认识无理数(1)
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教学课件
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
北师大版初中八年级数学上册第2章1认识无理数课件
是有理数吗?(2)哪个数是无限不循环小数?哪个是含有π的数?这些数都是
无理数吗?
11
解 有理数:0,-4,0.12,- ,3.141 592 7;无理数: ,1.112 111 211…(相邻两个 2 之
7
2
··
间 1 的个数逐次加 1).
【误区警示】
1.注意3.141 592 7与π的区别.3.141 592 7属于有限小数,不是π,前者是有理
(2)x不是有理数.因为没有一个整数的平方等于7,也没有一个分数的平方等
于7.由上面的计算知,x是无限不循环小数;
(3)x≈2.6;验证略;
(4)x≈2.65.
【方法归纳】
要估算无理数的近似值,第一步应确定被估算的无理数的整数取值范围;第
二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1),并求其平方,
实数
1
认识无理数
核心·重难探究
知识点一
无理数的识别
【例1】 下列各数,哪些是有理数?哪些是无理数?
·· 11
π
0, ,-4,0.12,- ,1.112
2
7
111 211…(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加 1),
3.141 592 7.
思路分析 (1)哪个数是整数?哪个是分数?哪个是无限循环小数?这些数都
确定被估算数的十分位;…;如此继续下去,可以求出无理数的近似值.
数,后者是无理数.
2.
π
2
不是分数,分数的分子与分母都是正整数.
知识点二
无理数的近似值的估算
【例2】 设面积为x的整数部分是多少?
(2)x是有理数吗?请简要说明理由.
(3)估计x的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.
北师大版数学八上2-1认识无理数(1)教学设计
数怎么又不够用了预习学案预习目标1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.预习过程：1.问题的提出请大家准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形。
小组交流。
总结：拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是____数，也不是___数，所以a不是_____数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做：(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？(3)b是有理数吗？三.课堂练习(一)课本P33随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？四、介绍历史，开阔视野关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.五、活动与探究下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.。
八年级数学上册第2章《认识无理数(1)》优质教案(北师大版)
第二章实数1. 认识无理数（1）一、学情与教材分析1.学情分析通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性．2.教材分析《认识无理数》是义务教育课程标准北师大版实验教科书新秋版八年级（上）第二章《实数》的第一节，原标题为“数怎么又不够用了”，但在内容设置上除了个别习题的增删，几乎没有其他改动（习题2.1删掉一题，习题2.2删改一题，新增一题）．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数．以及学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神．二、教学目标1.通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在；2.能判断三角形的某边长是否为无理数；3.能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解.三、教学重难点教学重点：①让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. ②会判断一个数是否为有理数.教学难点：①把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.②判断一个数是否为有理数.四、教法建议合作探究法五、教学设计（一）课前设计1.预习任务用两张颜色不同的纸做出如图的两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，思考下列问题？1）大正方形的面积为 ________________平方分米.2）设大正方形的边长是a分米，则a满足什么条件？3）想一下，a是整数么？a是分数么？2.预习自测一、选择题1.下列说法正确的是（）A．非负数包括零和整数 B．正整数包括自然数和零C．零是最小的整数 D．整数和分数统称为有理数答案：D解析：非负数包括零和正数，A错误；正整数指大于0的整数，B错误；没有最小的整数，C错误；整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确．故选D．点拨：根据有理数的分类，利用排除法求解．二、填空题2. 在数+8.5，﹣4，﹣0.8，﹣，0，90，﹣，﹣|﹣24|中，___________________________不是整数．答案：+8.5，﹣0.8，﹣，﹣解析：+8.5，﹣0.8，﹣，﹣不是整数．点拨：根据整数的概念进行判断即可．3. 下列说法正确的有__________．（填序号）①﹣a是负数．②0既不是正数，也不是负数③一个有理数不是整数就是分数．④0是最小的有理数．⑤有理数的绝对值是正数．⑥如果两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数．答案：②③解析：①﹣a可能是负数、零、正数，故①说法错误；②零既不是正数也不是负数，故②说法正确；③有理数包括整数和分数，故③说法正确；④没有最小的有理数，故④说法错误；⑤有理数的绝对值是非负数，故⑤说法错误；⑥两个数的绝对值相等，这两个数相等或互为相反数，故⑥说法错误；故答案为：②③．