隐函数地求导方法总结材料
隐函数求导方法
隐函数求导方法
隐函数求导方法是一种用于求解非显式函数的导数的技巧。
与显式函数不同，隐函数没有直接的形式来表示其自变量和因变量之间的关系。
因此，为了求解其导数，我们需要使用一种特殊的方法。
隐函数求导的基本思路是通过对该隐函数进行微分，然后利用链式法则来进行推导。
下面是具体的步骤：
1. 首先，将隐函数表示为一个等式，例如：
F(x, y) = 0
2. 对上述等式两边关于x进行求导，得到：
∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0
3. 根据求导法则，我们知道∂F/∂x 表示 F 关于x的偏导数，而∂F/∂y 表示 F 关于y的偏导数。
4. 我们希望求得 dy/dx，可以通过移项得到：
dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)
通过上述步骤，我们可以得到隐函数的导数。
需要注意的是，这种方法只适用于能够将隐函数表示为一个等式的情况，并且可以通过求导来解出 dy/dx。
在一些复杂的情况下，可能需要更多的推导和技巧来求解。
隐函数的求导法则
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x 0 , y0 ) 0 ， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并 有
z Fx Fz 0 x
z z 2 z Fxx 2Fxz Fzz ( ) Fz 2 0 x x x
2
1 z 3 [ Fxx Fz2 2Fxz Fx Fz Fzz Fx2 ] 解得： 2 Fz x
2
两种方法相比，法二较简便，因为可避免 商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数 时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入 即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`
z Fx x , x Fz 2 z
z x y 例 4 设 z f ( x y z , xyz ) ，求 ， ， . x y z 思路： z 把 z 看成 x, y 的函数对x 求偏导数得 ， x x 把 x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得 ， y y 把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得 . z
F ( F , G ) u J ( u, v ) G u
F v G v
在点 P ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 不等于零，则方程组 F ( x , y , u, v ) 0 、 G ( x , y , u, v ) 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v 0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x , y ) ， v v ( x , y ) ，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) , v 0 v ( x0 , y0 ) ，并有
大一隐函数的导数知识点总结
大一隐函数的导数知识点总结一、引言在微积分学中，隐函数是指由两个或多个变量之间的方程所确定的函数。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用一些特定的方法和规则。
本文将对大一隐函数的导数知识点进行总结和归纳。
二、隐函数的导数定义隐函数的导数表示了函数在某一点处的变化率。
设函数 y=f(x)在点 (x,y) 处满足方程 F(x,y)=0，则 y 是 x 的隐函数，并且可以看作自变量 y 和函数 y=f(x) 的函数关系。
隐函数的导数可以通过求导来计算。
三、常用求导法则1. 隐函数的导数：设 y 是 x 的隐函数，可以通过求导求得 y 对x 的导数，即 dy/dx。
2. 利用链式法则求导：通过将隐函数的方程两边同时对x 求导，然后解方程得到 dy/dx。
3. 隐函数的高阶导数：通过多次使用链式法则，可以求得隐函数的高阶导数。
四、常见的隐函数求导方法1. 参数方程法：将隐函数表示为参数方程，对参数方程中的参数求导，然后根据参数与自变量之间的关系求得隐函数的导数。
2. 对数导数法：将隐函数两边同时取对数，然后对取对数后的方程两边求导。
3. 微分形式法：将隐函数的微分形式表示为等式形式，然后对等式两边求导。
4. Laplace公式法：对于特定的隐函数形式，如 y=f(x)^{g(x)}，可以使用 Laplace 公式来求导。
5. 特殊函数求导法：对于一些特殊的隐函数，如反函数、对数函数、指数函数等，可以利用已知的导数性质求导。
五、隐函数的应用举例1. 切线与法线：通过求解隐函数的导数，我们可以得到曲线上某一点处的切线斜率，进而求得切线和法线的方程。
2. 最值问题：利用隐函数的导数求得极值点的横坐标，进而求得隐函数在该点的最值。
