中考专题第九讲几何最值及路径长

第九讲几何最值及路径长

预习

如图，A , B 为定点，P 为直线I 上一点，若点

提示：

① 分析定点（A ，B ），动点（P 在直线I 上动），

不变特征

② 以I 为对称轴利用轴对称进行转化

③ 由“两点之间，线段最短”确定位置 2.如图，A,B 为定点，MN 为直线I 上一可以移动的线段，且MN 长度固定，若点M 恰好使

AM+MN+BN

最短，请画出点M 的位置.

提示：

① 分析定点（A ，B ），动点（M ，N 在I 上动，且MN 长度固定），不变特征

② 先平移BN ，使平移后的点N 与M 重合，将其转化为问题1

③ 以I 为对称轴利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置 3.如图，/ AOB=60°点P 在/ AOB 的平分线上，OP=10cm ,点E ，F 分别是/ AOB 两边OA , OB

上的动点，当△ PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是 _____________________ .

提示：①分析定点（P ），动点（E 在OA 上动，F 在OB 上动），不变特征

② 分别以OA , OB 为对称轴，将P 对称过去，得到P i ，P 2

③ 连接P 1P 2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解 1. P P 的位置. I

M N

知识点

1.几何最值问题的处理思路

① 分析定点、动点，寻找不变特征；

② 若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题； 若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题.

转化原则： 尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标.

基本定理: 两点之间，线段最短（已知两个定点）

垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）

三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）

过圆内一点，最长的弦为直径， 常用模型、结构示例:

①轴对称最值模型

固定长度线段MN 在直线I 上滑动，求AM+MN+BN 的最小值，需平移BN

（或

AM ），转化为 AM MB 解决.

②折叠求最值结构最短的弦为垂直于直径的弦

求FA+PB 的最小值, 使点在线异侧 求|PA-PB|的最大值,

使点在线同侧

求BA的最小值，转化为求BA'+A'N+NC的最小值（利用A'N+NC为定值）.

2.解决路径长问题的思路

①分析定点、动点，寻找不变特征；

②确定运动路径；

通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证.

③设计方案，求出路径长.

典型题型

1. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3,

如图，在矩形ABCD中，AB=4,

P为斜边0B上一动点，贝U PA+PC的最小值为

2. BC=8，E为CD边的中点.若P，Q为BC边上的两动点，且

PQ=2,则当BP= __________________ 寸，四边形APQE的周长最小.

3.如图，在厶ABC中，/ ACB=90°AB=5, BC=3. P是AB边上的动点（不与点B重合），将厶BCP

沿CP所在的直线翻折，得到△B'CP,连接B'A则B'A长度的最小值是____________________ .

B'

第5题图

A D

第4题图

4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/A=60°M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将厶AMN

沿MN所在的直线翻折得到△A MN连接AC，则A'C长度的最小值是____________________ •

5.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17,将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A处,

折痕所在直线同时经过边AB，AD （包括端点），设BA' x,则x的取值范围是 ______________________ .

6.如图，在△ABC 中，/ ABC=90°AB=6，BC=8，O 为AC 的中点，过O 作OE丄OF，OE, OF

分别交射线AB，BC于E，F，连接EF，则EF长度的最小值为__________________ .

A

B F C

7.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF •连接CF交BD于点G，连接BE交AG

于点H，连接DH •若正方形的边长为2,则DH长度的最小值是 ___________________________________________ .

8.如图，△ABC，^ EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC

相交于点皿.当厶EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是 _______________________ :

9.如图，AB是。O的一条弦，点C是。O上一动点，且/ ACB=30°点E，F分别是AC，BC的中

点，直线EF与。O交于G，H两点•若。O的半径为7,则GE+FH的最大值为 _____________________________ :

H

10.如图，直线I 与半径为4的。O相切于点A, P是。O上的一个动点（不与点A重合），过点P

作PB丄l，垂足为B,连接PA.设PA=x, PB=y，则（x-y）的最大值是 ______________________ :

11.如图，边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O,把BA与CD分别绕点B和点C逆时针

旋转相同的角度，此时正方形ABCD随之变成四边形A'BCD 设A'C, BD交于点O',若旋转了

60°则点O运动到点O'所经过的路径长为 _________________ .