材料力学_图乘法

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材料力学图乘法

材料力学图乘法材料力学图乘法是材料力学中的一种重要计算方法，它可以帮助工程师和科研人员快速准确地计算材料的性能参数，为材料的设计和应用提供重要参考。

在材料力学图乘法中，我们需要了解一些基本概念和计算步骤，下面将对材料力学图乘法进行详细介绍。

首先，我们需要了解什么是材料力学图。

材料力学图是用来描述材料在外力作用下的性能变化规律的图表，通常包括应力-应变曲线、拉伸性能曲线、压缩性能曲线等。

通过材料力学图，我们可以直观地了解材料在不同应力下的应变变化情况，从而评估材料的力学性能。

接下来，我们来介绍材料力学图乘法的计算步骤。

首先，我们需要准备两个材料的力学图，分别记为A和B。

然后，我们将这两个力学图进行叠加，即将A图的应力-应变曲线与B图的应力-应变曲线进行对应相乘。

这样，我们就可以得到一个新的力学图，用来描述两种材料叠加后的性能。

在进行材料力学图乘法计算时，我们需要注意一些细节。

首先，要保证A图和B图的坐标轴尺度一致，这样才能进行准确的叠加计算。

其次，要注意叠加计算的顺序，通常是先进行应力的叠加，然后再进行应变的叠加。

最后，要对叠加后的新力学图进行分析，得出叠加后材料的性能参数，如弹性模量、屈服强度、断裂强度等。

通过材料力学图乘法，我们可以更加深入地了解材料的性能特点。

例如，当我们需要设计一个复合材料结构时，可以通过材料力学图乘法来评估不同材料叠加后的性能，从而选择合适的材料组合方案。

另外，材料力学图乘法还可以帮助我们预测材料在复杂加载条件下的性能表现，为工程实践提供重要参考。

总之，材料力学图乘法是材料力学中一种重要的计算方法，它可以帮助我们快速准确地评估材料的性能参数，为材料的设计和应用提供重要参考。

通过深入学习和应用材料力学图乘法，我们可以更好地理解材料的性能特点，为工程实践和科研工作提供有力支持。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地掌握材料力学图乘法的基本原理和计算方法，为相关领域的工作提供帮助。

结构力学(第三章)-图乘法

( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的适用条件是什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip

yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP

5结构力学图乘法.

（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
A al
xc 1 l 2 xc 1 3l
xc 1 4l
3 xc 8 l
三角形
a
l
A 1 2 al A 1 3 al A 2 3 al
l
a
l
标准二次抛物线
a
l
a
A 2 3 al
xc 1 l 2
（2）梯形相乘
A1
A2
M M
i
K
dx A1 y1 A2 y 2
1 M M P dx EI

(M x tanα)

yc
xc x
M
x

图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。
4、注意事项
KP AP yc EI
还记得吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件；（2）必须取自直线图形；（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。
如果将AC段的 M P图如下图那样分块，就比 16 较麻烦。 4kN 4 2kN/m 8 M P图 4 A C C A 2m 4kN.m 例2 求 B, EI等于常数。 12kN.m 4kN C 4m
2kN/m
4kN.m 4m B 7kN
A
5kN
解：作 M 图 M P 图，如下页图所示。
12
c
y2
d
M图
（3）一般形式的二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相乘
M M
i
K

材料力学-图乘法

例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 ΔAH 和转角θA 。
CL12TU41
解： AH
qa 4 EI
1 4
2 3
1 3
85
3qa 4 8E I
qa 2
qa qa 2 qa / 2
2
CL12TU31
解：
M(x) M 0(x)
vB
l
EIdxM Nhomakorabea0 C
EI
1 Pl 2 2l
EI 2 3
Pl 3
3E I
B
1 EI
Pl 2 2
1
Pl 2
顺时针
2EI
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。
CL12TU32
顶点顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
解：
ml 2
2 3
ml 逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
CL12TU35
解：
ql 2
vB
1 EI
l
3
ql 2 2
3l
4
2
ql4 8E I
ql 2
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
2
ql 3
顺时针
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。
ql 3 12
a
2
0
X ql 3 8a(l a)
C
1 EI
Xal 2
2 3
Xa 2 2
1
ql 3 12
1
2
0
X ql 3 4a(2l 3a)