3. 隐函数图像绘制：通过求解隐函数的导数，我们可以了解到隐函数在不同区间的单调性和凹凸性，有助于绘制函数图像。
六、结论隐函数的导数是微积分学中的重要概念，它帮助我们理解和解决具有复杂关系的函数问题。
(完整版)隐函数的求导方法总结
河北地质大学课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法学院：信息工程学院专业名称：电子信息类小组成员：史秀丽角子威季小琪2016年05月27日摘要 (3)一．隐函数的概念 (3)二．隐函数求偏导 (3)1.隐函数存在定理1 (3)2.隐函数存在定理2 (4)3.隐函数存在定理3 (4)三. 隐函数求偏导的方法 (6)1.公式法 (6)2.直接法 (6)3.全微分法 (6)参考文献 (8)摘要本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导关键字：隐函数 偏导数 方法一．隐函数的概念一般地，如果变量满足方程，在一定条件下，当取某区间的任y x 和()0,=y x F x 一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内y ()0,=y x F 确定了一个隐函数。
例如，方程表示一个函数，因为当变量在013=-+y x x 内取值时，变量有确定的值与其对应。
如。
()∞+∞-，y 等时时321,10=-===y x y x 二．隐函数求偏导1.隐函数存在定理1 设函数在P （x 。
，y 。
）在某一领域内具有连续偏导数，0),(=y x F 且，，则方程在点（x 。
，y 。
）的某一领域内恒能0),(= y x F 0),(≠ y x F y 0),(=y x F 唯一确定一个连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有)(x f y =)( x f y =。
yxy F F d d x -=例1:验证方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=12x 2y 时y=1的隐函数y=，并求该函数的导数在x=1处的值。
)(x fdxdy解令=-,则),(y x F 2x 2y=2x ，=-2y ，=0，=-2≠0x F y F )1,1(F )1,1(y F由定理1可知，方程-=0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函2x 2y 数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有===dx dy y x F F-y x 22yx 故==11=x dxdy)1,(!yx2.隐函数存在定理2设函数在点的某一邻域内具有连续()z y x F,,）（ z y x P ,,偏导数，且=0，，则方程在点的某一邻）（ z y x F ,,0,,≠）（ z y x F z ()0,,=z y x F () z y x ,,域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件()y x f z ,=并有。
隐函数的求导法则笔记
隐函数的求导法则笔记在微积分中，隐函数的求导是一个重要的概念。
隐函数是指方程中的变量之间存在函数关系，但并未显式地表示出来。
在这种情况下，我们需要使用隐函数的求导法则来求出其导数。
本文将介绍隐函数的求导法则，并通过实例演示如何应用这一法则。
隐函数的求导法则可以总结为以下几点：1. 隐函数的求导法则假设有一个方程式：F(x, y) = 0，其中 y 是 x 的函数。
为了求出 y 对 x 的导数，我们可以使用以下的步骤：- 对方程两边关于 x 求导- 将得到的导数项集中到一边，将 y' 提取出来- 最终得到 y' 的表达式2. 通过实例演示隐函数的求导法则为了更好地理解隐函数的求导法则，我们通过一个具体的例子来演示。
假设有一个方程式：x^2 + y^2 = 25，我们需要求出 y 对x 的导数。
首先，对方程两边关于 x 求导，得到：2x + 2yy' = 0。
然后，将导数项集中到一边，得到：2yy' = -2x。
最后，将 y' 提取出来，得到：y' = -x/y。
3. 隐函数的高阶导数除了一阶导数之外，有时候我们也需要求隐函数的高阶导数。
在这种情况下，我们可以通过多次应用隐函数的求导法则来求出高阶导数。
4. 隐函数的参数化有时候，我们也可以通过参数化的方法来求隐函数的导数。
通过引入参数 t，将隐函数表示为参数方程的形式，然后对参数 t 求导，最终得到 y 对 x 的导数。
5. 隐函数的求导在实际问题中的应用隐函数的求导在物理、工程、经济等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，隐函数的求导可以帮助我们求解运动学和动力学问题；在工程学中，隐函数的求导可以帮助我们优化设计和分析系统行为；在经济学中，隐函数的求导可以帮助我们理解市场行为和决策过程。
总结隐函数的求导法则是微积分中的重要概念，它可以帮助我们求解隐函数的导数，并在实际问题中得到应用。
通过本文的介绍和实例演示，相信读者对隐函数的求导法则有了更深入的理解。
隐函数求导法则