点拨：根据小于零的数是负数，可判断①；根据零的意义，可判断②；根据有理数的分类，可判断③；根据有理数的意义，可判断④；根据绝对值的意义，可判断⑤；根据相反数的性质，可判断⑥．（二）课堂设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结．第一环节：情境引入问题情景：同学们，我们上了好多年的学，学过不计其数的数，概括起来我们都学过哪些数呢？（在小学我们学过自然数、小数、分数，在初一我们还学过负数.）对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.意图：通过情景引导学生思考学过哪些数，进而进行下一步的探究.第二环节：探究发现活动1：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形.（学生高兴地投入活动中）经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下. 现在我们一起把大家的做法总结一下：活动2：再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知22a=.a=可判断a应是1点几.［生丙］由22大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.=，…整数的平方越来［生甲］我们组的结论是：因为211=，224=，239越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.［生乙］因为111224339,,224339224⨯=⨯=⨯=，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.经过大家的讨论可知，在等式22a=中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.做一做：（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？（3）b是有理数吗？请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.在这个题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数---无理数.关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.第三环节：知识运用1.如图,正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3，h 不可能是整数，也不可能是分数.2.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.解：如图，AB=2，BE=1，AB、BE是有理数.AD2=AB2+BD2=22+32=13，AC2＝1＋1＝2.AE2=AB2+BE2=22+12=5.AC、AD、AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数.第四环节：随堂检测一、选择题1. 在数下列各数：+3、+（﹣2.1）、﹣、﹣π、0、﹣0.1010010001…、﹣|﹣9|中，负有理数有（）个．A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个答案：C解析：在+3、+（﹣2.1）、﹣、﹣π、0、﹣0.1010010001…、﹣|﹣9|中，负有理数有+（﹣2.1）、﹣、﹣|﹣9|，只有3个．故选C．点拨：根据有理数的定义，在给定的数中找出负有理数，查出其个数，此题得解．二、填空题2. 在，0，﹣30，，+20，π，﹣2.6这7个数中，整数有________________，负分数有________________．答案：0，﹣30，+20；，﹣2.6．解析：在，0，﹣30，，+20，π，﹣2.6这7个数中，整数有0，﹣30，+20，负分数有，﹣2.6．点拨：有理数分为整数和分数，据此填空．3. 将下列各数填在相应的集合里﹣3.8，﹣10，10π，﹣|﹣|，4，0，﹣（﹣）整数集合：____________________；分数集合：____________________；正数集合：____________________；有理数集合：________________________________．答案：见解析解析：整数集合：﹣10，4，0；分数集合，﹣|﹣|，﹣（﹣）；正数集合：10π，4，﹣（﹣）；有理数集合：﹣3.8，﹣10，﹣|﹣|，4，0，﹣（﹣）； 点拨：可按照有理数的分类填写：有理数； 有理数． 第五环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.师生相互交流总结：1.通过拼图活动，感受有理数又不够用了，经历无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断一个数是否为有理数.布置作业：1.课本习题2.1 T22．边长分别为2、3的长方形，它的对角线长可能是整数吗？可能是分数吗？若边长分别为1.5、2呢？解：①设长、宽分别为3、2的长方形的对角线长为a ，得2223213a =+=，a不可能是整数，也不可能是分数；②边长分别为1.5、2时，根据勾股定理可知，对角线长为2.5，是分数，也是有理数.。
2.1认识无理数第1课时教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）无理数的概念：本节课的核心是让学生理解无理数的定义，即无法表示为两个整数之比的数。重点强调无理数与有理数的区别，如√2、√3、π等。
举例：比较√4（有理数）和√2（无理数），说明它们在数学性质上的不同。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《2.1认识无理数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过无法用整数表示长度或面积的情况？”比如，一个正方形的边长如果是2，那么它的面积是4，但如果边长是√2，我们该如何表示它的面积呢？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索无理数的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是那些不能表示为两个整数之比的数，比如√2、√3和π。它们在数学中非常重要，因为它们帮助我们更准确地描述世界。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要计算一个边长为√2的正方形的面积，我们会发现这个面积是2，这是一个有理数。这个案例展示了无理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.无理数的近似计算：通过实例，让学生了解无理数可以通过近似计算得到一个大致的值，并掌握四舍五入、保留小数点后几位等近似计算方法。
