直角三角形中求得a ，进而根据BD ∥FG ，利用比例线段的性质可求得p ．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由||2||BC BF =得：|BC |＝2a ，由抛物线定义得：|BD |＝|BF |=a ，在直角三角形BDC 中，∠BCD ＝30°，在直角三角形AEC 中，∵|AF |＝3，由抛物线定义得：|AE |＝3，∴|AC |＝3+3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴3+3a ＝6，从而得a ＝1，∵BD ∥FG ，∴123p =得p ＝32.故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了学生对抛物线的定义和基本知识的综合把握，属于基础题．6．D【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数()22sin cos cos 2cos 2f x x x x x x x=+-=-12cos 2)2sin(2)226x x x π=-=-，可得()f x 的最大值为2，最小正周期为22T ππ==，故A 、C 错误；由()0f x =可得2,6x k k π-=π∈Z ，即,212k x k Z ππ=+∈，可知()f x 在区间()0,π上的零点为7,1212ππ，故B 错误；由2(2sin(2336f πππ=-=，可知3x π=为()f x 图象的一条对称轴，故D 正确．故选：D 7．C【详解】()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-，由()52x y -展开式的通项公式()()515C 2rrrr T x y -+=-可得：当3r =时，()52x x y -展开式中33x y 的系数为()3325C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()52y x y -展开式中33x y 的系数为()2235C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.8．C【分析】设底面半径为OA r =，根据线面角的大小可得母线长为2r ，再根据三角形的面积得到r 的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案；【详解】如图所示，设底面半径为OA r =，PA 与圆锥底面所成角为60︒，∴60PAO ︒∠=，∴2PA PB r ==， 母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，∴sin 4APB ∠=，∴21(2)24r r ⋅=⇒∴211()333V S PO r π=⋅⋅=⋅⋅=，故选：C.【点睛】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.9．C【解析】根据题意可得2PF x ⊥轴，再利用通径的长度的一半，可求得21PF =，利用椭圆的定义可求得15PF =，即可得答案；【详解】设1PF 的中点为M ， OM 为12PF F △的中位线，∴2PF x ⊥轴，∴221b PF a==，121265PF PF a PF +==⇒=，∴125PF PF =，故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．B【分析】由已知等式可知()0f x x '⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，由此可知()()f x g x x =在()0,∞+上单调递减，由()()g a g b <可得到结果.【详解】当0x >时，由()()0xf x f x '-<得：()()()20xf x f x f x x x ''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，令()()f xg x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递减，0a b >> ，()()g a g b ∴<，即()()f a f b a b<，()()bf a af b ∴<.故选：B.11．ACD【分析】根据基本不等式，结合指数的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A ：由基本不等式2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，故A 正确；对于B ：2a b +≥，可得2221222a b a b +⎛⎫+≥⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，故B 错误；对于C：2222a b +≥12a b ==时等号成立，故C 正确；对于D：4144115b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥=，当且仅当4b aa b =，即21,33a b ==时等号成立，故D 正确.故选：ACD 12．BC【分析】利用余弦定理化简cos cos 2cos 0c B b C a A +-=得选项C 正确；利用三角形的面积公式化简ABC S = D 错误；利用余弦定理得选项A 错误；利用正弦定理得选项B 正确.【详解】解：由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A A +-=,所以1sin()2sin cos ,sin 2sin cos ,sin 0,cos 2B C A A A A A A A +=∴=≠∴= ,因为(0,)A π∈,所以,3A π=∴选项C 正确；由题得12sin 423c c π⨯⨯⨯=∴=，所以选项D 错误；由余弦定理得22212422412,2a a =+-⨯⨯⨯=∴=A 错误；4,sin 1,(0,),sin 2sin3C C C C ππ=∴=∈∴= .所以选项B 正确.故选：BC 13．BD【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,-∞，()3+∞上单调递增，()33-上单调递减，所以3x =是极值点，故A 错误；因(10f =+，10f =-，()250f -=-<，所以，函数()f x在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥()0f x f ≥>⎝⎭，即函数()f x 在⎫∞⎪⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 正确；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 错误；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 正确.故选：BD.14．BCD【分析】利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得224a b -=判断A ，利用切线长性质结合双曲线的定义可判断B ，利用双曲线和椭圆的定义得到1F A 、2F A 的关系式，再利用121F F F A =和离心率公式可判断C ，利用勾股定理得到()()22211416a a c ++-==，进而求出椭圆的方程判断D.【详解】对于A ：由2213y x -=可得2c ==，所以2224a b c -==，故A 错误；对于B ：设12AF F △的内切圆的圆心为I ，且圆与边1AF 、12F F 、2F A 相切于N 、M 、K ，可得AN AK =，11F M F N =，22F M F K =，又因为122AF AF -=，所以12122F N F K F M F M -=-=，又124F M F M +=，解得21F M =，13F M =，可得M 的横坐标为1，即I 的横坐标为1，故B 正确；对于C ：在椭圆2C 中，122F A F A -=，122F A F A a +=，则1222F A a =+，由12124F F F A c ===，得2422a ⨯=+，解得a ＝3，则2C 的离心率23c e a ==，故C 正确；对于D ：因为122F A F A -=，122F A F A a +=，所以11F A a =+，21F A a =-，若12AF AF ⊥，则()()22211416a a c ++-==，又c ＝2，222b a c =-，解得a =b =则椭圆的方程为22173x y +=，故D 正确．故选：BCD.15【分析】根据数量积的定义，运算律及模长公式即得.【详解】因为平面向量a 与b 的夹角等于π2，1a =，b = 所以0a b ⋅= ，21a = ，23b = ，2a b -===.16．214【分析】根据等差数列的奇数项的前n 项和可以写成最中间一项的n 倍，可把要求的两个数列的第五项之比写成两个数列的前9项之和的比值，再代入数值运算即可.【详解】解：∵等差数列{}n a {}n b 的前n 项和分别为Sn ，Tn ，∵73n n S n T n =+，∴595979632193124a Sb T ⨯====+，故答案为：214.17．2.【详解】试题分析：设双曲线左焦点F(-c ，0)，M(-c ，1y )，N(-c ，1y )，(1y >0)∵点M (-c ，1y )在双曲线上，∴()221221c y a b--=∴21b y a=，即FM =2b a ，又∵FM =c +a ，∴2b a =c +a ，∴22c a a-=c +a 两边同除以a ，得c a=2，即离心率e =2．考点：本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质．点评：常见题型，关键是熟悉离心率的表达式，利用函数方程思想构建关于e 的方程．18．e 1-【分析】函数()f x 在1处的导数即斜率，可得a 的值.【详解】()e 2x f x x a '=+-，因为()f x 在点()1,(1)f 处切线的斜率为3，所以(1)e 23f a '=+-=，得e 1=-a .故答案为：e 1-.19．(1)6π；(2)2)【分析】（1）化简计算得21cos ()64A π+=，可得1cos(62A π+=±，再由(0,)2A π∈，可计算得A ；（2）由正弦定理得2sin bB =，再由锐角三角形列不等式，得角B 的范围，从而得b 的取值范围.【详解】（1）因为1sin()cos()364A A ππ-+=-，所以1sin()cos()364A A ππ-+=，整理得21cos ()64A π+=，所以1cos(62A π+=±，又(0,)2A π∈，所以2(,)663A πππ+∈，所以63A ππ+=，解得6A π=.（2）由正弦定理sin sin a b A B =，且1a =，6A π=，得2sin b B =.因为ABC 为锐角三角形，所以025062B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得32B ππ<<，所以2sin 2)B ∈，即b的取值范围是2).20．（1）12n n a +=（2）21nn +【分析】（1）根据n S 与n a 的关系即可求出数列的通项公式（2）22log 321n n b a n =-=-,利用裂项相消法即可求出数列的和.【详解】（1）24n n S a =-，1124n n S a --=-相减得：122n n n a a a -=-12n n a a -=12n n a a -=，又11124a S a ==-，∴14a =∴11422n n n a -+=⨯=（2）1222log 32log 2321n n n b a n +=-=-=-()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ ()111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪-+⎝⎭()11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭【点睛】本题主要考查了数列中n S 与n a 的关系，通项公式，裂项相消法，属于中档题.21．(1)详见解析；(2)【分析】（1）根据余弦定理结合条件可得BD AD ⊥，然后利用线面垂直的的判定定理可得BD ⊥平面PAD ，进而即得；（2）设1AD BC ==，利用线面角可得PD =向量求法即得．【详解】（1）因为底面ABCD 为平行四边形，3π4ABC ∠=，AB =，所以π4DAB ∠=，AB =，所以2222222cos 222BD AD AB AD AB DAB AD AD AD AD +-⋅∠+-⋅=⋅==，故BD AD =，222BD AD AB +=，所以BD AD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PD BD ⊥，又∵,PD AD D PD ⋂=⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA BD ⊥；（2）由BD AD ⊥，可得BD BC ⊥，因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又,PD BD PD D =⋂⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，BP ⊂平面PBD ，所以BC ⊥PB ，又异面直线AD 与PC 所成角为π3，//AD BC ，所以π3PCB ∠=，设1AD BC ==，则2PC =，DC =，所以PD 分别以DA 、DB 、DP 为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C -，P ，所以(AP =- ，()1,1,0AB =-uu u r ，(1,0,0)BC =-，(1,CP =- 设平面APB 的法向量为(,,)n x y z =，则00n AP x n AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，则n = ，设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c =，则00m BC a m CP a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1c =，则m = ，所以cos,m nm nm n⋅===又二面角A PB C--为钝角，所以二面角A PB C--的余弦值为5-.。
西城区2023-2024学年第一学期期末高三数学试题答案