隐函数求导法则隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y²，所以y′=dy/dx=y（e^xy-y0/x(2y-e^xy)。
求导法则对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。
显函数与隐函数显函数解析式中明显地用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数。
显函数可以用y=f(x)来表示。
隐函数如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。
隐函数与显函数的区别1.隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x²+y²=0。
2.显函数是用y=f(x)表示的函数，左边是一个y，右边是x的表达式。
比如：y=2x+1。
隐函数是x和y都混在一起的，比如2x-y+1=0。
3.有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。
关于隐函数的三种求导法
关于隐函数的三种求导法
隐函数的三种求导方法如下：
一、隐函数求导法则
隐函数求导法则和复合函数求导相同。
由xy²-e^xy+2=0，y²+2xyy′-e^xy(y+xy′)=0，y²+2xyy′-ye^xy-xy′e^xy=0，(2xy-xe^xy)y′=ye^xy-y ²，所以y′=dy/dx=y(e^xy-y0/x(2ye^xy)。
对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。
在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。
二、隐函数导数的求解一般可以采用以下方法
方法①:先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导;
方法②:隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
方法③:利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值;
方法④:把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
举个例子，若欲求z=f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式，然后通过(式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数)来求解。
《隐函数的求导方法》课件
隐函数与显函数的关系
显函数：由自变量和因变量通过等号 连接的函数，如y=f(x)。
隐函数不一定能通过等号转化为显函 数，但两者都表示了因变量与自变量 之间的关系。
隐函数的几何意义
隐函数在坐标平面上的表现是一条曲线。
通过对方程F(x,y)=0进行求导，可以确定曲线上各点的切线斜率，从而了解曲线的形状和变化趋势。
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程 ，再利用普通方程求导法则进行求导。
详细描述
对于由参数方程 $x = varphi(t), y = psi(t)$ 确定的隐函数，可以通过消去参数 $t$，将 其转化为 $y = f(x)$ 的形式，然后利用复合
函数求导法则和链式法则进行求导。
由极坐标方程确定的隐函数求导
乘积法则
总结词
乘积法则用于求解两个函数的乘积的导数，通过乘积法则可以将两个函数的导 数相加。
详细描述
乘积法则是链式法则的一种特殊形式，如果两个函数y=f(x)和u=g(x)的导数存 在，那么它们的乘积的导数为y的导数乘以u加上u的导数乘以y，即 dy*du=(dy/dx)*u+(u/dx)*y。
商式法则
顺序确定
在求导过程中，运算的顺序需要 确定，根据求导法则和运算优先 级进行判断。
顺序处理
在求导过程中，需要注意运算的 顺序处理，确保运算的正确性和 一致性。
顺序变换
在求导过程中，运算的顺序可能 会发生变化，需要根据求导法则 和运算优先级进行判断。
求导过程中的公式选择问题
公式选择
在求导过程中，公式的选择是关键，需要根据函数的 类型和求导法则进行选择。
02 隐函数的求导法则
链式法则
总结词
隐函数的求导方法
两边对x 求偏导
Fx
Fy
0
Fz
z x
0
在 ( x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz 0
z Fx x Fz
同理 z Fy y Fz
z f (u,v) u (x, y) v ( x, y) z z u z v
x u x v x
设 z f ( x, y) 是方程 F ( x, y, z) 0
(3) Fz ( x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
的某一邻域内可唯一
确定一个单值连续函数 z = f (x , y)，满足
并有连续偏导数 z Fx , z Fy
x Fz y Fz
设 z f ( x, y)是方程 F ( x, y, z) 0 所确定的隐函数，则
F(x, y , f (x , y ) ) 0
函数，y看作常数.
