弧长及扇形的面积

课题弧长及扇形的面积授课日期及时段

教学目的1、经历探索弧长、扇形面积计算公式的过程

2、掌握弧长、扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题。

教学内容

一、课前检测

（一）填空题：

1、如图：∠AOB=2∠COD，则 AB 2 CD.

2、在⊙O中，弦AB∥CD，则∠AOC ∠BOD．

3、在⊙O上两点A，B，∠AOB=70°，C是⊙O上不与A，B重合的一点，则∠ACB的度数为 .

4、如图：∠OAB=44°，则∠ACB= .

5、OA，OB为⊙O的半径，点C在优弧上，∠ACB=25°，则∠AOB= .

6、已知：DC∥AB，弧AC的度数是50，AB为直径，则∠BOC=

∠AOC= ∠DOC=

7、圆的一条弦把圆分为度数比为1：5的两条弧，如果圆的半径为4，则弦长为，该弦的弦心距为；圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数为 .

答案：1、=.2、=.3、35°或145°.4、46°.5、50°.6、130°、50°、80°.7、4，3

2，30°.

(二)选择题

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）

A、50°

B、80°

C、100°

D、130°

2、如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC的大小是（）

A、60°

B、45°

C、30°

D、15°

3、如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50°，

那么∠ACB等于（）

A、40°

B、50°

C、65°

D、130°

答案：1、D.2、A.3、C.

二、知识梳理

1、弧长公式

若设⊙O 半径为R ， n°圆心角所对弧长l ，则180

R

n l π=

（弧长公式）. 提示：（1）在弧长公式中，n 表示1°的圆心角的倍数，因此，n 和180都不需要带单位“度”； （2）在弧长的计算公式中，已知l ，n ，R 中的任意两个量都可以求出第三个量；

（3）若圆心角的单位不全是度，如"25'1235

，一定要先化为度，如 )3600

25601235("25'1235++

=， 2.35≈然后运用公式计算。

例1：一圆弧的圆心角为300°，若它所对的弧长等于半径为6cm 的圆的周长，则该弧所在圆的半径等于 .

解析：设该弧所在圆的半径为Rcm ，由题意得

,62180

300ππ⨯=R

∴R=7.2. 答案：7.2cm. 2、扇形面积

一般地，如果扇形的半径为R ，圆心角为n°，扇形的弧长为l ，那么扇形面积S 的计算公式为：

S 扇形=360

2R n π = lR 21（扇形面积公式）

提示：（1）同弧长公式的推导类似，圆心角为1°的扇形面积是圆面积的3601，即360

2R π，圆心角为

n 的

扇形面积是它的n 倍，因此在公式360

2

R n S π=中，n 和360都不带单位“度”。

（2）对于扇形的面积公式lR S 2

1

=

扇形与三角形的面积公式有些类似，可以把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底边，R 看成高，这样对比便于记忆，也便于应用。

（3）扇形的两个面积公式要灵活地选择使用，由已知半径R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用公

式360

2

R n π;当已知半径R 和弧长求扇形的面积时，应选用公式lR 21.

（4）根据扇形面积公式和弧长公式，已知扇形S ，l ，n ,R 四个量中的任意两个量，则可以求出另外两个量。

例2：已知扇形的圆心角为150°，弧长为π20cm ，求次扇形的面积.

分析：要求扇形的面积，在已知扇形的圆心角和弧长的前提下，必须先求出扇形的半径，可利用弧长的计算公式求出扇形的半径. 解：设扇形的半径为R ，

∵弧长π20=l ，圆心角为150°，

∴

ππ20180

150=R

，解得R=24. ∴)(24024202

1212

cm lR S ππ=⨯⨯==扇形

三、重难点突破

例3、 如图，BM 是⊙O 的直径，四边形ABMN 是矩形，D 是⊙O 上的点，DC ⊥AN ，与AN 交于点C ，已知AC ＝15cm ，⊙O 的半径为R

＝30cm ，求 BD

的长. 解：连结OD,BD,则OB=OD=30.延长DC ，交OB 于点E.

在矩形ABMN 中，OB ⊥AB, 又∵DC ⊥AN ， ∴DE ⊥OB, ∴BE=AC=15. ∵OB=30, ∴OE=BE,

∴BD=OD （E 为OB 中点） ∴△OBD 是等边三角形， ∴∠DOB=60°,

∴ BD

=)(10180

30

60180mm R n πππ=⨯⨯=. 例4：一段圆弧形的公路弯道，圆弧的半径是2km.一辆汽车以每小时60km 的速度通过弯道，需时20s ，

求弯道所对圆心角的度数.（精确到0.1°）

分析 如果能求出弯道的弧长，那么由于半径已知，根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数. 解：汽车在20s 内通过的路程为)(3

1

20360060km l =⨯= 由弧长公式180R

n l π=

，得圆心角的度数为 )(5.930231180180度≈=⨯⨯

==π

ππR lR n . 答：弯道所对圆心角的度数约为9.5°.

四、课堂练习

（一）选择题：

1. 在半径为3的O 中，弦3AB =，则 AB 的长为（ ）

Ａ．

π

2

Ｂ． Ｃ．

32

π Ｄ．2π

答案：Ｂ

2. 如图，矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，以BC 的中点为圆心的 MPN 与AD 相切，则图中的

阴影部分的面积为（ ） Ａ．

2

3

π Ｂ．

34π

Ｃ．

34

π Ｄ．

π3

答案：Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｎ

Ｄ

Ｐ

Ａ Ｍ

E C

N

M

O

A

B

D