载荷移置与边界条件处理

(
xi
xj
xm ),
yc
1 3
(
yi
yj
ym )
代入有：
Ni
(xc , yc )
1 2
[(ai＋
1 3
(xi
xj
xm )bi
1 3
(
yi
yj
ym )ci ]
1 6
[(ai
xibi
yi ci
)
(ai
x
j bi
y
j ci )＋(ai
xmbi
ymci )]
1 [2 0 0] 1
6
3
第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法
[F]e [N ]T [q]ds s
.......... ......表面力载荷移置普遍公式
即：表面力移置后的等效结点载荷等于形函数转置形式与表面力的乘积在
表面力作用范围面上的进行面积分。
4.3.3 体积力[g]的单元等效结点载荷
设单元ijm上作用有体积力g，其分量为g x , g y ,即[g] [g x , g y ]T ，可以将微 元体d v 上的体力[ g ]d v当作集中力P，利用集中力载荷移置普遍公式：
[ *]eT [F ]e [ *]eT [N ]T [P] [F ]e [N ]T [P]
集中载荷移置普遍公式
第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法
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4.3.2 表面力[q]的单元等效结点载荷
设单元ijm的jm边上作用有表面力q，其分量为qx , q y ,即q [qx , q y ]T ，可以 将微元面积d s 上的表面力q ds当作集中力P，利用集中力载荷移置普遍公式：
b c’
c
m
i
先求结点i在y方向的等效结点载荷。为此设结点
i在y方向发生一虚位移vi* 1，而其它自由度均无
虚位移发生，即ui*
u
* j
v
* j
um*
vm*
0。
这相当于在结点i处设置了一个只允许产生垂直位
移的连杆铰支座，在结点j, m处分别安置了一个固
o
x 定铰支座。
第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法
第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法
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下面以平面三角形单元为例，采用虚功原理推导非结点载荷的 等效移置公式。
4.3.1 非结点集中力[P]的单元等效结点载荷
设单元ijm中任一点（x, y）处作用有集中力P,其分量为Px , Py，即[P] [Px , Py ]T
移置后的等效结点载荷列阵为：[F ]e [Fix , Fiy , F jx , F jy , Fmx , Fmy ]T 假设单元发生一微小虚位移，则集中力P的作用点（x, y）处的相应虚位移为
[F ]e [N ]T [g]dv v
.......... ......体积力载荷移置普遍公式
即：体积力移置后的等效结点载荷等于形函数转置形式与体积力的乘积在
单元体范围上进行体积分。
第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法
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当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面3结 点三角形单元，载荷移置可以采用直接法。所谓直接法，就是利 用能量等效原则直接进行单元载荷移置。直接法法只适用于具有 线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比 分析，下面通过实例予以说明。
同理，可以求得：N j
(xc , yc )
Nm
(xc , yc )
1 3
故 : [F ]e W 0 1 0 1 0 1T
3
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方法2：直接解法 当单元具有线性位移函数时，采用直接法进行单元载荷移置一般较为简单。
本例，单元为3结点三角形单元，其位移函数为线性函数，故载荷移置可采用直 接法。
y
j
Fiy
4.2 非结点载荷等效移置实例
y
[实例1] 以单元自重或作用在单元形心处的
c
集中力为例，说明如何利用普遍公式化和直接
法进行单元的载荷移置。设在三角形单元ijm形
o
xW
心C处作用有一垂直向下的集中载荷W，现欲求
单元的等效结点载荷[F ]e
第4章 非结点载荷移置及边界条件处理方法
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方法1：普遍公式化
当单元存在多个非结点载荷作用时，单元等效结点力用叠加法求出。需要
指出的是：载荷移置必须在结构的局部区域内进行。按照圣维南原理，在局部 区域内，外载荷按能量等效原则移置后，只可能在该区域内产生误差，而不会 影响整个结构的变形或应力状态。在有限元分析中，一般所取的单元较小，因
此，单元载荷移置对结果不会带来很大的影响。
[d *] [u,v]T
各结点相应的虚位移为： [ *]e [ui*, vi*,u j*, v j*, um*, vm*]T
根据能量等效原则，原载荷与单元的等效结点载荷在相应虚位移上所作的虚功
相等。有 : [ *]eT [F ]e [d *]T [P]
[d *] [N ][ *]e
代入上式有
载荷在其相应虚位移上的虚功（Fiy 1）。由此可得，单元i结点在y方向上的
等效结点载荷为：Fiy
W 3
同理可得：F jy
Fmy
W 3
类似地，可以得出各结点沿x方向的等效结点载荷：
Fix F jx Fm x 0 (当发生水平虚位移时，W所作的虚功＝0）
故：单元ijm的等效结点载荷为：
[F ]e
[Fix , Fiy , F jx , F jy , Fmx , Fmy ]T
W 3
[0
1
0
1
0
1]T
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[实例2]单元边界上的集中力
设单元在ij边上受有x方向的集中力P，其作用点a距i, j结点分别为li ,l j，如图
所示。
y
方法1：直接法 先求结点i在x方向的等效结点载荷。为此设结点
j a
P
i在x方向发生一虚位移ui* 1，而其它自由度均无
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由于单元具有线性位移函数，当结点i沿y方向发生单位虚位移时，该单元的
变形情况如图所示。由于ijm单元为线性三角形单元，所以mj边在两端点固
定不动的情况下，该Leabharlann Baidu将保持不动，则中点b亦不动。根据几何关系可知，
形心c在y方向所产生的虚位移为 :
vc bc 1
vi* bi 3
则vc
1 3
根据能量等效原则，原载荷在虚位移上的虚功（－W 1 ）应等于等效结点 3
解：集中力[P] [0,W ]T ,作用在形心c处。由集中力载荷移置普遍公式有：
Ni
0
[F ]e
[N ]T [P]
N
j
0
N m
0
0
0
Ni
NiW
0 0 0
N
j
•
W
N
jW
0
0
Nm
NmW
而：N i
(xc, yc)
1 2
(ai
bi xc
ci yc ), xc
1 3