cos( x
3z)
(1
3
z x
)
z x
两边对 y 求偏导，z 是y的
函数，x看作常数.
cos( x
3z)
(3
z ) y
2
z y
[1 3cos( x 3z)] z cos( x 3z) [1 3cos( x 3z)] z 2
x
x
解得
z cos( x 3z) x 1 3cos( x 3z)
由全微分计算 公式：
dz z dx z dy x y
解得 dz cos( x 3z) dx
2
dy
1 3cos( x 3z) 1 3cos( x 3z)
于是得
z x
cos( x 3z) , 1 3cos( x 3z)
z y
隐函数的求导方法课件
关系
隐函数和显函数可以相互转换，例如，将$x^2 + y^3 - 1 = 0$两边同时对$x$求导，就可以得到一个关于$y$和$x$的导数关系，这个导数关系可以看作是一个显函数。
在许多实际问题中，我们常常需要求隐函数的导数，例如在物理、工程、经济等领域中，常常需要用到隐函数的求导来解决问题。
隐函数的求导方法课件
隐函数求导概述隐函数求导方法隐函数求导的应用隐函数求导的注意事项隐函数求导的常见错误分析隐函数求导的习题与解析
目录
CONTENT
隐函数求导概述
01
如果对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应，那么我们说$y$是$x$的隐函数。
隐函数
$x^2 + y^3 - 1 = 0$是一个隐函数，因为对于每一个$x$的值，$y$都有唯一确定的值与之对应。
在求导之前，需要判断所给函数是否在定义域内可导。如果函数不可导，则无法进行求导。
03
考虑定义域的连续性和离散性
对于连续函数和离散函数的求导，需要考虑其定义域的特点。
01
确定函数的定义域
在求导之前，需要确定函数的定义域，以确保求导过程的有效性。
02
注意定义域的边界
在定义域的边界处，函数的导数可能不存在或表现出特殊性质，需要特别注意。
详细描述
总结词
对参数方程确定的曲线理解不准确也是求隐函数导数时常见的错误。
详细描述
参数方程确定的曲线在求导时需要特别注意。如果对参数方程的理解不准确，会导致求导结果错误。例如，在处理参数方程时，没有正确地将其转化为普通方程，或者在处理参数方程的变量替换时出现错误，都会导致求导结果不准确。
§8.5隐函数求导法
2. F(x, y, z)=0 隐函数存在定理2: 设函数F(x, y, z)在点 0, y0, z0) 隐函数存在定理 设函数 在点P(x 在点 的某一邻域内有连续的偏导数, 的某一邻域内有连续的偏导数 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)≠0, 则方程 在点P ≠ 则方程F(x, y, z)=0在点 0的某一邻域内恒能 在点 唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z=f(x, y), 它满足条件 0=f(x0, y0), 并有 它满足条件z Fy Fx ∂z ∂z (2) =− , =− . Fz ∂y ∂x Fz 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图: 两个隐函数存在定理所涉及的变量的关系如图 x (1) F y x (2) F z y
∂2z 例3: 设 x2+y2+z2–4z=0, 求 2 . ∂x 解: 令 F(x, y, z)=x2+y2+z2–4z. 则Fx=2x, Fz=2z–4, Fx x ∂z , =− = 所以 ∂x Fz 2 − z x ∂z (2 − z ) + x ⋅ (2 − z ) + x 2 ( 2 − z )2 + x 2 ∂ z 2−z = ∂x = = . 2 2 2 3 (2 − z ) (2 − z ) (2 − z ) ∂x
2
dy Fx x+ y =− =− . dx Fy y− x
在点(0, 的某邻域内能 例2: 验证方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内能 唯一确定一个单值可导, 的隐函数y=f(x), 唯一确定一个单值可导 且 x=0 时 y=1 的隐函数 时的值. 并求这函数的一阶和二阶导数在 x=0 时的值 解: 令F(x, y)= x2+y2–1 = 0, 则Fx=2x, Fy=2y, 而 F(0, 1)=0, Fy(0, 1)=2≠0, ≠ 依定理知, 在点(0, 的某邻域内 依定理知 方程 x2+y2–1=0 在点 1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导且 x=0 时 y=1 的隐函数 y=f(x). 该函数的一阶和二阶导数为 函数的一阶和二阶导数为: dy Fx x dy =− | x = 0 = 0, =− , dx Fy y dx x y − x( − ) 2 1 d2y d y y − xy′ y =− | = − 1. =− 3, =− 2 2 2 2 x =0 y dx y y dx