20232024学年度第一学期期末试卷 第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一） （13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分 所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤， 即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷 第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1； 当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=， 所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PAB 平面PAD PA =， 且DE ⊂平面PAB ． 所以DE ⊥平面PAB ． ………2分 所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ． 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点， 所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分 因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++． 整理得340k k +=． ………13分 解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去． 综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =， 所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分 所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下： 令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>． 所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−； 当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−． 综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次， 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤． 当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '： 首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤． 其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2025届浙江省杭州地区重点中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A ．48B ．60C ．72D ．1202．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）A ．33-B ．3C ．332-D ．32 3．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55 C ．66 D ．784．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（ ） A ．345i +- B ．345i + C ．34i -+ D ．345i -+6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．6⎛ ⎝⎦B ．,15⎫⎪⎪⎣⎭C ．0,5⎛ ⎝⎦D ．,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭7．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛ ⎝B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭8．设复数z 满足2z iz i -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）A ．163iB ．6iC ．203iD ．2010．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，， 11．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ）A ．1427B ．2C ．1D ．312．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）A ．58B ．25C ．35D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东城区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试题答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）D （3）C （4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12）y = （13）π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11AC 中点G ，连接,FG AG .在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B AC ，的中点，所以1111,AEB GFA AB ,111=2A GF B ,1112A A EB =.所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形， 所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC . 而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥， 所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F （1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = . 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =− 设AP 与平面BEF所成的角为θ， 则1sin cos ,5AP AP AP n n nθ⋅=〈〉===⋅．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分 （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 12==.又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... ...........................5分（II ）选择条件①：π4ADB ∠=.在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD ABB ADB=∠，得=， 所以AD =所以sin sin()BAD B ADB ∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯=. ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BDBD BD +=+−，解得 2BD =，所以11sin 1222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯=. ........................ ...............13分(18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率 12377()151025P A A =−⨯=（），所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分（III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B . 设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=. 因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫⎪⎝⎭.所以直线():24nAE y x m =++. 设()11,D x y ,由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=.所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+，所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭.因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32ny n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线． .................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+，所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+，11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分 (21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题(解析版)
8.如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，P是圆弧 上的动点，且 ，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使 取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使 取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则 （ ）
A. B. C.2D.不存在
【答案】A
9.在正方体 中，下列结论正确的是（）
A. 平面 B. 平面
C.点D到平面 的距离为 D. 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】构建空间直角坐标系，用向量法根据线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理判断A、B正确，根据空间向量法求取面的法向量，求得点D到平面 的距离为 ，故C正确，求得 与平面 所成角的正弦值为 ，选项D错误.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 ，得 ，取 可判断A，C；根据函数 在R上单调递减，可判断B；根据幂函数 在R上单调递增可判断D.
【详解】由 ，得 ，取 ，则 ，选项A不正确；
因为 ，由于函数 在R上单调递减，故 ，选项B不正确；
因为 ，取 ， ，选项C不正确；
由于幂函数 在R上单调递增，故选项D正确.
连接 交 于 ，
因为四边形ABCD是边长为 的正方形，
所以 ， 为 的中点，
又因 ， 为 的中点，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为 的中点，
所以 ，
所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【详解】解：设该圆锥内切球的半径为 ，则 ，所以 .
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学(理)试题(解析版)
2023届河南省驻马店市高三上学期期末统一考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}{}22|120,Z |450A x x x B x x x =--<=∈+-<，则A B =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|13x x -<<C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【分析】由题知{}|34A x x =-<<，{}4,3,2,1,0B =----，再求交集即可.【详解】解：{}()(){}{}2|120|430|34A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}()(){}{}2Z |450Z |5104,3,2,1,0B x x x x x x =∈+-<=∈+-<=----， 所以，{2,1,0}A B =-- 故选：C2．已知a ，b 为实数，复数2i z a =+，若2i z ba z+=，则||a b -=（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】由已知利用复数相等列出方程组，求出||,||a b 即可得答案. 【详解】因为2i z a =+，所以2i z a =-， 则2i2i 2i z b a b a a z+++==-，即22i 2i(2i)42i a b a a a a ++=-=+，从而2422a a ba =+⎧⎨=⎩，即231b a a =⎧⎨=⎩，解得||1,||3==a b ，故|||| 2.a b -=-故选：A.3．已知函数()22123x f x x +=--，则()3f =（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【分析】整体代换，令213x +=求得x 后代入已知式可求值． 【详解】令213x +=，得1x =，则(3)f 2132=--=- 故选：B ．4．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（ ）A ．0.99π2mB ．0.9π2mC ．0.66π2mD ．0.81π2m【答案】D【分析】根据题意可知：该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体.要求该几何体的表面积（除去底面面积），利用圆锥和圆柱的侧面积公式即可求解.【详解】由题三视图可知该蒙古包的模型是一个圆锥与圆柱的组合体. 其中圆锥的母线长为220.3(1.5 1.1)0.5m l +-， 则圆锥的侧面积2110.52π0.3=0.15πm 2S =⨯⨯⨯，圆柱的侧面积22 1.12π0.3=0.66πm S =⨯⨯，故总面积为2120.15π0.66π0.81πm S S S =+=+=，所以至少要买油毡纸20.81πm ， 故选：D .5．在正项等比数列{n a }中，若3a ，7a 是关于x 的方程240x mx -+=的两实根，则21222329log log log log a a a a ++++=（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B【分析】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得912392a a a a =，由对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理可得374a a =，由等比数列性质可得254a =，则52a =，由等比数列性质可知31922874654a a a a a a a a a =====，则912392a a a a =，故212223292192392log log log log log ()log 92a a a a a a a a ++++===.故选：B.6．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面 PAD ．6AB =，60BAD ∠=︒，224PC AD PD BC ====，则异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为（ ）A ．155B ．105C ．255D ．55【答案】D【分析】根据线面垂直以及面面垂直可建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角即可求解. 【详解】由CD ⊥平面PAD ，,PD AD ⊂平面PAD ，故CD AD ⊥，CD PD ⊥,又平面PCD ⊥平面ABCD ，其交线为CD , AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PCD ,PD ⊂平面PCD ,故AD PD ⊥,故DA DC DP 、，两两垂直，则以D 为原点，.DA DC DP ⋅的方向分别为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，400002A P ，，,，，13300230B ,,,C ,,,则(4,0,2),(1,3,0).PA BC =-=--.设异面直线PA 与BC 所成的角为θ，则||45cos |cos ,|.5||||252PA BC PA BC PA BC θ⋅=<>===⨯故选：D7．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某班举行了一次环保知识有奖竞答活动，有20名学生参加活动.已知这20名学生得分的平均数为m ，方差为n .若将m 当成一个学生的分数与原来的20名学生的分数一起，算出这21个分数的平均数为m '，方差为n '，则（ ） A ．2021m m '=，2120n n '= B ．m m '=，2021n n '= C ．