2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案

2019年全国高中数学联赛试题及解答

全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）一试一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+，则11a b+的值为________．答案：设连等式值为k ，则232,3,6k k ka b a b --==+=，可得答案108分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ，则M m -的值为______．答案：33251b a +≤+=，33b a a a+≥+≥，均能取到，故答案为5-分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______．答案：零点分类讨论去绝对值，答案[]2,0-分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =，()()*1221n n n a a n N n ++=∈+，则2014122013a a a a =+++______．答案：()1221n n n aa n ++=+，迭乘得()121n n a n -=+，()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++，乘以公比错位相减，得2n n S n =，故答案为20152013．分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前n 项和，集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中，侧面是边长为1的正三角形，,M N 分别是边,AB BC 的中点，则异面直线MN与PC 之间的距离是________．答案：OB 为公垂线方向向量，故距离为12OB =分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点,P Q ．若212PF F F =，且1134PF QF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________．答案：不妨设焦点在x 轴（画图方便），设114,3PF QF ==，焦距为2c ，224a c =+，可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +，过2F 作高，利用勾股可得5c =．分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I ．若点P 满足1PI =，则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________．答案：sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠，又两角和为60最大，即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点，以12的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则,A B 之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．答案：总连法64种，按由A 到B 最短路线的长度分类．长度为1，即AB 连其余随意，32种；长度为2，即AB 不连，ACB 或ADB 连，其余随意，ACB 连8种，故共88214+-=种（一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次，根据CD 是否连有2种情形）；长度为3，两种情形考虑ACDB ，ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种，故连法为2种；综上，答案483644=分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目二、解答题（本大题共3小题，共56分）9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线24y x =的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直．设直线P l 与直线PO ，x 轴的交点分别为,Q R ．（1）证明：R 是一个定点；（2）求PQQR的最小值．答案：（1）设(),P a b ，()()1122,,,A x y B x y ，0,0a b ≠≠，()11:2PA yy x x =+，()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+，利用垂直，可得2a =-，故交点为定点()2,0（2）∵2a =-，故,2PO PR b bk k =-=-，设OPR α∠=，则α为锐角，1tan PQ QR α=，利用两角差的正切公式，可得282PQ b QR b+=≥．分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过10. （本题满分20分）数列{}n a 满足16a π=，()()*1arctan sec n n a a n N +=∈．求正整数m ，使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=．答案：由反函数值域，知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==，1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练11. （本题满分20分）确定所有的复数α，使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠，均有()()221122z z z z αααα++≠++．答案：转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等，记()()2f z z z αα=++，()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=，则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-，故12122222z z z z a ααα=++≥-->-，故2α<；若2α<，令12,22z i z i ααββ=-+=--，其中012αβ<<-，则12z z ≠，122i ααββ-±≤-+<，计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入，知()()12f z f z =．综上，满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、（本题满分40分）设实数,,a b c满足1a b c++=，0abc>．求证：14ab bc ca++<．a b c≥≥>，则1a≥1c≤．)ab bc ca c++-+⎭12c-，故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->，故原不等式成立．方法2：不妨设0a b c≥≥>，则13a≥c，设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-，()f b递增f⇔，()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝，()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a；题目转化为21ac+=，a c≥，记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭，由于13a≥1=，得1532a=，115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，集训队讲义上两种方法都训练过．二、（本题满分40分）在锐角三角形ABC中，60BAC∠≠，过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE，且满足BD CE BC==．直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G．设CF与BD交于点M，CE与BG交于点N．证明：AM AN=．答案：设△ABC三边为,,a b c，则BD CE a==，先计算AM，∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠，∴△BFD∽△CBA．由比例可知acDFb=，故BM BC bBDDF c==，故abBMb c=+，故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭，整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析：由于一旦,,a b c三边确定则图形固定，所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、（本题满分50分）设{}1,2,3,,100S =．求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同．答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共9921-个，显然满足题意；另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =，任取()123n n -≥个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时，将7个非空子集分为三类：{}{}{}31,32,3，{}{}21,2，{}{}11,2,3．任取四个必有两个同类．假设n k =时命题成立，当1n k =+时，如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +，利用归纳假设知成立；如果不含1k +的不足12k -，则至少有121k -+个含有1k +，而S 含有1k +的子集共2k 个，可以配成12k - 对，使得每对中除了公共元素1k +外，其余恰为1到n 的互补子集，这样，如果选出121k -+个，则必有两个除1k +外不交，故命题成立．综上，k 的最大值为9921-．分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、（本题满分50分）设整数122014,,,x x x 模2014互不同余，整数122014,,,y y y 模2014也互不同余．证明：可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ，使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余．答案：不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡，1,2,,2014i =．下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列：若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余，则1007,i i y y +不调整；否则，交换1007,i i y y +位置，1,2,,2014i =．下证，进行1007次调整后，得到的i z 序列一定满足条件．任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=，只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法，i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的，因为不可能调整前后均同余，故只需看另两个；首先，对于不同的,i j ，2i 与2j 模4028不同余，否则会导致()mod 2014i j ≡．若,i j y y 均未调整，则()2mod 2014i i x z i +≡，()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡，故成立；若,i j y y 均已调整，则()21007mod 2014i i x z i +≡+，()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，故成立；若只有一个被调整过，不妨设i y 未调整、j y 已调整，则()2mod 2014i i x z i +≡， ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+，若()4028|21007i j --，则()1007|i j -，矛盾，故同样成立．综上，构造的i z 序列满足条件．全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看，今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．一试第7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相切时取到，剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似，第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够．一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也和往年类似，无需多说．第11题又再次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题了，许多学生都没有准备．可以说，这次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观．而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题，这无疑又让此题失色不少．今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极端的情况下猜出答案，再进行证明．值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中，记最小元素为a ，两个最大元素为b 和c ．本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，找出2014的构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n 为给定正整数，()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列，则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余．” 总的说来，本次联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计今年联赛的分数线可能比去年略低．。

