三角函数的诱导公式复习教案

三角函数的诱导公式

一、回顾

1.(必修4P20练习2改编)计算：tan 2 010°= 3

3

.

2.(必修4P19例1改编)计算：cos

52π-3⎛⎫ ⎪⎝⎭= -21 .

3.(必修4P20练习3改编)化简：sin 2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1= 2 .

4.(必修4P21例4改编)若cos π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=-13，则sin 2π-3

α⎛⎫

⎪

⎝⎭ 的值为 -3

1

.

5.(必修4P23习题17改编)已知sin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=a ，那么sin 5π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭-sin 2π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+1=

a+a 2 .

二、讲解与分析

1.诱导公式

2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤

(1)把求任意角的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值； (2)把求0°~360°角的三角函数值转化为求0°~90°角的三角函数值； (3)求0°~90°角的三角函数值.

例1 (1)已知cos(π+α)=-12，且3π

2<α<2π，求sin(2π-α)的值；

(2)已知3sin(π)cos(-)

4sin(-)-cos(9π)αααα+++=2，求tan α的值. (1) 2

3

(2)51

【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时，一要注意函数名是否改变，二要注意符号是否改变.

例2已知f(α)=

π

sin-cos(2π-)tan(-3π) 2

π

tan(π)sin

2

ααα

αα

⎛⎫

+

⎪

⎝⎭

⎛⎫

++

⎪

⎝⎭.

(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限的角，且cos

3π

-

2

α⎛⎫

⎪

⎝⎭=

1

5，求f(α)的值.

(1)-cos A

(2)6

5

2

【精要点评】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明

问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再

选择适当的三角公式恒等变形.

变式 (2014·湖南联考)设α是第三象限角，且tan α=2，则πsin -cos(π)23πsin 2ααα⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

⎛⎫+ ⎪⎝⎭=

含相同变量的复合角与诱导公式的运用

例3 已知cos(75°+α)=1

3，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值.

3

2

21

+-

变式1 已知sin π-6θ⎛⎫ ⎪⎝⎭=a ，那么cos 2π3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭= -a .

变式2 已知sin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=13，求sin 7π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+cos 25π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.

9

5

例4 已知sin(3π-α)

=

3π2β⎛⎫+ ⎪⎝⎭-α)

=-+β)，0<α<π，

0<β<π，求α，β的值.

3π4

π

【精要点评】求角的大小时一定要注意角的范围，再结合三角函数值的大小完成.

1.已知sin

5π

2

α

⎛⎫

+

⎪

⎝⎭=

1

5，那么cosα=

1

5.

2.若sin

π

-

6

α

⎛⎫

⎪

⎝⎭=-

1

3，则cos

π

3

α

⎛⎫

+

⎪

⎝⎭=-

1

3.

3.(2015·金陵中学)已知tan

π

-

6

α

⎛⎫

⎪

⎝⎭

=，则tan

5π

6

α

⎛⎫

+

⎪

⎝⎭=

- .

4.若cos α=1

3，则

cos(2π-)sin(π)

π

sin tan(3π-)

2

αα

αα

⋅+

⎛⎫

+⋅

⎪

⎝⎭=.

5.在△ABC中，若sin(2π+A)

-B)

-B)，求△ABC的三个

内角.

三、课后作业

一、填空题

1.计算：sin 210°=.

2.计算：cos 10π

3=.

3.计算：tan

23π

-

6

⎛⎫

⎪

⎝⎭=.

4.若sin

π

2

α⎛⎫

+

⎪

⎝⎭=

1

3，且α∈

π

-0

2

⎛⎫

⎪

⎝⎭

，

，则tanα=.

5.若cos(-80°)=k，则tan 100°=.

6.已知sin

π

12

α⎛⎫

+

⎪

⎝⎭=

1

3，那么cos

7π

12

α⎛⎫

+

⎪

⎝⎭的值为.

7.已知A=sin(π)

sin

kα

α

+

+

cos(π)

cos

kα

α

+

(k∈Z)，那么A的值构成的集合为.

8.若sin(π-α)-cos(-α)=1

2，则sin3(π+α)+cos3(2π-α)的值为.

二、解答题

9.化简：

sin(π-)cos[(-1)π-]

sin[(1)π-]cos(π)

k k

k k

αα

αα

⋅

+⋅+(k∈Z).