数学建模案例分析-灰色系统方法建模3灰色模型GM1,N及其应用

§3 灰色模型GM(1,N)及其应用

客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。 设有N 个数列 N i n X X X X i i i i

,,2,1))(,),2(),1(()0()0()0()

0( ==

对)

0(i X 做累加生成，得到生成数列

N

i n X n X X X X m X m X

X

X

i i i i i n

m i m i

i

i

,,2,1))()1(,),2()1(),1(()

)(,,)(),1(()0()1()0()1()1(1

)0(2

1

)0()0()1( =+-+==∑∑==

我们将数列)

1(i X 的时刻n k ,,2,1 =看作连续的变量t ，而将数列)

1(i X 转而看成时间t 的函数)()1()

1(t X X i i =。如果数列)1()1(3)1(2,,,N X X X 对)

1(1X 的变化率产生影响，则可建立白化式微分

方程

)

1(1)1(32)1(21)1(1)1(1N N X b X b X b aX dt

dX -+++=+ （1） 这个微分方程模型记为GM （1,N ）。

方程（1）的参数列记为T N b b b a ),,,(121-= α，再设T N n X X X Y ))(,),3(),2(()0(1)0(1)0(1 =，

将方程（1）按差分法离散，可得到线性方程组，形如

αˆB Y N = （2）

按照最小二乘法，有

N T T Y B B B 1)(ˆ-=α （3）

其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+--+-+-=)()())()1((21)3()3())3()2((21)2()2())2()1((21)

1()1(2)1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1n X n X n X n X X X X X X X X X B N N N 求出α

ˆ后，微分方程（1）便确定了。 若N n <-1，则方程组（2）的方程个数少于未知数的个数，此时，B B T 是奇异矩阵，我们

无法利用（3）式得到α

ˆ，我们称这时的信息为贫信息。考虑到向量αˆ的元素实际上是各子因素对母因素影响大小的反映，因此，引入矩阵M 对ααT

做加权极小化。对未来发展趋势减弱的子因素加以较大的权，对有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做可把未来的可能情形也考虑进

来，使之更好地反映未来的实际情况。具体地，令 ),,,(21N diag M ααα =

其中，若i X 对1X 的影响有减弱的趋势，则i α相应较大；反之，若i X 对1X 的影响有增加的趋势，

则i α相应较小。此时，计算向量α

ˆ可采用下面的公式 N T T Y B BM B M 111)(ˆ---=α

（4） 下表为某地区1981—1985年各项指标的统计数据。

由于本问题的未知数有7个，而,5,4,3,2,1=i 故不能按式（3）建立GM （1,7）模型，而必须

按贫信息方法（4）式估计α

ˆ。按这种方法最终得到GM （1,7）模型（过程略）为 )

1(7

2)1(6)1(55)1(4)1(3)1(2)1(1)1(1105.808.2106.35.291.046.266.0X X X X X X X dt

dX --⨯--⨯-+-=+从上式易知，X 2、X 4前的系数大，表明发电量和物耗对系统影响大；X 3、X 6是阻碍系统发展的因素；X 5、X 7无论是阻碍还是促进系统的发展，其作用皆不明显。

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