2019年全国高中数学联赛试题及答案

说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC D 中，M 是BC 边的中点．点P 在ABC D 内，使得AP 平分BAC ．直线MP 与,ABP ACP D D 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E ．证明：若DE MP =，则2BC BP =．证明：延长PM 到点F ，使得MF ME =．连接,,BF BD CE ．由条件可知BDP BAPCEP CEM === = ． ………………10分因为BM CM =且EM FM =，所以BF CE =且//BF CE ．于是F CEM = = ，进而BD BF =． ………………20分又DE MP =，故DP EM FM ==．于是在等腰BDF D 中，由对称性得BP BM =．从而22BC BM BP ==． ………………40分二、（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =£££=．记22212201913243520172019()()f a a a a a a a a a a a =+++-++++．求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 的个数．解：由条件知2017222221220182019212()i i i f a a aaa a +==++++-å．①由于12,a a 及2(1,2,,2016)i i a a i +-=均为非负整数，故有221122,a a a a ³³，且222()(1,2,,2016)i i i i a a a a i ++-³-=．于是201620162221221222017201811()()i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-³++-=+åå．②………………10分参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）由①、②得2222017201820192017201820192()f a a a a a a ³++-++，结合201999a =及201820170a a ³>，可知()22220172017201712(99)992f a a a ³+-++22017(49)74007400a =-+³．③………………20分另一方面，令1219201920211920220191,(1,2,,49),99k k a a a a a k k a +-+========，此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30分以下考虑③的取等条件．此时2017201849a a ==，且②中的不等式均取等，即121a a ==，2{0,1}(1,2,,2016)i i a a i +-Î=．因此122018149a a a =£££=，且对每个(149)k k ££122018,,,a a a 中至少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件对每个(149)k k ££，设122018,,,a a a 中等于k 1k n +，则k n 为正整数，且1249(1)(1)(1)2018n n n ++++++=124n n n +++=该方程的正整数解1249(,,,)n n n 的组数为1968，且每组解唯一对应一个使④取等的数组122019(,,,)a a a ，故使0f f =立的数组122019(,,,)a a a 有481968C 个．………………40分三、（本题满分50分）设m 为整数，2m ||³．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s (2)r s >³使得1r s a a a ==，则r s m ||-³．证明：不妨设12,a a 互素（否则，若12(,)1a a d =>，则1a d 与2ad互素，并且用123,,,a a a d d d代替123,,,a a a ，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知234(mod )a a a m || ººº．① 以下证明：对任意整数3n ³，有2212((3))(mod )n a a a n a m m º-+-．②………………10分事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有212(mod )k ma ma m -º，结合归纳假设知112122((3))k k k a a ma a a k a m ma +-=-º-+--2212((2))(mod )a a k a m º-+-，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ³均成立． ………………20分注意，当12a a =时，②对2n =也成立．设整数,(2)r s r s >³，满足1r s a a a ==．若12a a =，由②对2n ³均成立，可知2212212((3))((3))(mod )r s a a r a m a a a a s a m m -+-º=º-+-，即1212(3)(3)(mod )a r a a s a m ||+-º+-，即2()0(mod )r s a m ||-º．③若12a a ¹，则12r s a a a a ==¹，故3r s >³．此时由于②对3n ³均成立，故类似可知③仍成立． ………………30分我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为234,,,a a a 的公因子，而12,a a 互素，故p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得0(mod )r s m ||-º．又r s >，所以r s m ||-³．………………50分四、（本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．解：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”．先证明一个引理：设(,)G V E =是一个简单图，且G 是连通的，则G 含有||2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角（这里[]a 表示实数a 的整数部分）．引理的证明：对E 的元素个数E 归纳证明．当0,1,2,3E =时，结论显然成立．下面假设4E ≥，并且结论在E 较小时均成立．只需证明，在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角，在G 中删去,a b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含||2E -条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．考虑G 中的最长路12:k P v v v ，其中21,,,k v v v 是互不相同的顶点．因为G 连通，故3k ≥．情形1：1deg()2v ≥．由于P 是最长路，1v 的邻点均在2,,k v v 中，设1i v v E ∈，其中3i k ≤≤．则121{,}i v v v v 是一个角，在E 中删去这两条边．若1v 处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若1v 处仅有被删去的两条边，则1v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．情形2：1deg()1v =，2deg()2v =．则1223{,}v v v v 是一个角，在G 中删去这两条边后，12,v v 都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形3：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与4,,k v v 中某个点相邻．则1223{,}v v v v是一个角，在G 中删去这两条边后，1v 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形4：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与某个13{,,,}k u v v v ∈/ 相邻．由于P 是最长路，故u 的邻点均在2,,k v v 之中．因122{,}v v v u 是一个角，在G 中删去这两条边，则1v 是孤立点．若u 处仅有边2uv ，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他边i uv ，3i k ≤≤，则删去所述边后，除1v 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．引理获证． ………………20分回到原题，题中的V 和E 可看作一个图(,)G V E =．首先证明2795n ≥．设122019{,,,}V v v v = ．在1261,,,v v v 中，首先两两连边，再删去其中15条边（例如1311216,,,v v v v v v ），共连了26115C 1815-=条边，则这61个点构成的图是连通图．再将剩余的2019611958-=个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了181********+=条线段．由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边，因此至多有18159072⎡⎤⎢=⎥⎣⎦个两两无公共边的角．故满足要求的n 不小于2795． ………………30分另一方面，若2795E ≥，可任意删去若干条边，只考虑2795E =的情形．设G 有k 个连通分支，分别有1,,k m m 个点，及1,,k e e 条边．下面证明1,,k e e 中至多有979个奇数．反证法，假设1,,k e e 中有至少980个奇数，由于12795k e e ++= 是奇数，故1,,k e e 中至少有981个奇数，故981k ≥．不妨设12981,,,e e e 都是奇数，显然12981,,,2m m m ≥ ．令9812k m m m =++≥ ，则有2C 1980)(i m i e i ≥≤≤，2981C m k e e ≥++ ，故98022112795C C imk i i i m e ===≤+∑∑． ① 利用组合数的凸性，即对3x y ≥≥，有222211C C C C x y x y +-+≤+，可知当1980,,,m m m 由980个2以及一个59构成时，980221C C imm i =+∑取得最大值．于是 98022225921C C C 980C 26912795imm i =≤=<++∑，这与①矛盾．从而1,,k e e 中至多有979个奇数． ………………40分对每个连通分支应用引理，可知G 中含有N 个两两无公共边的角，其中1111979(2795979)908222kki i i i e N e ==⎛⎫⎡⎤=≥-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑．综上，所求最小的n 是2795． ………………50分2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 之和，则x 的值为．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是．答案：．解：不妨设(1,0)e ．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为．答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件．当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ．综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为．答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø．化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）．将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===．由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===，即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24y x =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=．当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î．当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å．当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=，这表明C不能大于3．综上，所求的C为3． …………………20分。

2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答

2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题(每小题8分，共64分)1.设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠，若222{log 6,log 10,log 15}B =，则集合A =________. 答案：22{1,log 3,log 5}提示：设222{log ,log ,log }A a b c =，其中0.a b c <<<则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===，从而22{1,log 3,log 5}A =。

2.函数的最小值为，最大值为，则________.答案：提示：设 ,则且，∴ .，令， . 令得，，， ∴ ，，∴.3. ________. 答案：提示：.4.已知向量，，满足，且，若为，的夹角，则 ________. 答案：提示：∵ ∴ ∴ ∵ ∴又∵ ∴ ∴.5.已知复数，，使得为纯虚数，，，则的最小值是________.1提示：设，则，由已知∴∴ ∴ ∴ 。

当12321,,(1)2z z i z i ===+时，最小值能取到。

6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案：提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球，且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为，所以正四面体的高, 得7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，对任意0x >有4()f x x >-，4(())3f f x x+=，则(8)f = . 答案：72提示：由题意存在00x >使0()3f x =。

又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数，这样的00x >是唯一的，再由004(())3f f x x +=得00044()3x f x x x=+=+解得04x =或01x =-（舍）。

2019年全国高中数学联赛A卷一试(含附加)参考答案与评分标准

为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为
．
答案： 498 ．
解：将 2, 0, 1, 9, 20, 19 的首位不为 0 的排列的全体记为 A ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 已知正实数 a 满足 aa = (9a)8a ，则 loga (3a) 的值为
．
答案： 9 ． 16
1
解：由条件知 9a = a8 ，故 3a =
9a ⋅a
=
9
a 16
，所以 loga (3a)
=
9 16
．
2. 若实数集合{1, 2, 3, x} 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素
所以 EPF
为直角，进而 SDPEF
=
1⋅ 2
PE
⋅
PF
=1．
5. 在1, 2, 3, , 10 中随机选出一个数 a ，在-1, - 2, -3, , -10 中随机选出一
个数 b ，则 a2 + b 被 3 整除的概率为
．
答案：
37 100
．
解：数组 (a, b) 共有102 =100 种等概率的选法．
台．不妨设正方体棱长为 1，则正方体体积为 1，结合条件知棱台 ABC - KFL 的
体积V = 1 ．
4
P
设
PF
=
h
，则
KF AB
=
FL BC
=
PF PB
=
h
h +1
．注意到
PB,
PF
E
H K
G L
分别是棱锥 P - ABC 与棱锥 P - KFL 的高，于是

2019年高中数学竞赛试题及答案及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．．是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答题卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？（3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间；（2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ；（2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程；（2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-．（1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由；（2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-；（3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分）解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分（3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ，解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ，故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分）解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分（2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分）解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分（2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分（3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分）解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分又11()(1f x x x ===3分显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分（3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。