第五节图乘法

4m C 4m
MP图(kN·m)
须注意两点：一是对于斜杆CD，解：求解本题∆DV时，须注意两点：一是对于斜杆，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形住AC，应按EI不同分段图乘不同分段图乘。轴为基线计算；二是对于阶形住，应按不同分段图乘。 (1)作MP图作
A1 = 2 × 12.65 × 45 = 379.5 3
§6-5 图乘法
求简支梁在均布荷载作用下A端转角引例求简支梁在均布荷载作用下端转角
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx EI
q
A
ql 2 8
ql M p = x(l − x) 2
Mp
x M 1 = 1− l
1 ∆=∑ ∫ M P Mdx = ? EI
利用积分的方式求解，计算繁复！利用积分的方式求解，计算繁复！简化计算的方法？简化计算的方法？ 1
2.5kN/m D 2EI (12.65m) 3EI B 8m 4EI A 12m
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5
(45)
A1
D
4m C 4m
140
MP图(kN·m)
1 A2 = × 12.65 × 100 = 632.5 2
A4 =
A5 =
1 × 8 × 20 = 80 2
A q B l/2 l
ql 2 ( ) 32
ql
C l/2
并按A 作MP图，并按 1、A2、A3、A4四部分划分，如图6-22b所示分划分，如图所示
∆CV 1 = ( A1 y01 + A2 y02 + A3 y03 − A4 y04 ) EI 1 = EI 1 l ql 2 l l ql 2 3 )× + ( × )× l ( × × 3 2 2 4 2 2 2

0404图乘法(力学)

例：求图示梁B端转角。
A
P
l/2
B B
MP
A
M 1
EI
B 1
Mi
l/2 Pl / 4
解:
Ayc B EI 1 1 Pl 1 1 Pl 2 l ( EI 2 4 2 16 EI
)
60
求 B
A
MP
20
40 B
20
20kN m
EI
40kN m 10 m
Pl
P
P
MP
l
AB
l
l
1
l
1
Mi
1
1
Ay c ABY EI 1 1 2 ( l Pl l 4 l有什么发 Pl l 2) EI 2 3 现？ 3 10 Pl () 3 EI Ayc Ayc ABX 0 AB 0 EI EI
1 x tan α M P dx EI tan α tan α xdA xM P dx EI EI tan α 1 A xc Ayc EI EI

yc
xc x x
2. 注意事项
KP Ayc EI
还记得吗？
（1）必须符合图乘法的适用条件；（2）yc 必须取自直线图形；（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。
求 B
q
MP
A
q
B
ql / 8
2
EI
l
ql 2 / 4
ql 2 / 8
1
Mi
ql 2 4

工程力学-图乘法

顶点
标准抛物线:
2 A lh 3
C
h
5l/8 l
3l/8
图形顶点的斜率必须平行于杆轴线
河南理工大学
结构力学
图乘法
例
计算下图所示简支梁的跨中挠度
q
EI 常数
真实系统
A
l 2
A C
B
l 2
MP 图
ql 2 8
虚设系统
P 1
A
5 l 8 4
C
B
l 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M 图
C点竖向位移
1 ql 5l 5ql 1 MM P dx 2 () EI EI 24 32 384EI
Ay0
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结构力学
图乘法
MMP 1 ds Ay0 EI EI
一个弯矩图的图形面积面积A形心处的另一直线弯矩图上的纵标
!!切莫丢掉此项
注意: 适用条件: 直杆; EI=C; 一个弯矩图为直线
y0必须取自直线弯矩图符号规定: 两弯矩图位于杆件的同侧，Ay0 为正；反之，为负
河南理工大学
结构力学
第十一章能量法
虚功原理

线弹性结构，各种基本变形情况下微段的变形为
则
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结构力学
图乘法（Graph-multiplication Method）