隐函数求导数的五种方法
4求导"此时6是-"4的函数"求偏导数时"需要把6看作-" 4的函数#
例设方程 求 3
-) P4) N* 6N$+) M%"6c$" 6" 6#
- 4
四微分法
设方程3*
-"4+
确定函数 M%"
4M!* -+
"利用微分形式
不变性"对方程两边同时求微分"此时需要将3看成关于
-"4的一个二元函数#
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)(%(%%'
科技风 "#"$ 年 % 月
隐函数求导数的五种方法
张亚龙4高改芸4刘 爽
北京科技大学天津学院天津
摘4要针对隐函数求导数问题在隐函数存在定理的基础上总结出求隐函数导数的五种方法同时利用五种方法 分别求解一元隐函数和二元隐函数并分析和比较每个方法的优点与缺点
解两端同时对-求导得)-N) * 6N$ + 6M%"所以 -
例设 求 1 -N_-*-) P-4+M%" ,4# ,-
6M - 6N$
#
解两边同时求微分得 " ,-N-) P$-4,* -) P-4+ M%",-N
两端同时对求导得 所以 4
)4N)* 6N$+ 6M%" 4
46M6N4$#
一"也是高等数学中的一个难点# 利用多元复合函数求偏 导"对于初学者容易出错# 利用隐函数求导数可以求解空
隐函数的求导
x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
x x • 0 f1 1 f 2 y z x z y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
Fy z y Fz
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
2z 例3. 设 x 2 y 2 z 2 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
( F , G) P (u, v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
d2 y d ex y ( ) 2 x0 dx d x cos y x
) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1) (e y 2 ( cos y x )
x
x0 y0 y 1
3
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
z
z
F1 1 z
z y ( x2 ) F2 ( y2 ) F1
z z
z F2 1
z F2 x F1 y F2
隐函数求导归纳总结
隐函数求导归纳总结摘要：一般的函数都是将因变量写成自变量的明显表达式，形如y=f（x），这类函数成为显函数。
而有些函数不是用显函数或不能用显函数表示，例如x2+y2=xy，把种有F （x，y）=0表示的因变量y与自变量x的函数关系称为隐函数。
在求隐函数的导数时，有些直接由函数关系得到形如y=f（x）的显函数，再对其求导。
但是有些隐函数不能或很难解为y=f（x）的显函数形式，这时可直接用隐函数求导算导数。
本文简述了隐函数求导的几种常见方法，以供读者在求隐函数的导数时参考。
关键词：隐函数求导法则目录1 引言 (1)2 正文 (1)2.1 显化法： (1)2.2 公式法： (1)2.3 微商法： (2)2.4 参数法： (3)2.5 复合法： (4)2.6 直接法： (4)3、问题的回顾与总结 (5)1 引言对隐函数求导时许多初学微分同学们的一个难点问题，鉴于此问题，本文针对隐函数问题做出一些归纳，以供参考，隐函数是一类应用非常广泛的函数，隐函数求导法则在导数教学和求导过程中的合理使用，可以优化课程内容和结构。
2 正文通过对隐函数求导的学习，在此总结出六种常见的方法，并对每种方法的使用范围，优缺点都作出总结，现一一介绍如下： 2.1 显化法：把隐函数化为显函数，再利用显函数的求导方法，此方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导。
此方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用。
例题：方程+3x ㏑0)(=-x yxy 确定了y 是x 的函数，求y 对x 的导数。