2021m m '=，2021n n '= D ．m m '=，2120n n '=【答案】B【分析】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，利用平均数和方差公式可得合适的选项. 【详解】设这20名学生得分分别是1x 、2x 、3x 、、20x ，则122020m x x x =+++，12202121m x x x m m =++++='，故m m '=，因为()()()()22221232020n x m x m x m x m =-+-+-++-，()()()()()222221232021n x m x m x m x m m m ''=-+-+-++-+-，因为m m '=，故2021n n '=. 故选：B.8．在三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，12AA AB =，在该三棱柱的外接球内随机取一点P ，则点P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率为（ ） A ．2732B ．2732πC ．2764D ．2764π【答案】D【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V ，可知P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率111ABC A B CV P V-=.【详解】设等边三角形ABC 边长为2a ，124AA AB a ==，()222a ⋅=，则111234ABC A B C V a -=⋅=.如图，因ABC 是等边三角形，则三角形外心O ，也为三角形重心，由重心性质可得：13OD AD a ==.则三角形外接圆半径r OC a ====如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O ，则1O 为2OO 中点，则外接球半径222224434233O O a R r a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.设外接球体积为V ，则3334443256333327πππV R a a ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭.由几何概型，则P 在三棱柱111ABC A B C 内的概率11133432764256327ππABC A B CV a P Va -===.故选：D.9．设0.7 1.2 1.42e e e 1a b c ===-，，，则（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．b a c << D ．c b a <<【答案】D【分析】根据不等式的性质可得0.70.7 1.22e e e e >=，令()x f x e =可得曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为 1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.根据指数函数的图象可得： 1.4(0.4)(0)e e x x x -≥>，进而得到 1.2 1.4e 0.8e >，然后再利用不等式的性质即可求解.【详解】因为0.70.7 1.22e e e e >=，所以a b >.令()x f x e =，则曲线()y f x =在 1.4x =处的切线方程为1.4 1.4e ( 1.4)e y x =-+.易证 1.4 1.4 1.4(0.4)(0)e e ( 1.4)e e x x x x ≥-+=->，当且仅当 1.4x =时，等号成立，故 1.2 1.4e 0.8e >， 即 1.2 1.4 1.4e 1e 10.2e .+->-因为32e 5<，所以 1.5e 5<，所以 1.4e 5<，则 1.410.2e 0->，即 1.2 1.4e 1e 0+->， 从而b c >．故c b a <<. 故选：D .10．已知函数()sin 2cos2(0f x x a x ωωω=+>）在π12x =处取得最大值，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，若π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ω的取值可能是（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】C【分析】由两条相邻的对称轴之间的距离小于π2得1ω>，利用辅助角公式（引入辅助角ϕ）变形后，由最大值点得,ωϕ的关系，再由(π)6f =a ，从而得ϕ的表达式，代入可得ω的表达式，得正确选项．【详解】因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于π2，所以12ππ222ω⨯<，所以1ω>.由辅助角公式可得())f x x ωϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=，因为()f x 在π12x =处取得最大值，所以Z πππ2,62k k ωϕ+=+∈，所以6312,Z πk k ϕω=-+∈， Z π4π,3k k ωϕϕπ+=-+∈，()1sin()4)6ππππ3f k a ωϕϕϕ=+=-+===所以sin ϕ=1cos 2ϕ=，则11Z π,π23k k ϕ=-∈，1226312312212125,Z πk k k k k ϕω=-+=-++=+∈，只有C 满足． 故选：C ．11．已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线,OA OB 的斜率之积为1-，则4||AF BF +|的最小值是（ ） A ．32 B ．36C ．42D ．46【答案】C【分析】设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，进而与抛物线联立方程，结合韦达定理得12121y y x x =-，再根据121212646418y y x x y y t ===--得8t =，1264x x =，最后根据基本不等式和焦半径公式求解即可.【详解】解：设直线1122:,(,),(,)l x my t A x y B x y =+，联立28x my t y x=+⎧⎨=⎩整理得2880y my t --=，所以，264320m t ∆=+>，12128,8y y m y y t +==-. 因为直线,OA OB 的斜率之积为1-，所以12121y y x x =-， 因为2211228,8y x y x ==，所以()2121264y y x x =，所以121212646418y y x x y y t ===--，解得8t =，即()212126464y y x x ==， 所以，1264x x =. 因为1222AF x BF x =+=+，， 所以()12226442424101042AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当22644x x =时，等号成立.所以，4||AF BF +|的最小值是42. 故选：C12．已知函数()2,0()ln ,0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()()1g x f f x af x =-+恰有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[){}0,21⋃ B ．()2,+∞ C ．()1,0- D ．(),1-∞-【答案】C【分析】设()t f x =，进而考虑()y f t =与1y at =-的交点，分02a ≤<，2a =，2a >，10a -<<，1a <-五种情况讨论求解即可.【详解】设()t f x =，则()()1y h t f t at ==-+，令()0h t =，得()1f t at =-， 我们先来考虑()y f t =与1y at =-的交点， 令224,1at t a -=∆=-，当02a ≤<时，1y at =-与()y f t =只有1个交点，交点横坐标()11,0t ∈-，此时()g x 有1个零点； 当2a =时，1y at =-与()y f t =只有2个交点，交点横坐标()121,0,1t t ∈-=，此时()g x 有3个零点.当2a >时，1y at =-与()y f t =只有3个交点，交点横坐标()()()1231,0,0,1,1,t t t ∞∈-∈∈+，此时()g x 有5个零点.若1y at =-与()()0y f t t =<相切时，设切点()()00,ln P t t -， 所以，切线斜率()000ln 11t a t t -+==，解得01,1t a =-=-， 故当1a <-时，1y at =-与()y f t =没有交点，()g x 没有零点.当10a -<<时，1y at =-与()y f t =有2个交点，交点横坐标()120,,t t ∈-∞，此时()g x 有2个零点. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元()t f x =，将问题转化为直线1y at =-与()y f t =的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.二、填空题13．已知非零向量,a b 满足||2||b a =，且()a a b ⊥+，则向量,a b 的夹角是_______． 【答案】23π【分析】由向量垂直得到()0a a b ⋅+=，即可得到2a b a ⋅=-，再根据cos ,||||a ba b a b ⋅〈〉=及||2||b a =计算可得；【详解】解：因为()a a b ⊥+，所以()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，所以2a b a ⋅=-． 因为||2||b a =，所以21cos ,2||||||||a b a a b a b a b ⋅-〈〉===-，因为[],0,a b π〈〉∈，所以2,3a b π〈〉=． 故答案为：23π14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，左、右焦点分别为1F ，2F ，若22210B A F B ⋅=，则椭圆C 的离心率为________.【分析】写出点2221,,,B A F B 的坐标，根据22210B A F B ⋅=列出,,a b c 的关系，求解.【详解】因为()()22212221,,,,0B A a b F B c b B A F B =-=--⋅=，所以20ac b -+=，即220a c ac --=，则2e e 10+-=，解得e =e =因为0e 1<<，所以e =15．若()()()()()102910701291021111x x a a x a x a x a x +-=+-+-++-+-，则5a =_________.【答案】231-【分析】将()1072x x +-化为()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，后由二项式定理可得答案.【详解】()1072x x =+-()()7101111x x ⎡⎤⎡⎤-++--⎣⎦⎣⎦，设()711x ⎡⎤-+⎣⎦展开式通项为()7171C rrr T x -+=-，令752r r -=⇒=，则()()552371211C T x x =-=-. 设()1011x ⎡⎤--⎣⎦展开式通项为()()1011011C rrrr T x -+=--，令1055r r -=⇒=，则()()()5555610112521C T x x =--=--.则521252231a =-=-. 故答案为：231-16．对于正整数n 的正整数设为n a ，如131,2a a ==，记n n b n a =+，从全体正整数中除去所有n b ，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列{}n c ，则数列{}n c 的前8项和为_________. 【答案】204【分析】对于正整数k ，就2214k n k k ≤<++、221214k k n k k ++≤<++分类讨论后可求n b ，从而可求{}n c ，故可求前8项和.【详解】对于正整数n ，必存在正整数k ，使得()221k n k ≤<+.如果2214k n k k ≤<++，则12k k ≤+，故n a k =，故n b n k =+，此时22k n k k ≤≤+，故222k k n k k k +≤+≤+故此时n b 取值为区间22,2k k k k ⎡⎤++⎣⎦中的所有正整数.如果221214k k n k k ++≤<++即22121k k n k k ++≤<++，则112k k +<+， 故1n a k =+，故1n b n k =++，此时2222132k k n k k k ++≤++<++，故此时n b 取值为区间())2211,32k k k ⎡++++⎣中的所有正整数. 所以当2221k n k k ≤<++时，n b 取值为区间())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣中所有的正整数，而()223211k k k k ++=+++，()221122k k k ++=++，故())2222,211,32k k k k k k k ⎡⎡⎤++++++⎣⎦⎣表示())22,11k k k k ⎡++++⎣中除()21k +以外的所有正整数， 取1k =，则14n ≤<，n b 取值为区间[)2,6中除4以外的所有正整数. 取2k =，则49n ≤<，n b 取值为区间[)6,12中除9以外的所有正整数.依次取k m =，则()221m n m ≤<+，n b 取值为区间())22,11m m m m ⎡++++⎣中除()21m +以外的所有正整数. 故1234567891,4,9,16,25,36,49,64,81c c c c c c c c c =========， 故前8项和为：1491625364964204+++++++=， 故答案为：204.【点睛】思路点睛：对于数列的新定义问题，首先要弄清楚数列的形成过程，特别是与数论有关的新数列构建问题，要能根据整数的形式做合理的分类.三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2sin cos b A a B c +=. (1)求sin A 的值；(2)若点M 在边AC 上，且BCM 是边长为ABC 的面积.【答案】(1)5sin 5A = (2)33182+【分析】（1）由正弦定理进行边角转换可得1tan 2A =，再结合22sin cos 1A A +=即可求解； （2）在ABC 中，由正弦定理可得35c =，然后利用πA C ABC ++∠=求出5215sin 10ABC +∠=，最后用面积公式求解即可【详解】（1）因为2sin cos b A a B c +=，所以结合正弦定理得2sin sin sin cos sin .B A A B C += 因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以2sin sin cos sin .B A A B =因为0πB <<，所以sin 0B ≠，所以2sin cos A A =，所以sin 1tan cos 2A A A ==. 因为22sin cos 1A A +=,且0πA <<，所以25cos 5A =，5sin 5A =. （2）因为BCM 是边长为23的等边三角形，所以π233BC C ==，. 在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a cA C =，则sin 35sin a C c A==. 因为πA C ABC ++∠=，所以()5215sin sin sin cos cos sin 10ABC A C A C A C +∠=+=+=， 则ABC 的面积为15215331835232102++⨯⨯⨯=. 18．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按[)10,12，[)12,14，[)14,16，[)16,18，[]18,20分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该产品这一质量指数的中位数；(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在[)16,18和[]18,20内的该产品中抽取12件，再从这12件产品中随机抽取4件，记抽取到这一质量指数在[]18,20内的该产品的数量为X ，求X 的分布列与期望．