非齐次线性方程组例题
齐次和非齐次线性方程组解的关系
区别：齐次方程的解向量是n-r个线性无关的向量非齐次方程的解向量是n-r+1个线性无关的向量，由非齐次特解x0和齐次方程的基础解系构成。
联系：任意两个非齐次特解之差总是齐次方程的解区别以下举例说明:1、非齐次线性方程组，等号右边不全为零的线性方程组，如：x+y+z=12x+y+z=3x+2y+2z=42、齐次线性方程组，等号右边全为零的线性方程组，如：x+y+z=02x+y+z=0x+2y+2z=0一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子,我们称之为齐次式。
正如上面例题中的，xyz的次数都是1，所以就是齐次式。
联系:方程解加上非齐次方程的一个特解就是对应非齐次方程的解。
扩展资料齐次线性方程组有无零解和非齐次线性方程组是否有解的判定。
对于齐次线性方程组，当方程组的方程个数和未知量的个数不等时，可以按照系数矩阵的秩和未知量个数的大小关系来判定;还可以利用系数矩阵的列向量组是否相关来判定;当方程组的方程个数和未知量个数相同时，可以利用系数行列式与零的大小关系来判定，还可以利用系数矩阵有无零特征值来判定;对于非齐次线性方程组，可以利用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等即有关矛盾方程来判定;还可以从一个向量可否由一向量组线性表出来判定;当方程个数和未知量个数相等时，可以利用系数行列式是否为零来判定非齐次线性方程组的唯一解情况;今年的考题就体现了这种思想。
2、齐次线性方程组的非零解的结构和非齐次线性方程组解的的无穷多解的结构问题。
如果齐次线性方程组有无穷多个非零解时，其通解是由其基础解系来表示的;如果非齐次线性方程组有无穷多解时，其通解是由对应的齐次线性方程组和通解加本身一个特解所构成。
例5非齐次线性方程组
1 0 0
0 2 1
1 3 2
2 6 9
2
6
5
1 0 1 2 2
~r2
r3
0
1
2
9
5
0 2 3 6 6
1 0 1 2 2
~ 0 r3(2)r2 1 2
9
5
0 0 1 12 4
1
~ 0 r1(1)r3
r2 2r3 0
0 1 0
0 0 1
10 15 12
~ 2
3 4
，P2
BQ2
Er2 0
0
0
AB
P11
Er1 0
0 0
Q1 1
P21
Er2 0
0 0
Q2-1
令C=Q1-1P21
C1
C3
C2 C4
，其中C1为r1
r2型矩阵，
R(C)=n,又
Er1 0
0 0
C
Er2 0
0
0
C1 0
0 0
D
R( AB) R(D) R(C1),
2
0 9 9 9
可知系数矩阵A与增广矩阵B的
秩不等,所以方程组无解;
当 1时,增广矩阵B为
1
B=(A
b)=
2
2 4
2 4
~ 1
2
r2 r3
( 2 2 r1
)
r1
1 0
2 0
2 1
0
0
2 4 4 2
0 0 0 0
由此可知系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等1,所以方 程组解且有无穷多.
1 0 0
c2 (1)
0
1
第4章第3节非齐次线性方程组
证明 A (ξ +η ) = Aξ + Aη = 0 + β = β 所以 x = ξ +η 是方程 A x = β 的解
非齐次线性方程组 的通解
其中 kξ1+kξ + + kn−r ξ n − r 是对应的 齐次 方程组 的通解, ... 是对应的齐次 通解, 1 2 2 5 η * 是非齐 线性方程组的任何一个特解. 线性方程组的任何一个特解 特解.