解：原方程化解为㏑=-)(x y xy 3x -⇒3x e x y xy -=-⇒3)1(x e xx y -=-⇒xx ey x113-=-（将隐函数化为显函数，利用显函数的求导法则求y ´）222)1()11(113'33x x x e xx e x y xx-+-⋅+--=--232211331)11()3(x x x x x x y x y +-+--+-⋅+-= y x x x x x x 1)11()1(322-+---=)11(3x e xx y --= 但是，不是所有的隐函数都可采用隐函数化为显函数的方法，例如： 方程：-++y x xe xy 2㏑(arctan xy)+23x -y 4确定了y 是x 的函数，就不易将隐函数化为显函数。
隐函数求导
1 z y z 2 x 0
x, y
是自变量
z是x, y
的函数
z zF2 y xF1 yF2
16
例8 设函数f ( x , y )是由方程xyz x 2 y 2 z 2 2 确定的则z在点 1,0,1)处的全微分 z ( , ( d ). dx 2dy 解 法一 用公式
dz (1,0, 1) dx 2dy
18
例9 设u z 2 2z, 且z z( x, y )由方程xe x ye y ze z
( z 1)所确定, 求du.
解 2dz 2( z 1)dz e x dx xde x e ydy yde y e zdz zde z e x dx xe x dx e ydy ye ydy e z dz ze z dz
z 2( x z ) 2 y ( x y )2
2
13
x 例7 设有隐函数 F ( , z z z , 求 . x y
y ) 0 ,其中F的偏导数连续, z
用复合函数求导法
x, y , z x y 解 法一 公式法. 令 G( x , y , z ) F ( , ) 地位相同 z z G G F1 z 1 0, Gx 0 F2 z 1 z x y x Gz G F1 ( xz2 ) F2 ( yz 2 )
12
分析
z yz x x y
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数 2z 2z z z ( x , y ), 试求 2 , 2 . x y
再将上式两边对x求偏导, 得 z ( x y) ( y z) 1 2z 2( y z ) x 2 2 x ( x y )2 ( x y) 由x, y的对称性知,
隐函数求导问题的方法总结
隐函数求导问题的方法总结在微积分中，斜率是重要的概念。
它表明一个函数在某个点发生变化时，函数另一个参数的变化量。
在微积分中，求斜率就是求导，这是微积分中最常见的问题，也是学习微积分的基础。
求导的方法有很多种，但是在某些情况下可能出现隐函数的情况，而求解隐函数求导就比较困难，尤其是函数中有多个隐函数，一般情况下，很难一次性求出所有隐函数的导数。
首先，在求导之前，需要将隐函数显式化，从而简化计算。
比如，若有f（x）= y2+2xy-1，其中y是一个隐函数，那么可以将f （x）= (y+1)2-2，将f（x）显式化后，求y的导数则变得简单，可以用隐函数法求得。
其次，如果隐函数有多个，这样的情况就比较复杂。
一般情况下，推荐使用局部导数的方法，也就是把所有函数限制在某一个点，然后分别求各个函数的局部导数，直到求出所有隐函数的导数，局部导数法特别适用于多变量、多个隐函数的情况。
另外，对于非线性的隐函数求导，可以使用链式法则来进行求导。
这种方法要求对每个变量都求得一个导数，然后根据链式法则将这些导数进行组合，得到总的导数，链式法则很容易并且计算量不大，适用于各种多变量的情况。
最后，可以使用函数的分部展开的方法来求解隐函数求导。
这种方法要求将隐函数先转化为一个级数，然后求出各项系数，最后根据分部展开法则求出导数。
这样求出来的导数比较准确，所以使用分部展开的方法来求解隐函数求导是一个不错的选择。
总之，求隐函数求导的方法有很多，以上是其中的几种，选择正确的求导方法可以加快计算速度，提高计算精度，使求导过程更加顺利。
另外，学习微积分时，要多加练习，熟练掌握各种求导方法，才能使得解决问题更加轻松。
第五节 隐函数的求导方法 (P37)
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv Fu Fx 1 v 1 ( F , G ) Fu Fv Gu G x x J ( u, x ) Gu Gv Fu F 1 v 1 ( F , G ) y Fu Fv Gu G y J ( u, y ) y Gu Gv
例5.设函数
邻域内有连续的偏导数,且
在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数. 解: 1) 令 F ( x, y, u, v) x x (u, v) 0
( F , G) P (u, v)
0
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
有连续的一阶偏导数 , 分别由下列两式确定 :
e
xy