本节课将结合实际例子，帮助学生深入理解无理数的概念，并掌握相关计算方法。
二、核心素养目标
1.培养学生的数学抽象能力：通过探究无理数的概念，使学生能够从具体的实例中抽象出数学规律，形成对无理数的直观认识。
认识无理数
2.1认识无理数（一）一、教材解读《2.1认识无理数（一）》是北师大版八年级上第二章第一节第一课时，在此之前学生已经经历了数系从非负有理数到有理数的扩充，学习了勾股定理，本节课学生将经历数系的第二次扩充，既是对前面有理数的一个扩展，也是前一章勾股定理内容的一个重要应用，同时是后续深入学习实数的基础，是承前启后的一个重要知识节点。
二、学情分析学生已经有了数系扩充的经验，本次数学的扩充同样是有实际的背景和必要性，前面勾股定理的学习为本次无理数产生提供了很好的知识储备。
学生具备了操作经历产生无理数的知识基础和基本经验。
三、教学目标1、知识与技能：感受无理数的存在，初步把握无理数的特征。
能够说明一个数既不是整数，也不是分数，不是前面学习的有理数。
2、过程与方法：通过观察、计算、探索，经历无理数产生的实际背景和必要性。
通过方格纸画图进一步感受无理数的存在事实和可操作性。
学会用勾股定理这一工具构造长度为无理数的线段，进一步研究无理数。
经历由具体到抽象，由特殊到一般的概念形成过程。
3、情感态度价值观：让学生在构造无理数的过程中感受到数学学习的乐趣，让学生感受到数学来源于生活和实际，具有看得见，摸得着，可操作的特点，改变以往学生心目中数学枯燥，乏味的观念。
四、教学设计 【回顾迎新】1． 整数和___________统称为有理数.整数又可分为正整数，_________，________. 2． 下列不是分数的是（ ）A ．3.14 B.5% C.π D. ..11.0 3． 下列说法错误的是（ ）A ．两个整数的乘积一定是整数B ．最简分数的平方一定是分数C ．有限小数和无限循环小数不是分数D ．一个数既不是整数又不是分数，则这个数不是有理数4. 如图，斜边所在的正方形面积2b =___________．我们知道，如果22243<<m （m 为正数），则43<<m ，根据这个例子，我们可以判断 < b < （填两个整数），b 可能是整数吗？ （填“可能”或“不可能”）.【新课教学】一、感受新数如图，设每个小方格的边长为1个单位.问题1：图中有几种面积不同的正方形？它们的面积分别是多少？问题2：如果记正方形ABCD 的边长为a ，则2a =________. 问题3：a 整数吗？a 是分数吗？与同伴交流你的想法.训练：下列各数中，不是有理数的是（ ） A ．722 B. 2b =4中的b 值 C.0π D. 72=m 中的m 值 二、走进新数探究一：如图1，设每个小方格的边长为1个单位.线段AB ，CD ，EF 的长度是有理数吗？说明你的理由.请在图2的方格纸上仿照图1的方式，画出两条线段，使线段的长度不是有理数.探究二：创建新数（1）骰子创建：（2）人造创建：三、应用新数1. 如图是由个边长为的小正方形拼成的，任意连结 这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，在线段 AB 、AC 、AD 、AE 、BE 五条线段中，长度是有理数的线 段有__________________，长度不是有理数的线段 有______________________．2.如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O ′，点O ′对应的数是多少？它是有理数吗？161ABCDAB CE DF 图1 图2 DCBEAO3.正△ABC 的边长为2，高为h ，h 可能是整数吗？可能是分数吗？4.如图：在长方形ABCD 中，，AD=， 则AE ，BE 的长是有理数吗？△ABE 的面积是有理数吗？五、教学反思1.数学来源于生活新数（无理数）不是人为构造，庸人自扰，它是来源于活生生的生活实践的。
北师大版八年级数学上册课件 第2章 第1节 认识无理数(共32张PPT)
算一算
1
x
x2 ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
拼一拼
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:00:52 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
强调
无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数.
c 例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形； 25
C.面积为8的正方形；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
认识无理数教学设计
数
教学难点 对拼图得出的面积为 2 的正方形边长 a 是个什么样的
数的探究过程。
（5）教学方法 （学法）
“引导探索法” （自主探究，合作学习，采用小组合作的方法， 教学环节 1 教学内容 创设情境引出质疑
教师活动 ①讲述毕达哥拉斯“万物皆数”的故事
②除了有理数外还有没有其他的数呢？
（6）教 学 过 程
为后面学习二次根式、二元一次方程打下基础，在初中数学中 占有重要地位。
①通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景
和引入的必要性
（3）教学目标
知识与技 能
②运用有理数的有关知识，通过逻辑推理判断一个数
是否为有理数
③结合勾股定理知识，会根据要求画线段
过程与方 法
引导学生进行合作交流，让其经历剪拼，观察、实验、
猜想、证明等数学活动过程，发展逻辑思维能力。
情感态度 与价值观
通过系列的数学活动，让学生充分体验数学源于生
活、寓于生活、用于生活的实际意义，激发学生学习
的热情。
①让学生参与无理数发现的过程，感知生活中无理数
（4） 教学重点难点 教学重点
存在的必要性和合理性 ②能够运用有理数的知识判断给出的数是否为有理
教学环节 3 教学内容 实例剖析加深理解
教学过程
教师活动 例 1：如图，以直角三角形的斜边为边的正 方形的面积是多少？ 设该正方形的边长为 b，b 满足什么样条 件？③b 是有理数吗？
S ?