补充条件:
L
MM p EI
o
ds
杆件为直杆
抗弯刚度EI常数
其中一个弯矩图为直线图形
河南理工大学
结构力学
图乘法

河南理工大学
结构力学
图乘法
常用图形的面积和形心三角形

6.5 图形相乘法结构力学

=
MA
MB
+
MA B A dx a qa2/8 MB
MA MA A MB a q B MB
=
+
qa2/8
All Rights Reserved
重庆大学土木工程学院
四、应用图乘法的计算步骤
1）作实际荷载弯矩图MP图；）作实际荷载弯矩图图 2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图；）加相应单位荷载，作单位弯矩图图； 3）用图乘法公式（6-17）求位移。）用图乘法公式（）求位移。所示简支梁跨中截面C的挠度例6-7】试求图】试求图6-21a所示简支梁跨中截面的挠度CV和B端的所示简支梁跨中截面端的已知EI=常数。常数。转角θB。已知常数
O
M =xtanα
α
x A x0
M
M图
x
式中，式中，dA=MPdx为MP图中有阴影线的微分面积，而 xdA即为为图中有阴影线的微分面积，整个M 图的面积对y轴的静矩轴的静矩。表示M 的形心至y轴的距整个 P图的面积对轴的静矩。用x0表示 P的形心至轴的距离，则有 xdA = Ax (b)
1
20kN 100 A2 C A3 20 B A4 A A5 140 (45) A1 D
y02 y01 12 y03
C
4m C 4m
D
y04 y05
A
MP图(kNm)
M 图(m)
y 01
1 = ×12 = 6 2
2 y02 = × 12 = 8 3
y 03 = y 04 = y 05 = 12
MP图 l y03 y 04 y01
A
1
B
y02
C
M图

《图乘法力学》课件

与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。

结构位移和刚度—图乘法(建筑力学)

向相同，即铅直向下。
图乘法
（2）求角位移 B 。在B 截面虚加一单位力偶 Me=1，绘出 M 2 图（图d）
将两图相乘，得
B
1 EI
A
yC
1 EI
(1 2
Fl 4
l)
1 2
Fl 2
16 EI
（逆时针）
负号表示B的转向与所设 Me =1的
转向相反，即逆时针方向。
图乘法
例3 试用图乘法求图示外伸梁C截面的竖向位移CV 。设梁的弯曲刚度EI为常数。
图乘法
(3) 竖标yC必须在直线图形上取得。当两个弯矩图都是直线图形时，yC 可取自任意一个弯矩图。
(4) 每个面积只能对应一条直线图形。当 M图对应的不是一条直线图形时(如图)，则要将其分割成几个面积，使每个面积对应一条直线图形，分别进行图乘再相加，即
A yC A1yC1 A2 yC2 A3 yC3
1 ql 2
(
3
8
l 2
)
3l 8
ql 4
128EI
正号表示CV的方向与所设 F=1的方向相同，即铅直向下。
图乘法
三、应用图乘法计算求位移
图乘法计算位移的解题步骤是: 1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP； 2)根据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位荷载作用下的弯矩图； 3)分段计算一个弯矩图形面积及形心C对应的另一弯距图竖标yC； 4)将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
EI
EI EI
2 3 3EI
3、求B在B端加单位力M2=1，得虚拟状态
M
图
2
A
1
M2=1 B y =1
画
M
图
2

工程力学：图乘法

q
A C
B
l/2
l/2
1
A
B
MP
ql 2 8
M 1
yc 1 ( 2 ql2 l 1) ql3 EI EI 3 8 2 24EI
【例 2】求简支梁中点C的竖向位移CV 。 EI为常数
q
A C
BA
l/2
l/2
1
A
C
B
C
B
MP
ql 2 8
M l 4
2 1 ( 2 ql2 l 5l ) 5ql4 EI 3 8 2 32 384 EI
3 y3 )
➢ 图乘法分块
当图形复杂时，可将其分解为几个易于确定面积和形心的简单图形，将它们分别图乘然后累加。
➢ 图乘法分块梯形
反梯形
【例 3】求刚架支座D处的水平位移 DH ?
2位移 CV
若 M 是折线图形，应分成若干直线段图乘
➢ 图乘法中对弯矩图进行分段和分块
分段
AB AB
C
D
MP
C
D
M
MP1
A
B
分块
MP2
A
B
M
练习：求 AV
FP A EI1 C EI2 B
1 A EI1 C EI2 B
ω1
A
ω3 C ω2
y1 A
C y2
MP B
y3
M B
AV
1 EI1
1
y1
1 EI2
(2 y2
y
yc
EI
A
MP图的面积
MP图
Bx
M图
yc
Bx
1）yc与ω的取值： yc一定取自直线图形，ω则取自另一个图形，且取ω的图形的形心位置已知，不必另行求解。

