弧长及扇形的面积

课题弧长及扇形的面积授课日期及时段教学目的1、经历探索弧长、扇形面积计算公式的过程2、掌握弧长、扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

教学内容一、课前检测（一）填空题：1、如图：∠AOB=2∠COD，则 AB 2 CD.2、在⊙O中，弦AB∥CD，则∠AOC ∠BOD．3、在⊙O上两点A，B，∠AOB=70°，C是⊙O上不与A，B重合的一点，则∠ACB的度数为 .4、如图：∠OAB=44°，则∠ACB= .5、OA，OB为⊙O的半径，点C在优弧上，∠ACB=25°，则∠AOB= .6、已知：DC∥AB，弧AC的度数是50，AB为直径，则∠BOC=∠AOC= ∠DOC=7、圆的一条弦把圆分为度数比为1：5的两条弧，如果圆的半径为4，则弦长为，该弦的弦心距为；圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数为 .答案：1、=.2、=.3、35°或145°.4、46°.5、50°.6、130°、50°、80°.7、4，32，30°.(二)选择题1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A、50°B、80°C、100°D、130°2、如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是（）A、60°B、45°C、30°D、15°3、如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50°，那么∠ACB等于（）A、40°B、50°C、65°D、130°答案：1、D.2、A.3、C.二、知识梳理1、弧长公式若设⊙O 半径为R ， n°圆心角所对弧长l ，则180Rn l π=（弧长公式）. 提示：（1）在弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，因此，n 和180都不需要带单位“度”； （2）在弧长的计算公式中，已知l ，n ，R 中的任意两个量都可以求出第三个量；（3）若圆心角的单位不全是度，如"25'1235，一定要先化为度，如 )360025601235("25'1235++=， 2.35≈然后运用公式计算。

例1：一圆弧的圆心角为300°，若它所对的弧长等于半径为6cm 的圆的周长，则该弧所在圆的半径等于 .解析：设该弧所在圆的半径为Rcm ，由题意得,62180300ππ⨯=R∴R=7.2. 答案：7.2cm. 2、扇形面积一般地，如果扇形的半径为R ，圆心角为n°，扇形的弧长为l ，那么扇形面积S 的计算公式为：S 扇形=3602R n π = lR 21（扇形面积公式）提示：（1）同弧长公式的推导类似，圆心角为1°的扇形面积是圆面积的3601，即3602R π，圆心角为n 的扇形面积是它的n 倍，因此在公式3602R n S π=中，n 和360都不带单位“度”。

（2）对于扇形的面积公式lR S 21=扇形与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底边，R 看成高，这样对比便于记忆，也便于应用。

（3）扇形的两个面积公式要灵活地选择使用，由已知半径R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公式3602R n π;当已知半径R 和弧长求扇形的面积时，应选用公式lR 21.（4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知扇形S ，l ，n ,R 四个量中的任意两个量，则可以求出另外两个量。

