专升本高等数学 第五章定积分及其应用

合集下载

高等数学第05章 定积分及其应用习题详解

高等数学第05章 定积分及其应用习题详解
x

0

x 1 sin tdt 0dt 1 , 2

b a
f ( x)dx 在 几 何 上 表 示 由 曲 线 y f ( x) , 直 线
x a, x b 及 x 轴所围成平面图形的面积. 若 x a, b时,f ( x) 0, 则 b f ( x)dx 在几何 a
上表示由曲线 y f ( x) ,直线 x a, x b 及 x 轴所围平面图形面积的负值. (1)由下图(1)所示, 1 xdx ( A1 ) A1 0 .
n
2
i
i 1
n
2
1 1 1 1 1 n(n 1)(2n 1) = (1 )(2 ) 3 n 6 6 n n 1 1 2 当 0时 (即 n 时 ) ,由定积分的定义得: x d x = . 0 3
= 5. 利用定积分的估值公式,估计定积分
4 3

1 1
(4 x 4 2 x 3 5) dx 的值.
上任取一点 i 作乘积 f ( i ) xi 的和式:
n
f ( i ) xi c ( xi xi1 ) c(b a) ,
i 1 i 1
n
n
记 max{xi } , 则
1i n

b a
cdx lim f ( i ) xi lim c(b a) c(b a) .

x
0
(t 1)dt ,求 y 的极小值
解: 当 y x 1 0 ,得驻点 x 1 , y '' 1 0. x 1 为极小值点, 极小值 y (1)
( x 1)dx - 2

专升本高数定积分的应用PPT课件

专升本高数定积分的应用PPT课件
d
面积 A [( y) ( y)]dy . c
图6.1.3
图6.1.4
例 1. 求 y sin x , y cos x , x 0, x π 所围图形的面积.
2
解 作出简图(如图 6.1.5 所示),利用微元法求面积 A
π
π
A
4 0
(cos
x
sin
x)dx
2 π
(sin
x
cos
2
2
2
因此
V
R
A(x)dx
R 1 (R2 x2 ) tandx
R
R 2
1 2
tan
R2
x
1 3
x3
R R
=
2 3
R3
tan
.
注意,此题也可以用过 y轴上的点 y作垂直于 y轴的平面截
立体所得的截面来计算.
6.1.4 用定积分求平面曲线的弧长
设 一 曲 线 yf(x )在 [a ,b ]上 具 有 一 阶 连 续 的 导 数 f'(x ), 我 们 来 计 算 从 x a 到 x b 的 一 段 弧 的 长 s 度 ( 如 图 8 . 1 . 1 0所 示 ) .
A 1
r2 ( )d .
2
图6.1.6
图6.1.7
例 4 求由曲线r 2cos 2 所围图形的面积.
解 作简图(如图 6.1.7 所示),由于图形的对称性,
只需计算S1,再 8 倍即可,点 A的幅角为0,点 O的幅角为
π ,且 由 0变到 π 时,恰好画出弧 AO.所以
4
4
π
π
S
8S1
仍采用微元法,取 x为积分变 量 , x [a,b] , 在 微 小 区 间 [x, x dx]内,用切线段 MT 近似 代替小弧段 MN ,得弧长微元为

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

同济大学(高等数学)_第五章_定积分及其应用

t1 t1 t0 , t2 t2 t1,L , tn tn tn1.
相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为
s1, s2 ,L , sn .
2
在时间间隔 ti1, ti 上任取一个时刻 i (ti1 i ti ), 以 i 时刻的速度 v( i ) 来代替 ti1, ti 上各个时刻的速度 得到部分路程 si 的近似值 即
(x)dx

7
推论
2
|
b
a
f
(x)dx| ab|
f
(x) | dx
(ab)
这是因为|f (x)| f (x) |f (x)|所以
ab|
f
(x) | dx

b
a
f
(x)dx

ab|
f
(x) | dx

b
b
即 | a
f (x)dx | a
f (x)dx.
求近似路程
我们把时间间隔 T1,T2 分成 n 个小的时间间隔 ti 在每个小的时间间隔 ti 内 物体
运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔 ti 内某点 i 的速度 v( i ) 物体在时间
间隔 ti 内 运动的路程近似为 si v( i )ti . 把物体在每一小的时间间隔 ti 内 运动的路
程加起来作为物体在时间间隔 T1,T2 内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔 T1,T2 内任意插入若干个分点
Ti t0 t1 t2 L tn1 tn T2 ,
T1,T2 分成 n 个小段
各小段时间的长依次为
t0 ,t1 ,t1,t2 ,L tn1,tn ,

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.5 定积分在几何上的应用

高教社2024高等数学第五版教学课件-5.5 定积分在几何上的应用
面积微元: = ()
面积: =

‫)( ׬‬
由上、下两条曲线 = (), =
()(() ≥ ()),以及直线 =
, = ( < )所围成的平面图形
(如图所示)
面积微元: = [() − ()]

面积: = ‫ )( [ ׬‬− ()]
第五章 定积分
第五节 定积分在几何上的应用
一、定积分的微元法
什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量是与区间[, ]上的某分布()有关的一个整体量 ;
2) 对区间[, ]具有可加性 ,即可通过“大化小, 常代变, 近似和,
取极限”表示为

= lim ෍ ( )
→0

8
= 1 + 2 = + =

5 3 15
(2)当该图形绕轴旋转所得的旋转的体积 ,可以看作由曲线 = − + 2及直
线 = 0 , = 1, = 0所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转的体积大 与由曲
线 = 和直线 = 0 , = 1, = 0所围成的平面图形绕轴旋转所得的旋转的
3
3
3
0
=න
0
选为积分变量, ∈ [0,1], = ( − 2 )
1
=න ( −
0
2 )
2 3 3 1
=
2 −