2
1
教师活动 例 2：.如图，正三角形的边长为 2，高为 h，
h 可能是整数吗？可能是分数吗？
A
h
教学环节 4
教师 王丽
2.1 认识无理数 (第 1 课时)教学设计
认识无理数课件
其他生活场景中无理数现象
在金融领域，无理数也经常出 现。例如，股票价格、汇率等 金融数据经常以小数形式表示 ，并且可能包含无限不循环的 小数部分，因此是无理数。
在音乐中，音高和音程可以用 频率来表示。这些频率值往往 是无理数，因为音乐的和谐性 要求精确的音高比例。
在物理学中，许多常数和公式 涉及到无理数。例如，圆周率π 是一个典型的无理数，它在计 算圆的周长、面积等时经常出 现。
03
忽视无理数的运算 规则
在进行无理数的运算时，需要注 意运算顺序和运算法则，避免出 现计算错误。
拓展延伸：无理数在数学领域更深层次应用
无理数与几何学
在几何学中，无理数常常出现在与 长度、面积和体积相关的计算中，
如勾股定理中的斜边长度等。
无理数与数学分析
在数学分析中，无理数的存在 对于极限、连续性和可微性等 概念的研究具有重要影响。
无理数与代数学
在代数学中，无理数是实数域的一 个重要组成部分，对于方程的求解 和函数的性质研究具有重要意义。
无理数与概率论
在概率论中，无理数可以作为 随机变量的取值，参与概率分
布和期望等统计量的计算。
THANK YOU
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无理数的判别方法
通过开方、求根、三角函数等特殊运算产生的数 ，若无法化简为有理数形式，则可判定为无理数 。
易错难点剖析指导
01
误将无限循环小数 当作无理数
无限循环小数是有理数的一种形 式，可以表示为两个整数的比值， 因此不是无理数。
02
误将带根号的数当 作无理数
带根号的数不一定是无理数，例 如√4=2是有理数。需要判断开 方后是否能得到有理数。
在几何图形中，通过构造符合黄金分割比例的线段或图形，可以创造出
初中数学《认识无理数》完整版 北师大版1
2、若长方形的长、宽分别是3、4，那么它的对角线 的长是有理数吗？说明理由。
是有理数，对角线的长等于5
(变式)若长方形的长、宽分别是1、3，那么它的对
角线的长是有理数吗？ 不是有理数，对角线长的平方等于10
3、（随堂练习P21）:如图，等边三角形
A
ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？ 可能是分数吗？
至少找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理
数的线段（最长的和最短的）.
A
两条有理数的线段： 最长的AC=5
最短的DE=1 两条不是有理数的线段：最长的AB
DE
最短的DF
F CB
6.长,宽分别是7，5的长方形，它的对角线的长c可能是
整数吗？可能是分数吗？
解：∵由勾股定理得 c2=52+72=74 ∴c既不是整数也不是分数.
自学指导2 （1分钟）
1.自学课本P21做一做的内容，完成下列问题：
（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形ABEF
的面积是多少？ S正方形ABEF=AB×BE=b2=5
F
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ A
b2=AB2=AC2+BC2=22+12=5
（3）b是有理数吗？ b不是有理数
正本作业 P22问题解决2 画在4×4的方格里
P22问题解决2，
（2）
（1）
（3）
板书设计
2.1.1认识无理数
1.有理数：整数和分数
2.不是有理数的数：既不是整数也不是分数的数
例如： a 2 2 如右图
a2=2，1<a2<4 ，得到1<a <2，
a一定不是整数；
11 1 3 3 9,
考点04认识无理数(解析版)
第二章认识无理数考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】知识点一、无理数1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-π是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。
如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,52等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点类型一、判断无理数1．下列4个数：0.13 ，73，π﹣3.14_____个．【答案】2【详解】∵0.13 是无限循环小数，是有理数；73是分数，是有理数，π﹣3.14数．∴有两个无理数，故答案为：2．2．请将下列各数填入相应的集合内：74-，0，π，311，-1.010010001···（每两个1之间多一个0），0.5∙有理数集合：{···}；无理数集合：{···}；非负数集合：{···}．【答案】有理数集合：{74-，0，311，0.5∙···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；非负数集合：{0，π，311，0.5∙···}．【分析】根据有理数的概念、无理数及非负数的概念可直接进行求解．【详解】有理数集合：{74-，0，311，0.5∙···}；无理数集合：{π，-1.010010001···（每两个1之间多一个0）···}；非负数集合：{0，π，311，0.5∙···}．举一反三1．在3.14，0，5π-，227-，2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有_______个．