【答案】(1)15； (2)分布列见解析，()43E X =.【分析】（1）利用中位数的求解方法列方程即可求解.（2）由题意分析出X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．分别求出对应的概率，得到分布列，求出数学期望.【详解】（1）因为()0.0250.12520.30.5+⨯=<，0.30.20020.70.5+⨯=>，所以该产品这一质量指数的中位数在[)14,16内．设该产品这一质量指数的中位数为m ，则()140.20.30.5m -⨯+=，解得15m =．（2）由题意可知抽取的12件产品中这一质量指数在[)16,18内的有8件，这一质量指数在[]18,20内的有4件．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．()48412C 70140C 49599P X ====，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 168562C 495165P X ====，()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===，X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 22449556165324951495()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ACEF 是矩形，22BC AB AF ==，60ABC ∠=︒，AF BC ⊥，H 是棱AD 的中点，P 是棱EF 上的动点.(1)证明：AB ⊥平面ACEF ；(2)求平面PBH 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)32【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而可得线线垂直即可证明， （2）根据空间向量的坐标运算可利用法向量的夹角与平面角的关系，即可求解. 【详解】（1）证明：因为四边形ACEF 是矩形，所以AF AC ⊥. 因为AF BC ⊥，且AC BC ⊂，平面ABCD ，AC BC C =，所以AF ⊥平面ABCD ．因为AB ⊂平面ABCD ，所以AF AB ⊥ ，因为2BC AB =，且60ABC ∠=，所以3AC AE =， 所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥. 因为AF AC ，⊂平面ACEF ，且AFAC A =，所以AB ⊥平面ACEF .（2）由（1）可知AB AC AF ，，两两垂直，则以A 为原点，分别以AB ，AC ，AF 的方向为x y z ，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设1AB PF a ，，则10001B P ,a ，，,，，123H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故11BP ,a,, 33022BH,,, 设平面PBH 的法向量为(),,m x y z =,则03302m BP x ay z m BH x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1313m ,,a .因为ACCD ACCE ，，CD CE ，⊂平面CDE ，且CD CE C =，所以AC ⊥平面CDE ，则平面CDE 的一个法向量为()0,1,0n =.设平面PBH 与平面CDE 所成的锐角为θ， 则22333cos θcos 21313413m n m nm naa，，即平面PBH 与平面CDE 所成20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点()2,1P 在双曲线C 上，且12PF PF -=(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，直线AP ，BP 分别与y 轴交于M ，N 两点，且OM ON =-，试问直线l 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2212x y -=(2)过定点，定点坐标为()0,1【分析】（1）由双曲线定义可知2a =()2,1P 在双曲线C 上，求出,a b ，得到双曲线的标准方程；（2）设直线l ：x my t =+，与双曲线的方程联立，由韦达定理得1212,y y y y +，写出直线AP ，BP 的方程，求得M ，N 两点的坐标，结合OM ON =-，可求得,m t的关系式，从而得出定点坐标． 【详解】（1）由题意可得224112a b a ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得1a b ==故双曲线C 的标准方程为2212x y -=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，设直线l ：x my t =+，1122(,),(,)A x y B x y 联立2212x my t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()2222220m y mty t -++-= 则212122222,22mt t y y y y m m -+=-=-- 直线AP 的方程为()111212y y x x -=-+-，令0x =，得11122x y y x -=-，则11120,2x y M x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭直线BP 的方程为()221212y y x x -=-+-，令0x =，得22222x y y x -=-，则22220,2x y N x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭因为OM ON =-，所以11221222022x y x y x x --+=--， 整理得1212122112()()2()0x x x x x y x y y y -+-+++= 又11x my t =+，22x my t =+，所以()()()2212122220m m y y mt m t y y t t -+--+++-=，则()()2222222222022t mt m m mt m t t t m m -⎛⎫-⋅+--+-+-= ⎪--⎝⎭即222220m t mt m t ++--=，即2()2()0m t m t +-+= 得()()20m t m t +-+=，解得20m t +-=或0m t += 当20m t +-=时，直线l 经过点P ，与题意不符； 当0m t +=时，直线l ：x my m =-，则直线l 过定点()0,1． 故直线l 过定点()0,1．21．已知函数()21ln 12f x x x x x =---.(1)求()f x 的单调区间； (2)若函数()()()2121ln 12g x x a x a x =+-+--恰有两个不同的零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是()0,∞+，无递增区间 (2)51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出导函数()f x '，再利用导数确定()f x '的正负，从而得单调区间；（2）求出导函数()g x '，在()g x 定义域内分类讨论()0g x '=的根的情况，得函数单调性、极值，然后结合零点存在定理确定参数范围． 【详解】（1）由题意可得()ln f x x x '=-， 设()()ln h x f x x x '==-，则()111xh x x x-'=-=由()0h x '>，得01x <<，由()0h x '<，得1x >则()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x '在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)10f x f ''≤=-<，故()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无递增区间（2）由题意可得21(2)1(1)(1)()2a x a x a x a x g x x a x x x-+-+-+--'=+-+==， ()g x 的定义域是(0,)+∞，①当10a -<，即1a >时，1x >时()0g x '>，01x <<时()0g x '<， 则()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. 因为0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--<，解得52a <，故152a <<；②当10a -=，即1a =时，由21()102g x x x =--=，解得x 1=±因为0x >，所以1x =+()g x 有且仅有1个零点，故1a =不符合题意； ③当011a <-<，即01a <<时，由()0g x '>，得01x a <<-或1x >， 由()0g x '<，得11a x -<<，则()g x 在(0,1)a -和(1,)+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0,g x x <→+∞时，()g x ∞→+， 所以()g x 要有两个零点，则1(1)2102g a =+--=或21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=，若(1)0g =，解得52a =，不符合题意， 若(1)0g a -=，设1(0,1)t a =-∈，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，01t <<时，ln 0t t <，221111(1)0222t t t ---=-+-<，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故01a <<不符合题意；④当11a -=，即0a =时，()0g x '≥恒成立，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而()g x 最多有1个零点，则0a =不符合题意；⑤当11a ->，即a<0时，由()0g x '>，得01x <<或1x a >-，由()0g x '<，得11x a <<-， 则()g x 在(0,1)和(1),a -+∞上单调递增，在(1,1)a -上单调递减. 因为0x →时，()0g x x <→+∞，时，()g x ∞→+ 所以()g x 要有两个零点，则(1)0g =或(1)0g a -=，若1(1)2102g a =+--=，解得52a =，不符合题意，若21(1)(1)(2)(1)(1)ln(1)102g a a a a a a -=-+--+---=．设1(1,)t a =-∈+∞，则(1)0g a -=化为2211(1)ln 1ln 1022t t t t t t t t t +--+-=--+-=，由（1）知21ln 12y t t t t =---在(1,)+∞上单调递减，所以21ln 102t t t t --+-<，21ln 102t t t t --+-=无解，即(1)0g a -=无解，故a<0不符合题意． 综上，a 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】难点与易错点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，函数零点个数问题，难点在于函数定义域是(0,)+∞，因此()0g x '=的根需要根据定义域分类讨论，在定义域内有一个根，还是两个根，有两个根时还需要比较两根的大小，从而得出函数单调性、极值，由于含有参数还需结合函数变化趋势确定零点的存在性，从而得出结论．分类不清易出错．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos 2sin 20ρθρθ-+=． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点(0,1)P ，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)22144x y -=；220x y【分析】（1）消去参数可得C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入普通方程，消元后根据参数的几何意义求解. 【详解】（1）由1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），得224x y -=，故曲线C 的普通方程为22144x y -=． 由cos 2sin 20ρθρθ-+=，得220x y ， 故直线l 的直角坐标方程为220x y ．（2）由题意可知直线l的参数方程为,1x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得23250t --=， 设A ，B 对应的参数分别是12,t t ，则1212253t t t t +==-， 从而12t t -===故1212121211||||t t t t PA PB t t t t +-+===． 23．已知函数()233f x x x =-++. (1)求不等式()9f x ≤的解集；(2)若()||f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[]3,3- (2)(],3-∞【分析】(1)将函数表示为分段函数形式，分三类情况讨论求解； (2)将不等式等价转化为|23||3|33|2||1|||x x a x x x -++=-++≥，利用绝对值不等式可求33|2||1|x x-++的最小值，即可求解.【详解】（1）因为3,33()2336,3233,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-++=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()9f x ≤等价于339x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或33269x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤⎩或3239x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩， 解得3x =-或332-<≤x 或332x <≤，即33x -≤≤，即不等式()9f x ≤的解集为[]3,3- （2）当0x =时，60≥恒成立，所以a ∈R ；当0x ≠时，|23||3|33|2||1|||x x a x x x-++=-++≥恒成立，因为3333|2||1||21|3x x x x-++≥-++=，当且仅当33(2)(1)0x x -+≤即-<3≤0x 或302x <≤时取得等号，所以3a ≤，综上，a 的取值范围是(],3-∞.。