3
3 0
1
= .
3
例3
求由抛物线 2 = 2与直线 = − 4所围成的平面图形面积。
解 两曲线的交点
2 = 2

=−4
⇒ (2, −2), (8,4).
-1
O x x+dx 1

高等数学第五章定积分总结

高等数学第五章定积分总结

高等数学第五章定积分总结定积分作为微积分的重要概念,是无穷积分的一种形式,并在多个领域中有着广泛的应用。

本章主要介绍了定积分的定义和性质,以及定积分的计算方法和应用。

首先,本章介绍了定积分的概念和定义。

定积分是一个数值,表示在给定的区间上,函数曲线与x轴之间的面积。

定积分可以分为两个部分:积分号和被积函数。

积分号表示积分的区间,被积函数表示要求积分的函数。

定积分的计算可以通过数值方法或解析方法进行,具体方法和结论有不少。

其次,本章介绍了定积分的性质。

定积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质。

线性性质表示定积分可以进行加减运算,并且可以乘以一个常数。

区间可加性是指定积分的区间可以分为多个子区间,进行分段积分。

保号性表示如果被积函数在一些区间上恒大于等于0,那么该区间上的定积分也大于等于0。

这些性质为定积分的计算和应用提供了更多的方便性。

然后,本章介绍了定积分的计算方法。

定积分的计算可以通过不定积分和定积分的关系来进行。

通过求解原函数,并利用牛顿-莱布尼茨公式,可以简化计算过程。

本章还介绍了定积分的几何意义,即定积分表示函数曲线与x轴围成的面积,也可以表示其中一种物理量在一定时间或一定空间内的累积变化量。

最后,本章介绍了定积分的应用。

定积分在几何学、物理学、经济学等多个领域中有着广泛的应用。

例如,通过定积分可以计算曲线的弧长、曲线围成的面积、质心的坐标等几何问题;通过定积分可以计算物体的质量、重心、转动惯量等物理问题;通过定积分可以计算收益、成本、利润等经济问题。

这些应用都是建立在定积分的几何意义和计算方法的基础之上,对于深入理解和运用定积分具有重要意义。

总之,定积分是微积分中的重要概念,不仅具有丰富的理论性质,还有着广泛的应用价值。

通过学习定积分的定义、性质、计算方法和应用,可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的知识,为解决实际问题提供更有效的数学工具。

专升本高数5定积分

专升本高数5定积分

φ( x )
a
φ( x )
f (t ) d t )
例2 求下列函数的导数:
b () (x) a cos 2t 2 d t; 2 Φ x) x 1 Φ () (
x
1 1 t3
dt
(3 Φ x) a x sin t 2 d t )(
解 () (x) cos 2t 2 1 Φ'
f x dx A .
3.若 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 时: 在区间[a,b]上,若 f ( x ) 有正有负时,则
b
b a
f x dx 在几何
上表示曲线 y f ( x ) 在 x 轴上方部分和 x 轴下方部分面积的代 数和.如图 7.1.3 所示,有 a f x dx = A2 A1 A3 .
b a x a
f (t )dt C (a x b) .
a a
将 x a, x b 分别代入上式,相减得
f (t )dt f (t )dt
b a
f (t )dt
再把积分变量 t 换成 x ,得

b a
f ( x)dx F (b) F (a ) .
归纳:上式称为牛顿—莱布尼茨公式,也称为微积分基本 公式.该公式揭示了定积分与原函数(或不定积分)之间的联 系,它把定积分问题转化为求原函数(或不定积分)的问题,从 而给定积分计算找到了一条捷径,它是整个积分学最重要的公 式之一.为了方便常采用下面的格式:
由定理 1 知道 ( x)
f (t )dt 是 f ( x ) 在[a,b]
上的一个原函数,又由题设知 F ( x ) 是 f ( x ) 在[a,b]上的一个 原函数,由原函数性质知,同一函数的两个不同原函数只相 差一个常数,即 F ( x)

浙江专升本高数错误解析第五章 定积分及其应用

浙江专升本高数错误解析第五章  定积分及其应用

第五章 定积分及其应用定积分及其应用是微积分的主要内容之一,是微积分的精华,在《高等数学》中占有重要的地位 ,也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。

复习这部份内容,考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法,掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。

一、知识网络定积分⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧Γ⎪⎩⎪⎨⎧-函数审敛法和计算定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)(变力作功等其它弧长体积面积微元法二、典型例题例1 . 求极限 xx dtxt xx 2sin )sin(lim2302⎰→。

[分析] 遇到极限中有可变上限有定积分,一般情况下可考虑应用洛必达法则,但由于现在被积函数中含有变量x ,因此先应将x 从被积函数中分离出来,对此题可用变量代换;另外,在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换,可简化求极限的过程。

[解] 对定积分作变换 xt u =,由于x 2sin 2〜2)2(x ,4sin x 〜4x ,)0(→x ,因此再利用洛必达法则有原式=23020)2(sin 1lim2x x dx u x x x ⎰→=540602024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=⎰ =12112lim440=→x x x例2. 求极限 nn n n n n)2()2)(1(1lim⋅⋅⋅++∞→.[分析] 利用定积分的定义求极限,是一种常见的考研题型,难点在于如何将n x 变型成和式∑=∆ni iixf 1)(ξ。