1 1 0 0.5 1 0 0 −2 0
原方程组有无穷多个解， 原方程组有无穷多个解， 它同解于 无穷多个解
x1+0.5x2−0.5x3 = 0.5 −0.5 0.5 x1 0.5 x4 = 0 x 1 0 通解为 2 = 0 + k1 + k2 x1 =0.5 −0.5x2+0.5x3 0 1 x3 0 x2 = x2 0 0 x4 0 x = x3 3 第2行减去 第1行 与第,3行之和 与第3 其中 k1 k2 为任意实数 x4 = 0第3行减去 第1行 7
次
x=k1 1+k2ξ 2 +... +kn−r ξ n− r +η* =ξ
x1 − x2 − x3 + x4 = 0 例1 求解方程组 x1 − x2 + x3 −3x4 = 2 x1 − x2 −3 x3+5x4 = −2 1 1 1 1 −1 −1 1 0 1 −1 −0 − 1 0 解 对增广矩阵 A =1 −1 1 −3 2 ~ 0 0 1 −4 2 2 2 1 进行初等行变换 1 −1 −3 5 −2 0 0 −2 4 −0 0 0 2 R ( A ) = 2 = R( A ) < 4
齐次和非齐次线性方程组的解法整理
线性方程组解的结构(解法)一、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r <n ,若小 0 (A为用"矩阵)的一组解为匚爲，…,爲一，且满足：(1)看岛宀雋円线性无关；⑵AX= 0的)任一解都可由这组解线性表示.则称刍易，…，蔦-为的二0的基础解系.称X =镯刍+ k為+…+为AX= 0的通解。
其中人,虬…，A-,为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组衣二0有解，则(1)若齐次线性方程组AT二0 (A为〃7"矩阵)满足r(A) = n ,则只有零解；⑵ 齐次线性方程组有非零解的充要条件是r(A) <n.(注：当山=/?时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式\A\=0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n-r(A).2、非齐次线性方程组AX=B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX=O所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若加是系数矩阵的行数(也即方程的个数)，"是未知量的个数，则有：(1)当加<"时，r(A)<m<n,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；(2)当/；/ = //时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式卜| = 0；(3)当m =八且HA)="时，若系数矩阵的行列式则齐次线性方程组只有零解；(4)当川>”时，若r(A) < n ,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) > n ,则齐次线性方程组无解。
1、求AT= 0 (A为m x //矩阵)通解的三步骤(1)A^-^C (行最简形)；写出同解方程组6T=0.(2)求出6T=0的基础解系⑶ 写出通解*=人刍+心金+•・・ + /-总t其中 7 也为任意常数.所以，原方程组的通解为X=k^+k2^2+k^ (人，町,2R).二、非齐次线性方程组的解法求AX- b的解(A mxn r(A) = r )用初等行变换求解，不妨设前r列线性无关(1) <+1工0时，原方程组无解.⑵= 0” = ”时,原方程组有唯一解.⑶〃冲=0” S时,原方程组有无穷多解.其通解为焉爲+••• + &・《“，也,…,咕为任意常数。
3-6.非齐次线性方程组
ïï í ï
x2 x3
= =
x2
2x4 + 1 2
ïîx4 =
x4
çæ x1 ÷ö çæ 1÷ö çæ 1÷ö çæ1 2÷ö
ç ç ççè
x2 x3 x4
÷ ÷ ÷÷ø
=
k1
ç ç
ççè
1÷ 00÷÷÷ø
+
k2
ç ç
ççè
0÷ 12÷÷÷ø
+
ççççè1002÷÷÷÷ø.
(k1, k2 Î R)
例2 求解非齐次线性方程组
ú ú
êë0 0 0 0 0 k -3úû
ìx1 = x3 + x4 + 5x5 - 2
得
ï ïï í
x2 x3
= =
-2 x3 x3
-
2x4
-
6 x5
+
3
ï ï
x4
=
x4
ïîx5 =
x5
通解 为
é 1 ù é 1 ù é 5 ù é- 2ù
êê- 2úú
êê- 2úú
êê- 6úú
ê ê
3
ú ú
x
x = k1x1 + L + kn-rxn-r + h * .