2023届辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省锦州市渤海大学附属高级中学高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．若集合{}22log 2,01x A x x B xx -⎧⎫=<=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋃=（ ） A ．[1,4)- B ．(1,2]- C ．(0,2] D ．(1,4)-【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为集合{}{}{}22log 204,0121x A x x x x B xx x x -⎧⎫=<=<<=≤=-<≤⎨⎬+⎩⎭， 则A B ⋃=(1,4)-， 故选：D2．设复数ππcos isin 33z =+，则在复平面内1z z +对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】注意到12z =，计算得1z z +代数形式，可得答案.【详解】12z =+，11131112z z z +=+===⎝⎭⎝⎭，则其在复平面对应的点为3,2⎛ ⎝⎭，即在第四象限. 故选：D3．已知R m ∈，命题p ：方程22123x y m m+=--表示椭圆，命题q ：2560m m -+<，则命题p 是命题q成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据椭圆方程满足的条件可得命题p 满足522m <<或532m <<，由一元二次不等式可得q 满足23m <<，进而可求解.【详解】命题p ：“方程22123x ym m +=--表示椭圆”，则203023m m m m->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得522m <<或532m <<，命题q ：2560m m -+<，即()()320m m --<，解得：23m <<， 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A4．已知函数()318sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线0nx y -=平行，则二项式()1nx -展开式中4x 的系数为（ ） A ．70 B ．－70 C ．56 D ．－56【答案】A【分析】求出导函数，根据导数的几何意义，求出n 的值.然后根据二项式定理展开式解题. 【详解】()218cos 2f x x x '=+，由已知可得，()0f n '=，即()08f n '==，所以8n =.设()81x -展开式中的第k +1项含有4x ，()()()8188C 1C 1k k kk k k k T x x -+=⋅⋅-=⋅-⋅，则可知，4k =，所以二项式()1nx -展开式中4x 的系数为488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯.故选：A.5．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：()0e KtS t S =描述血氧饱和度()S t （单位：%）随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数．已知060S =，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要（取ln6 1.79=，ln7 1.95=，ln12 2.48=，ln19 2.94=）（ ） A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时【答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：60e 70K =，60e 95Kt ≥，70ln ln 7ln 660K ==-，95ln ln19ln1260Kt ≥=-， 则ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==--，则给氧时间至少还需要1.875小时.故选：D6．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）A ．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B ．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C ．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D ．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种． 【答案】C【分析】根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，可判断答案.【详解】对于A ：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有37C 2170⨯⨯=种，故A 正确；对于B ：先排女生，将4名女生全排列，有44A 种方法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有53A 种方法，故共有4543A A 1440⋅=种方法，故B 正确．对于C ：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有44A 种情况， 再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有44A 种情况，故共有4444A A 576⋅=种方法，故C 错误．对于D ：若甲站在排尾则有66A 种排法，若甲不站在排尾则有115555A A A 种排法，故有61156555A +A A A 3720=种排法，故D 正确；故选：C.7．已知椭圆1C ：222116x y m +=和双曲线2C ：22214x y n-=有公共的焦点()13,0F -，()23,0F ，点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，则下列说法中的正确个数为（ ）①椭圆的短轴长为②双曲线的虚轴长为③双曲线2C 的离心率恰好为椭圆1C 离心率的两倍； ④12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形． A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】由焦点求得参数，即可根据定义判断①②③，联立椭圆、双曲线求得P 点，即可求得12PF F △各边长进行判断.【详解】因为椭圆1C 和双曲线2C 有公共的焦点()13,0F -，()23,0F ，所以2216949m n ⎧-=⎨+=⎩，解得m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 对①②，椭圆的短轴长为①②正确； 对③，双曲线2C 的离心率232e =，椭圆1C 离心率的134e =，212e e =，③正确；对④，由22221167145x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得83P ⎛ ⎝⎭，则16PF ==， 2122PF a PF =-=，126F F =，所以12PF F △是一个以2PF 为底的等腰三角形，④正确．故选：A8．已知函数2()cos 1,R =+-∈f x x ax a ，若对于任意的实数x 恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,)2+∞B ．1(,)2+∞C ．1[,)4-+∞D ．1(,)4+∞【答案】A【分析】由已知可将题目转化为2cos 10+-≥x ax ，即21cos 0≥-≥ax x ，显然0a ≥，运用参数分离和二倍角公式可得2sin 222⎛⎫ ⎪≥⎪ ⎪⎝⎭x a x ，求出右边函数的范围，即可得解. 【详解】对于任意的实数x 恒有()0f x ≥，即2cos 10+-≥x ax ， 即21cos 0≥-≥ax x ，显然0a ≥，当0x =时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑0x >的情况即可， 当0x >时，2222sin 1cos 2-≥=x x a x x，即2sin 222⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭x a x 由0x >，则02=>x t ，则题目转化为2sin 2⎛⎫≥ ⎪⎝⎭t a t ， 令()sin ,0=->g t t t t ，求导()cos 10'=-≤g t t ，故函数()g t 在()0,∞+上单调递减，()(0)0g t g ∴<=，即sin t t <，sin 1∴<t t ，即2sin 212⎛⎫ ⎪<⎪ ⎪⎝⎭x x ，所以21a ≥，解得12a ≥ 所以实数a 的取值范围是1[,)2+∞故选：A二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17B ．若随机变量()23,N ξσ~，且()60.84P ξ<=，则()360.34P ξ<<=．C ．袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球．记事件{A =第一次抽到的是白球}，事件{B =第二次抽到的是白球}，则()13P B A =D ．已知变量x 、y 线性相关，由样本数据算得线性回归方程是ˆˆ0.4y x a =+，且由样本数据算得4x =，3.7y =，则ˆ 2.1a =【答案】BD【分析】根据第p 百分位数的计算公式可判断A 项；根据正态分布的对称性可求解，判断B 项；根据条件概率的公式()(|)()P AB P B A P A =求解相应概率，可判断C 项；将(),x y 代入回归方程，即可判断D 项.【详解】对于A ，共有10个数，1080%8⨯=，所以数据的第80百分位数为17和20的平均数，即为18.5，故A 错误；对于B ，因为随机变量()2~3,N ξσ，且(6)0.84<=P ξ，所以(0)(6)0.16P P ξξ≤=≥=， 所以(06)10.160.160.68P ξ<<=--=， 所以11(36)(06)0.680.3422P P ξξ<<=<<=⨯=，故B 正确； 对于C ，由题意可知1216C 1()C 3P A ==，1115C 11()3C 15P AB =⨯=， 所以(|)()1()5P AB P P A B A ==，故C 错误； 对于D ，因为线性回归方程是ˆˆ0.4y x a =+经过样本点的中心(),x y ，所以有ˆ3.70.44a =⨯+，解得ˆ 2.1a=，故D 正确. 故选：BD.10．已知圆22:(2)4C x y ++=，直线:210()l mx x y m m R ++-+=∈．则下列结论正确的是（ ） A ．当0m =时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于1 B ．对于任意实数m ，直线l 恒过定点（-1，1）C ．若圆C 与圆22280x y x y a +-++=恰有三条公切线，则8a =D ．若动点D 在圆C 上，点(2,4)E ，则线段DE 中点M 的轨迹方程为22(2)1x y +-= 【答案】BCD【分析】对于A ，通过计算圆心到直线的距离进行分析即可，对于B ，对直线方程变形求解即可，对于C ，由两圆有3条公切线可得两圆相外切，从而可求出a 的值，对于D ，设DE 的中点为(,)x y ，则可得动点D 的坐标为(22,24)x y --代入圆C 方程中化简可得答案【详解】对于A ，圆22:(2)4C x y ++=的圆心为(2,0)-，半径2r =，当0m =时，直线:210l x y +-=，则圆心C 到直线l 的距离为d =21<，所以圆C 上只有两个点到直线l 的距离等于1，所以A 错误，对于B ，由210()mx x y m m R ++-+=∈，得(1)(21)0m x x y +++-=，由于m R ∈，所以10210x x y +=⎧⎨+-=⎩，得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线l 恒点(1,1)-，所以B 正确， 对于C ，因为圆C 与圆22280x y x y a +-++=恰有三条公切线，所以两圆相外切，由22280x y x y a +-++=，得22(1)(4)17x y a -++=-，52，解得8a =，所以C 正确，对于D ，设DE 的中点为(,)x y ，则可得动点D 的坐标为(22,24)x y --，因为动点D 在圆C 上，所以22(222)(24)4x y -++-=，化简得22(2)1x y +-=，所以线段DE 中点M 的轨迹方程为22(2)1x y +-=，所以D 正确，故选：BCD11．正三棱台111ABC A B C 中，O ，1O 分别是ABC 和111A B C △的中心，且111223AA A B BC ===，则（ ）A ．直线AC 与1OB 所成的角为90︒B ．平面111A BC 与平面11AA B B 所成的角为90︒C ．正三棱台111ABC A B C 的体积为191112D ．四棱锥11O AA B B -与111O AA B B -的体积之比为2:3 【答案】ACD【分析】将正三棱台111ABC A B C 补形为棱锥，在直角三角形中计算三棱台的高，即可判断C ；以1OO 为z 轴，平行于AB 为y 轴，垂直于yOz 平面为x 轴建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角、面面角、点到平面距离的向量求法判断ABD 即可.【详解】由题意根据O ，1O 分别是下底面与上底面的中心以及下底面边长和上底面边长分别为2和3可得11332AO AO ==， 假设正三棱台111ABC A B C 是由正棱锥D ABC -截取正棱锥111D A B C -得到的，则由已知可得DO 是棱锥D ABC -的高，1DO 是棱锥111D A B C -的高，1OO 为所求棱台的高， 因此DOA △是一个直角三角形，如图（1）所示，因为11DO A DOA ，11332AO AO ==12AA =， 所以1111123DA A O DA AA AO ==+，解得14DA =， 所以由勾股定理得2233DO DA AO -=11333OO DO ==，即正三棱台111ABC A B C 的33又因为19333sin 602ABCS=⨯⨯⨯︒=，111122sin 6032A B C S =⨯⨯⨯︒= 所以()111111111119113ABC A B C ABCA B C ABC A B C OO V S SSS-=++=C 正确；因为1OO 垂直于上下底面，所以以1OO 为z 轴，平行于AB 为y 轴，垂直于yOz 平面为x 轴建立如图（2）所示空间直角坐标系，所以33,02A ⎫-⎪⎪⎝⎭，()3,0,0C ，1333B ⎝⎭，333,02AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13333OB ⎛= ⎝⎭， 所以10AC OB ⋅=，直线1AC OB ⊥，选项A 正确；又1333A -⎝⎭，33,02B ⎫=⎪⎪⎝⎭， 所以131332AA ⎛=- ⎝⎭，()0,3,0AB =，设平面11AA B B 的法向量(),,n x y z =，则1313306230n AA y z n AB y ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅==⎩，解得(211,0,1)n =，设平面111A B C 的法向量()0,0,1m =，则10n m ⋅=≠，故B 错误；又133O ⎛ ⎝⎭，所以33,022OA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13333,22O A ⎛=- ⎝⎭， 所以点O 到平面11AA B B 的距离13316545OA n d n⋅=== 点1O 到平面11AA B B 的距离1223321653345O A n d n⋅===所以1223d d =，由棱锥的体积公式可得四棱锥11O AA B B -与111O AA B B -的体积之比为2:3，D 正确； 综上ACD 正确， 故选：ACD12．已知数列{}n a 满足18a =，21a =，2,2,n n n a n a a n +-⎧=⎨-⎩为偶数为奇数，n T 为数列{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的有（ ） A ．n 为偶数时，()221n n a -=-B ．229n T n n =-+C ．992049T =-D ．