材料力学力法典型例题解

l
q
RB
B
l q
X1
B Δ1F
B δ11
1
Example 2 .画图示钢架旳弯矩图，EI=const .
P
a
B
A
CP B
A
a
CP
a
B
C
B
C
X1
M
1
M
A
A
Pa
a
解 : 1）选图示相当系统（：一次超静定）
2）力法方程：
X 0
11 1
1P
3）利用图乘法求系数:
a
P
a
B
A
a
C
P
a
B
C
B
C
M
1
M
A
A
PPal
X1
2）力法方程
F
X 0
11 1
1P
3）图乘法求系数
11
2 EI
(1 2
aa
2 3
a)
2a3 3EI
1P
2 EI
(1 2
a
Fa
2 3
a)
a a
2Fa3
M
3EI
4）解得:
1
C
X1
1P
11
F
1
C
Fa
X1=1 Fa
F
1
M
F
F1 C
F
Example 1 . 求RB (EI=const.).
解: 1）选图示相当系统（一次超静定）
B
CP
P
P
a
a
X1
a a
X1 1
A
Pa
解：1）选图示静定基及相当系统

结构力学图乘法

FN FPb M FQ 状态II FPa
M ds ds EI FN ds ds EA
ds 0
kFQ GA
ds
令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：
0 ds FN ds W12 FP M ds FQ FQ kFQ FN FN M M ds ds ds EI GA EA
yc
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a b 顶点
C
lb 3
C
5l 8
la 3
3l 8
l
l
三角形
l h AP 2
二次抛物线
2 Ap h l 3
顶点
c
顶点
( n 1) l n2
c
l n2
3l/4 l
l/4
l
二次抛物线
l h Ap 3
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理
互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。
一、功的互等定理
功的互等本质上是虚功互等。
下图给出状态I和状态II。
FP1 2 FP
FPa
FPb
A
1 2 a b
a
b
B
A
1 2 B a 1 b 2
所以
即
F F
P P
11 FP 2 FP 2 FPa a FPb b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。

结构力学-图乘法

实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时，其内部产生的抵抗弯曲变形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内力，其方向与构件轴线垂直。
弯矩
作用于构件横截面上的内力偶矩，其大小等于该截面左侧或右侧所有外力对截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构中的力学元素和它们之间的关系，使得分析结果更直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图乘法能够更快地给出结构分析的近似解，适用于初步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同类型的结构，包括静定结构和超静定结构，具有较广泛的适用性。

05-讲义：6.5 图乘法

若记 M P 图形心 C 到 y 轴的距离为 xc ，则根据面积矩定理有：
B
A xdA A xc
(6-22d)
将式(6-22d)代入(6-22c)式，得：
105
B A
MMP EI
dx
tan EI
A xc
（6-22e）
式(6-22e)中 xc tan yc ， yc 为 M 图中与 M P 图形心 C 相对应的竖标，于是有：
110
∑∫ ∑ CC
M .M Pds EI
Aw yc EI
1 EI
2
1 2
l 2
ql 2 8
2 3
1
2
1 3
l 2
ql 2 8
1
ql3 （
）
ห้องสมุดไป่ตู้
12EI
【例 6-10】计算图 6-34(a)所示组合结构中 C 点竖向位移 CV ，已知 E 2.1104 kN / cm2 ， I 3600cm4 ，杆 BD 的截面面积 A 12cm2 。【解】在截面 C 处施加一个竖向单位集中力 F 1，如图 6-34(b)所示。在单位荷载作用下，先求出链杆 DB 的轴力 F N 2.5kN ，并作出梁式杆(AB 和 CE)的 M 图。
图乘，分别见上式中后三项。
图 6-32 例 6-8 图
(a)实际荷载作用 (b)单位荷载作用及 M 图 (c) M P 图(kN.m) (d) M P 图中 AB 杆内力图分解【例 6-9】计算图 6-33(a)所示三铰刚架在铰 C 左右两截面的相对转角 CC ，已知 EI 为常数。
图 6-33 例 6-9 图
第五节图乘法
由上节可知，计算梁式杆在荷载作用下的位移时，先要写出实际荷载作用下弯矩 M P 以及单位荷载作用下弯矩 M 的表达式，然后代入式(6-22a)进行积分运算：