例1 求解非齐次方程组的通解
ì ï í
x1 x1
-
x2 x2
+
x3 x3
+ -
x4 = 0 3x4 = 1
注意书写格式
ïî x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = - 1 2
非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩 阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最 简形矩阵，便可写出其通解；
线性代数-非齐次线性方程组
充分性:若r(A)=r(A|b) ，即d r+1 =0,则（*）有解。
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 其余n r个作为自由未知量,
即可得方程组的一个解． 并令 n r 个自由未知量任意取值，
定理1更常用的描述是：
此乃第三章的 精华所在
定理1’
对n 元非齐次线性方程组 Amn x b ，
Ch3 矩阵的秩与线性方程组
第 二节
(非)齐次线性方程组
一、线性方程组有解的 判定
二、线性方程组的解法
对于m个方程n个未知数的线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 ........................................... a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1
解 对增广矩阵 A 进行初等变换，
r12 ( 3) 1 2 3 1 1 1 2 3 1 1 r ( 2) A 3 1 5 3 2 13 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r23 ( 1) 0 5 4 0 1 0 0 2
2 当 1时,
1 1 2 A ~ 0 1 1 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 2 ~ 0 1 1 0 0 ( 2 ) 1 2
问取何值时, 有唯一解? 无解？有无穷多个解 ?
解一 对增广矩阵 A ( A, b) 作初等行变换，
A 1 1
1
3.5 非齐次线性方程组解
a1n a2n = , ,, 1 2 n a mn
A = ( A B ) = 1, 2 ,, n ,
则有等价的矩阵形式： 则有等价的向量形式： AX＝B
x1 b1 x b 2 2 X= ,B= = xn bm
求该方程组的通解. 解 因为方程组AX＝B的导出组的基础解系含 4－3=1个解向量，于是导出组的任何一个非零解 都可作为其基础解系。
1 7 1 而 g 1 g 2 g 3 = 0 2 3 2
是导出组的非零解，故方程组AX=B的通解为
得通解为：
1 1 5 16 1 0 0 23 X = c1 2 c2 －2 c3 －6 0 . 0 1 0 0 0 0 1 0
令 x3 = x4 = x5 = 0,
得AX＝B特解：
16 0 g 0 = 23 0 0 所以，通解为
g = g 0 c11 c22 c33
(c1, c2 , c3 R)
也可由消元解法求通解：
原方程组的同解方程组为：
不唯一。 （3）AX＝B无解
r ( A) = r ( A) < n r 1, 2 ,, n = r 1, 2 ,, n , < n 可由1, 2 ,, n 线性表出，表示式 r ( A) r ( A) r 1, 2 ,, n = r 1, 2 ,, n , 1 不可由 1, 2 ,, n 线性表出。
方程组AX＝B的解。 证明 因为A g ＝B , A＝0，
4.4 非齐次线性方程组
1 1 −1 2 1 0 a +1 0 b 0 0 a + 1 0 1 1 1
代 数
(1)当a ≠ −1, r ( A) = r ( A) = 4(未知量个数), 有唯一解, 为求解, 将 A进一步化为简化行阶梯型 :
= =
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 − 1 2 1 0 1 − 1 0 1 A→ b → b 0 0 1 0 0 0 1 0 a + 1 a + 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2b b 1 1 0 0 1 − a + 1 1 0 0 0 − a + 1 b b 0 1 0 0 1 + 0 1 0 0 1 + → → a + 1 a + 1 b b 0 0 1 0 0 0 1 0 a +1 a +1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ⇒ 唯一解为 − 2b a + b +1 b x1 = , x2 = , x3 = , x4 = 0 a +1 a +1 a +1 (2)当a = −1, 且b ≠ 0时, r ( A) = 2, r ( A) = 3, 方程组无解
证
A的行向量组是 的行向量组的部分组， 的行向量组是B 的行向量组的部分组，
线
的行向量组可由B 的行向量组线性表出, 所以 A 的行向量组可由 的行向量组线性表出 A 的行向量组的秩 ≤ B 的行向量组的秩 性 又
性 代 数
x1 b1 矩阵形式 : Ax = b, 其中A = (aij ) m×n , x = ⋮ , b = ⋮ xn bm 向量形式 : x1α1 + x2α 2 + ⋯ + xnα n = b (4.9) 其中, α j = (a1 j , a2 j ,⋯ , amj )T , j = 1, 2,⋯ , n 即 A = [α1 α 2 ⋯ α n ]
4-4非齐次线性方程组解
1 0 2 , 2 1
于是所求通解为
x1 1 1 1 2 x2 1 0 0 x 3 c1 0 c 2 2 1 2 , (c1 , c 2 R ). 0 1 0 x4
x1 x 2 x4 1 2 , x 3 2 x4 1 2 . 1 取 x 2 x4 0, 则 x1 x 3 , 即得方程组的一个特解 2 1 2 0 . 12 0 x1 x 2 x 4 , 在对应的齐次线性方程 组 中, 取 2 x4 x3
3 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 2 0 1 0 0 0 0 0 2
2 1 方程组*有无穷多解，通解为 X k 1 2 . 1 0 可由1 , 2 , 3表示为 2k 11 k 2 2 k 3 , k为任意实数.