n T 的最大值为20【答案】AC【分析】对选项A ，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B ，检验当1n =时，所给表达式不满足；对选项C ，按照n 为奇数和偶数分别讨论，根据10099100T T a -=，可直接求得；对选项D ，n T 的最大值为71021T T ==【详解】根据递推关系可知，n 为奇数时，()18292n n a n -⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭n 为偶数时，()221n n a -=-，故A 对；()()212342121321242n n n n n T a a a a a a a a a a a a --=++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅+根据奇数项构成等差数列可得：()21321862109n a a a n n n -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+=-+而又：2421,0,n n a a a n ⎧++⋅⋅+=⎨⎩当为奇数当为偶数 则有：2229,91,n n n n T n n n ⎧-+=⎨-++⎩为偶数为奇数，故B 错误；()100222991010005095012049a T T -=-=-+⨯--=-，故C 对；根据n T 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据n T 特点可知：n T 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，26393119T =-+⨯+=，76719221T T a =+=+=，2849420T =-+⨯=，98920020T T a =+=+=，210595121T =-+⨯+=，11101119T T a =+=，n T 的最大值为71021T T ==，故D 错 故选：AC三、填空题13．已知a ，b 是单位向量，2c a b =+.若a c ⊥，则c =___________.【分析】先通过(2)0c a a b a ⋅=+⋅=得到a b ⋅，再通过2||(2)c a b =+计算可得答案. 【详解】2c a b =+且a c ⊥ 2(2)20c a a b a a a b ∴⋅=+⋅=+⋅=即120a b +⋅= 12a b ∴⋅=-222||(2)4414(c a b a a b b ∴=+=+⋅+=+⨯-14．已知直线():1l y k x =-与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若3AF BF =，则实数k 的值为______.【分析】联立直线l 与抛物线C 可得2222(24)0k x k x k -++=，利用韦达定理可得到1212242,1x x x x k +=+=，利用抛物线的定义和3AF BF =可求出13x =，213x =，即可求解 【详解】设交点1122(,),(,)A x y B x y ，由于直线():1l y k x =-过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ， 所以将()1y k x =-代入24y x =并整理可得2222(24)0k x k x k -++=， 则2242(24)411606k k k =+-=+>∆，1212242,1x x x x k +=+=， 又由抛物线的定义可得12||1,||1AF x BF x =+=+，由3AF BF =可得1232x x =+代入121=x x 可得2223210x x +-=，解之得213x =或21x =-（舍去），故213x =时，13x =，代入12241023x k x ==++可得23k k =⇒=15．二十四节气歌是古人为表达人与自然宇宙之间独特的时间观念，科学揭示天文气象变化规律的小诗歌，它蕴含着中华民族悠久文化内涵和历史积淀，体现着我国古代劳动人民的智慧其中四句“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中每句的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气．若从24个节气中任选2个节气，则这2个节气恰好不在一个季节的概率为______．【答案】1823【分析】方法1：利用古典概型概率公式直接计算可得.方法2：可先求得从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数，利用对立事件的性质，求出从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，利用古典概型概率公式计算可得.【详解】方法1：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：224C 276=，求从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数，分两步完成：第一步，从4个季节中任选2个季节的方法有24C 6=，第二步，再从选出的这2个季节中各选一个节气的方法有：1166C C 36=，所以从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：636216⨯=， 所以，2161827623P ==． 方法2：从24个节气中任选2个节气的事件总数有：224C 276=，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的事件总数有：264C 60=，从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好不在一个季节的事件总数有：27660216-=， 所以，2161827623P ==． 故答案为：1823. 16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，0πϕ<< ，π()()4f x f ≤恒成立，且()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点，则ω的取值范围是______________． 【答案】()6,10【分析】确定函数的max π()()4f x f =，由此可得ππ2π,Z 24k k ωϕ=-+∈，再利用()y f x =在区间3π0,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上恰有3个零点得到ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，求得答案.【详解】由已知得：π()()4f x f ≤恒成立，则max π()()4f x f = ，ππππ2π,Z 2π,Z 4224k k k k ωωϕϕ+=+∈⇒=-+∈， 由3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得3π(,)8x ωϕϕωϕ+∈+，由于()y f x =在区间3π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上恰有3个零点，故0π3π3π4π8ϕωϕ<<⎧⎪⎨<+≤⎪⎩，则ππ02ππ243πππ3π2π4π824k k ωωω⎧<-+<⎪⎪⎨⎪<+-+≤⎪⎩，Z k ∈ ， 则8282,Z 20162816k k k k k ωω-<<+⎧∈⎨-<≤-⎩, 只有当1k =时，不等式组有解，此时610412ωω<<⎧⎨<≤⎩，故610ω<<，故答案为：()6,10四、解答题17．在等差数列{}n a 中，162712,16a a a a +=+=． (1)求等差数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}2n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)2221n n --.【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列{}2n n a b +的通项公式为n c ，由等比数列公式求出n c 可得n b ， 再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题知16271216a a a a +=⎧⎨+=⎩，则1125122716a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩ ()12121n a n n ∴=+-=-．（2）设数列{}2n n a b +的通项公式为n c ，则122n n n n c a b -=+=，()122221n n n n b c a n -∴=-=--，则()()11242213521n n S n -=++++-++++-()2121122221122nn n n n +--=-⋅=---． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=，222PD DC BC PA AB =====，PD CD ⊥．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 21【分析】（1）取CD 的中点E ，连接BE ，证明出PA AB ⊥，PA AD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线BD 与平面BPC 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：由于//AB CD ，90BAD ∠=，所以CD AD ⊥，由于PD CD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，AB ∴⊥平面PAD ，由PA ⊂平面PAD ，得AB PA ⊥.取CD 的中点E ，连接BE ，因为底面ABCD 是直角梯形，//DE AB 且222DC DE AB ===，90BAD ∠=，故四边形ABED 为矩形，且AD BE =且BE CD ⊥，223AD BE BC CE ∴==-=， 所以在PAD 中，1PA =，2PD =，222AD PA PD +=，即PA AD ⊥， 由于AD AB A ⋂=，AB 、AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()1,0,0B 、()3,0C 、()3,0D 、()0,0,1P ，()3,0BD =-，()1,0,1PB =-，()1,3,0BC =，设平面BPC 的法向量为(),,n x y z =，则030n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3x =(3,3n =-，所以，2321cos ,27BD n BD n BD n⋅<>==-=⨯⋅所以，直线BD 与平面BPC 21. 19．已知在△ABC 3（A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值． 【答案】（1）3π；（2）3 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解.【详解】（1）3（A +B ）＝1+2sin22C，且A +B +C ＝π， 3C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C 3C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1． ∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB∠＝sin 3ABπ＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AIθ＝sin AB AIB ∠23sin3π4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3（3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3故△ABI 的周长的最大值为3【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键. 20．近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定： ①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分． 请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率），求： ①1{}n n P P +-的通项公式； ②{}n P 的通项公式． 【答案】(1)5.7； (2)①11910n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；②1099191910nn P ⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二项分布的期望求解，求得三次监测中完成签到次数的数学期望，再求结果即可； （2）求得11,,n n n P P P +-的递推关系，结合等比数列的通项公式，即可求得1n n P P +-；再结合累加法，以及等比数列前n 项和公式，即可求得n P .【详解】（1）设某班同学在3次专注度监测中完成签到的次数为X ，由题可知，()~3,0.9X B ，故()30.9 2.7E X =⨯=，设某班同学3次专注度监测的总得分为Y ，根据题意()233Y X X X =+-=+，故()()3 5.7E Y E X =+=.故某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是5.7. （2）①由题可知，120.1,0.90.10.10.91P P ==+⨯= 根据题意，*1119,2,N 1010n n n P P P n n +-=+≥∈，故可得()11910n n n n P P P P +--=-- 故数列{}1n n P P +-为首项21810.81100P P -==，公比为910-的等比数列， 则11181991001010n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.②根据上式可得()()()112211n n n n n P P P P P P P P ---=-+-++-+，则1299110109999109911910101010191910110nn n nnP-⎡⎤⎛⎫-⨯--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-++-+-+=+=+⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，故{}n P的通项公式1099191910n nP⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭.21．已知双曲线222:1xC ya-=的右焦点为F，点,M N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于,P Q两点，设直线,MP NP的斜率分别为12,k k，且1213k k=.(1)求双曲线C的方程；(2)当点P在第一象限，且tan1tan2MPNMQN∠=∠时，求直线l的方程.【答案】(1)22 1.3xy-=y--=.【分析】（1）设点11(,)P x y，根据1213k k=，结合点P是双曲线上的点，化简求得23a=，即得答案. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y，利用两角和的正切公式化简tan1tan2MPNMQN∠=∠可得122y y=-，设直线:2(0)l x my m=+>，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.【详解】（1）由题意得(0),(0)M a N a-，，，设点11(,)P x y.则211111121222111111,,3y y y y yk k k kx a x a x a x a x a==⋅=⋅==+-+--.