2018届高三文科数学一轮复习 抛物线

[由题悟法] 应用抛物线定义的 2 个关键点 (1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离 相互转化． (2)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF| p p ＝|x|＋ 或|PF|＝|y|＋ ． 2 2
[即时应用] 1． 已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点， |AF| ＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点 D 到 y 轴的距离为 3 A． 4 B． 1
[典例引领] 1．(2016· 合肥市第二次质量检测)已知抛物线 y2＝2px(p>0)上一 点 M 到焦点 F 的距离等于 2p，则直线 MF 的斜率为( A．± 3 B． ± 1 3 C．± 4 D．± )
3 3 p 解析：设 M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋ ＝2p，解 2 3p 得 xM＝ ，代入抛物线方程可得 yM＝± 3p，则直线 MF 的斜 2 yM ± 3p 率为 答案：A p＝ p ＝± 3，选项 A 正确． xM－ 2
p － ，0 2 F________
p 0，－ 2 F________
e＝__ 1
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
准线方程 范围 开口方向
p x＝－2 ______
2
(
)wk.baidu.com
1 解析： 因为抛物线 y ＝x 的准线方程为 x＝－ ． 如 4 1 图所示，过点 A，B，D 分别作直线 x＝－ 的垂 4 线，垂足分别为 G，E，M，因为|AF|＋|BF|＝3， 根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所 |BE|＋|AG| 3 以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝ ＝ ，所以线段 AB 的中 2 2 3 1 5 点到 y 轴的距离为 － ＝ ． 答案：C 2 4 4
2．已知 M 是抛物线 x2＝4y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆 C： (x＋1)2＋(y－5)2＝1 上，则|MA|＋|MF|的最小值是( A．4 C．6 B． 5 D．7 )
解析：依题意，由点 M 向抛物线 x2＝4y 的准线 l：y＝－1 引 垂线，垂足为 M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|， 结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心 C(－1,5)到 y＝ －1 的距离再减去圆 C 的半径，即等于 6－1＝5，因此|MA| ＋|MF|的最小值是 5，故选 B． 答案：B
2． 焦点在直线 2x＋y＋2＝0 上的抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－4x 或 x2＝－8y
3．(教材习题改编)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离 为 1，则点 M 的纵坐标是________．
解析：M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离， 1 又准线方程为 y＝－ ， 16 1 15 设 M(x，y)，则 y＋ ＝1，∴y＝ ． 16 16 15 答案： 16
x≥0， y∈ R 向右
p x＝2 _____
x≤0， y∈ R 向左 |PF|＝
p y＝－2 _______
y≥ 0， x∈R 向上 |PF|＝
p y＝ 2 _____
y≤0， x∈R 向下 |PF|＝
p － y 0＋ 2 _______
焦半径 |PF|＝ (其中P(x0， p x 0＋ 2 y0)) ______
答案：D
( B．双曲线 D．一条直线
)
2．抛物线 8x2＋y＝0 的焦点坐标为________．
1 解析：由 8x ＋y＝0，得 x ＝－ y． 8
2 2
1 1 ∴2p＝ ，p＝ ， 8 16
1 ∴焦点为0，－32． 1 答案：0，－32
考点一
抛物线定义及应用
抛物线
淮北一中数学组
1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离 (3)定点不在 定直线上．
相等
；
2．抛物线的标准方程和几何性质
y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0)
5 C． 4
7 D． 4
2．已知直线 l1：4x－3y＋6＝0 和直线 l2：x＝－1，抛物线 y2＝4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值是 3 5 A． 5 B． 2 11 C． 5 ( D．3 )
解析：由题可知 l2：x＝－1 是抛物线 y2＝4x 的准线，设抛物 线的焦点为 F(1,0)，则动点 P 到 l2 的距离等于|PF|，则动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值， 即焦点 F 到直线 l1： |4－0＋6| 4x－3y＋6＝0 的距离，所以最小值是 ＝2． 5 答案：B
标准 方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
y2＝2px
标准方程 (p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
顶点 对称轴 焦点 离心率 y＝ 0
p ，0 2 F_______
O(0,0) x＝0
p 0， 2 F______
p －x0＋2 _______
p y0 ＋ 2 ______
[小题体验] 1．(2016· 全国甲卷)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，曲线 y
k ＝x(k＞0)与 C 交于点 P，PF⊥x 轴，则 k＝ 1 A． 2 B． 1 3 C． 2 ( D．2 )
解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)． k 又∵曲线 y＝x(k＞0)与 C 交于点 P， PF⊥x 轴， ∴P(1,2)． k 将点 P(1,2)的坐标代入 y＝x(k＞0)，得 k＝2．故选 D． 答案：D
1． 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件， 当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂 直的直线． 2．抛物线标准方程中参数 p 易忽视，只有 p＞0 才能证明其 几何意义是焦点 F 到准线 l 的距离，否则无几何意义．
[小题纠偏]
1．平面内到点(1,1)与到直线 x＋2y－3＝0 的距离相等的点的 轨迹是 A．椭圆 C．抛物线