图乘法

？ Δ = 1 1 3a ⋅3a×Pa EI 2 4
Pa
Δ
=
1 EI
⎡ ⎢⎣
Pa×a 2
×
2 3
a 2
×2+
a
2
+3a 2
4
×
a 2
×2×
Pa⎥⎦⎤
a
= 23Pa3
a/2
24EI
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
Δ C
=
ωy0
EI
=
⎜⎛ ⎝
= 1 (220⋅0.533− 555⋅0.4 + 53.3⋅0.6) = −2×10−3m = −0.2cm
3.6465
例：求B点竖向位移。
21
3ql2/2
ql2/8
MP
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql
EI l
B
l
M1
Δ BV
=
1 EI
⎡1 ⎢⎣ 2
3ql 2 2
l
2l 3
− 2l 3
ql 2 8
A2 b 侧的两个三角形，分别与另
一图形相乘，然后叠加。
c y1
y2 d
A⋅ yc EI
=
1 EI
(A1 ⋅
y1 +
A2 ⋅
y2 )
=
=
1 EI
⎡al ⎢⎣ 2
(−
2 3
c
+
1 3
d)
+
bl 2
(1 3
c
−
2 3
d)⎥⎦⎤
=
1 EI
⎡l ⎢⎣6

04-12.5 图乘法

M 图 h2
M图c
二次抛物线图形相乘
C1
h1
C2
l
l
2
2
1
2 3 h1l
cd M1
22
M2 M1
2
h2 l 2
M 2 2c d 33
d
l
弯矩图的形心位置或面积不便于确定的情况，
M a C1
可利用叠加原理，把弯矩图分解为两个（或两个以上）易于确定形心和面积的图形，分别进行图
C2 b
乘，然后再叠加其结果。
材料力学
大连理工大学王博
图乘法
图乘法
0. 前提：至少有一个M函数为线性的——Mohr积分可简化 1. 目的：计算Mohr积分 2. 条件：（1）直梁、桁架或刚架
（2）EI=常数 3. 方法：以弯矩为例
Δ
MM dx EI
1 EI
MMdx
求 MMdx
图乘法的数学解释
M M(x)
Cω
x dx xC
ql 2 8
3l 8
ql 4 ( ) 128EI
总结
虚位移
目的：找一个适于任何结构的一般方法
虚导出功原理 Wext Wint一
个M函数为
单
莫尔积分图乘法线性
位
（线弹性）（等刚度直杆）
载荷
非线弹性
其他
法
Δ
FN FN EA
dx
MM EI
dx
TT GIP
dx
注意：
（1） M、 M 同侧相乘为正，异侧相乘为负。
（2） M 图转折处应分段图乘。（3） M 图为直线图形时，
可以反乘，即可用 M 图
的面积乘其形心所对应的 M 图的M值来计算。

关于图乘法的一种特殊情况

关于图乘法的一种特殊情况作者：赵盛琳来源：《科学大众·教师版》2019年第12期摘要：本文讨论了用图乘法计算结构位移的一种特殊情况，有一个弯矩图是反对称，另一个弯矩图是线性图线的时候，计算中容易出现的错误，从公式推导指出正确的处理方法。

关键词：图乘法; 形心坐标; 计算公式中图分类号：？U442; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ;文章编号：1006-3315（2019）12-141-001在材料力学或者结构力学一般用能量法来计算结构位移，使用比较多的是单位载荷法，在满足一些特殊条件下（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，两个弯矩图中至少有一个为线性函数），计算莫尔积分可以用图乘法，在大部分有图乘法介绍的教材里，图乘法公式的推导所用的示意图都是所考虑的区间里有一个弯矩图是全部在轴线一侧的一条曲线，另一个弯矩图是线性图线，推导过程中用到了平面图形的形心坐标计算公式，而且计算结果有正负号的问题，两个弯矩图在轴线同侧的时候，结果取正值，两个弯矩图在轴线异侧的时候，结果取负值。