因为点P是双曲线上的点，则221121xya-=，∴.2122211yx a a=-，∴23a=，则双曲线C的方程为22 1.3xy-=（2）设1122(,),(,)P x y Q x y，点P在第一象限，则()11tan tan 0,0,tan tan 1tan tan PMN PNMx y MPN PMN PNM PMN PNM∠+∠>>∠=-∠+∠=--∠⋅∠，又1111tan tan 33PM PN PMN k PNM k x x ∠==∠=-=+-， 故111111111111113323233tan 133x x y y MPN y y x x -+-∠====+-， 同理可得2213tan 1tan tan 2y MPN MQN MQN y ∠∠===-∠，即122y y =-， 则直线l 的斜率大于0，由（1）可知2,0)F ( ，设直线:2(0)l x my m =+>，联立22213x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ ， 化简得()223410m y my -++= ，则222230,164(3)12120m m m m -≠∆=--=+>， 故12122241,033m y y y y m m -+==<--, 2123,20,m y y ∴<=->，代入韦达定理得12222122243123m y y y m y y y m -⎧+==-⎪⎪-⎨⎪==-⎪-⎩，所以22241233m m m -⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ ，解得11m =11m =（舍去）， 所以直线l 112110x y -- .【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合tan 1tan 2MPN MQN ∠=∠进行化简得到122y y =-，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.22．已知函数()e xf x ax a =--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥. (2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且 22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+， 求12x x +的取值范围. 【答案】(1)见解析； (2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e xax a =+，22e x ax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e 1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t xx =-∈，得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1t tt g t +=-的值域，则得到12x x +的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-. 当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>, 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增, 则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e xax a =+，22e x ax a =+，从而21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x xa x x -=-， 故()()()()12212121212112e e 1e 2e e e 1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x-⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈， 设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e 1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立, 所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e 1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t xx =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1t t t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.。
2025届山东省名校联盟新教材数学高三第一学期期末联考试题含解析
2025届山东省名校联盟新教材数学高三第一学期期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ）A ．2B ．3C ．12D ．22．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=3．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-4．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．185．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -6．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =（ ） A ．2132AB AC + B ．1124AB AC + C ．1123AB AC + D ．2133AB AC + 7．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向右平移5π6个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向左平移5π12个长度单位8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．5610．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33B ．3C 33-D ．3211．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]12．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1e 2⎛⎝ B ．12e ⎡⎢⎣C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年黑龙江省哈尔滨市122中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2024年黑龙江省哈尔滨市122中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ）A ．23，-2 B ．23-，-9C ．-2，-9D ．2，-2 2．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数 B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-3．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠4．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不．正确的是（ ）A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B ．天津的往返机票平均价格变化最大C ．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D ．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加 5．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c ca b> B ．22ac bc ＜C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12BC．2D7．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.158．已知向量a 与b 的夹角为θ，定义a b ⨯为a 与b 的“向量积”，且a b ⨯是一个向量，它的长度sin a b a b θ⨯=，若()2,0u =，(1,3u v -=-，则()u u v ⨯+=（）A．BC ．6D ．9．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-10．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．173111．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12z z =（ ） A ．1855i -+ B ．1855i -- C ．815i -+D ．815i --12．复数2(1)41i z i -+=+的虚部为（ ）A ．—1B ．—3C ．1D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案
高三年级（数学）参考答案 第 1 页（共 9 页）海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D （3）B （4）D （5）C （6）A （7）D （8）B （9）B （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（ 11 ）5-（12）2 （13）1-（14）1 1（答案不唯一） （15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD .在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11//C D CD ，11C D CD =.因为//AB CD ，12CD AB =，M 为AB 中点， 所以//CD AM ，CD AM =.所以11//C D AM ，11C D AM =.所以四边形11MAD C 为平行四边形.所以11//MC AD .因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1//C M 平面11ADD A ． （Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD .所以1AA ⊥AD .因为1AD B M ⊥, 1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，M D 1C 1B 1A 1D C B A高三年级（数学）参考答案 第 2 页（共 9 页）所以AD ⊥平面11ABB A .所以AD ⊥AB .如图建立空间直角坐标系A xyz -.不妨设1AD =，则(0,0,0)A ，1(1,2,1)C ，1(0,2,2)B ，(0,0,1)M . 所以1(1,2,1)AC =，11(1,0,1)C B =-，1(1,2,0)MC =. 设平面11MB C 的法向量为 (,,)x y z =n ，则 1110,0,C B MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩ 令2x =，则1y =-，2z =.于是(2,1,2)=-n .因为111cos ,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |， 所以直线1AC 与平面11MB C高三年级（数学）参考答案 第 3 页（共 9 页）（17）（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b c A B C==及2cos 2c A b a =-，得 2sin cos 2sin sin C A B A =-. ①因为πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+. ② 由①②得2sin cos sin 0A C A -=.因为(0,π)A ∈，所以sin 0A ≠. 所以1cos 2C =. 因为(0,π)C ∈， 所以π3C =. （Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=. 由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠. 所以2πsin sin sin()sin 3B A A A -=--11sin sin sin 22A A A A A =+-- πsin()3A =-. 所以π1sin()32A -=. 因为2π(0,)3A ∈，所以πππ(,)333A -∈-. 所以ππ36A -=，即π6A =. 所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形.因为c =所以2sin sin 3AB AC C ==.高三年级（数学）参考答案 第 4 页（共 9 页） 所以AC 边上的中线的长为1.选条件③：2222b a -=.由余弦定理得223a b ab +-=.AC 设边上的中线长为d ，由余弦定理得 2222cos 42b ab d a C =+-⋅ 2242b ab a =+- 2222234a b b a =-+-+1=. 所以AC 边上的中线的长为1.（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场.设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则 3()10P A =.（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场. 所以X 的所有可能取值为0，1，2．2024261(0)15C C P X C ===，1124268(1)15C C P X C ⋅===，0224262(2)5C C P X C ===. 所以X 的分布列为所以()012151553E X =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）213()()()D Y D Y D Y >>.高三年级（数学）参考答案 第 5 页（共 9 页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3=a，2=c所以c 2224=-=b a c ． 所以椭圆E 的方程为22194+=x y ，其短轴长为4． （Ⅱ）设直线CD 的方程为1=+x my ， 11(,)C x y ，22(,)D x y ，则11(,)--M x y .由221,941⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y x my 得22(49)8320m y my ++-=. 所以122849-+=+my y m .由(3,0)A 得直线AM 的方程为11(3)3=-+y y x x . 由11(3),31⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩y y x x x my 得11123y y x my -=+-.因为111=+x my ， 所以12y y =-，112()122y my x m -=-+=.所以112(,)22my yN --. 因为Q 为OD 的中点，且221=+x my ， 所以221(,)22my y Q +. 所以直线NQ 的斜率21221222121288492212()1812912249m y y y y m m k my my m y y m m m -+++====+-+--+--+. 当0m ≤时，0k ≤.高三年级（数学）参考答案 第 6 页（共 9 页）当0m >时，因为912m m +≥m .所以28129m k m =+.所以当m k（20）（共15分）解：（Ⅰ）①当1=a 时，2()sin (sin )f x x x x b x x x b =-+=-+.记()sin =-g x x x （0x ≥），则'()1cos 0=-≥g x x . 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数. 所以当0>x 时，()(0)0>=g x g .所以当0>x 时，()(sin )f x x x x b b =-+>.②由2()sin =-+f x x x x b 得'()2sin cos f x x x x x =--，且'(0)0=f . 