【答案】3【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：3.14是有限小数，属于有理数；0是整数，属于有理数；-227-是分数，属于有理数；无理数有：5π-，2.010010001…（每两个1之间的0依次增加1个）共3个．故答案为：3．2．把下列各数分别填在相应的集合中：227，3.14159260.8-，3π．【答案】见解析．【分析】根据无理数的定义先判断是否是无理数，剩下的就是有理数．无理数有①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的．【详解】【点睛】此题考查无理数和有理数的理解，解题关键在于区分无理数和有理数．无理数是指无限不循环小数，有理数是指有限小数和无限循环小数．考点类型二、无理数的估算（夹逼法）1.阅读下列材料：2＜3，的整数部分为2，小数部分为－2)．请根据材料提示，进行解答：的整数部分是；(2)a b，求a＋b【答案】（1）2；（2）1.【解析】【分析】（1（2【详解】解：(1)2(2)由(1)a2，即，b＝3，则a＋b2＋ 1.【点睛】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于掌握运算法则.举一反三1．（阅读材料）23，∴11＜21的整数部分为1-1-2（解决问题）（1的小数部分是；（2）已知a4的整数部分，b4的小数部分，求代数式（﹣a）3+（b+4）2的值．【答案】（19；（2）21．【分析】（1）由于81＜91＜100（24的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．【详解】（1）∵81＜91＜100，∴910，9，9；（2）∵16＜21＜25，∴45，∵a4的整数部分，b4的小数部分，∴a=4﹣4=0，b=4，∴（﹣a）3+（b+4）2=0+21=21．【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法和无理数整数部分和小数部分的表示方法是解题关键．考点类型三、利用勾股定理构造无理数的线段1.在下列44⨯网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．【答案】答案见解析【分析】（1=5，画出图形即可；（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为【详解】（1=5，△ABC即为所求，如图1所示；（2）由勾股定理得：=△DEF即为所求，如图2所示．【点睛】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．考点类型四、无限循环小数1．阅读下列材料：。
《认识无理数(第1课时)》课件 (一等奖)2022年最新PPT2
如图，一个矩形木条长为4㎝，宽为3㎝， 用刻度尺作出每条边的中点，并顺次连结它们。 猜一猜你能得到什么图形？
认识无理数
1
1
有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一 拼，设法得到一个大正方形。
⑴ 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？
⑵ a可能是整数吗？说说你的理由。 ⑶ a可能是以2为分母的分数吗？可能是以3为 分母的分数吗？说说你的理由。
⑷ a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴 交流。
做一做
〔1〕以直角三角形的 斜边为正方形的面积是 多少？
2
1〔2〕设该正方形的边源自为b，b满足什么条件？ 〔3〕b是有理数吗？
比较线段的长短
比较两根铅笔的长短，你有哪些方法？
如果把铅笔抽象成线段，让你比较两条线 段的长短，你能想出哪些方法？
我们常见的路为什么大多都是直的？
在一张透明纸上任意画一条线段，折叠纸片，
使这条线段的两个端点重合在一起，你会有什么 发现？
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试分别画出一条长度 是有理数的
线段和一条长度不是有理数的线
段．
B
C
A
G
E
D
F
1. 通过拼图活动，感受有理数又不够用了。 谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困 难需要别人帮你解决？
2. 感受数不够用了，会确定一个数是有理数或 不是有理数。
3 . 本节课用到基本方法：动手、操作、观察、 思考，猜想验证，推理，归纳等过程，获取数 学知识。
学习目标
1、通过拼图活动引出无理数，并借助计 算其说出无理数的特征，引出无理数的 定义并认识；
2、举出无理数例子，并从一组数据中辨 认无理数。
自主学习
目标：通过自主学习，亲自动手操作， 让学生感受到无理数产生的实际背景；
内容：课本21页 方法：先自主学习，再分组合作交流 时间：10分钟
检测题
作业
课本 22页：问题解决2
面积为3的正方形边长可能是整数 吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？ 说明理由。
C
b
1
A1
1B
b是有理吗？
a，b不是有理数。
质疑探究之师生合作交流
活动1：面积为2，5的正方形的边长a，b究竟是多少呢?
结论：a，b既不是整数，也不是 分数，则a，b 一定不是有理数.
用16个边长为1的小正方形拼成 了如图的网格，任意连接两个格点， 就得到一条线段，