法2：利用Cramer法则
k 1 1 2 D 3 2 k ( k 1)( k 3) 0 1
当 D 0 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当k
1 1 1 5 1 0 1 3 ( A, b) 3 2 1 13 0 1 2 2 0 1 2 2 0 0 0 0
的秩相等.
四、思考与练习
思考题:
1 2 0 3 4 7 1 10 已知1 , 2 ,1 , , 0 1 1 b 2 3 a 4 问: （ 1 ）a , b取何值， 不能1 , 2 , 3由线性表示 （ 2 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3唯一线性表示 ; （ 3 ）a , b取何值， 能由1 , 2 , 3线性表示但不唯一， 并写出表示式
非齐次线性方程组有非零解的条件及结构
解答 写出增广矩阵并对之作初等行变换化简，得
13
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显然可见 原方程组有解 所以，当
，所以
时，原方程组有解，此时通解为
其中，k 为任意常数.
14
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例 k为何值时，线性方程组
有唯
一解，无解，有无穷多组解？若有解时，求出其解. 解 设线性方程组的系数矩阵为 ，则
第四章 向量与线性方程组
§4.6
非齐次方程组有解 的条件及解的结构
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非齐次线性方程组与导出组 定义 与非齐次线性方程组 相同的齐次线性方程组 的系数矩阵相 称为
的导出组，或对应的齐次线性方程组. 非齐次线 性方程组
导出组
2
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非齐次线性方程组的解与其导出组解之间的关系 ① 若 则 ② 若 ③ 若 是 也是 是 是 的一个解, 是 的一个解,
当
时，即
时，线性方程组有唯一
解，由Cramer 法则求之得其解为
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当
时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
阶梯型矩阵为
由于 当
所以方程组无解； 时，线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
阶梯型矩阵为
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由于
所以方程组无穷解；
此时原方程组有同解方程组为
线性相关 （因 能由 能由 ② 当 则 是 线性表示 （因 线性表示 时，由 ① 知 仅有零解. 设 这表明方程组 ③ 设 为 是 的解，故 为
线性无关）
的极大无关组） 有解. 有解，且 的任意两解， 或者有 的解但唯一. 的任意
第三节 非齐次线性方程组
例4. 设四元非线性方程组Ax b的系数矩阵的秩R( A) 3， 1， 2， 3为Ax b的三个解， 且 1 2 3 1 2， 2 3 4， 3 4 5 求Ax b的通解. 解： 4 R( A) 1, Ax b的导出组Ax 0的基础解系含一个解向 . 量 又由已知得1 2， 1 3为Ax 0的解， 所以 (1 2 ) (1 2 ) 21 ( 2 3 )为Ax 0的解. 0 0 而21 ( 2 3 ) 1 0， 1为Ax 0的基础解系， 故 2 2 3 3
6. 求通解的步骤 : (1)用初等行变换化B 为简化阶梯形矩阵；
( 2) 取自由未知量全为0， 求出特解 * ; ( 3) 取自由未知量为基本单位向量组， Ax 0的基础解系； 求出 (4) 写出通解 x * k11 k2 2 kn r n r . x1 x 2 x 3 x4 0, 例1. 求方程组 x1 x 2 x 3 3 x4 1, 的通解. x1 x 2 2 x 3 3 x4 1 2 . 解： 1 1 1 1 0 r2 r1 1 1 1 1 0 r31 1 r2 1 1 1 1 0 2 r3 r1 B 1 1 1 3 1 ～ 0 0 2 4 1 2 r2 0 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 3 2 0 0 1 2 2 ～ 0 0 0 0 0 1 r1 r2 1 1 0 1 2 x1 1 x2 x4 , 2 ～ 0 0 1 2 1 , 所以原方程组可化为： 2 x 3 1 2 x4 . 2 0 0 0 0 0 1 2 取x2 x4 0, 得方程组的特解： * 0 . 1 2 0
大学数学基础(2)mooc-非齐次线性方程组(3)
a n 1 1
a n 1 2
a n 1 3
a n 1 n
结论 n阶范德蒙行列式 0 x 、 x 、 、 x 互不相同.