专题12导数与极限第一辑2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题12导数与极限第一辑1．【2021年福建预赛】若关于x 的不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最小值为.【答案】3【解析】设f(x)=(x −2)e x , g(x)=ax +1.则f ′(x)=(x −1)e x ,x <1时,f ′(x)<0;x >1时,f ′(x)>0. 因此,f(x)在区间(−∞,1)上递减，在区间(1,+∞)上递增: 且x <2时，f(x)<0;x >2时,f(x)>0. 由此作出f(x)的草图如图所示.又g(x)的图像是过点(0,1)的直线，结合图像可知a >0.由于a >0时，f(0)=−2<g(0)=1;f(1)=−e <g(1)=a +1; f(2)=0<g(2)=2a +1,因此,0,1,2是不等式(x −2)e x <ax +1的三个整数解. 由于不等式(x −2)e x <ax +1有且仅有三个不同的整数解, 所以{f(−1)≥g(−1)f(3)≥g(3) ，即{−3e −1≥−a +1e 3≥3a +1,1+3e ≤a ≤e 3−13 .经检验，a=3符合要求，所以，符合条件的a 的最小值为3.2．【2019年贵州预赛】已知函数f(x)=(e x −e −x )⋅x 3,若m 满足f (log 2m )+f (log 0.5m )⩽2(e 2−1e).则实数m 的取值范围是 .【答案】[12,2]【解析】由f(x)=(e x −e −x )⋅x 3⇒f(−x)=f(x),且x ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数.又由f(log2m)+f(log0,5m)≤2(e2−1e)⇒f(log2m)≤f(1).所以|log2m|≤1⇒−1≤log2m≤1⇒12≤m≤2.即m的取值范围是[12,2].3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)−4>0，f(0)=−1，则不等式f(x)> e2x−2的解为___________.【答案】x>0【解析】构造函数g(x)=e−2x[f(x)+2]，则g(0)=1.由g′(x)=e−2x[f′(x)−2f(x)−4]>0可知g(x)在（−∞,+∞）内单调递增，从而有g(x)>1⇔x>0.故f(x)>e2x−2⇔x>0.4．【2018年甘肃预赛】已知函数f(x)=x3+sinx（x∈R），函数g(x)满足g(x)+g(2−x)=0（x∈R），若函数ℎ(x)=f(x−1)−g(x)恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】易知函数f(x)=x3+sinx为奇函数，从而f(x−1)的图象关于(1,0)点对称．函数g(x)+g(2−x)=0，可知g(x)的图象也关于(1,0)点对称．由此ℎ(x)的图象关于(1,0)点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于ℎ(1)=f(0)−g(1)=0⇒x=1是ℎ(x)的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于(1,0)点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．5．【2018年四川预赛】设直线y=kx+b与曲线y=x3−x有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=2，则k的值为______.【答案】1【解析】曲线关于点(0,0)对称，且|AB|=|BC|=2，所以直线y=kx+b必过原点，从而b=0.设A(x,y)，则{y=kx, y=x3−x,√x2+y2=2.由此得x=√k+1,y=k√k+1，代入得(k+1)+k2(k+1)=4,即(k−1)(k2+2k+3)=0,解得k=1.故答案为：16．【2017年广西预赛】设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R 有f (x )+f (−x )=x 2,在(0,+∞)上f ′(x )>x .若f (1+a )−f (1−a )≥2a ,则实数a 的范围是 .【答案】a ≥0【解析】提示:由题意得f ′(x )>x ,构造函数g (x )=f (x )−12x 2,则g ′(x )=f ′(x )−x >0.从而g (x )在(0,+∞)上单调递增. 由条件f (x )+f (−x )=x 2得g (x )+g (−x )=0,则g (x )是奇函数.因为g (x )在R 上单调递增,由f (1+a )−f (1−a )≥2a 知g (1+a )−g (1−a )≥0,g (1+a )≥g (1−a )，所以1+a ≥1−a 解得a ≥0.7．【2017年湖南预赛】设函数f (x )是定义在(−∞,0)上的可导函数,其导函数为f ′(x ),且有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0的解集为 .【答案】(−∞,−2018)【解析】提示:将不等式(x +2017)2f (x +2017)−f (−1)>0 化为(x +2017)2f (x +2017)>(−1)2f (−1)，①构造F (x )=x 2f (x ),使得①式化为F (x +2017)>F (−1)，② 因为F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x ),由已知条件2f (x )+xf ′(x )>x 2，两边同乘以x ,可得F ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )<x 3<0(因x ∈(−∞,0)). 所以,F (x )在(−∞,0)上是减函数,不等式②化为x +2017<−1,即x <−2018，所以,不等式的解集为(−∞,−2018).8．【2016年福建预赛】函数f (x ) =x 2lnx +x 2-2零点的个数为________. 【答案】1 【解析】由条件知f ′(x)=2x ln x +x +2x =x(2lnx +3). 当0<x <e −32时，f ′(x)<0；当x >e −32时，f ′(x)>0.于是，f (x )在区间(0，−32)上为减函数，在区间(−32，+∞)上为增函数.又0<x <e −32时，lnx +1<−32+1=−12<0f (x )=x 2(lnx +1)-2<0，注意到，f(e −32)=e −3(−32+1)−2<0，f(e)=2e 2−2>0 故函数f (x )零点的个数为1.9．【2015年山东预赛】设a >1.若关于x 的方程a x =x 无实根,则实数a 的取值范围是______. 【答案】a >e 1e【解析】由函数y =a x 与y =x 的图像,知若a >1,且a x =x 无实根,则a x >x 恒成立，设f (x )=a x −x .则：f′(x )=a x (lna )−1>0⇒x >−log a (lna ).故f (x )=a x −x 在区间(−∞,−log a (lna ))上递减,在区间(−log a (lna ),+∞)上递增. 从而, f (x )在x =−log a (lna )时取得最小值,即：f (x )min =f(−log a (lna ))=a −log a (ln a )−(−log a (lna ))>0， ⇒1lna −(−log a (lna ))>0.又1lna =log a e,−log a (lna )=log a 1lna ， ⇒log a e >log a1lna⇒lna >1e⇒a >e 1e .10．【2015年福建预赛】函数f (x )=e x (x −ae x )恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，则a 的取值范围是__________．【答案】(0,12) 【解析】∵函数f (x )=e x (x −ae x )，∴f′(x )=(x +1−2a ⋅e x )e x ，由于函数f (x )两个极值点为x 1,x 2，即x 1,x 2是方程f′(x )=0的两个不等实数根，即方程x +1−2ae x =0，且a ≠0，∴x+12a=e x ；设y 1=x+12a(a ≠0),y 2=e x ，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示,要使这两个函数有2个不同的交点，应满足{12a >01 2a >1，解得0<a<12，所以a的取值范围为(0,12)，故选A.【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解11．【2018年湖南预赛】函数f(x)=ln(x2+1)的图像大致是（）【答案】A【解析】由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.12．【2018年湖南预赛】设函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x−3，则f(x)的零点个数是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f （x ）有一个零点，又根据对称性知，当x ＜0时函数f （x ）也有一个零点．综上所述，f （x ）的零点个数为3个，故选：C ．13．【2017年四川预赛】已知函数f (x )=a ln x +x 2在x =1处有极值,则实数a 的值是()(A)−2(B)−1(C)1(D)2【答案】A【解析】提示：因为f ′(x )=ax+2x =a+2x 2x由条件知f ′(1)=0,解得a =−2.14．【2016年陕西预赛】设函数f (x )=x 3+ax 2+6x +c (a 、b 、c 均为非零整数).若f (a )=a 3，f (b )=b 3，则c 的值为（）. A ．-16 B ．-4 C ．4 D ．16 【答案】D 【解析】设g (x )=f (x )-x 3=ax 2+bx +c . 由f (a )=a 3，f (b )=b 3⇒g (a )=g (b )=0.则a 、b 为方程g (x )=0的两个根⇒a +b =−ba，ab =ca⇒c =−a 4a+1=−(a 2+1)(a −1)−1a+1.因为c 为整数，所以，a +1=±1⇒a =0(舍去)或-2. 故c =16. 选D.15．【2015年黑龙江预赛】设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)kx a a x a x a x -=++++，则128a a a +++=（）A.-1B.0C.1D.256 【答案】B 【解析】试题分析：000(sin cos )sin cos cos sin 2k x x dx xdx xdx x x πππππ=-=-=--=⎰⎰⎰,所以88280128(1)(12)kx x a a x a x a x -=-=++++，令1x =得80128(12)1a a a a ++++=-=，,令0x =得01a =，所以12801280()110a a a a a a a a +++=++++-=-=，故选B.考点：1.积分运算；2.二项式定理.16．【2015年黑龙江预赛】设函数f (x )=sin 5x +1.则∫f (x )π2−π2dx 值为（）。

2019年全国高中数学联合竞赛A卷试题(含答案)