[解] 令 nn n n n n x )2()2)(1(1⋅⋅⋅++= 则 n n n n n x n ln )]2ln()2ln()1[ln(1ln -+⋅⋅⋅++++==]ln )2ln()2ln()1[ln(1n n n n n n -⋅⋅⋅++++ =)]1ln()21ln()11[ln(1nn n n n ++⋅⋅⋅++++ 因此 ⎰+=∞→1)1ln(ln lim dx x x n n =12ln 2-所以 原式=ee 412ln 2=-例3.设)(x f 在[]b a ,上连续,B b a A <<<,求证 ⎰-=-+→ba h a fb f dx h x f h x f )()()()(lim0.[证明1] ⎰⎰⎰-+=-+b a bab a dx x f h dx h x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(′令 u h x =+,则⎰⎰++=+hb ha badu u f dx h x f )()(从而⎰⎰⎰-=-+++babah b h a dx x f h dx x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(=⎰⎰++-ha ah b b dx x f h dx x f h )(1)(1 由积分中值定理及)(x f 的2的性知 )()(1lim0b f dx x f h h b b h =⎰+→ )()(1lim 0a f dx x f h ha a h =⎰+→故原题得证.[证明2] 由证明1可知⎰⎰⎰-=-+++→→babahb ha h h hdxx f dx x f dx hx f h x f )()(lim )()(lim 00=)]()([lim 0h a f h b f h +-+→ ( 洛必达法则 ) =)()(a f b f -例4.设)(x f 在[a ,b ]上连续,试证⎰≤≤+∞→=1101)(max ))((lim x f dx x f x ppp[证明] 记A x f x =≤≤)(max 10 ,由连续性可知,存在 ],[0b a x ∈,使 )(x f A =.当0>p 时 ⎰⎰=≥1111)())((A dx A dx x f pp pp对0>∀ε,选取0>δ,使得当 δ<-<00x x 时,有 2)(ε-≥A x f设 且,100≤≤≤≤βαx 0 <βα-<δ则 ⎰⎰≥111))(())((βαppppdx x f dx x f⎰-≥βαεppdx A 1])2([=pA 1))(2(αβε--因为 当 +∞→p 时,1)(1→-pαβ,故当p 充分大时有 ⎰-=--≥112)2())((εεεA A dx x f pp因此当 p 充分大时有 A dx x f A pp≤≤-⎰11))((ε由ε的任意性知 ⎰=+∞→11))((lim A dx x f ppp例5. 计算⎰+-1arctandx xa xa [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限. [解法1] 令 xa xa t +-=arctan则 t a tta x 2cos tan 1tan 122=+-⋅=, 故 原式=⎰04)2cos (πt a td =t at 2cos │04π+dt t a ⎰402cos π=2a [解法2] 令 t x cos = 原式=2cos 2cos 2cos 2020202a dt t a t t a t d t =-⋅=⎰⎰πππ [解法3] 记 xa xa x +-=)(ω ,分部积分得 原式=⎰+-+-aadx x a axx x 0220)(22111)(arctan ωωω =⎰-adx x a x 0222=2a 例6.计算 ⎰+102)1(dx x xe x[分析] 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.[解法1] 原式=⎰⎰++++-=+-1010101111dx xxe e x xe x dxe x x x x=12210-=+-⎰e dx e e x [解法2] 原式=⎰+-+102)1()11(dx x e x x=⎰⎰+-+10210)1(1dx x e dx x e xx =⎰⎰+-+10102)1(11dx x e de x x x=-+11x e x⎰+102)1(dx x e x +⎰+102)1(dx x e x=12-e例7.证明柯西积分不等式,若)(x f 和)(x g 都在[a ,b ]上可积,则有⎰⎰⎰≤bab abadx x g dx x f dx x g x f ])(][)([])()([2[分析] 这是代数中欧几里德空间中有关内积的柯西不等式的一个应用,证明方法也类似. [证明] 对任意的实数λ有⎰⎰⎰+=+bababadx x g x f dx x gdx x g x f )()(2)()]()([222λλλ+0)(2≥⎰badx x f上式右端是λ的非负的二次三项式,则其判别式非正,即0])(][)([])()([222≤-⎰⎰⎰babab adx x g dx x f dx x g x f故原式得证 例8.设)(x f 和)(x g 都在[a ,b ]上可积,试证212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababadx x g dx x f dx x g x f[证明]⎰+badx x g x f 2)]()([=⎰++ba dx x g x f x g x f )]()()][()([=⎰⎰+++babadx x g x f x g dx x g x f x f )]()()[()]()()[(212212]))()(([])([⎰⎰+⋅≤babadx x g x f dx x f212212]))()(([])([⎰⎰+⋅+babadx x g x f dx x g (柯西不等式)=]))(())([(]))()(([212212212⎰⎰⎰++bababadx x g dx x f dx x g x f故 212212212])([])([]))()(([⎰⎰⎰+≤+bababa dx x g dx x f dx x g x f例9.证明0sin 202>⎰πdx x[证明] 令 u x =2⎰⎰=ππ20202sin 21sin du uudx x ]sin sin [2120⎰⎰+=πππdu uu du u u(第二个积分中令 t u ==π)]sin sin [2100⎰⎰++=πππdt t t du u u⎰+-=ππ0sin )11(21udu u u 当 π<<u 0 时,0sin )11(>+-u u u π故 0sin 202>⎰πdx x例10.设)(x f 在 [0,a ] 上连续,且0)0(=f , )(max 0x f M ax ≤≤= ,证明2)(2Ma dx x f a≤⎰[分析] 应该先建立)(x f 与f ´)(x 之间的关系,然后再“放大”估值,拉格朗日微分中值定理和牛顿—莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系. [证明1] 由0)0(=f 和微分中值定理有f f x f +=)0()(´f x =)(ξ´x )(ξ, ),0(x ∈ξ. 故22)()()(a M xdx M xdx f xdx f dx x f aa aa=≤≤'=⎰⎰⎰⎰ξξ [证明2] 由0)0(=f 和牛顿—莱布尼茨公式有)()0()()(0x f f x f dt t f a=-='⎰,于是 Mx Mdt dt t f dt t f x f xx x=≤'≤'=⎰⎰⎰)()()(,故 22)()(a M Mxdx dx x f dx x f aaa=≤≤⎰⎰⎰.例11. 设函数)(x f 在 [0, π]上上连续,且0)(0=⎰πdx x f ,0cos )(0=⎰πxdx x f 。