1
2
n
例 2 已 知 1 (1, 0 , 2 , 3 ) , 2 (1,1, 3 , 5 ) , 3 (1, 1, a 2 ,1) , 4 (1, 2 , 4 , a 8 ) 及 (1,1, b 3 , 5 )
(1)问
a
,
b为
何
值
时
，
不
能
表
示
成
1
,
2
,
3
,
的
4
线
性
组
合
；
( 2 )问 a , b 为 何 值 时 ， 有 , , , 唯 一 线 性 表 示 式 ， 并 写 出 该 表 示 式
1
2
3
4
解
设
k
1
1
k
2
2
k
3
3
k
4
4
k1 k2 k3 k4 1
其通解为 c c
11
22
c ； nr nr
(iii) r ( A ) r ( A )时 ， 方 程 组 A X b无 解 .
唯 一 解 的 求 法 (1) 使 用 克 莱 姆 法 则 求 唯 一 解 ； (2) 初 等 行 变 换 求 唯 一 解 ； ( 3 ) 解 矩 阵 方 程 求 唯 一 解 . 由 方 程 组 A X b 可 得 X A 1b
3-3 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组
一、有解的判定
m × n非齐次线性方程组的一般形式： a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m 1 x 1 a m 2 x 2 a m n x n bm
~ 当 1 且 2时， A ~
~ r ( A) r ( A) 3 有唯一解 1 1 2 4 ~ ~ r ( A) 2 r ( A) 3 当 2时，A ~ 0 1 1 2 0 0 0 1 无解 ~ 1 1 1 1 ~ r ( A) r ( A) 1 3 当 1 时， A ~ 0 0 0 0 有无穷多解 0 0 0 0
A 1 1 1
1
1 1
1 2
2
由Cramer法则可得： 当 1 且 2时，有唯一解 而当 1或 2 时，只能用秩来判断解的情况．
b1 1 b1 行变换 ~ ··· ~ b k 1 0 bm 记为 B c
O
b1 n bkn 0
c1 ck ck 1 0
若c k 1
若ck 1
~ 0，即r ( A) r ( A),
11 2t 3 5 1 t 3 2 2 3
11 2t 3 5 1 x2 t 3 2 x3 t x1 2 x4 3
x1 11 / 3 2 x 5 / 3 1 / 2 2 t , x 通解： 0 1 x3 x4 2 / 3 0
4.4齐次线性非齐次线性方程组方程典型例题
6 6
3
a 3
0
1
2
2
6
b 5
1 1 1 1 1 1
r3 r2
～～
r4 r2
0 0
1 0
2 0
2 0
6 0
3
a
0
0
0
0
0
b
2
由此可看 R( A) 2
（1）当 a 0 或 b 2 时，R( A) R( A) ，方程组无解；
（2）当 a 0且 b 2 时，R( A) R( A) 2 5
1
1 1 2
1
1
:
0
1
a
1
:
0
1
a
1
0 0 (a 3)(a 1) a 3 0 0 a2 2a 3 a 3
• 因为该线性方程组无解，所以r(A) r(A b)，应有 R(A)<3. 故必有(a-3)(a+1)=0 ，即a=3或a=-1.
