线性代数7 投入产出法与线性规划简介PPT课件

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《投入产出法》讲课PPT(1)

w a
i 1
m
i ij
pj
，
j 1,2, , n 。
（1·4）
由此，我们就得到了瓦尔拉斯一般均衡模型的最简化形式：
a X R , i 1 , 2 , , m . ij j i j 1 ~ ~ X j X j ( p , w), j 1,2, n. ~ ~ Ri Ri ( p , w), i 1,2,, m. m wi aij p j , j 1,2, , n. i 1

产出法又称为部门联系平衡法。此外，投入产出法还可以推广应用于各地区、国民经济各部门和各企业等类似问题的分析。当用于地区问题时，它反映的是地区内部之间的内在联系；当用于某一部门时，它反映的是该部门各类产品之间的内在联系；当用于公司或企业时，它反映的是其内部各工序之间的内在联系。投入产出表的一般介绍：

第二章
第一节
投入产出法原理（一）
静态投入产出模型

பைடு நூலகம்

1、静态投入产出模型的一般介绍所谓静态投入产出模型 —— 不包括时间因素的投入产出模型。（模型中时间因素的意义和复杂性）简单地说，投入产出表（模型）可分为以下几类：
实物形态的投入产出表产品投入产出表价值形态的投入产出表根据内容的不同划分劳动投入产出表固定资产投入产出表 … 特殊生产要素投入产出表

第三节瓦尔拉斯（Walras）的一般均衡模型
这里只作一简要的介绍：基本假设：（1 ）一经济社会中有n种产品和m种生产要素；

Ri ——社会所能提供的第 X j ——第 j 种产品的总产量；
i 种要素的数量。 (2)投入系数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n) ——表示生产单位 j 种产品需要 i 种要素的投入量（ aij

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线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基于几何方法的线性规划算法。它将可行解的边界表示为椭球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步骤包括初始化、构建椭球和迭代更新。在每次迭代中，根据当前椭球的位置和方向来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标准算法，通过迭代和优化，找到满足约束条件的最大或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需要先找到一个初始解，这可以通过手动计算或使用软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和优化，逐步逼近最优解，每次迭代都需要重新计算目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义

《线性规划》课件

线性规划在计算和科学中的作用
线性规划与其他数学方法的关系
线性规划为其他计算学科和科学领域提供了一种有用的工具，包括操作研究、管理科学、计算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如图论、随机优化和动态编程，经常在更复杂的问题中一起使用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的许多领域都有着广泛的应用，未来的不断发展将使其能够应用于更多领域。
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本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预测趋势、优化资源和改进生产效率。
线性规划的基本概念和术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。

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约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
6
线性规划模型：
min z 40 x1 36 x2
5 x1 3 x2 45 x 9 1 s.t. x2 15 x1 0, x2 0
2
两个引例问题一：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用
于加工三种工件.假定这两台车床的可用台时数分别为800和 900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用二种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？
注：lingo的灵敏度分析需要激活（系统默认是不激活的）为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab，在Dual Computations列表框中，选择Prices and Ranges选项。确认并运行LINGO|Ranges或快捷键 ctrl+R.
在LINGO模型 min 13* x1 9* x 2 10* x3 11* x 4 12* x5 8* x6; 窗口输入： x1 x 4 400;
x 2 x5 600; x3 x6 500; 0.4* x1 1.1* x 2 x3 800; 0.5* x 4 1.2* x5 1.3* x6 900;
Cost
X1 X2 X3 X4 X5 X6 Row Price
影子价格
Slack or Surplus
1 2 3 4 5 6
13800.00 0.000000 0.000000 0.000000 140.0000 50.00000