一、填空题：本大题共 8小題，每小题8分，满分64分。

1•已知正实数a满足a a=（9a）8a,则log a（3a）的值为__________2•若实数集合｛1，2,3,x｝的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则X的值为一、（本题满分40分）如图，在锐角厶 ABC中，M是BC边的中点。

点 P在厶ABC内，使得AP 平分∠ BAC直线MP与厶ABR A ACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E证明：若DE=MP贝U BC=2BP—、（本题满分40分）设整数aι,a2…,a20i9,满足 1= aι ≤ a2≤ …≤ a20i9=99 记 f=（a^+a^+ …+a20192）-（a1a3+a2a4+a3a5+…+a2017a2019）.求f的最小值f0∙并确定使f=f0成立的数组佝,a2,∙∙∙ ,a2019）的个数三、（本題满分50分）设m为整数，≥2.整数数列a1,a2,…满足：a1,a2不全为零，且对任意正整数n,均有a n+2=a∏+1-ma∏.证明：若存在整效r,s（r>s≥ 2）使得a r=a s,=a1,则r-s≥.四、（本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面。

某些点之间连有线段，记 E为这些线段构成的集合。

试求最小的正整数n,满足条件：若 E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷》参考答案及评分标准1.评阅试雜时.请依据本评分标准•填空屋只设*分和O分两档，其他各般的评闽.请严格按照本即分标准的评分档次給分P不得堆加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步•正甌在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分.解答题中第9小AU分为一个档次■第Kh H小题$分为一个档次，不得増加其他中间档次.一、填空题；本大题共8小込每小题8分.满分64分.I.己知正实数“满足= __________ 则IOM3①的們为・W： Ih 条件l3S59^ —.故5α = >fi)a ∙ a = a tfl•所W IogJ 3d)=—・2.___________________ 若实数集合}I.2J.Λ∣的处大兀索勺用小元索Z密⅛于该集合的所付元盘之和，则T的值为___ ・解：1K⅛χ>0.则凰大•凰小元衣Z羌不超过max{3∕∙而所有元董之和大:Inax{3,x∣.不符合条件.故*V0■即N为最小元索.3-x=6÷x.解3.____________________________________ 平而"J坐折系4 ；足唯位向氐向越満足二；=2・叫可≤平皿对任童实血成立.则Pl的取值范用足 -答案：∣√5.2√5∣.M：不妨JQe = (U))-由Fa e= 2.耐设Cf=(2.$) •姻对任意实数f∙仃这笞价T4+?<5|J|.解得μ∣∈[U4]> 即√∈[U6].于是Pl = √4+7 ∈ [√5.2金]•4.R为椭関I、的长轴顶点，F,F为】5勺两个焦点.I^I = 4. ∣.4Γ∣ = 2÷√3, P为1•上■点•满处∣PE∣∙∣M∣ = 2・则△/"：/的曲枳为___________________ .答案，I.解：不妨设平面I•询坐标系屮「的标准方程为4+4=∣(Λ>A>0).(T Λ*根据条件ft∣2fl =∣.IΛ∣≡i 4. a±Ja z—Λ2⅛ ∣JΛ∣ = 2÷>A. ∏IS∣Λ = 2.ft = I ,H. ∣f∕∣=2√α∙-A2=2j3.由椭阴定义知IM|十IMl =加=4 •结仟|P£|・∖PF∖ "紂|?£f 十IPFI l= (∣∕1f∣+∣PFO i-2∣ff∣∙∣PΓ∣ = l2 = ∣^ .所以厶EPF为Il«1.进而E Vt F = 1∙∣∕^∣∙∣PΛ∙∣= I.5.的.2.3.…』)中碗机选岀一个数S崔-L-2-3∙∙∙∙.-10中勃机选岀一个豺∙Uh "心；整除的槪率为_________________ ・**∙ Ioo eM：数组(""JHilO j = IOO忡導悅帑的选法・考虑真中便a2÷∕>½ 3廉除的迭法数N•若“帔3協除.则b也被3整除・此时“上各冇3种选法•这祥的(Gb)冇护=9组.若口平被 3 醱除∙K∙∣√≡l(m□d3).从iΛjft≡ Km(Xl3).此时αU 7 选法./>有4种选法•这样(Kj(tf,Λ)^7x4≡28fa.37因此* = 9十28=≡37∙ F是所求概率为二.1006.对任盘闭(XfIiH・fl] M l /<示函数」∙ = Mir在/上的Q大(t'[.若IE数α满足Λ∕lυ βl= 2Λ∕lιf jβl・则“ W l fft 为__ .VJkt 或F jr•6 12M：假如OVd∙≤专・则曲Il:效園数图像性质得OVMlM = SinmSMχa∣∙与条件不符.因此«>y・此时MMd=丨，故M b.纽=!，F是存在菲负烙数R・使紂2Λπ÷-s<α<2(∕ <2AΛ⅛-π•①6 6且①中两处"≤ w至少有一处取到零号.”*=0时•得“=丄J T或加=匕注・经检脸・a=^π.-π均満足糸件・6 6 6 12-1U >1 时.fllT∙2A∙7Γ-t-^r<2∣2jt7r + ~r∣ ・故不存在満足①的“.综上.“的值为丄兀或匕帀・6 127.如图.正方体ABC D-EFCH一个截而纾过顶点A9C及投EF上一点K∙ O IE方体分成体枳比为3:1的两都分，则黑的值为_________________________ ・Ar答第√3.脈记料为蔽面所6：Tm.延—不交•「点尸•则P在α上•故直线CPα与他BMF的交练设CP与甩?交于点J割四边形AKLC为裁面•因平而.4 眈平IT TT而K"∙ H AK9 Bl∖ CL点尸∙^ABC-KI-L 7^0.不舫设正方体梭长为l ∙则正方体休枳为l ∙讎合条件^^ABC-KFLtfJ 休积y=}∙4 r紗—烷=鈴唱=倉臓到Ps分别足棱钳Γ - IfiC 1I 稜推P-KFL 的高•『址化简得3∕, = l ∙故Λ=ψ•从而^Γ=⅛ = 7=√3.√3 A? PK hR 将6个救2.0J9,20,19按任磁次序排成行■拼成个8位效睛位不为0人则产生的不同的8位数的个数为 ______________________________________ •答案：498.解：将2,0∙ L9. 20, 19¾ιv f G （4＜为（）的捋列的全体记为儿 ⅛＞liM≡5x5∙=6CO 〈这里及以下.M 表示有限集X β⅛元索个数〉・V2的肓一项是0∙ HJ 的后一项建9的排列的全体记为5： A 屮2的后一顼是0∙但I 的后一项不是9的It 列的全体记为r ： A 中I 的后一项是9∙但2 的后一项不是0的排列的全体记为D •⅛to∣β∣ = 4?. ∣β∣÷（c∣=5!. ∣Λ∣+∣D∣ =4×4!＞ β∏∣B∣= 24, ∣C∣ = 96t ∣D∣= 72 ・由P 中排列产生的毎个8{⅛βl,恰对应〃中的2x2=4个禅列（这样的排列中.20可与-IO M 互换.!9可I J M L9 H 互换）•类似地.由「或D 中推列产生的每个8位数•恰对应（7或。

专题06基本初等函数二(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题06基本初等函数第二缉1．【2019年重庆预赛】函数f (x )=(√1+x +√1−x −3)(√1−x 2+1)的最小值为m ，最大值为M ，则M m=________.【答案】3−√22【解析】设t =√1+x +√1−x ,则t ≥0且t 2=2+2√1−x 2，∴t ∈[√2,2]. f (x )=(t −3)·t 22，令g (t )=12t 2(t −3)，t ∈[√2,2].令g ′(t )=0得t =2，g(√2)=√2−3，g (2)=−2， ∴M =g (t )max =√2−3，m =g (t )min =−2，∴Mm =3−√22.2．【2019年重庆预赛】设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，对任意x >0有f(x)>−4x ，f(f(x)+4x )=3，则f(8)=. 【答案】72【解析】由题意存在x 0>0使f(x 0)=3。

又因f(x)是(0,+∞)上的单调函数，这样的x 0>0是唯一的，再由f(f(x 0)+4x 0)=3得x 0=f(x 0)+4x 0=3+4x 0解得x 0=4或x 0=−1（舍）。