因此图乘法给人的感觉就是计算中弯矩图面积是带正负号的。

然而在遇到以下情况的时候很容易犯错。

有的时候我们会遇到有一个弯矩图在考虑的区间内是反对称的，而另一个弯矩图是线性图线，教材里没有硬性规定弯矩图必须在轴线同侧才能用图乘法，只要满足使用图乘法的三个条件（轴线为直线，等截面梁或者刚架而且抗弯刚度为常量，M（x）及[M]（x）中至少有一个为关于x的线性函数），就算M（x）有正有负（即弯矩图分布在轴线两侧），图乘法的公式依然能用。

图乘法计算积分的公式[l]M（x）[M]（x）dx=[ω][M]c，其中[ω]代表M（x）图的面积，[Mc]是[M]（x）图中与M（x）图的形心对应的纵坐标。

当M（x）图反对称，则其图形的形心显然在轴线中点处，但弯矩图面积[ω]因为考虑反对称图形的正负号，加起来为零，所以不管[M]c是多少，最后结果就是零，但这显然是错误的。

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4
2
ql4 8E I
ql 2
B
1 EI
l
3
ql 2 2
1
2
ql 3
顺时针
6E I
例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。
CL12TU36
解：
vC
1 EI
l2 8
m
ml2 8E I
例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：
(1)集中力作用端挠度为零时的X值； (2)集中力作用端转角为零时的X值。
3E I
B
1 EI
Pl 2 2
1
Pl 2
顺时针
2EI
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。
CL12TU32
顶点顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
解：
vmax
2 EI
2
3
l 2
ql 2 8
5l
32
5ql 4
384E I
ql 2 / 8
l/4
max
1 EI
图乘法求位移
虚功原理（虚力原理）单位荷载法
M(x) M 0 (x)
l
EI
dx
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分
M (x) M 0 (x) dx
l
直杆的M0(x)图必定是直线或折线。
M (x) M 0 (x) dx
l
tg x M (x) dx
l
tg xC
1 4
2 3
1 3

3qa 4 8E I
qa 2
qa qa 2 qa / 2
2
谢谢观看！ 2020
M
0 C
M 0 (x) x tg
M(x) M 0 (x)
dx
l
EI
M
0 C
EI
顶点顶点
2lh
3
1lh
3
二次抛物线
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
CL12TU31
解：
M(x) M 0(x)
vB
l
EI
dx
M
0 C
EI
1 Pl 2 2l
EI 2 3
Pl 3
CL12TU40
解：
A
Pa 2 EI
1 2
5 6
1 2
16
Pa 2 2E I
2
21
Pa 2 EI
vE
Pa 3 EI
1 2
1 3
2
Pa 2E
3
I
3 2
1
13Pa 3 12EI
例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 ΔAH 和转角θA 。
CL12TU41
解： AH
qa 4 EI
CL12TU34
解：
vC
1 EI
l2 8
m 2
ml 2
16E I
l/4
A
1 EI
ml 2
1 3
ml 顺时针
6E I
B
1 EI
ml 2
2 3
ml 逆时针
3E I
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
CL12TU35
解：
ql 2
vB
1 EI
l
3
ql 2 2
3l
2
l
3
ql 2 8
1 2
ql 3
24E I
ql 2 / 8
例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。
CL12TU33
解：
v max
2 EI
1 2
l 2
Pl 4
6l
Pl 3
48E I
Pl / 4 l/4
max
1 EI
1 2
l
Pl 4
1 2
Pl 2
16E I
Pl / 4
例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。
Pa 2 2
2a
3
Pa 3 EI
CL12TU38
例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的相对线位移 ΔAB 。(结构对称，取一半)
AB
2 Pa3 EI
1 8
12 3
1 2
21
2 Pa 3 3EI
AB 0
例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。
CL12TU37
解：(1)
vC
1 EI
Xal 2
2a 3
Xa 2 2
2a 3
ql 3 12
a
2
0
X ql 3 8a(l a)
C
1 EI
Xal 2
2 3
Xa 2 2
1
ql 3 12
1
2
0
X ql 3 4a(2l 3a)
例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的
铅垂位移。
vC
3 EI