专升本第五章 定积分

专升本第五章 定积分

第五章 定积分【知识点1定积分的相关概念】1.定义1()lim ()nbi iai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰,其中()f x 叫做被积函数,()f x dx 叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,[,]a b 叫做积分区间.说明:定积分的值是常数,只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,也就是说()()()bbbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.2.定积分存在的充分条件(可积的条件)(1)设()f x 在区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积.(2)设()f x 在区间[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在区间[,]a b 上可积.注意:函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件.3.定积分的几何意义由曲线()yf x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积记做A .在区间[,]a b 上()0f x ≥时,()baf x dx A =⎰ 在区间[,]a b 上()0f x ≤时,()ba f x dx A =-⎰在区间[,]a b 上()f x 既取得正值又取得负值时,()baf x dx =⎰上-下1.(2010)0=⎰( )2.(2019)0=⎰( )【知识点2定积分的性质】性质1.当ab =时,()0baf x dx =⎰.性质2.当ab >时,()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰.性质3[()()]()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.. 说明:该性质对于有限个函数都是成立的. 性质4.()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 是常数). 性质5.()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.说明:该性质称为定积分对于积分区间的可加性. 性质6.如果在区间[,]a b 上()1f x ≡,则 1b baadx dx b a ==-⎰⎰.性质7.如果在区间[,]a b 上()0f x ≥,则()0baf x dx ≥⎰(a b <). 推论(1): 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()bba af x dxg x dx ≥⎰⎰ (a b <). 推论(2):()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ (a b <).性质8.(估值不等式)设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值,则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ (a b <). 性质9.(定积分中值定理)如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续,则在[,]a b 上至少存在一点ξ,使得下式成立:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(a b ξ≤≤).说明:该公式称为积分中值公式,1()()ba f f x dxb aξ=-⎰称为函数()f x 在区间[,]a b 上的平均值.1.(2016)设()f x 在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且1122()(0)f x dx f =⎰,证明:存在(0,1),()0f ξξ'∈=使得。

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx

b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上

推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx

b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba

y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质

浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析

浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析

浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 背景介绍浙江省专升本高等数学考试是一项重要的考试,其中定积分是考试中的一个重要内容。

定积分作为微积分的重要概念之一,在数学学科中具有重要的地位和作用。

在浙江省专升本高等数学考试中,定积分部分的内容涉及到定积分的概念、性质、计算方法以及应用,考生需要对这些内容进行深入的理解和掌握。

定积分是微积分中的一个重要概念,它是对函数在一个区间上的“累积和”的概念,表示函数在这个区间上的总体积或总面积。

定积分具有线性性、区间可加性、保号性等性质,这些性质在计算和应用中起着重要的作用。

定积分的计算方法包括基本积分法、换元积分法、分部积分法等,考生需要熟练掌握这些方法来解决各种定积分计算问题。

在浙江省专升本高等数学考试中,定积分通常涉及到曲线下面积、物体体积、平均值等应用问题,考生需要将数学知识与实际问题相结合,灵活运用定积分概念和方法来解决这些应用问题。

定积分在浙江省专升本高等数学考试中是一个重要的内容,考生需要认真学习和掌握定积分的概念、性质、计算方法和应用,以便在考试中取得好成绩。

【字数要求:200】1.2 问题提出在专升本高等数学考试中,定积分是一个重要的内容,涉及到很多基本概念和计算方法。

针对定积分这一内容,总结出相关的问题并进行分析,有助于更好地理解和掌握这部分知识。

在学习定积分时,很多同学会遇到一些共同的问题,比如不清楚定积分的概念是什么,定积分具体包括哪些性质,如何进行计算等等。

这些问题可能会导致学习进度缓慢,影响对定积分知识的掌握和应用。

在专升本高等数学考试中,定积分这一部分内容的问题非常关键。

通过对这些问题的深入剖析和解答,可以帮助考生更加全面地了解定积分的相关知识,提高解题能力和应试水平。

只有明确问题,才能有针对性地进行学习和复习,更好地备战考试。

2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念,它是对函数在一个区间上的“累积量”的度量。

(专升本内容)定积分及其应用

(专升本内容)定积分及其应用

b
b
b
f ∈ R[a, b], g ∉ R[a, b] ⇒ f ± g ∉ R[a, b]
性质2 性质 性质3 性质 性质4 性质
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
b
b
(k 为常数 为常数)
b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
b
c
f ( x )dx
二、定积分的应用

名 称 释 译 微 元 法



的 特 点 所 求 量
1、理论依据
设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 则它的变上限积分 U ( x) =
x ∫a
f (t )dt
(1)
是 f ( x) 的一个原函数 即 dU ( x) = f ( x)dx, ,
b b 于是 ∫a f ( x)dx = ∫a dU = U (2) 这表明连续函数的定积 分就是 (1) 的微分的定积分 .
b c
b
b
b
b−ε
f ( x)dx
b
∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx+ ∫c
= lim ∫a
ε →+0
c−ε b
f ( x)dx
f ( x)dx+ lim ∫c+ε′ f ( x)dx
ε ′→+0
当极限存在时,称广义积分收敛; 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 收敛 称广义积分发散 发散. 时,称广义积分发散
b a b a
(2)分部积分法 )

b
a
udv = [uv ] − ∫ vdu
7、常用的积分等式: 、常用的积分等式:

5专升本定积分的应用

5专升本定积分的应用

(1)若固定成本 C0 1(万元),求总成本函数、 总收益函数和总利润函数 (2)当产量由1百台增加到5百台时,求总成本与 总收益的增量
(3)产量为多少时,总利润最大?最大利润为多少?
2010-3-15 23
解 (1)总成本函数
1 C ( x) C ( x)dx C0 (3 x)dx 1 0 0 3 1 2 1 3x x 6 总收益函数 x x 1 R( x) R( x)dx (7 x)dx 7 x x 2 0 0 2 当产量为0,总收益为0时
而成的旋转体 (旋转椭球体) 的体积. 解 由对称性知,所求体积为:
b2 2 2 ( a x ) dx 2 a
3
V x 2 y dx 2
2 0
a
a
0
b 2 2 a
b
2
2 x a 4 2 ab a x 3 0 3
2
O
y
b
4 3 a=b 时, 得半径为 a 的球体的体积: V a 3 2010-3-15
(8 , 4 )
解 所求面积为:
4
8
S x 2
2
2
0
2 xdx [ 2 x ( x 4)]dx -2 2
1 2
o
2
( 2, 2 )
8
x
y2 2x
1 8 1 8 2 (2 x ) d (2x ) (2 x ) d (2x ) ( x 4)dx 0 2 2 2 3 3 2 8 8 2 1 1 28 2 2 (2 x ) (2 x ) x 4x 0 2 2 2 3 3 2
a
2010-3-15

定积分及其应用(高数) PPT课件

定积分及其应用(高数) PPT课件

定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,

aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法:“反、对、幂、指、三”
(3)重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 (区间可加性)
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,

1 x2
2
0
f
( x)dx.