所以f(x)=4−4x，f(8)=4−48=72。

3．【2019年北京预赛】函数f (x )满足f (1)=1,且f (n )=f (n −1)+1n (n−1),其中n ≥2,n ∈N +,那么f (2019)=. 【答案】40372019.【解析】因为f(n)−f(n −1)=1n(n−1)=1n−1−1n ,所以 f(2)−f(1)=1−12, f(3)−f(2)=12−13,f(4)−f(3)=13−14,⋯⋯f(2018)−f(2017)=12017−12018,f(2019)−f(2018)=12018−12019,将以上各式等号两边分别相加得f(2019)−f(1)=1−12019,进而有 f(2019)=2−12019=120182019.4．【2019年福建预赛】函数f(x)=√2x −x 2+x 的值域为 .【答案】[0,√2+1]【解析】解法一:f(x)=√1−(x −1)2+x .设x −1=sinα (−π2≤α≤π2)，则f(x)=cosα+(1+sinα)=√2sin (α+π4)+1.由−π2≤α≤π2，得−π4≤α+π4≤3π4, −√22≤sin (α+π4)≤1.∴f (x )值域为[0,√2+1]. 解法二:f ′(x)=√2+1=√21 (0<x <2).∵ 0<x <1+√22时，f ′(x)>0;1+√22<x <2时，f ′(x)<0.∴f (x )在区间[0,1+√22]上为增函数，在区间[1+√22,2]上为减函数. ∴f (x )值域为[0,√2+1].5．【2019年福建预赛】已知f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(2，0)对称，则f (1)=.【答案】4【解析】解法一:由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知：f(x +2)=(x +2)3+a(x +2)2+b(x +2)+2=x 3+(a +6)x 2+(b +4a +12)x +4a +2b +10为奇函数.∴{a +6=04a +2b +10=0,{a =−6b =7∴ f(1)=1+a +b +2=1−6+7+2=4. 解法二:由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知对任意x ∈R ，f (2+x )+f (2-x )=0于是，对任意x ∈R ，(2+x)3+a(2+x)2+b(2+x)+2+(2−x)3+a(2−x)2+b(2−x)+2=0. 即(2a +12)x 2+(8a +2b +20)=0恒成立. ∴{2a +12=08a +4b +20=0,{a =−6b =7.∴ f(1)=1+a +b +2=1−6+7+2=4.解法三:依题意，有f (x )=(x -2)3+m (x -2). 利用f (0)=-8-2m =2，得m =-5.于是，f (x )=(x -2)3-5(x -2)，f (1)=-1-(-5)=4.6．【2019年福建预赛】已知f(x)=x 5−10x 3+ax 2+bx +c ，若方程f (x )=0的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为 .【答案】4【解析】设f (x )=0的5个实根为x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤m ，则由韦达定理，得m +x 1+x 2+x 3+x 4=0. m (x 1+x 2+x 3+x 4)+(x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4)=−10. 于是，x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4=−10+m 2.∴ x 12+x 22+x 32+x 42=(x 1+x 2+x 3+x 4)2−2(x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4)=m 2−2(−10+m 2)=20−m 2.另一方面，由柯西不等式，知(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4(x 12+x 22+x 32+x 42)于是，m 2≤4(20−m 2),m 2≤16,m ≤4.又对f(x)=(x −4)(x +1)4=x 5−10x 3−20x 2−15x −4，方程f (x )=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m =4. ∴m 的最大值为4.7．【2019年广西预赛】已知xyz +y +z =12,则log 4x +log 2y +log 2z 的最大值为 .【答案】3【解析】log 4x +log 2y +log 2z =log 2x 2+log 2y +log 2z =log 2(xyz⋅y⋅z)2⩽log 2(xyz+y+z 3)32=3.当xyz=y=z=4取到等号.8．【2019年贵州预赛】已知方程x 5−x 2+5=0的五个根分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,f(x)=x 2+1.则∏s i=1f (x i )=.【答案】37【解析】设g(x)=x 5−x 2+5,则g(x)=∏(x −x k )5k=1,又f(x)=x 2+1=(x-i)(x+i),所以∏5i=1f (x k )=∏(x k −i )5i=1⋅∏(x k +i )5i=1=g(i)⋅g(−i)=(i 5−i 2+5)⋅[(−i)5−(−i)2+5]=(6+i)(6−i)=37.9．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=-x 2+x+m+2,若关于x 的不等式f(x)≥|x|的解集中有且仅有1个整数,则实数m 的取值范围为.【答案】[-2,-1)【解析】f(x)≥|x|⇔2−|x|≥x 2−x −m . 令g(x)=2−|x|,h(x)=x 2−x −m . 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象, 由图象可知,整数解为x=0,故{f(0)≥0−0−m f(1)<1−1−m.解得−2≤m <−1.10．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=a +x −b x 的零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z),其中常数a 、b 满足条件2019a =2020, 2020b =2019,则n 的值为 .【答案】-1【解析】因为2019°=2020,2020b =2019,所以1<a<2,0<b<1,故函数f(x)在R 上为増函数,又f(0)=a −1>0, f(−1)=a −1−1b <a −1−1<0,故由零点定理可知,函数f(x)在区间(1,0)有唯ー的零点,则n 的值是-1. 11．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】已知正实数a 满足a a =(9a)8a ，则log a (3a)的值为.【答案】916【解析】由条件知9a =a 18，故3a =√9a ⋅a =a 916，所以log a (3a)=916.12．【2018年山西预赛】函数y =√1−x 22+x的值域为________.【答案】[0,√33] 【解析】由条件知x ∈[−1,1]. 令x =cosα(α∈[0,π]).则 y =sinα2+cosα(y ≥0)，⇒2y =sinα−ycosα=√1+y 2sin (α+θ)≤√1+y 2， ⇒1+y 2≥4y 2⇒y 2≤13，因为y ≥0，所以，y ∈[0,√33]. 13．【2018年福建预赛】函数f(x)=[log 3(13√x)]⋅[log √3(3x 2)]的最小值为________. 【答案】−258【解析】设log 3x =t ，则log 3(13√x)=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log √3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.14．【2018年福建预赛】若函数f (x )=x 2－2ax +a 2－4在区间[a －2，a 2](a >0)上的值域为[－4，0]，则实数a 的取值范围为________. 【答案】[1，2] 【解析】∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22 ，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2].15．【2018年江苏预赛】设g(n)=∑(k,n)nk=1，期中n ∈N *，(k,n)表示k 与n 的最大公约数，则g(100)的值为________. 【答案】520 【解析】如果(m,n)=1，则g(mn)=g(m)g(n)，所以g(100)=g(4)g(25). 又g(4)=1+2+1+4=8.g(25)=5×4+25+(25−5)=65，所以g(100)=8×65=520. 故答案为：52016．【2018年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．【答案】牛得亨先生的女儿【解析】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．故答案为：牛得亨先生的女儿17．【2018年贵州预赛】函数z =√2x 2−2x +1+√2x 2−10x +13的最小值是______．【答案】√10 【解析】因为z =√2x 2−2x +1+√2x 2−10x +13=√(x −0)2+(x −1)2+√(x −2)2+(x −3)2此即为直线y =x 上的点（x ，y ）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z 的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离√10．故答案为：√1018．【2018年贵州预赛】若方程a x >x （a >0，a ≠1）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_______．【答案】1<a <e 1e 【解析】由a x >x 知x >0，故x ⋅lna −lnx =0⇒lna =lnx x，令f(x)=lnx x（x >0），则f ′(x)=1−lnx x 2．当x ∈(0，e)时，f ′(x)>0；当x ∈(e ，+∞)时，f ′(x)<0．所以f(x)在(0，e )上递增，在(e ，+∞)上递减．故0<lna <f(e)=1e，即1<a <e 1e ．故答案为：1<a <e 1e19．【2018年浙江预赛】已知a 为正实数，且f(x)=1a −1a x +1是奇函数，则f(x)的值域为________.【答案】(−12，12) 【解析】由f(x)为奇函数可知1a −1a x +1=−1a +1a −x +1，解得a = 2，即f(x)=12−12x +1，由此得f(x)的值域为(−12，12).20．【2018年北京预赛】已知实数a,b,c,d 满足5a =4,4b =3,3c =2,2d =5，则(abcd )2018=________. 【答案】1 【解析】化5a =4,4b =3,3c =2,2d =5为对数，有a =log 54=ln4ln5,b =ln3ln4,c =ln2ln3,d =ln5ln2，所以(abcd )2018=(ln4ln5×ln3ln4×ln2ln3×ln5ln2)2018=12018=1.21．【2018年北京预赛】已知函数f (x )满足f (x +1x )=x 2+1x 2，那么f (x )的值域为_______.【答案】[2,+∞) 【解析】设函数y =f (x )满足f (t +1t )=t 2+1t 2，{x =t +1t (|x |≥2)y =t 2+1t 2(y ≥2)，y =t 2+1t 2=(t +1t)2−2=x 2−2.所以所求函数是f (x )=x 2−2(|x |≥2)，其图像如图，易知f (x )=x 2−2(|x |≥2)的值域是[2,+∞).22．【2018年湖南预赛】函数f(x)=√4−x 2+ln(2x −1)的定义城为_________. 【答案】[−2,12)【解析】由{4−x 2≥02x −1>0得-2≤x <12，所以函数f(x)=√4−x 2+ln(2x −1)的定义城为[−2,12). 故答案为[−2,12)23．【2018年湖南预赛】已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x +6)=f(x)，且当−3≤x <−1时，f(x)=−(x +2)2，当−1≤x <3时，f(x)=x ，则y =f(x)象与y =lg |1x |的图象的交点个数为___________。

