数理方法

第一章习题

作业一 (2+2+4+2)：

1. 求下列复数的实部、虚部、模、主值幅角： ;524321)1(i

i

i i ---- 3)3()2(-+i

2. 解方程：;08)1(3=+i z 031)32()2(2=+-+-i z i z

3. 画出下列关系所表示的z 点的轨迹的图形，确定它是否为区域：

;2||1Im )1(<>z z 且 ;3Re 24/)1arg(0)2(≤≤π<-

02||)4(π<<

4. 下列函数在复平面上哪些点不连续？ ;1

)1(2+=

z z

w z w a r g )2(=

作业二 (4+2+2+2+2)：

1. 已知解析函数f (z ) 的实部 u (x , y ) 或虚部 v (x , y )，求此解析函数：

;)2(,)1(2)1(i f y x u -=-= 0)2(,

)2(2

2=+=

f y x y

υ

2. (1) 利用极限的性质证明Hospital 法则：若)(),(z z f ϕ在0z 点解析，0)()(00==z z f ϕ，

,0)(0≠'z ϕ 则)

()()()(lim

000z z f z z f z z ϕϕ''=→；(2) 求极限z e z z 1

lim 0-→

3. 设 3z w =确定在沿负实轴割破的 z 平面上，且i i w -=)(，求)(i w -及)(i w -'

4. 解方程 ;31)1(i e z += 3/t a n

)2(i z =

5. 对y i x z +=，计算 |)exp(|)2(|;sin |)1(2z i z 。

第二章习题

作业三 (2+1+1+3+3)： 1. 计算积分 (1) ⎰

++-=i

dz x i y x Q 10

21,)( 积分路径是直线段

(2) ,)(2⎰-=

L n a z dz

Q n 是整数，L 是以a 为圆心、r 为半径的上半圆周

2. 利用积分不等式证明：

,|)(|22π≤+⎰dz y i x L

其中L 是以0为圆心、半径为1的右半圆周

3. 计算积分 ⎰

+--+=i

dz z Q 22

21)2(

4. (1) 已知ξξξξξd z

z f ⎰=-++=3||21

73)(，求)1(i f +'；

(2) 计算积分,1||dz z e z z

⎰=从而证明πθθπθ=⎰0

cos )cos(sin d e

5. 分别针对以下条件，计算积分⎰-π=L z z z dz

e i Q 3

)1(21

(1) z =0在L 内，z =1在L 外；(2) z =1在L 内，z =0在L 外；(3) z =0，z =1都在L 内

第三章习题

作业四 (2+6+2)：

1. 计算下列级数的收敛半径：;2

)1(1k

k k z k ∑∞

= k k k k z ∑∞

=-+1])1(2[)2(

2. 将下列函数在z =0展开为幂级数，并指出其收敛范围： ;)1(1

)1(3z - ;s i n )2(0dz z z z ⎰ 2

11)3(z z ++

3. 将函数2

)(+=

z z

z f 展开为 (z –1) 的幂级数，并指出其收敛范围

作业五 (6+4)：

1. 将以下函数在指定环域内展开为洛朗级数：

∞<<<<-+||1,1||0,)

1(1

)

1(2

z z z z z

∞<-<--|1|0),11

exp()1()2(2

z z

z 2||0,)1(1

)

3(2

2<-<+i z z

提示：利用泰勒展开∑∞

=<+=-0

2

1||,)1()1(1k k

q q k q

2. 求出下列函数的奇点(包括∞)，并判断奇点的类型，指出极点的阶数

2

1

cos

)4()3(;

tan )2(;11)1(2272

--+-z z z z e e z

z

第五章习题

作业六 (4+6)：

1. 求下列函数在各孤立奇点 (包括∞) 处的留数：

)()1()4(;c o s )3();

11

exp()2(;

)1)(1()1(22

N m z z z

z z z z z

m

m

∈+-+-

2. 计算围线积分： ;1

)2(;

s i n )

1(1|1|44||⎰

⎰=-=+z z z dz

z z dz

),,1||,1|(|)()()3(1||N n b a b a b z a z dz

z n

n ∈≠<<--⎰

=

作业七 (8+2)： 1. 计算实变积分

;1

1

)1(4

2⎰∞

+∞-++dx x x ⎰

+∞

∞

-++;20

4sin )2(2dx x x x

⎰

⎰

π

π

θθ

+<θ+θ-20

2

20

2

cos 11

)4();1|(|cos 211

)

3(d b d b

b

2. 计算主值积分

⎰+∞

∞->+)0()(sin 22a dx a x x x