2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第五章 定积分【考试要求】1.理解定积分的概念和几何意义,了解可积的条件. 2.掌握定积分的基本性质.3.理解变上限的定积分是变上限的函数,掌握变上限定积分求导数的方法. 4.掌握牛顿——莱布尼茨公式.5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法. 6.理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法. 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积.【考试内容】一、定积分的相关概念1.定积分的定义设函数()f x 在[,]a b 上有界,在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=,把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ,12[,]x x ,,1[,]n n x x -,各个小区间的长度依次为110x x x ∆=-,221x x x ∆=-,,1nn n x x x -∆=-.在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ (1i i i x x ξ-≤≤),作函数值()i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积()i i f x ξ∆ (1,2,,i n =),并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记12max{,,,}n x x x λ=∆∆∆,如果不论对[,]a b 怎样划分,也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取,只要当0λ→时,和S 总趋于确定的极限I ,那么称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分(简称积分),记作()baf x dx ⎰,即1()lim ()nbi iai f x dx I f x λξ→===∆∑⎰,其中()f x 叫做被积函数,()f x dx 叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限,[,]a b 叫做积分区间.说明:定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,也就是说()()()bb baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.2.定积分存在的充分条件(可积的条件)(1)设()f x 在区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上可积.(2)设()f x 在区间[,]a b 上有界,且只有有限个间断点,则()f x 在区间[,]a b 上可积.说明:由以上两个充分条件可知,函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上一定可积;若()f x 在[,]a b 上可积,则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续,故函数()f x 在区间[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件.3.定积分的几何意义在区间[,]a b 上函数()0f x ≥时,定积分()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积.在区间[,]a b 上()0f x ≤时,由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方,定积分()baf x dx ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值.在区间[,]a b 上()f x 既取得正值又取得负值时,函数()f x 的图形某些部分在x 轴的上方,而其他部分在x 轴的下方,此时定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方图形的面积减去x 轴下方面积所得之差.二、定积分的性质下列各性质中积分上下限的大小,如不特别指明,均不加限制;并假定各性质中所列出的定积分都是存在的. 性质1.当ab =时,()0baf x dx =⎰.性质2.当ab >时,()()b aabf x dx f x dx =-⎰⎰.性质3.[()()]()()baaabbf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.说明:该性质对于有限个函数都是成立的. 性质4.()()bba akf x dx k f x dx =⎰⎰ (k 是常数). 性质5.()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.说明:该性质称为定积分对于积分区间的可加性. 性质6.如果在区间[,]a b 上()1f x ≡,则 1b baadx dx b a ==-⎰⎰.性质7.如果在区间[,]a b 上()0f x ≥,则()0baf x dx ≥⎰(a b <). 推论(1): 如果在区间[,]a b 上()()f x g x ≥,则()()bba af x dxg x dx ≥⎰⎰ (a b <). 推论(2):()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰ (a b <).性质8.(估值不等式)设M 及m 分别是函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值,则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ (a b <). 性质9.(定积分中值定理)如果函数()f x 在积分区间[,]a b 上连续,则在[,]a b 上至少存在一点ξ,使得下式成立:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(a b ξ≤≤). 说明:该公式称为积分中值公式,1()()ba f f x dxb aξ=-⎰称为函数()f x 在区间[,]a b 上的平均值.三、积分上限函数及其导数1.积分上限函数的定义设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,并且设x 为[,]a b 上的一点,由于()f x 在区间[,]a x 上仍旧连续,因此定积分()x af x dx ⎰存在.这里,x 既表示定积分的上限,又表示积分变量.因为定积分与积分变量的记法无关,所以为了明确起见,可以把积分变量改用其 他符号,例如用t 表示,则上面的定积分可以写成()xaf t dt ⎰.如果上限x 在区间[,]a b 上任意变动,则对于每一个取定的x 值,定积分有一个对应值,所以它在[,]a b 上定义了一 个函数,记作()x Φ:()()xa x f t dt Φ=⎰ (a xb ≤≤),这个函数即为积分上限 函数(或称变上限定积分).2.积分上限函数的导数定理1:如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则积分上限函数()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导,并且它的导数()()()xa d x f t dt f x dx'Φ==⎰ (a x b ≤≤). 定理2:如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续,则函数()()xax f t dt Φ=⎰就是()f x 在[,]a b 上的一个原函数.说明:对于积分上限函数的复合函数()()()x ax f t dt ϕΦ=⎰,求导法则可按下述公式进行: ()()()[()]()x ad x f t dt f x x dx ϕϕϕ''Φ==⎰.若积分下限为函数()x ϕ,即()()()ax x f t dt ϕΦ=⎰,求导法则可按下述公式进行:()()()()(())[()]()a x x ad dx f t dt f t dt f x x dx dx ϕϕϕϕ''Φ==-=-⎰⎰.若积分上限和下限均有函数,即()()()()h x x x f t dt ϕΦ=⎰,求导法则可按下述公式进行:()()0()0()()()(()())h x h x x x d d x f t dt f t dt f t dt dx dx ϕϕ'Φ==+⎰⎰⎰()()00(()())[()]()[()]()h x x d f t dt f t dt f h x h x f x x dxϕϕϕ''=-=-⎰⎰.四、牛顿——莱布尼茨公式定理3:如果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[,]a b 上的一个原函数,则()()()baf x dx F b F a =-⎰.这个定理表明,一个连续函数在区间[,]a b 上的定积分等于它的任一个原函数在区间[,]a b 上的增量,这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法.通常把上述公式称为微积分基本公式.五、定积分的换元法和分部积分法1.定积分的换元法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,函数()x t ϕ=满足条件:(1)()a ϕα=,()b ϕβ=;(2)()t ϕ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数,且其值域[,]R a b ϕ=,则有()[()]()baf x dx f t t dt βαϕϕ'=⎰⎰.说明:应用换元公式时有两点值得注意:① 用()x t ϕ=把原来变量x 代换成新变量t 时,积分限也要换成相应于新变量t 的积分限;② 求出[()]()f t t ϕϕ'的一个原函数()t Φ后,不必像计算不定积分那样再要把()t Φ变换成原来变量x 的函数,而只要把新变量t 的上下限分别代入()t Φ中然后相减就行了.