全国高中物理竞赛几何光学专题
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2、凸透镜焦距为20cm，一点光源以速度40cm/s沿透镜主轴远离透镜，求当点光源距透镜为60cm时像点的移动速度。
解：设某一时刻此点光源成像的物距为 ，像矩为 ，则由透镜成像公式得
即
当点光源由上述位置移动一个很小的距离 时，其成像的物距变为 ，令其对应的像矩移动 ，则其对应的像矩变为 ，又依成像公式有
上式称为高斯公式，式中， 为物到透镜的距离， 为像到透镜的距离， 为透镜物方焦距， 为像方焦距，其表示式为
若透镜是放置在空气中，则 ，薄透镜的物像位置关系式可以改写为
这时，焦距表示为
而定义薄透镜的光焦度 是
式中为透镜的折射，为透镜前后表面的曲半径．
⑵物像的放大率，若物像空间的折射率相同，薄透镜的垂直放大率是
式中 ＝1.2、 ＝13cm，一束光在 点由空气射入平板，并在 点以角 出射。求 点的折射率 和平板的厚度。
解：沿 方向把平板分割成折射率分别为 、 、…、 各薄层，每一薄层的折射率看作均匀，用折射定律和几何关系可得出光线的轨迹方程，进而求得点 所在薄层的折射率和玻璃板厚度 。
如图（b）所示，以折射线代替实际的轨迹，由折射定律得
3、球面实际光线光路计算公式
如图（3）所示，由轴上物点A发出一条光线 ，经折射球面 出射光线 ，满足如下关系
图（3）
①
②
③
④
4、球面近轴光线路计算公式
表述当轴上物点和靠近光轴的轴外物点以很小的孔径角的光束入射到光学系统时，相关角度量值很小，使得这些角度的正弦值（或正切值）近似等于角度的弧度值，符合这个条件的光线十分靠近光轴，通常称为近轴光线，这些光线的区域称为近轴区，研究近轴区内物像关系的光学称为近轴光学或高斯光学，如图(4)所示，在近轴区内，成像光路的计算公式中的角度正弦值用相应弧度值代替，有
，
它与抛物线方程 只有一个交点，即方程
判别式
化简后
①
因
由①式求得
②
由图（aHale Waihona Puke Baidu所示，反射光线的斜率为
反射光线方程 。令 ，即得其与 轴相交于
它表明：反射光与 轴的交点和入射点 无关，即平行于抛物线轴线的光线都相交于 这一点，这点成为抛物反射镜的焦点。反之，若在焦点处放一电光源，就可产生平行于轴线的平行光。
①
②
③
④
图1.11.5折射球面近轴区的成像
5、球面成像光路的放大
表述 放大率有如下两种定义形式：
⑴横向放大率 定义像的大小与物的大小之比为横向放大率 ，则
⑵轴向放大率 若沿光轴方向微小物体的尺寸是 ，其相应的像是 ，则 与 的比值称为轴向放大率 ，即
6、薄透镜成像公式
⑴物像位置关系，薄透镜的物像位置关系式可以写为
入射光线、折射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内；入射角的正弦与折射角的正弦之比和入射角的大小关系，只与两种介质的折射率有关，有
式中， 、 分别为入射空间介质和折射空间介质的折射率。
⑷全反射定律 当光线是由光密介质向光疏介质入射时，若增大入射角 ，折射角 也相应增大，当入射角 增大到某一数值 时，折射角 时，此时折射光线将沿着介质的分界面略射而出，这时的入射角 称为全反射临界角，其数值为
其中 ，把 的关系代入得
在 点处，由折射定律得
故
又因为已知 ，取 为
得
解得
在平板中任取一点 ，如图（c）所示，该店的折射角为 ，折射率为 ，则
即
由图（c）的几何关系可得
对比 的两条表示式可知 ，这表明在平板内光线的轨迹是以 为半径的圆弧，其轨迹方程为 ，将 ＝1cm、 ＝13cm代入得 ＝5cm。
5、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点 ，一个厚度可以忽略的光楔 （顶角 很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与镜的距离为2.00cm，如图（a）所示。设光楔的折射率 ＝1.5，棒角 ＝0.028rad，在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜 ，其反射面向着透镜并垂直于轴。问最后形成的放光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？
1．先求凸球面的曲率半径 。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于 点，如图（a）所示。 点为球面的球心， ，由正弦定理，可得
（1）
由折射定律知
（2）
当 、 很小时， ， ， ，由以上两式得
（3）
所以
（4）
2.凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜，如图（b）所示