2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案

≤
1 3
，
|��′′|
=
2√1
−
��2 ，��△��′′′
≤
√1 − ��2 · (1 + ��)，易知当
��
=1
3
8√2 时，��△��′′′有最大值为 9 ，∴��△��的最大值为
答案： 1
提示：tan 15o
+
2√2 sin
15o
=
sin 15o cos 15o
+
2√2 sin 15o
=
sin 15o+√2 sin 30o cos 15o
=
sin 15o+√2 sin(45o−15o) cos 15o
=
sin 15o+√2(sin 45o cos 15o−cos 45o cos 15o
∴��
=
��(��)max
=
√2 −
3，��
=
��(��)min
=
�� −2，∴��
=
3−√2.
2
3.tan 15o + 2√2 sin 15o =________.
∴��⃗��2
=
1 9
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专题01集合第一缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题01集合第一缉1．【2021年江西预赛】集合M 是集合A={1，2，…，100}的子集，且M 中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M 的个数是.【答案】288(212‒1).【解析】集合中的平方或者立方数构成集合 ,100},A ={1,2,⋯,100}B ={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81其中有12个元素,从中挖去集合后剩下的元索构成集合 ,则中有88个元索,A B C C 由于的子集有个, 的非空子集有个,C 288B 212‒1集可表示为形式,其中是的任一非空子集, 是的任一子集,因此的个数为M M =B 0∪C 0B 0B C 0C M 288(212‒1).2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算 .设A ⊗B ={x∣x =ab +a +b,a ∈A,b ∈B} ,则中的所有元素之和为.A ={0,2,4,⋯,18},B ={98,99,100}A ⊗B 【答案】29970【解析】由 ,x =(a +1)(b +1)‒1则可知所有元素之和为 .(1+3+⋯+19)×300‒3×10=299703．【2021年广西预赛】集合的所有子集的元素的和等于 .M ={1,2,3,4,5,6}【答案】672【解析】所有子集的元素的和为 .25(1+2+3+4+5+6)=6724．【2021年新疆预赛】若实数集合的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则{3,6,9,x}x 的值为 .【答案】94【解析】若是最大元素，则 ,解得 ,不合题意；x 3x =18+x x =9若是最小元素，则 ,解得；x 9x =18+x x =94若既不是最大元素也不是最小元素，则 ,解得 ,不合题意；x 27=18+x x =9所以 .x =945．【2021年全国高中数学联赛A 卷一试】设集合,其中为实数.令.若的A ={1,2,m }mB ={a 2∣a ∈A },C =A ∪B C 所有元素之和为6,则的所有元素之积为 .C【答案】‒8【解析】由条件知(允许有重复）为的全部元素.1,2,4,m ,m 2C 注意到,当为实数时,,故只可能是,且m 1+2+4+m +m 2>6,1+2+4+m 2>6C ={1,2,4,m }1+2+4+m =6.于是(经检验符合题意),此时的所有元素之积为.m =‒1C 1×2×4×(‒1)=‒86．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】设集合,A 是X 的子集,A 的元素个数至少是2,且A X ={1,2,⋯,20}的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A 的个数为 .【答案】190【解析】每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定,其中a ,b ∈X ,a <b ,这样的的(a,b)取法共有种,所以这样的集合A 的个数为190.C 220=1907．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数的最大整数,集合,x A ={x∣x 2‒x ‒6<0}B =则.{x∣2x 2‒3[x]‒5=0}.A ∩B =【答案】{‒1,222}【解析】易知, .若 ,则A =(‒2,3)x ∈A [x]=‒2,‒1,0,1,2.当时,若 ,则 ,[x]=‒2x ∈B 2x 2+6‒5=0 不存在.x 当时,若 ,则[x]=‒1x ∈B 2x 2+3‒5=0⇒x =±1.经检验, 不符合要求, 符合要求.x =1x =‒1当时,若 ,则，[x]=0x ∈B 2x 2‒0‒5=0⇒x =±102均不符合要求.当时,若 ,则 ,[x]=1x ∈B 2x 2‒3‒5=0⇒x =±2均不符合要求.当时,若 ,则 .[x]=2x ∈B 2x 2‒6‒5=0⇒x =±222经检验, 符合要求, 不符合要求.故 .x =222x =‒222A ∩B ={‒1,222}8．【2020年甘肃预赛】设集合: , 若 ,则的取值范A ={(x,y)∣log a x +log a y >0}B =|(x,y)|x +y <a}.A ∩B =∅a 围是.【答案】(1,2]【解析】若 ,则 a >1A ={(x,y)∣xy >1}.而当与相切时，x +y =a xy =1.x +1x =a⇒x 2‒ax +1=0⇒a =2于是,当时, .若 ,则 ,此时， .a ∈(1,2]A ∩B =∅a <1A ={(x,y)∣xy <1}A ∩B ≠∅综上, .a ∈(1,2]9．【2020年广西预赛】已知集合 ,对的任意非空子集为集合中最大数与最小数的M ={1,2,⋯,2020}M A,λA A 和.则所有这样的的算术平均数为 .λA 【答案】2021【解析】考虑的子集若 ,则若 ,设中最大数为 ,最小M A '={2021‒x∣x ∈A}.A '=A λA'=λA =2021.A '≠A A a 数为 ,则 '中最大数为 ,最小数为2021- ，此时,b A 2021‒b a λA'+λA2=2021.故所求算术平均数为2021.10．【2020年广西预赛】设集合 ,且对集合中的任意元素则集合的元索M ={1,2,⋯,2020},A ⊆M A x,4x ∉A.A 个数的最大值为 .【答案】1616【解析】首先,构造404个集合 ,其中，{k,4k}k =1;8,9,⋯,31;127,128,⋯,505.其次,集合中的数除前述已提到的808个外,剩下的每个数单独构成一个集合 ,有1212个.M x {x}共个集合.404+1212=1616据抽臣原理,知若集合中有多于1616个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在 ,矛盾.A x,4x ∈A 故集合中至多有1616个数,满足条件的一个集合是A .A ={2,3,⋯,7,32;33,⋯,126,506,507,⋯,2020}11．【2020年吉林预赛】已知集合若 ,则的取值范围是 .A ={x∣log a (ax ‒1)>1}.2∈A a 【答案】(12,1)∪(1,+∞).【解析】由题意,得log 则或a (2a ‒1)>1.{0<a <1,0<2a ‒1<a {a >1,2a ‒1>a.解得或12<a <1a >1.12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成形式,就称其为“好数".则集合20a +8b +27c (a ,b ,c ∈N) 中好数的个数为.{1,2,⋯,200}【答案】153【解析】先考虑 20a +8b =4(5a +2b). 可取5a +2b 2,4,5,6,⋯,50.则可取 .20a +8b 8,16,20,24,⋯,200故当时共有48个非零好数型）；c =0(4k 时共有42个好数型),此时好数为 ;c =1(4k +327,35,43,47,⋯,199 时共有35个好数型),此时好数为 c =2(4k +254,62,70,74,⋯,198; 时共有28个好数型),此时好数为c =3(4k +181,89,97,101,⋯,197.综上,共有个好数.48+42+35+28=15313．【2020年新疆预赛】已知集合 ,对于集合的每一个非空子集的所有元素，计算它们A ={1,2,3,⋯,2020}A 乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合的个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1A 22020‒1 ,它们的倒数和为×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020 1+12+…+12020+11×2+11×3+…+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020 .=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)‒1=2×32×⋯×20212020‒1=202014．【2019年全国】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值{1,2,3,x }为.【答案】‒32【解析】由题意知，x 为负值，.∴3‒x =1+2+3+x⇒x =‒3215．【2019年江苏预赛】已知集合，，且，则实数A ={x|x 2‒3x +2≥0}B ={x|x ‒a ≥1}A ∩B ={x|x ≥3}a 的值是 .【答案】2【解析】，.又，故，解得.A ={x|x ≥2或x ≤1}B ={x|x ≥a +1}A ∩B ={x|x ≥3}a +1=3a =216．【2019年江西预赛】将集合中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为 .{1,2,⋯,19}【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2‒(12+22+⋯+192)]=12[36100‒2470]=1681517．【2019年新疆预赛】已知集合，，，则是集合的子集但U ={1,2,3,4,5,6,7,8}A ={1,2,3,4,5}B ={4,5,6,7,8}U 不是集合的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为 .A B 【答案】196【解析】解法一:因为，且，所以满足题意的集合所含的元素至少在中取一个A ∪B =U A ∩B ={4,5}{1,2,3}且至少在中取一个，集合中的元素可取或不取，于是满足题意的集合共有{6,7,8}{4,5}(23‒1)(23‒1)×22个.=196解法二:集合的子集个数为，其中是集合或集合的子集个数为.所以满足条件的集合个数为U 28A B 25+25‒22个.28‒(25+25‒22)=19618．【2019年浙江预赛】已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为，A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n A 2019则当取最大值时，集合A =.n 【答案】A ={334,335,336,337,338,339}【解析】由已知.2k +n +12⋅n =3×673当时，得到;n =2m (2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333当时，得到.n =2m +1(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3所以的最大值为，此时集合.n 6A ={334,335,336,337,338,339}19．【2019年重庆预赛】设为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合，若A B ={x +y|x,y ∈A, x ≠y}，则集合________.B ={log 26, log 210, log 215}A =【答案】{1, log 23, log 25}【解析】设，其中A ={log 2a, log 2b, log 2c}0<a <b <c.则解得，从而。