• 当a=3时，r( A) r( A b) 2，方程组有解（舍 去）；
方程组有无穷多解。
1 1 1 1 1 1
当a 0,b 2 时, 得 A 0 1 2 2 6 3
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
x2 1 3 2x3
x3 x4 2x4
6
x5 x5
取x3
x4
x5
0
, 得非齐次方程组的特解
0 (2,3,0,0,0)T
解 对增广矩阵作初等行变换
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
A
3
0 5
2 1 4
1 2 3
齐次和非齐次线性方程组的解法定稿
齐次和非齐次线性方程组的解法定稿This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -.2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有： （1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
4.2-非齐次线性方程组
3x5 23,
2,
8 x1 3 x2 4 x3 3 x4 x5 12.
1 1 1 1 1 7
解
B
3 0
1 2
2 1
1 2
3 6
2 23
8 3 4 3 1 12
1 1 1 1 1 7
0
2
1
2
6
23
0 0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
由 r A r B 知方程组有解. 又r A 2, n r 3,
2 x1 0 x1
3x2 3x3 x2 bx3 3
6x4 5 x4 3
x1 x2 0 x3 ax4 8
讨论a, b 取何值时,
方程组无解? 有唯一解?有无穷多解?
解 对增广矩阵进行初等变换
1 2 3 5 1
(
A,
)
2 0
3 1
3 b
6 3
5
3
1
1
0
a
8
1 2 3 5 1
所以 r(A) 2
方程组的通解为. x 1 k1(1 2 ) k2 (1 3)
小结
１．齐次线性方程组基础解系的求法
（1）对系数矩阵 A 进行初等变换，将其化为
最简形
1 0 b11 b1,nr
0 A~
1
br1
br
,nr
0 0
0 0
（2）得出 r A r，同时也可知方程组的一
a31 xx11
a2 b2
x2 x2
a3 x3 a4 x4 d1 2 x3 b4 x4 d2
9x1 4x2 x3 cx4 d3
求方程组的通解.
求非齐次线性方程组的全部解
求非齐次线性方程组的全部解非齐次线性方程组ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(a)=rank(a， b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(a)=n。
当系数矩阵a的秩等于增广矩阵b的秩时非齐次线性方程组有解。
（矩阵的秩就是指矩阵通过初等行变换和初等列变换得到的非零行或非零列的个数。
）当方程存有唯一解时，r(a)=r(b)=n；当方程组有无限多个解时,r(a)=r(b)=r\ucn；当方程组难解时，r（a）＜r（b）。
1、非齐次线性方程组：常数项不全为零的线性方程组比如：x+y+z=1;2x+y+3z=2;4x-y+3z=3;2、齐次线性方程组：常数项全部为零的线性方程组例如：x+y+z=0;2x+y+3z=0;4x-y+3z=0;齐次线性方程组求解步骤：1、对系数矩阵a展开初等行转换，将其化成行阶梯形矩阵；2、若r(a)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；若r(a)=r\ucn（未知量的个数），则原方程组存有非零求解，展开以下步骤：3、继续将系数矩阵a化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；4、挑选出最合适的民主自由未知量，并挑适当的基本向量组，代入同解方程组，获得原方程组的基础卢播，进而写下吉龙德。
（1）对增广矩阵b施行初等行变换化为行阶梯形。
若r(a)\ucr(b)，则方程组无解。
（2）若r(a)=r(b)，则进一步将b化成行及最简形。
（3）设r(a)=r(b)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数，即可写出含n-r个参数的通解。
非齐次线性方程组
3.3 非齐次线性方程组3.3.1问λ 取何值时方程组1212122(4)70(2)2302560x x x x x x λλλ+-+=⎧⎪-++=⎨⎪++-=⎩有唯一解、无穷多个解、无解？并在有无穷多个解时求出其通解。
解：由于系数矩阵不是方阵，故只能使用初等行变换法。
22472562230112565686022A λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎢⎥⎣⎦① 当1λ=-时，2571115022000A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由()()2r A r A ==，知方程组有唯一解。