当0>x 时，'()(1cos )sin =-+-f x x x x x . 因为1cos 0-≥x ，sin 0->x x ， 所以'()0>f x .因为'()'()-=-f x f x 对任意∈R x 恒成立， 所以当0<x 时，'()0<f x . 所以0是()f x 的唯一极值点.（Ⅱ）设曲线()=y f x 与曲线cos =-y x 的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121=-k k . 因为(cos )'sin x x -=， 所以1212sin sin 1⋅==-x x k k . 所以12{sin ,sin }{1,1}=-x x . 不妨设1sin 1=x ，则122π=π+x k ，∈Z k . 因为111111'()2sin cos ==--k f x ax x x x ，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin --=ax x x x x .高三年级（数学）参考答案 第 7 页（共 9 页）所以1124==π+πa x k ，∈Z k . 由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-， 所以0=b . 当24=π+πa k ，∈Z k ，0=b 时，取122π=π+x k ，222π=-π-x k ，则11()cos 0=-=f x x ，22()cos 0=-=f x x ，11'()sin 1==f x x ，22'()sin 1==-f x x ，符合题意. 所以24=π+πa k ，∈Z k ，0=b .（21）（共15分）解：（Ⅰ）1()10f A =,1()12H A =； 2()12f A =，2()15H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变. 因为m 为奇数，{1,1}ij a ∈-，所以(1),(2),,()r r r m ，(1),(2),,()c c c m 均不为0.（Ⅱ）当{0,}s m ∈或{0,}t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =.若0t =，结论显然成立； 若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =，则(,)i j H ∈，1,2,,i m =，1,2,,j t =.所以()H A mt ≥，结论成立.当{0,}s m ∉且{0,}t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =，()0c j >，1,2,,j t =，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <. 因为当1,2,,i s =，1,2,,j t t m =++时，()0r i >，()0c j <，所以2(())(())()()0ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅⋅⋅=⋅⋅<.高三年级（数学）参考答案 第 8 页（共 9 页）所以(,)i j H ∈.同理可得：(,)i j H ∈，1,2,,i s s m =++，1,2,,j t =.所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-. （Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89. 对于如下的数表A ，()8()9H A f A =. 下面证明：()8()9H A f A ≥. 设(1)r ，(2)r ，…，()r m 中恰有s 个正数，(1)c ，(2)c ，…，()c m 中恰有t 个正数，,{0,1,2,3,4,5}s t ∈.①若{0,5}s ∈或{0,5}t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =.所以当1ij a =时，(,)i j H ∈.由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且25(1)(2)(5)25(25)()22r r r a a f A a +++++--===，()H A a ≥.所以()81()9H A f A ≥>. ②由①设{0,5}s ∉且{0,5}t ∉.若{2,3}s ∈或{2,3}t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥.因为25|(1)(2)(5)|0()122r r r f A -+++<=≤，所以()118()129H A f A ≥>. ③由①②设{0,2,3,5}s ∉且{0,2,3,5}t ∉.若{,}{1,4}s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=. 因为0()12f A <≤， 所以()178()129H A f A ≥>.高三年级（数学）参考答案 第 9 页（共 9 页）若s t =，{1,4}s ∈，不妨设1s t ==，(1)0r >，(1)0c >，且()1()H A f A <，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥.所以()()8f A H A >≥.若数表A 中存在ij a （,{2,3,4,5}i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表'A . 因为(')()1H A H A =-，(')()1f A f A ≥-， 所以(')()1()(')()1()H A H A H A f A f A f A -≤<-. 所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小. 所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）. 因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤， 所以()8()9H A f A ≥.。
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2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷一、填空题：1.设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23Y 的集合P 的个数是___个 2.若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0102202534x y x y x ，则POQ∠cos 的最小值为__________4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则xf x f x 2)1()1(lim0-+→=___________6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ()2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数7.椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有__________个9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 10.若直线2y a =与函数|1|(0xy a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则0m n S +=。
”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((••的最大值为_________.13.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，B=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121x x ，且A ☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。
14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数AaA y cos 1cos 1-+=的最小值是9，则a =___ _ 二、解答题15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈．（1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围．16.在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点．(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时, 直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.AD 11A E C19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：1()()2[0,24)3f tg t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化的典型污染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且]43,0[∈a 。
⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M （a ）的表达式；⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。
20.已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-= （1）当1=a 时，求)(x f 的最小值；（2）若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，求a 的取值范围（3）设]1,1[|,)(|)(-∈=x x f x g ，求)(x g 的最大值)(a F 的解析式。
参考答案：1. 42.12 3.22 3. 21 4. 50x y +-= 5. 126. ()()12,f x f x7. 23 8. 3 9.32 10. 1(0,)211. 它的前n 项乘积为n T ，若m n T T =，则1m n T += 12.27213. [1，1+2] 14. 4 15．解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立， ∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴13a ≤-.当0a >时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是1(]3-∞-，. 16．解：(1) 58222bc b c a -=-⇒542222=-+bc a c b ⇒54cos =A ⇒53sin =A(2)Θ65321sin 21=⋅==∆bc A bc S ABC ，=∴bc 20由542222=-+bc a c b 及=bc 20与a =3解得b=4，c=5或b=5,c= 4(3)设D 到三边的距离分别为x 、y 、z ，则6)543(21=++=∆z y x S ABC)2(51512y x z y x d ++=++= 又x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+，，，001243y x y x画出不等式表示的平面区域得：4512<<d17. (Ⅰ)证明：连结BD ，则BD //11B D ， …………1分∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵CE ⊥面ABCD ，∴CE BD ⊥． 又C =I AC CE ，∴BD ⊥面ACE ． ………………4分 ∵AE ⊂面ACE ，∴BD AE ⊥，∴11B D AE ⊥． …………………………………………5分 （Ⅱ）证明：作1BB 的中点F ，连结AF CF EF 、、． ∵E F 、是1BB 1CC 、的中点，∴CE1B F ，∴四边形1B FCE 是平行四边形，∴ 1CF// B E ． ………7分 ∵,E F 是1BB 1CC 、的中点，∴//EF BC ， 又//BC AD ，∴//EF AD ．∴四边形ADEF 是平行四边形，AF ∴//ED ， ∵AF CF C =I ，1B E ED E =I ，∴平面//ACF 面1B DE ． …………………………………9分 又AC ⊂平面ACF ，∴//AC 面1B DE ． ………………10分 （Ⅲ）122ABD S AB AD ∆=⋅=． ……………………………12分 112333A BDEE ABD ABD ABD V V S CE S CE --∆∆==⋅=⋅=． ……………………………15分18.解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F （3,0） 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y += （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r =<=. 所以直线l 与圆O 恒相交又直线l 被圆O截得的弦长为L ===由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L ∈, 即直线l 被圆O截得的弦长的取值范围是]25L ∈ 19. 解：⑴g(t) 的值域为[0，12]…………………5分⑵ 57,[0,]612()1733,(,]3124a a M a a a ⎧+∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩…………………10分⑶当7[0,]12a ∈时，()M a =56a +≤712+56=1712<2; 当73(,]124a ∈时，()M a =133a -≤912324312-=<. 所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标。
…………………15分20.解：（1）11,0)(,33)(,1'2'=-==-==x x x f x x f a 或得令时当Θ当)1,1(-∈x 时，),1[]1,(,0)('+∞--∞∈<Y x x f 当时，0)('>x f ， 上单调递增在上单调递减在),1[],1,(,)1,1()(+∞--∞-∴x f )(x f ∴的极小值是2)1(=f（2）a a x x f 333)(2'-≥-=Θ，∴要使直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，当且仅当a 31-<-时成立，31<∴a （3）因上的故只要求在上是偶函数在]1,0[,]1,1[|3||)|)(3--==ax x fx x g 最大值 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)('x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在 .31)1()(a f a F -==②当0>a 时，),)((333)(2'a x a x a x x f -+=-=（ⅰ）当1,1≥≥a a 即13)1()(,]1,0[)(),(|)(|)(-=-=--==a f a F x f x f x f x g 此时上单调递增在（ⅱ）当10,10<<<<a a 即时，,],0[)(上单调递减在a x f 在]1,[a 单调递增；1°当131,031)1(<≤≤-=a a f 即时，,]1,[,],0[)(),(|)(|)(上单调递减在上单调递增在a a x f x f x f x g --== a a a f a F 2)()(=-=；2°当310,031)1(<<>-=a a f 即 （ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即 （ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F。