令 表示物所在位置， 点经平面折射成像 ，根据折射定律可推出
几何光学
【知识点】
1、几何光学的基本定律
⑴光的直线传播定律在各向同性均匀介质中，光沿着直线传播，称为光的直线传播定律。
⑵光的独立传播定律不同发光点发出的光束在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播，称为光的独立传播定律。
⑶光的折射定律与反射定律入射光线、反射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内：入射角和反射角的绝对值相等而符号相反，即入射光线和反射光线位于法线的两侧．即
同理，这时轴向放大率表示为
【例题】
1、一抛物线反射镜方程为 ，当受到一束平行于 轴的平行光照射时，其反射光将与 轴相交于何处？如图（a）。
解：这是一个求反射光线的问题，自然需要用到反射定律。但关键是求出光线在镜面的入射点处反射线方程，这显然与入射点有关。
设入射的某一光线在抛物镜上入射点 坐标为 ， ， 应满足 的关系， 点的切线方程为
2、物像概念
表述 相对给定的光学系统，入射的同心光束(或其延长线)的会聚点称为物点，经过光学系统后，若出射光束仍为同心光束，则该出射同心光束(或其延长线)的会聚点称为完善像点，所有物点的集合称为物，每个物点经过光学系统后所成完善像点的集合就是物体经过光学系统后的完善像，通常，物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间．
所以
由于 很小，故有
因此
代入上式得
所以
又由于 很小，故有
故从前式分子中略去 ，便得
由于 和 分别是同一时间内物点和像点的位移，它们分别与各自对应的移动速度成比例，故有
像的移动速度＝ ×物的移动速度
代入数据，即得到本题所求的像的移动速度为10cm/s，其方向是沿主轴向靠拢透镜方向移动。
3、（第十八届全国中学生物理竞赛预赛）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率 。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12 处，求最后所成象的位置。
（5）
由于这是一个薄透镜， 与凹面镜的距离可认为等于 ，设反射后成像于 ，则由球面镜成像公式可得
（6）
由此可解得 ，可知 位于平面的左方，对平面折射来说， 是一个虚物，经平面折射后，成实像于 点。
（7）
所以 （8）
最后所成实像在透镜左方24 cm处。
4、如图（a）所示，给定一块平行平板，厚度为 ，折射率随 变化的规律为
解：设某一时刻此点光源成像的物距为 ，像矩为 ，则由透镜成像公式得
即
当点光源由上述位置移动一个很小的距离 时，其成像的物距变为 ，令其对应的像矩移动 ，则其对应的像矩变为 ，又依成像公式有
上式称为高斯公式，式中， 为物到透镜的距离， 为像到透镜的距离， 为透镜物方焦距， 为像方焦距，其表示式为
若透镜是放置在空气中，则 ，薄透镜的物像位置关系式可以改写为
这时，焦距表示为
而定义薄透镜的光焦度 是
式中为透镜的折射，为透镜前后表面的曲半径．
⑵物像的放大率，若物像空间的折射率相同，薄透镜的垂直放大率是
式中 ＝1.2、 ＝13cm，一束光在 点由空气射入平板，并在 点以角 出射。求 点的折射率 和平板的厚度。
解：沿 方向把平板分割成折射率分别为 、 、…、 各薄层，每一薄层的折射率看作均匀，用折射定律和几何关系可得出光线的轨迹方程，进而求得点 所在薄层的折射率和玻璃板厚度 。
如图（b）所示，以折射线代替实际的轨迹，由折射定律得
3、球面实际光线光路计算公式
如图（3）所示，由轴上物点A发出一条光线 ，经折射球面 出射光线 ，满足如下关系
图（3）
①
②
③
④
4、球面近轴光线路计算公式
表述当轴上物点和靠近光轴的轴外物点以很小的孔径角的光束入射到光学系统时，相关角度量值很小，使得这些角度的正弦值（或正切值）近似等于角度的弧度值，符合这个条件的光线十分靠近光轴，通常称为近轴光线，这些光线的区域称为近轴区，研究近轴区内物像关系的光学称为近轴光学或高斯光学，如图(4)所示，在近轴区内，成像光路的计算公式中的角度正弦值用相应弧度值代替，有
，
它与抛物线方程 只有一个交点，即方程
判别式
化简后
①
因
由①式求得
②
由图（aHale Waihona Puke Baidu所示，反射光线的斜率为
反射光线方程 。令 ，即得其与 轴相交于
它表明：反射光与 轴的交点和入射点 无关，即平行于抛物线轴线的光线都相交于 这一点，这点成为抛物反射镜的焦点。反之，若在焦点处放一电光源，就可产生平行于轴线的平行光。
①
②
③
④
图1.11.5折射球面近轴区的成像
5、球面成像光路的放大
表述 放大率有如下两种定义形式：