t 解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得
x y 2 , e 0
dt ,
u
x y z
解得
因此
e x ( x z) z 1 sin( x z ) du y e x ( x z) f 3 f1 f 2 1 dx x sin( x z )
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地质大学
课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法
学院：信息工程学院
专业名称：电子信息类
小组成员：史秀丽
角子威
季小琪
2016年05月27日
摘要 (3)
一．隐函数的概念 (3)
二．隐函数求偏导 (3)
1.隐函数存在定理1 (3)
2.隐函数存在定理2 (4)
3.隐函数存在定理3 (4)
三. 隐函数求偏导的方法 (5)
1.公式法 (5)
2.直接法 (6)
3.全微分法 (6)
参考文献 (8)
摘要
本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法
一．隐函数的概念
一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一
值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间确定
了一个隐函数。
例如，方程013
=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，
取值时，变量y 有确定的值与其对应。
如等时时321,10=-===y x y x 。
二．隐函数求偏导
1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。
，y 。
）在某一领域具有连续偏导数，
且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。
，y 。
）的某一领域恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有
y
x
y F F d d x -
=。
例1:验证方程2x -2
y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx
dy
在x=1处的值。
解 令),(y x F =2x -2
y ,则
x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0
由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有
dx dy =y
x F F -=y x 22=y x
故
1=x dx
dy
=
)
1,(!y x
=1
2.隐函数存在定理2 设函数()z y x F ,,在点）（ z y x P ,,的某一邻域具有连续偏导
数，且）（ z y x F ,,=0，0,,≠）（ z y x F z ，则方程()0,,=z y x F 在点() z y x ,,的某一邻域恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件() y x f z ,=并有
z
y z x F F y z
F F x z -=∂∂-=∂∂,。
例2：设函数()y x z z ,=由方程z y x z xy ++=2
所确定，求
y
z
∂∂ 解：设()z y x z xy z y x F ---=2
,,
则012
≠-=xy F z （将x ，y 当常数，对z 求偏导）
12-=xyz F z （将x ，y 当做常数，对y 求偏导）
根据定理2：
2
211
2112xy
xyz xy xyz F F y z z y --=---=-=∂∂ 3.隐函数存在定理3 设()v u y x F ,,,、()v u y x G ,,,在点()0000,,,v u y x P 的某一邻域具有对各个变量的连续偏导数，又()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
(Jacobi)）
()()
v F v
G u F u G v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=,,
在点()0000,,,v u y x P 不等于零，则方程组()()0,,,,0,,,00000000==v u y x G v u y x F 在点
()0000,,,v u y x 的某一邻域恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
),(),,(y x v v y x u u ==,它们满足条件),(000y x u u =，),(000y x v v =，并有