例2：已知扇形的圆心角为150°，弧长为π20cm ，求次扇形的面积.分析：要求扇形的面积，在已知扇形的圆心角和弧长的前提下，必须先求出扇形的半径，可利用弧长的计算公式求出扇形的半径. 解：设扇形的半径为R ，∵弧长π20=l ，圆心角为150°，∴ππ20180150=R，解得R=24. ∴)(240242021212cm lR S ππ=⨯⨯==扇形三、重难点突破例3、 如图，BM 是⊙O 的直径，四边形ABMN 是矩形，D 是⊙O 上的点，DC ⊥AN ，与AN 交于点C ，已知AC ＝15cm ，⊙O 的半径为R＝30cm ，求 BD的长. 解：连结OD,BD,则OB=OD=30.延长DC ，交OB 于点E.在矩形ABMN 中，OB ⊥AB, 又∵DC ⊥AN ， ∴DE ⊥OB, ∴BE=AC=15. ∵OB=30, ∴OE=BE,∴BD=OD （E 为OB 中点） ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠DOB=60°,∴ BD=)(101803060180mm R n πππ=⨯⨯=. 例4：一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是2km.一辆汽车以每小时60km 的速度通过弯道，需时20s ，求弯道所对圆心角的度数.（精确到0.1°）分析 如果能求出弯道的弧长，那么由于半径已知，根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数. 解：汽车在20s 内通过的路程为)(3120360060km l =⨯= 由弧长公式180Rn l π=，得圆心角的度数为 )(5.930231180180度≈=⨯⨯==πππR lR n . 答：弯道所对圆心角的度数约为9.5°.四、课堂练习（一）选择题：1. 在半径为3的O 中，弦3AB =，则 AB 的长为（ ）Ａ．π2Ｂ． Ｃ．32π Ｄ．2π答案：Ｂ2. 如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以BC 的中点为圆心的 MPN 与AD 相切，则图中的阴影部分的面积为（ ） Ａ．23π Ｂ．34πＣ．34π Ｄ．π3答案：ＤＢ ＣＮＤＰＡ ＭE CNMOABD3. 圆心角为90，半径为的弧长为（ ） Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R π答案：Ａ4. 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n，则这条弦所在圆的半径为（）Ａ．180n lπ Ｂ．180ln πＣ．360ln πＤ．180lnπ 答案：Ｂ （二）填空题：1. 如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，OE 为半径的半圆交AB 于E 、F 两点，弦AC 是小半圆的切线，C 为切点，若4OA =，2OE =，则图中阴影部分的面积为．答案：43π+232. 如图，O 的半径为1，C 为O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与O 相交于，两点，则图中阴影部分的面积为．答案：232π-33. 如图，扇形AOB 的圆心角为60，半径为6cm ，C ，是 AB 的三等分点，则图中阴影部分的面积和是．答案：22cm π4. 如图，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．答案：14.2π． 5. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形OAB 和扇形O A B '''叠放在一起，点O '在 AB 上，四边ＯＢＣＡＯ Ｅ ＦＢＣＤＡA形OPO Q '是正方形，则阴影部分的面积等于 ．答案：12-π五、课堂小结1. 弧长公式：若设⊙O 半径为R ， n°圆心角所对弧长l ，则180Rn l π=.2. 扇形面积公式:一般地，如果扇形的半径为R ，圆心角为n°，扇形的弧长为l ，那么扇形面积S 的计算公式为：S 扇形=3602R n π = lR 21.六、课后作业一、选择题：1. 如果一条弧长等于l ，它的半径等于，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加（Ｂ）Ａ．lnＢ．180R πＣ．180l R πＤ．360l2. 扇形的周长为16，圆心角为360π，则扇形的面积是（ Ａ ）Ａ．16Ｂ．32Ｃ．64Ｄ．16π3. 如图，扇形OAB 的圆心角为90，且半径为，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么和Q 的大小关系是（ Ａ） Ａ．P Q =Ｂ．P Q >Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定4. 如图，△ABC 中，105A ∠=，45B ∠=，22AB =，AD BC ⊥，为垂足，以为圆心，以AD 为半径画弧 EF，则图中阴影部分的面积为（ Ｂ） Ａ．7236-πＢ．7236-π+2Ｃ．5236-πＤ．5236-π+25. 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点B 从开始至结束走过的路径长度为（ Ｂ ）ＱＯＡＰＣＢＣ Ｄ ＢＥＡＦA 'C ' Ｂ Ｃ ＡＡ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．π2Ｄ．322+π二、填空题1. 一条弧所对的圆心角是90，半径是R ，则这条弧的长是12R π ． 2. 若 AB 的长为所对的圆的直径长，则 AB 所对的圆周角的度数为 180π．3. 圆周角是90，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的 14． 4. 半径为6cm 的圆中，60的圆周角所对的弧的弧长为4cm π ．5. 若扇形的圆心角为120，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为 227cm π．6. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为389mm ．（单位：m m ，精确到1mm ）7. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=，60A ∠=，3cm AC =，将△ABC 绕点旋转至△A BC ''的位置，且使点，，C '三点在同一直线上，则点经过的最短路线长是533π cm ．8. 如图，已知在扇形AOB 中，若45AOB ∠=，4cm AD =，3cm CD =π，则图中阴影部分的面积是214cm π ．三、解答题：1. 扇形的圆心角为210，弧长是28π，求扇形的面积． 答案：336π2. 如图，半径为的1O 与半径为3r 的2O 外切于点，AB 是两圆的外公切线，切点分别为，，求ABＢＡＡＢＣＢＡ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ ＢＯ和 PA， PB 所围成的阴影部分的面积． 答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ， 则得矩形1ABHO ，1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O HO 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，122134OO O P O P r r r =+=+=，22112223O H O O O H r =-=，2211221cos 42O H r HO O O O r ∠===，2160HO O ∴∠= ，1120AO P ∠= ． 21212111()(3)234322ABO O S O A O B O H r r r r =+=+= 梯形，26033606BO PO B r r S 222π()π(3)π===22扇形，122120AO PO A S r π()π==3603扇形、，21212222324311436ABO O BO P AO P S S S S r r r r ππ-π=--=--=23阴影梯形扇形扇形． 5.如图，扇形ODE 的圆心角为120，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点在扇形ODE 内（１）请连接OA OB 、，并证明AOF BOG △≌△；（２）求证：ABC △与扇形ODE 重叠部分的面积等于ABC △面积的13．答案：（1）连结OA OB 、（如图） O 是正三角形ABC 的中心． OA OB ∴=． OAF OBG ∠=∠．3601203AOB ∠==又120DOE ∠=ODFAC EGBAOB DOE ∴∠=∠AOB BOD DOE BOD ∴∠-∠=∠-∠ 即AOF BOG ∠=∠ 故AOF BOG △≌△ （2）BOG BOF BGOF S S S =+ △△四边形而AOF BOG △≌△． 有BOG AOF S S =△△ AOF BOF AOB BGOF S S S S ∴=+=△△△四边形 又O 是正三角形ABC 的中心．13AOB ABC S S ∴=△△ BGOF S ∴四边形13ABC S =△即ABC △与扇形ODE 重叠部分的面积等于ABC △面积的13．。