4.2线性规划ppt课件

4.2线性规划ppt课件
目录
• 线性规划简介 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的软件实现 • 线性规划案例分析 • 线性规划的优化策略
01
线性规划简介
线性规划的定义
线性规划是数学优化技术的一种，它通过将问题转化为线性方程组，并寻找满足一定约束条件的解，以实现目标函数的最优解。
线性规划问题通常由决策变量、约束条件和目标函数三部分组成
运输问题
总结词
运输问题是在物流和供应链管理中常见的线性规划应用，旨在优化运输成本和时间。
详细描述
运输问题通常涉及多个起点、终点和运输方式，需要考虑运输成本、时间、容量和路线等约束条件。通过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低或运输时间最短。
投资组合优化问题
总结词
投资组合优化问题是在金融领域中常见的线性规划应用，旨在实现风险和收益之间的平衡。
对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，可以用于求解一些特殊类型的问题，如运输问题、分配问题等。
对偶问题具有一些特殊的性质，如对偶变量的非负性、对偶问题的最优解与原问题的最优解之间的关系等。
初始解的确定
初始解的确定是线性规划求解过程中的一个重要步骤，一个好的初始解可以大
大减少迭代次数，提高求解效率。
。
决策变量是问题中需要求解的未知数，约束条件是限制决策变量取值的条件，目标函数是要求最
大或最小的函数。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型通常由一组线性不等式和等式约束以及一个线性目标函数组成。
线性不等式和等式约束条件可以用来表示各种资源和限制条件。
目标函数是决策变量的线性函数，表示要优化的目标。

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基解：令所为有 0，非求基出变的 (1量 .2)的满解足称为基解。
基可行解与可行足基 (1.3)：的满基解称为基可对应基可行解的为基可，行称基。基显可然解的数目基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基满：足(1.1) 的基可行解称为基本优最解，
对应m,如果 B是矩A中阵的一 mm个阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵称 B是线性规题的一个基。
基向量与非基向B量中：的基列向量称为，基向矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中向共量有nm个非基向量。
基变量与非基基变向P量 j量对：应与的xj变称量为基变量；否基则变称量为。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即可得到如下输出：
“资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解基解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200

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第6页/共61页
•
直接消耗系数——即单位总产品生产中消耗劳动对象和生产性服务产品的数
量。中间产品与总产品之间的数量联系正是通过它表现出来的。
•
完全消耗系数——即单位最终产品的生产中对其它部门提供的总产品或中间
产品的全部消耗量，这里所谓全部消耗量除直接消耗外，还包括通过以前各生产
阶段中其它中间产品所转移过来的同类的间接消耗在内。最终产品与总产品之间
（2·2）
上式如果写成矩阵形式则为：
AQ Y Q
（2·3）
第24页/共61页
其中
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
Q1
Q
Q2
Qn
y1
Y
y2
yn
因此，（2·2）又可写成
Y (I A)Q
（2·4）
其中，I 是单位矩阵，而(I A) 是一个特殊形式的矩阵，
• 应该指出的是，列昂惕夫的“投入产出分析” 曾受到二十年代苏联的计划平衡思想的影响。因为列昂惕夫曾参加了苏联二十年代中央统计局编制国民经济平衡表的工作。
第15页/共61页
•
当然，按照列昂惕夫的说法，“投入产出分析”的理论基础和所使用的数学方
法，主要来自于瓦尔拉斯的“一般均衡模型”（瓦尔拉斯在《纯粹政治经济学要义》
(2)投入系数 aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n) ——表示生产单
位 j 种产品需要 i 种要素的投入量（ aij rij X j ）。
第8页/共61页
(3) 设 n 维向量 ~p 是 n 种产品的价格向量，m 维向量 w~ 是
m 种要素价格向量。即

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向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩阵是对称的，那么这个二次型是实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基下的矩阵是正定的，那么这个二次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基下的矩阵是半正定的，那么这个二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也是A的特征值；如果x是A的对应于λ的特征向量，那么kx也是A的对应于λ的特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地研究线性代数，并为其建立了基础。