2019年全国高中数学联合竞赛试题及解析(AB合版)

2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是．答案：．解：不妨设(1,0)e =．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为．答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5.在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p>，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有一处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件．当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ．综上，a 的值为56p 或1312p ．7.如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为．答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø．化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）．将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===．由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===，即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24yx =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故 222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=．当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n nz z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î．当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å． …………………10分当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å．当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=，这表明C不能大于3．综上，所求的C为3． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC D 中，M 是BC 边的中点．点P 在ABC D 内，使得AP 平分BAC ．直线MP 与,ABP ACP D D 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E ．证明：若DE MP =，则2BC BP =．证明：延长PM 到点F ，使得MF ME =．连接,,BF BD CE ．由条件可知BDP BAP CAP CEP CEM = = = = ． ………………10分因为BM CM =且EM FM =，所以BF CE =且//BF CE ．于是F CEM BDP = = ，进而BD BF =． ………………20分又DE MP =，故DP EM FM ==．于是在等腰BDF D 中，由对称性得BP BM =．从而22BC BM BP ==． ………………40分二、（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =£££=．记22212201913243520172019()()f a a a a a a a a a a a =+++-++++．求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 的个数．解：由条件知2017222221220182019212()i i i f a a aaa a +==++++-å．①由于12,a a 及2(1,2,,2016)i i a a i +-=均为非负整数，故有221122,a a a a ³³，且222()(1,2,,2016)i i i i a a a a i ++-³-=．于是201620162221221222017201811()()i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-³++-=+åå．②………………10分由①、②得2222017201820192017201820192()f a a a a a a ³++-++，结合201999a =及201820170a a ³>，可知()22220172017201712(99)992f a a a ³+-++22017(49)74007400a =-+³．③………………20分另一方面，令1219201920211920220191,(1,2,,49),99k k a a a a a k k a +-+========，此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30分以下考虑③的取等条件．此时2017201849a a ==，且②中的不等式均取等，即121a a ==，2{0,1}(1,2,,2016)i i a a i +-Î=．因此122018149a a a =£££=，且对每个(149)k k ££，122018,,,a a a 中至少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件．对每个(149)k k ££，设122018,,,a a a 中等于k 的项数为1k n +，则k n 为正整数，且1249(1)(1)(1)2018n n n ++++++=，即12491969n n n +++=．该方程的正整数解1249(,,,)n n n 的组数为481968C ，且每组解唯一对应一个使④取等的数组122019(,,,)a a a ，故使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 有481968C 个．………………40分三、（本题满分50分）设m 为整数，2m ||³．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s (2)r s >³使得1r s a a a ==，则r s m ||-³．证明：不妨设12,a a 互素（否则，若12(,)1a a d =>，则1a d 与2ad互素，并且用123,,,a a a d d d代替123,,,a a a ，条件与结论均不改变）．由数列递推关系知234(mod )a a a m || ººº．① 以下证明：对任意整数3n ³，有2212((3))(mod )n a a a n a m m º-+-．②………………10分事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有212(mod )k ma ma m -º，结合归纳假设知112122((3))k k k a a ma a a k a m ma +-=-º-+--2212((2))(mod )a a k a m º-+-，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ³均成立． ………………20分注意，当12a a =时，②对2n =也成立．设整数,(2)r s r s >³，满足1r s a a a ==．若12a a =，由②对2n ³均成立，可知2212212((3))((3))(mod )r s a a r a m a a a a s a m m -+-º=º-+-，即1212(3)(3)(mod )a r a a s a m ||+-º+-，即2()0(mod )r s a m ||-º．③若12a a ¹，则12r s a a a a ==¹，故3r s >³．此时由于②对3n ³均成立，故类似可知③仍成立． ………………30分我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为234,,,a a a 的公因子，而12,a a 互素，故p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得0(mod )r s m ||-º．又r s >，所以r s m ||-³．………………50分四、（本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．解：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”．先证明一个引理：设(,)G V E =是一个简单图，且G 是连通的，则G 含有||2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角（这里[]a 表示实数a 的整数部分）．引理的证明：对E 的元素个数E 归纳证明．当0,1,2,3E =时，结论显然成立．下面假设4E ≥，并且结论在E 较小时均成立．只需证明，在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角，在G 中删去,a b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含||2E -条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．考虑G 中的最长路12:k P v v v ，其中21,,,k v v v 是互不相同的顶点．因为G 连通，故3k ≥．情形1：1deg()2v ≥．由于P 是最长路，1v 的邻点均在2,,k v v 中，设1i v v E ∈，其中3i k ≤≤．则121{,}i v v v v 是一个角，在E 中删去这两条边．若1v 处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若1v 处仅有被删去的两条边，则1v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．情形2：1deg()1v =，2deg()2v =．则1223{,}v v v v 是一个角，在G 中删去这两条边后，12,v v 都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形3：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与4,,k v v 中某个点相邻．则1223{,}v v v v是一个角，在G 中删去这两条边后，1v 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形4：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与某个13{,,,}k u v v v ∈/ 相邻．由于P 是最长路，故u 的邻点均在2,,k v v 之中．因122{,}v v v u 是一个角，在G 中删去这两条边，则1v 是孤立点．若u 处仅有边2uv ，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他边i uv ，3i k ≤≤，则删去所述边后，除1v 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．引理获证． ………………20分回到原题，题中的V 和E 可看作一个图(,)G V E =．首先证明2795n ≥．设122019{,,,}V v v v = ．在1261,,,v v v 中，首先两两连边，再删去其中15条边（例如1311216,,,v v v v v v ），共连了26115C 1815-=条边，则这61个点构成的图是连通图．再将剩余的2019611958-=个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了181********+=条线段．由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边，因此至多有18159072⎡⎤⎢=⎥⎣⎦个两两无公共边的角．故满足要求的n 不小于2795． ………………30分另一方面，若2795E ≥，可任意删去若干条边，只考虑2795E =的情形．设G 有k 个连通分支，分别有1,,k m m 个点，及1,,k e e 条边．下面证明1,,k e e 中至多有979个奇数．反证法，假设1,,k e e 中有至少980个奇数，由于12795k e e ++= 是奇数，故1,,k e e 中至少有981个奇数，故981k ≥．不妨设12981,,,e e e 都是奇数，显然12981,,,2m m m ≥ ．令9812k m m m =++≥ ，则有2C 1980)(i m i e i ≥≤≤，2981C m k e e ≥++ ，故98022112795C C imk i i i m e ===≤+∑∑． ① 利用组合数的凸性，即对3x y ≥≥，有222211C C C C x y x y +-+≤+，可知当1980,,,m m m 由980个2以及一个59构成时，980221C C imm i =+∑取得最大值．于是 98022225921C C C 980C 26912795imm i =≤=<++∑，这与①矛盾．