由 11011150111000A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 知唯一截为12111511x x ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦② 当1λ≠-时，256011(1)(12)002A λλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦，则若1λ=，则由()()2r A r A ==知有唯一解1251x x -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；若12λ=，则由()()2r A r A ==知也有唯一解121;21x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦若1λ≠且12λ≠，则由()23()r A r A =≠=知方程组无解。
3.3.2 选择题（1）设A ＝1100011000111001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，Ax b =有解的充分必要条件为（ D ）。
（A ）1234a a a a === （B ）12341a a a a ==== （C ）12340a a a a +++= （D ）12340a a a a -+-=（2）非齐次线性方程组Ax b =，对应的导出组方程组0Ax =，则（ D ）正确。
（A ） 若0Ax =仅有零解，则Ax b =有唯一解 （B ） 若0Ax =有非零解，则Ax b =有无穷多组解 （C ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =仅有零解 （D ） 若Ax b =有无穷多组解，则0Ax =有非零解3.3.2设123,,a a a 是互不相同的常数，证明下面的方程组无解。
§2.4非齐次线性方程组
, β n 可由 α1 , α 2 ,
, α n 线性表
, β n } ≤r { α1 ,α 2 ,
,α n }
,α n 线性相关，故有
r{ α 1 ,α 2 ,
,α n } < n
于是， r{ β 1 , β 2 , 由此可得 β 1 , β 2 ,
⇔
⎛ AT ⎞ ⎛O⎞ ⎟ X = ⎜ ⎟ 无解， ⎜ ⎜ bT ⎟ ⎝1⎠ ⎠ ⎝
证明 （1）设 AY = b有解，则存在一个Y0 ，使
T AY0 = b 。于是，Y0 AT = bT。
任取 AT X = 0 的一个解 X 0 ，则 AT X 0 = 0 。 因
b X0 =
T
T T (Y0 A ) X 0
⎛ AT ⎞ ⎛O⎞ 设 “⇐” 方程组 ⎜ T ⎟ X = ⎜ 1 ⎟ 无解 ，则 ⎜b ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛ AT 秩⎜ T ⎜b ⎝
又
⎛ AT ⎞ ⎛ AT 0⎞ ⎟ ≠ 秩⎜ ⎟ 且 秩⎜ ⎟ ⎜ bT ⎟ ⎜ bT 1⎠ ⎝ ⎝ ⎠
⎛ AT ⎞ 0⎞ ⎟ +1 ⎟ = 秩⎜ ⎟ ⎜ bT ⎟ 1⎠ ⎝ ⎠
(∗)
令
⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 ⎟, α = ⎜ a22 ⎟, α1 = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜a ⎟ ⎜a ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ m1 ⎠ ⎝ m2 ⎠
⎛ a1n ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a2 n ⎟, β = ⎜ b2 ⎟ , αn = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ ⎜b ⎟ ⎟ ⎝ mn ⎠ ⎝ m⎠
非齐次线性方程组唯一解例题
非齐次线性方程组唯一解例题
Ax=0无非零解时.则A为满秩矩阵。
则Ax=b一定有解
Ax=0有无穷多解时，则A一定不为满秩矩阵，
Ax=b的解得情况有无解和无穷多解
无解：R(A)≠R(A|b)
无穷解：R(A)等于R(A|b)。
且不为满秩
Ax=b无解时，可知Ax=0一定有无穷多解
Ax=b有唯一解时，可知A为满秩矩阵，则Ax=0只有零解
齐次线性方程组，要么零解（R(A)=n），要么无穷解（R(A)<n) 一个零解，一个非零的唯一解.不能同时发生。
扩展资料：
解的存在性
非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A,b)（否则为无解）。
非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。
非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。
（rank(A)表示A 的秩）。