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部
门
n
xn1 xn2 xnn
新创
劳动报酬 v1 v2
vn
造价
纯收入 m1 m2
mn
值合计 z1 z2 zn
y2 x2
yn xn
总产品
x1 x2 xn
mj(j1 2 n)表示第j部门创造的纯收入(包括利润、税
收等)
价值型的投入产出表
产出(至)
中间产品
最终产品
总
投入(自)
a1225/250=0.10
a1330/300=0.10 同理
0.25 0.10 0.10 A0.20 0.20 0.10
a210.20 a220.20 a230.10
0.10 0.10 0.20
a310.10 a320.10 a330.20
平衡方程组的矩阵形式
利用直接消耗系数矩阵A 将xij=aijxj带入产品分配平衡方
消费
积累
合计
产品
生
1
x11 x12
产
2
x21 x22
部
门
n
xn1 xn2
新创
劳动报酬
造纯收入价
值合计 z1 z2
总产品
x1 x2
x1n x2n
xnn
zn xn
y1 x1 y2 x2
yn xn
(3)投入产出平衡方程组
表中的最后一行中各项和最后一列中各项相等，即生产过程中的总投入和总产品应该相等，即各部门有
1
x11 x12
产
2
x21 x22
部
门
n
xn1 xn2
新创
劳动报酬 v1 v2

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根据实际问题的特点，选择适合的线性规划模型进行建模和优化。
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。

线性规划教学课件、

Z=7x1+12x2 4 x 2 360
（一）可行解、最优解 90 x2
s.t.
4 3
x x
1 1
5 x2 10 x 2
200 300
x 1 , x 2 0
1.可行解：满足所有约束条件（包括非负条件）的解。
9x1+4x2 360
最优解
可行解的集合称为可行
集，或可行域。
40
2.最优解：使目标函数达 30 到极值的解（理应属于可行解集）。
2、可行域为非封闭的无界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有一个以上的最优解； (c)目标函数无界（即虽有可行解，但在可行
域中，目标函数可以无限增大或无限减小），因而没有最优解。 3、可行域为空集，因而没有可行解。
第三节线性规划问题解的性质
一、线性规划问题解的概念原LP： 9Mxa1 x
线性规划教学课件、
线性规划的基本特点
LP是运筹学中应用最广泛的方法之一； LP是运筹学中最基本的方法之一，网络分析、整
数规划、目标规划和多目标规划等都是以LP为基础的；解决稀缺资源最优分配的有效方法，是付出的费用最小或获得的收益最大线性规划的研究对象
有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；
9 4 1
取
B1=
4
5
0
3 10 0
|B1|= 9 5 0+4 0 3+4 10 1-3 5 1- 4 4 0- 4 10 1≠0
2.基向量、基变量
基向量：对应于上述基B，组成B的向量称为基向量，记作
pj（j=1，2，…，m）
9
如
p1=
4 3
4

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32
（一）实物型：
26
思考题：
1、什么是投入产出法？特点是什么？ 2、投入产出模型有哪些种类？ 3、我国第一张投入产出表是哪年编制的？
是实物型还是价值型？
27
第二章产品投入产出表的基本结构和平衡关系
本章共分三节：第一节投入产出表体系；第二节价值型投入产出表及平衡关系；第三节实物型投入产出表及平衡关系。
10
国内投入产出法发展的一般介绍：
在我国，起步较晚，发展较快。上世纪50年代由经济学家孙冶方、科学家钱学森倡导在中科
院成立投入产出法研究小组。 1974-1976年编制我国第一张投入产出表，数据是1973年
全国实物型投入产出表，包括61种产品。 1987年开始国家统计局负责编制全国投入产出表，并形成制
2、把各种商品的需求（总需求）分为中间需求和最终需求，将最终需求作为外生变量，从而把瓦尔拉的封闭式模型改造为开放式模型，使其在经济分析中具有了实用意义。
20
第四节投入产出模型的种类
一、按时间状态分：
静态模型动态模型
二、按计量单位分：
价值模型实物模型劳动模型
21
产品投入产出模型
2、其核算范围既包括物质产品也包括非物质产品； 3、计量单位为价值单位（货币单位）。
31
二、MPS投入产出表： MPS: （the system of material product balances ）
物质产品平衡体系：采用单式平衡表，表明再生产过程，以窄口径的国民收入为国民经济统计的对象，以简单的数量增减恒等式进行平衡核算。建立在马克思经济理论基础上，既有实物型，也有价值型。
部门划分愈细，模型的效能愈高，描述愈准确，但是资料的收集愈困难，编表花费的人力、物力、时间愈大，投入产出表的填满率愈低；部门划分愈粗，模型分析的问题愈粗糙，模型能够运用的有限，但资料收集相对容易，表格的填满率较高。