⑴横向放大率 定义像的大小与物的大小之比为横向放大率 ，则
⑵轴向放大率 若沿光轴方向微小物体的尺寸是 ，其相应的像是 ，则 与 的比值称为轴向放大率 ，即
6、薄透镜成像公式
⑴物像位置关系，薄透镜的物像位置关系式可以写为
入射光线、折射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内；入射角的正弦与折射角的正弦之比和入射角的大小关系，只与两种介质的折射率有关，有
式中， 、 分别为入射空间介质和折射空间介质的折射率。
⑷全反射定律 当光线是由光密介质向光疏介质入射时，若增大入射角 ，折射角 也相应增大，当入射角 增大到某一数值 时，折射角 时，此时折射光线将沿着介质的分界面略射而出，这时的入射角 称为全反射临界角，其数值为
其中 ，把 的关系代入得
在 点处，由折射定律得
故
又因为已知 ，取 为
得
解得
在平板中任取一点 ，如图（c）所示，该店的折射角为 ，折射率为 ，则
即
由图（c）的几何关系可得
对比 的两条表示式可知 ，这表明在平板内光线的轨迹是以 为半径的圆弧，其轨迹方程为 ，将 ＝1cm、 ＝13cm代入得 ＝5cm。
5、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点 ，一个厚度可以忽略的光楔 （顶角 很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与镜的距离为2.00cm，如图（a）所示。设光楔的折射率 ＝1.5，棒角 ＝0.028rad，在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜 ，其反射面向着透镜并垂直于轴。问最后形成的放光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？
1．先求凸球面的曲率半径 。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于 点，如图（a）所示。 点为球面的球心， ，由正弦定理，可得
（1）
由折射定律知
（2）
当 、 很小时， ， ， ，由以上两式得
（3）
所以
（4）
2.凸面镀银后将成为半径为 的凹面镜，如图（b）所示
令 表示物所在位置， 点经平面折射成像 ，根据折射定律可推出
几何光学
【知识点】
1、几何光学的基本定律
⑴光的直线传播定律在各向同性均匀介质中，光沿着直线传播，称为光的直线传播定律。
⑵光的独立传播定律不同发光点发出的光束在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播，称为光的独立传播定律。
⑶光的折射定律与反射定律入射光线、反射光线和分界面上入射点的法线三者在同一平面内：入射角和反射角的绝对值相等而符号相反，即入射光线和反射光线位于法线的两侧．即
同理，这时轴向放大率表示为
【例题】
1、一抛物线反射镜方程为 ，当受到一束平行于 轴的平行光照射时，其反射光将与 轴相交于何处？如图（a）。
解：这是一个求反射光线的问题，自然需要用到反射定律。但关键是求出光线在镜面的入射点处反射线方程，这显然与入射点有关。
设入射的某一光线在抛物镜上入射点 坐标为 ， ， 应满足 的关系， 点的切线方程为
2、物像概念
表述 相对给定的光学系统，入射的同心光束(或其延长线)的会聚点称为物点，经过光学系统后，若出射光束仍为同心光束，则该出射同心光束(或其延长线)的会聚点称为完善像点，所有物点的集合称为物，每个物点经过光学系统后所成完善像点的集合就是物体经过光学系统后的完善像，通常，物体所在的空间称为物空间，像所在的空间称为像空间．
所以
由于 很小，故有
因此
代入上式得
所以
又由于 很小，故有
故从前式分子中略去 ，便得
由于 和 分别是同一时间内物点和像点的位移，它们分别与各自对应的移动速度成比例，故有
像的移动速度＝ ×物的移动速度
代入数据，即得到本题所求的像的移动速度为10cm/s，其方向是沿主轴向靠拢透镜方向移动。
3、（第十八届全国中学生物理竞赛预赛）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜 处，透镜的折射率 。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12 处，求最后所成象的位置。
（5）
由于这是一个薄透镜， 与凹面镜的距离可认为等于 ，设反射后成像于 ，则由球面镜成像公式可得
（6）
由此可解得 ，可知 位于平面的左方，对平面折射来说， 是一个虚物，经平面折射后，成实像于 点。
（7）
所以 （8）
最后所成实像在透镜左方24 cm处。
4、如图（a）所示，给定一块平行平板，厚度为 ，折射率随 变化的规律为