从而1,,k e e 中至多有979个奇数． ………………40分对每个连通分支应用引理，可知G 中含有N 个两两无公共边的角，其中1111979(2795979)908222kki i i i e N e ==⎛⎫⎡⎤=≥-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑．综上，所求最小的n 是2795． ………………50分2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为．答案：5．解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为．答案：3．解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r rnr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x -中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24nn n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---．因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4． 8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø，确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分 (2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）．…………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø．当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<．证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n nz z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå．综上，结论获证． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）设正实数12100,,,a a a 满足101(1,2,,50)i i a a i -³=．记112(1,2,,99)k k kka x k a a a +==+++．证明：29912991x x x £．证明：注意到12100,,,0a a a >．对1,2,,99k =，由平均值不等式知121210kk k k a a a a a a æöç<£çç+++èø， ……………10分从而有9999299112991111212kk k k k k k k ka k x x x a a a a a a a ++==æö÷ç÷=£ç÷÷ç+++èø ． ①………………20分记①的右端为T ，则对任意1,2,,100i =，i a 在T 的分子中的次数为1i -，在T 的分母中的次数为100i -．从而10121005050210121012(101)101101101111ii i i i i i ii i i ia T a a a a -------===æö÷ç÷===ç÷ç÷èø ．………………30分又1010(1,2,,50)i i a a i -<£=，故1T £，结合①得29912991x x x T ££． ………………40分二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数n ：(1) n 至少有4个正约数；(2) 若12k d d d <<< 是n 的所有正约数，则21321,,,k k d d d d d d ---- 构成等比数列．解：由条件可知4k ≥，且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--． ………………10分易知112231,,,k k k n nd d n d d d d --====，代入上式得3222231n n d d d n n d d d --=--，化简得223223()(1)d d d d -=-． ………………20分由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3d 是平方数，故只能23d p =． ………………30分从而序列21321,,,k k d d d d d d ---- 为23212,1,,,k k p p p p p p p ------ ，即123,,,,k d d d d 为21,1,,,k p p p - ，而此时相应的n 为1k p -．综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥． ………………40分三、（本题满分50分）如图，点,,,,A B C D E在一条直线上顺次排列，满足BC CD ==，点P 在该直线外，满足PB PD =．点,K L 分别在线段,PB PD 上，满足KC 平分BKE ，LC 平分ALD ．证明：,,,A K L E 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：令1,(0)AB BC CD t ===>，由条件知2DE t =．注意到180BKE ABK PDE DEK < = < - ，可在CB 延长线上取一点A ¢，使得A KE ABK A BK ¢¢ = = ． ………………10分此时有A BK A KE ∽¢¢D D ，故A B A K BKA K A E KE¢¢==¢¢． ………………20分又KC 平分BKE ，故211BK BC t KE CE t t t===++．于是有 22112A B A B A K BK AB A E A K A E KE t t AEæö¢¢¢÷ç=⋅===÷ç÷ç¢¢¢èø++． …………30分由上式两端减1，得BE BEA E AE=¢，从而A A ¢=．因此AKE A KE ABK ¢ = = ．同理可得ALE EDL = ．而ABK EDL = ，所以AKE ALE = ．因此,,,A K L E 四点共圆． ………………50分四、（本题满分50分）将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一，每种颜色的边各673条．证明：可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形，并将所作的每条对角线也染AA (为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同，或者颜色互不相同．证明：我们对5n ≥归纳证明加强的命题：如果将凸n 边形的边染为三种颜色,,a b c ，并且三种颜色的边均至少有一条，那么可作满足要求的三角形剖分． ………………10分当5n =时，若三种颜色的边数为1，1，3，由对称性，只需考虑如下两种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．若三种颜色的边数为1，2，2，由对称性，只需考虑如下三种情形，分别可作图中所示的三角形剖分．………………20分假设结论对(5)n n ≥成立，考虑1n +的情形，将凸1n +边形记为121n A A A + ．情形1：有两种颜色的边各只有一条．不妨设,a b 色边各只有一条．由于16n +≥，故存在连续两条边均为c 色，不妨设是111,n n n A A A A ++．作对角线1n A A ，并将1n A A 染为c 色，则三角形11n n A A A +的三边全部同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．………………30分情形2：某种颜色的边只有一条，其余颜色的边均至少两条．不妨设a 色边只有一条，于是可以选择两条相邻边均不是a 色，不妨设111,n n n A A A A ++均不是a 色，作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分． ………………40分情形3：每种颜色的边均至少两条．作对角线1n A A ，则1n A A 有唯一的染色方式，使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色．此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条，由归纳假设，可对其作符合要求的三角形剖分．综合以上3种情形，可知1n +的情形下结论也成立．由数学归纳法，结论获证． ………………50分。

2019年全国高中数学联赛A卷及B卷试题答案及评分标准

7.如图,正方体 ABCD-EFGH 的一个截面经过点 A,C 及棱 EF 上一点 K,且将正方体分成体积比为 3:1 的两部分,则 EK FK
的值为 8.将 6 个数 2,0,1,9,20,19 按任意次序排成一行,拼成一个 8 位数(首位不为 0),则产生的不同的 8 位数的个数为二解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 9(本题分 16 分)在△ABC 中,BC=a,CA=b,AB=c,若 b 是 a 与 c 的等比中项,且 sinA 是 sin(B-A)与 sinC 的等差中项,求 cosB 的值 10.(本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与 x 轴相切于Γ的焦点 F，求圆Ω的半径
2019 年全国高中数学联赛 A 卷一试部分
一、填空题（本大题共 8 小题，每题 8 分，共 64 分）
1.已知正实数 a 满足 aa (9a)8a ,则 loga (3a) 的值为
2.若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则 x 的值为

而 b≡-1(mod3),此时 a 有 7 种选法,b 有 4 种选法,这样的(a,b)有 7*4=28 组.因此 N=9+28=37.于是所求的概率为 37 100
6.对任意闭区间 I,用 MI 表示函数 y=sinx 在 I 上的最大值,若正数 a 满足 M[0,a]=2M[a,2a],则 a 的值为
4 s2 5 | s | ,解得 | s |[1, 4] ,即 s2 [1,16] ,于是 | a | 4 s2 [ 5, 2 5]
法二:由

2019年全国高中数学联赛A+B卷(含答案)

2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是．答案：．解：不妨设(1,0)e =．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为．答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有一处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件．当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ．综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为．答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø．化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）．将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===．由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===，即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24yx =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故 222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=．当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î．当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å．当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=，这表明C不能大于3．综上，所求的C为3． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为．答案：5．解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为．答案：3．解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为．答案：95．解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---．因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø，确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø．当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<．证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå，故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå．综上，结论获证． …………………20分。