线性规划教材教学课件

02
线性规划的基本理论
线性规划的几何解释
01
线性规划问题可以解释为在多维空间中寻找一个点，该点使得某个线性函数达到最大或最小值。
02
线性规划问题可以用图形表示，通过观察图形可以直观地理解问题的约束条件和目标函数。
线性规划的基本定理
线性规划问题存在最优解，且最优解必定在约束条件的边界上。
大M法的优点是计算量较小，可以快速找到一个近似解，但解的精度和可靠性相对较低。
大M法适用于一些对解精度要求不高，但需要快速得到近似解的场合。
两阶段法
两阶段法是一种求解线性规划问题的分解方法，将原问题分解为两个阶段进行
求解。
第一阶段是求解一个初始的线性规划问题，得到一个初步的解；第二阶段是在初步解的基础上进行修正和调整，以得
Python求解线性规划
总结词
Python是一种通用编程语言，也提供了求解线性规划的库。
详细描述
Python的PuLP库可以用来求解线性规划问题，用户只需要编写Python代码来定义线性规划的约束条件和目标函数，然后调用PuLP库的函数即可得到最优解。
总结词
PuLP库提供了多种求解器选项，包括GLPK、CBC、 CP，这些最优解称为最优解集。
线性规划的解的概念
线性规划问题的最优解称为最优解，而所有最优解的集合称为最优解集。
在最优解集中，存在一个最优解被称为最优基解，它是线性规划问题的一个基可行解。
03
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典方法，通过不断迭代和寻找最优解的过程，最终找到满足所有约束条件的解。
单纯形法具有简单易行、适用范围广等优点，但也有计算量大、需要多次迭代等缺点。

《投入产出法》课件

通过投入产出表中的数据，计算各行各列的直接消耗系数，即各部门的直接消耗量与该部门总产出的比值。
完全消耗系数的计算
完全消耗系数的定义
完全消耗系数是指某一部门或行业在生产单位最终产品时，对其他部门或行业所消耗的直接和间接投入品的价值量。
完全消耗系数的计算方法
通过投入产出表中的数据，计算各行各列的完全消耗系数，即各部门的完全消耗量与该部门总产出的比值。
详细描述
投入产出法通过分析各产业部门的资源消耗量和污染物排放量，建立资源环境投入产出表，评估资源利用效率和环境影响程度。这有助于发现资源消耗和环境污染的重点领域和问题所在，提出针对性的节约资源和保护环境的措施和建议。同时，可以为制定可持续发展战略提供科学依据。
04
CATALOGUE
投入产出法的优缺点
投入产出表的编制步骤与方法
01
02
03
04
05
数据收集与整理建立表格结构
计算直接消耗系数
计算完全消耗系数
分析各部门或行业之间的…
收集各部门或行业的总产出和总投入数据，并进行整理和分类。
根据收集的数据和分类结果，建立投入产出表的表格结构。
根据投入产出表中的数据，计算各行各列的直接消耗系数。
投入产出表是投入产出法的基础，其数据的质量和准确性直接影响到投入产出分析的结果。因此，完善投入产出表的数据收集与编制方法至关重要。
未来需要加强数据收集的标准化和规范化，提高数据的准确性和可靠性。同时，应加强数据的质量控制和校验，确保数据的真实性和完整性。
此外，应加强编制方法的科学研究和技术创新，提高投入产出表的编制效率和准确性。
投入产出表的内容
投入产出表中的每个元素表示某一部门或行业对另一部门或行业的直接消耗或使用量，反映了部门或行业之间的经济联系和相互依赖关系。