Gv Gu Fv Fu Gv Gx Fv
Fx v x G F J u -=∂∂-=∂∂)
,()
,(1x
Gv
Gu Fv Fu Gx Gu Fx
Fu
x u G F J v -=∂∂-=∂∂)
,()
,(1x
Gv Gu Fv Fu Gv Gy Fv Fy
v y G F J u -=∂∂-=∂∂),(),(1y
Gv
Gu Fv Fu Gy Gu Fy
Fu y u G F J v -=∂∂-=∂∂),()
,(1y
例3：设1,0=+=-xv yu yv xu ，求
.,,,y
v
x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：⎩⎨⎧→⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧−−−−−→−-=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=⋅∂∂-∂∂⋅+=∂∂⋅++∂∂⋅=-=+u x
v
y x u x v x v x x u y y x v x u x u x v x v x u y x yv xu xv yu 0001求导方程两边对
由定理3可求 022≠+==
=
-∂∂∂∂∂∂∂∂J y x J y x
x y v F v
G u F u
G 且
则2
2y x yv
xu x
u y x
x y y x u v +=-
==∂∂----
2
2y
x xv
yu x
v y x
x y u v x y +-=
=∂∂---
{
⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−=∂∂⋅-∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂⋅+∂∂⋅+=-=+v y v y y u x u y
v
x y u y y
v y v y u x y v x y u y u yv xu xv yu 00y 01
求导方程两边对
同上可求得
22y x yu xv y u +-=∂∂ 2
2y x yu
xv y v +--=∂∂
三. 隐函数求偏导的方法
1.公式法：即将方程中所有非零项移到等式一边，并将其设为函数F,注意应将x,y,z 看作独立变量，对F(x,y,z)=0分别求导，利用公式
=x z -Z X F F ,=y z
-z
y F F 。
2.直接法：分别将F(x,y,z)=0两边同时对x,y 看作独立变量，z 是x,y 的函数，得到含y
z x z ,的
两个方程，解方程可求出y
z x z ,.
3.全微分法：利用微分形式的不变性，对所给方程两边求微分，整理成
,),,(),,(dy z y x v dx z y x u dz +=则dy dx ,的系数便是y
z x z ,，在求全微分时，z 应看做自变量.
例1.已知x y y x arctan ln 22=+，求2
2
dx
y d . 解. 方法一：
令22ln ),(y x y x F +=-)ln(21arctan 22y x x y +=x
y arctan -
则2
222),(,),(y x x
y y x F y x y x y x F y
x +-=++=
所以
=dx dy =-y x F F x
y y x -+- 上式再对x 求导得
3
222'22)
()(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--=
方法二： 方程,0arctan ln
22=-+x
y
y x 两端分别对x 求导得
22
'y x yy x ++02
2'=+--y
x y
xy
y
x y
x dx dy -+= 3
222'22)
()
(2)(22y x y x y x y xy dx y d -+=--= 方法三：
方程x
y
y x arctan ln
22=+，两端分别求微分得
)(arctan )(ln 22x
y
d y x d =+
利用全微分不定性，上式化为
x y
d x
y y
x dy dx 2
2
2
22
21121+=++ 由全微分运算法则计算并化简得
3
222
'22)()
(2)(22)()(y x y x y x y xy dx y d x
y y x dx dy dx y x dy y x -+=--=-+=+=-
参考文献
【1】同济大学数学系.高等数学第七版下册【M】：高等教育，2014.7
【2】段生贵，南斌.高等数学学习指导【M】：电子科技大学，2014.8
【3】邵燕南.高等数学【M】
：高等教育，2014.7
【4】王顺风，吴亚娟.高等数学【M】
：东南大学，2014.5
【5】纪修，於崇华，金路.数学分析【M】
：高等教育，2004.4。