例如:计算0a⎰(0a >)解:设sin xa t =,则cos dx a tdt =,当0x =时,0t =,当x a =时,2t π=.于是2222200cos (1cos2)2aa tdt t dt ππ==+⎰⎰⎰22201sin 2224a a t t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.2.定积分的分部积分法依据不定积分的分部积分法,可得()()()()()()()()b bbaa a u x v x dx u x v x dx u x v x v x u x dx ⎡⎤⎡⎤'''==-⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰[]()()()()b ba au x v x v x u x dx '=-⎰,简记作[]bbba aauv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ 或[]bbba aaudv uv vdu =-⎰⎰ .这就是定积分的分部积分公式.3.定积分的两个简便公式(1)若()f x 在[,]a a -上连续且为奇函数,则()0aaf x dx -=⎰;若()f x 在[,]a a -上连续且为偶函数,则()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰.(2)设220sin cos nn n I xdx xdx ππ==⎰⎰,则当n 为正偶数时,13312422nn n I n n π--=⋅⋅⋅⋅⋅- ; 当n 为大于1的正奇数时,1342253nn n I n n --=⋅⋅⋅⋅- .六、无穷限的广义积分1.函数在无穷区间[,)a +∞上的反常积分设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >,如果极限lim ()tat f x dx →+∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分,记作()af x dx +∞⎰,即()lim ()taat f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰,这时也称反常积分()af x dx +∞⎰收敛;如果上述极限不存在,则函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分()af x dx +∞⎰就没有意义,习惯上称为反常积分()af x dx +∞⎰发散,这时记号()af x dx +∞⎰就不再表示数值了.2.函数在无穷区间(,]b -∞上的反常积分设函数()f x 在区间(,]b -∞上连续,取t b <,如果极限lim ()btt f x dx →-∞⎰存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间(,]b -∞上的反常积分,记作()bf x dx -∞⎰,即()lim ()bbtt f x dx f x dx -∞→-∞=⎰⎰,这时也称反常积分()bf x dx -∞⎰收敛;如果上述极限不存在,则称反常积分()b f x dx -∞⎰发散.3.函数在无穷区间(,)-∞+∞上的反常积分设函数()f x 在区间(,)-∞+∞上连续,如果反常积分()f x dx-∞⎰和()f x dx +∞⎰都收敛,则称上述两反常积分之和为函数()f x 在区间(,)-∞+∞上的反常积分,记作()f x dx +∞-∞⎰,即00()()()f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰,这时也称反常积分()f x dx +∞-∞⎰收敛;否则就称反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散.4.无穷限广义积分的计算方法设()F x 为在[,)a +∞上的一个原函数,若lim ()x F x →+∞存在,则反常积分[]()()()()lim ()()a a x f x dx F x F F a F x F a +∞+∞→+∞==+∞-=-⎰;[]()()()()()lim ()bbx f x dx F x F b F F b F x -∞-∞→-∞==--∞=-⎰;[]()()()()lim ()lim ()x x f x dx F x F F F x F x +∞+∞-∞-∞→+∞→-∞==+∞--∞=-⎰.说明:当()F -∞与()F +∞有一个不存在时,反常积分()f x dx +∞-∞⎰发散.七、求平面图形的面积1.X-型区域X -型区域是指:平面图形是由上下两条曲线()y f x =、()y g x =(()()f x g x ≥)及直线x a =、x b =所围成,面积计算公式为[()()]baA f x g x dx =-⎰.2.Y -型区域Y -型区域是指:平面图形是由左右两条曲线()x y φ=、()x y ϕ=(()()y y φϕ≥)及直线y c =、y d =所围成,面积计算公式为[()()]dcA y y dy φϕ=-⎰.【典型例题】【例5-1】计算下列定积分.1.52cos sin x xdx π⎰.解:原式2562111cos (cos )cos 0()666xd x x ππ⎡⎤=-=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰.2.1ln exdx x⎰. 解:2111ln 111ln (ln )ln 0222eee x dx xd x x x ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰.3.226cosxdx ππ⎰.解:22226661cos 211cos ()sin 22226468x xdx dx x πππππππππ+⎡⎤==-+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.4.132l(115)dx x -+⎰.解:原式1123221l 1151(115)(115)5(115)52512d x x x ---⎡⎤=+=-+=⎢⎥+⎣⎦⎰. 5.22tan xdx π⎰.解:原式[]2244400(sec 1)sec tan 1222x dx xdx x ππππππ=-=-=-=-⎰⎰.6.π⎰.解:32sin cos x x dx πππ==⎰⎰⎰333322222222sin cos sin cos sin (sin )sin (sin )x xdx x xdx xd x xd x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰552220222224sin sin ()55555x x πππ⎡⎤⎡⎤=-=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.7.a⎰(0a >). 解:设sin xa t =,则cos dx a tdt =,当0x =时,0t =;当x a =时,2t π=.故22222001cos 224aaa tdt a πππ==⋅⋅=⎰⎰.8.4⎰.t =,则212t x -=,dx tdt =,且当0x =时,1t =; 当4x=时,3t =.故2334332011112112(3)3223t t dt t dt t t -+⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 127122(9)(3)2333⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦. 【例5-2】计算下列定积分. 1.cos x xdx π⎰.解:[][]000cos (sin )sin sin cos 2x xdx xd x x x xdx x πππππ==-==-⎰⎰⎰.2.12arcsin xdx ⎰.解:[]11122201arcsin arcsin 26xdx x x π=-=⋅+⎰⎰11222001(1)1212122x ππ-=+=+-⎰.3.1ln ex xdx ⎰.解:2222111111ln ln ()ln 22222eee e e x x x e x x xdx xd x dx dx x ⎡⎤==-⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰22222111()242444ee x e e e ⎡⎤+=-=--=⎢⎥⎣⎦. 4.4⎰.解:令t =,则 2x t =,2dx tdt =,且当0x =时,0t =;当4x =时,2t =.故42222000022()22ttt tte dt td e te e dt ⎡⎤===-⎣⎦⎰⎰⎰⎰2224222te e e ⎡⎤=-=+⎣⎦. 【例5-3】计算下列广义积分.1.x e dx +∞-⎰.解:00lim ()(1)011xxxx e dx e e +∞+∞---→+∞⎡⎤=-=---=+=⎣⎦⎰.2.2111dx x+∞+⎰. 解:[]2111arctan lim arctan arctan11244x dx x x x πππ+∞+∞→+∞==-=-=+⎰. 3.211dx x +∞-∞+⎰.解:[]21arctan lim arctan lim arctan 1x x dx x x x x +∞+∞-∞-∞→+∞→-∞==-+⎰ ()22πππ=--=.4.2211sin dx x xπ+∞⎰. 解:2222111111sin sin ()cos lim cos 01x dx d x x x x x x πππ+∞+∞+∞→+∞⎡⎤=-==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰. 【例5-4】计算下列积分上限函数的导数.1.0d dx ⎰.解:0d dx =⎰.2.20x d dx⎰.解:220()2x d x dx '==⎰3.1sin ln(1)x d t dt dx+⎰.解:1sin sin 1ln(1)ln(1)cos ln(1sin )xx d d t dt t dt x x dx dx +=-+=-+⎰⎰.4.32arctan x x d tdt dx⎰. 解:323322arctan arctan ()arctan ()x x d tdt x x x x dx''=⋅-⋅⎰2323arctan 2arctan x x x x =-.【例5-5】求下列极限.1.20cos limxx t dt x→⎰.解:应用洛必达法则,220cos cos limlim 11xx x t dt x x→→==⎰. 2.02arctan limxx tdt x→⎰.解:020arctan arctan 1limlim 22xx x tdt x x x →→==⎰(0x →时,arctan ~x x ). 3.22limx x x→⎰.解:22002limlim 12x x x x x x x→→→===⎰. 4.22220()limxt xx t e dt te dt→⎰⎰.解:22222222002020()2limlim2lim2lim 2xxxt t x t x xx x x x x t e dt e dt ee dt e xxete dt→→→→⋅====⎰⎰⎰⎰.【例5-6】设函数2,0,()1,0,1cos x xe x f x x xπ-⎧≥⎪=⎨-<<⎪+⎩ 计算 41(2)f x dx -⎰. 解:设2x t -=,则dxdt =,且当1x =时,1t =-;当4x =时,2t =.于是242211101(2)()1cos t f x dx f t dt dt te dt t ----==++⎰⎰⎰⎰22022210210111()tan 2222cos 2t t t dt e d t e t ----⎡⎤⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 4111tan 222e -=-+.【例5-7】计算定积分121(sin )x x x dx -+⎰.解:11112223111(sin )sin 20x x x dx x x dx x xdx x dx ---+=+=+⎰⎰⎰⎰14011242x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.【例5-8】求下列平面图形的面积. 1.计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的平面图形的面积.解:此区域既可看成X-型区域,又可看作Y -型区域.按X -型区域解法如下:两曲线的交点为(0,0)和(1,1),故面积1312320021211)33333S x dx x x ⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰.2x =,直线y x =-及1y =所围成的平面图形的面积.解:按Y-型区域来做,先求出图形边界曲线的交点(0,0)、(1,1)-及(1,1),故面积131220021217)32326S y dy y y ⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎣⎦⎰.3.计算由曲线22y x =和直线4y x =-所围成的平面图形的面积.解:此区域既可看成X -型区域,又可看作Y -型区域,但按Y -型区域解较为简便.先求两曲线的交点,由 224y xy x ⎧=⎨=-⎩ 可解得交点为(2,2)-和(8,4),故面积424232211(4)418226y S y dy y y y --⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰.【历年真题】一、选择题1.(2010年,1分)设2()x t x e dt ϕ-=⎰,则()x ϕ'等于( )(A )2x e- (B )2x e-- (C )22x xe- (D )22x xe--解:22220()()2x t x x x e dt e x xe ϕ---'⎛⎫''==⋅= ⎪⎝⎭⎰,选项(C )正确. 2.(2010年,1分)曲线2yx =与直线1y =所围成的图形的面积为( )(A )23 (B )34 (C )43(D )1解:曲线2yx =与曲线1y =的交点坐标为(1,1)-和(1,1),则所围图形的面积为1312114(1)33x x dx x --⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦⎰.选项(C )正确. 3.(2010年,1分)定积分22cos x xdx -⎰等于( )(A )1- (B )0 (C )1 (D )12解:因被积函数cos x x 在[2,2]-上为奇函数,故22cos 0x xdx -=⎰.选(B ). 二、填空题 1.(2010年,2分)=⎰.解:由定积分的几何意义,⎰表示曲线y =0x =,1x =和x 轴所围成的图形的面积,即14圆面积,故201144ππ=⋅⋅=⎰. 2.(2009年,2分)设21()ln 1xf t dt x x =+-⎰,则()f x = .解:等式21()ln 1xf t dt x x =+-⎰两边对x 求导可得,21()(ln 1)2f x x x x x'=+-=+. 3.(2009年,2分)由曲线x y e =,y e =及y 轴围成的图形的面积是 .解:曲线x ye =与直线y e =的交点坐标为(1,)e ,故所围图形的面积为1100()1xx S e e dx ex e ⎡⎤=-=-=⎣⎦⎰. 4.(2007年,4分)积分1e⎰的值等于 .解:1122111(1ln )(1ln )2(1ln )2eeex d x x -⎡⎤=++=+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.5.(2006年,2分)积分211xx e dx e --=-⎰ .解:2221111(1)ln 11ln(1)11x x x x x e dx d e e e e e ------⎡⎤=--=--=-+⎣⎦--⎰⎰.6.(2006年,2分)30ln(1)limsin xx t dt t x x→+=-⎰. 解:当0x →时,30ln(1)0xt dt t +→⎰,sin 0x x -→,故原极限为“0”型的 极限,应用洛必达法则可得,33300ln(1)ln(1)ln(1)limlim limsin 1cos (1cos )xx x x t x dt x t x x x x x x →→→+++==---⎰302lim 212x x x x →==⋅. 7.(2005年,3分)31231(sin )x x x e dx -+=⎰.解:[1,1]x ∈-时,23sin xx 为奇函数,在对称积分区间上的定积分为零,故333111232111111(sin )()33x xx x x e dx x e dx e e e ---⎡⎤+===-⎢⎥⎣⎦⎰⎰.三、计算题1.(2010年,5分)求定积分1ln ex xdx ⎰.解:2221111ln ln ()ln (ln )222eeee xx x x xdx xd x d x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰222222221111112222242444eeee x e x e x e e e dx dx x ⎡⎤+=-⋅=-=-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰.2.(2010年,5分)求定积分10x xdxe e -+⎰.解:1111220000()arctan arctan 11()4x x x x x x x dx e dx d e e e e e e e π-⎡⎤====-⎣⎦+++⎰⎰⎰. 3.(2008年,5分)求定积分2sin x xdx π⎰.解:用分部积分法,[]222200sin (cos )cos cos x xdx xd x x x xdx ππππ=-=-+⎰⎰⎰[]200sin 1x π=+=.4.(2008年,7分)求广义积分2x xedx +∞-⎰.解:222011111lim ()()022222xx x x xe dx e e +∞+∞---→+∞⎡⎤=-=---=+=⎢⎥⎣⎦⎰.5.(2007年,5分)求定积分xdx.解:用分部积分法,[00arctan(arctan) xdx x x xd x=-22220 001111(1)ln(1)3132132x dx d x xx x⎡=-⋅=-+=-+⎣++1(2ln20)ln2323=--=-.6.(2006年,4分)设函数1sin,0()20,x xf xπ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,求()()xF x f t dt=⎰在(,)-∞+∞内的表达式.解:当0x<时,0()()()0xxF x f t dt f t dt==-=⎰⎰;当0xπ≤≤时,001111()()sin cos cos2222xx xF x f t dt tdt t x⎡⎤===-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰;当xπ>时,00011()()()()sin cos22xF x f t dt f t dt f t dt tdt tππππ+∞⎡⎤==+==-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰11()122=--=.故()()xF x f t dt=⎰在(,)-∞+∞内的表达式为0,011()()cos,0221,xxF x f t dt x xxππ<⎧⎪⎪==-+≤≤⎨⎪>⎪⎩⎰.7.(2006年,4分)求定积分1xx ee dx+⎰.解:111000x x xx e x e e ee dx e e dx e e e+⎡⎤=⋅==-⎣⎦⎰⎰.8.(2005年,5分)求定积分222sin4cosdππθθθ--⎰.解:222222002sin sin 122(cos )4cos 4cos 4cos d d d ππππθθθθθθθθ-==----⎰⎰⎰令cos tθ=,则当0θ=时,1t =;当2πθ=时,0t =.故原式01112210001111(2)22()4422222dt dt d t dt t t t t t+=-==+=--+-+⎰⎰⎰⎰ 11100011111(2)ln 2ln 2(ln3ln 2)22222d t t t t ⎡⎤⎡⎤--=+--=-⎣⎦⎣⎦-⎰ 11(0ln 2)ln322--=. 9.(2005年,8分)求由曲线ln y x =与直线0y =,1x e=,x e =所围平面图形的面积. 解:因曲线ln y x =与直线1x e =和x e =的交点分别为1(,1)e和(,1)e ,故所围图形的面积111111ln ln ln ln eeeeS xdx x dx xdx xdx =+=-+⎰⎰⎰⎰[][]11111111ln ln e eeex x x dx x x x dx x x =-+⋅+-⋅⎰⎰11201(1)2e e e e e=-+-+--=-.。

相关文档
最新文档