《高等数学》附录5(几种常用的曲线)【精品资料】
考研数学常见曲线
曲线是一种重要的数学对象，广泛应用于各类数学考试，尤其是考研数学。
考研数学主要考察考生对曲线的基本概念、性质和应用的掌握情况。
在这篇800字的文章中，我们将介绍考研数学中常见的几种曲线，它们的定义、性质和应用，并分享一些实用的解题思路和技巧。
一、圆圆是一种常见的几何曲线，其定义是到定点F和到定直线L的距离相等的点的轨迹，其中F为圆心，L为半径。
圆具有以下性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
2. 圆心到圆上任意一条弦的中点的距离等于弦长的一半。
3. 圆心与圆周上任意一点构成的角都是直角。
4. 圆的周长和面积公式为C=2πr，S=πr²。
二、椭圆椭圆是一种平面内与两个定点距离差的绝对值等于常数的点的轨迹，其标准方程为x²/a²+y²/b²=1。
椭圆具有以下性质：1. 椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b。
2. 椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为椭圆的焦距，满足c²=a²-b²。
3. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2a，称为椭圆的准线。
4. 椭圆的周长和面积公式为C=4aπ，S=πab。
三、双曲线双曲线的定义是平面内与两个定点距离差的绝对值等于常数的点的轨迹，其标准方程为x²/a²-y²/b²=1。
双曲线具有以下性质：1. 双曲线的长轴和短轴分别为2a和2b，满足a²+b²=c²，其中c为双曲线的焦距。
2. 双曲线的离心率定义为e=c/a，其取值范围为e＞1。
3. 双曲线的准线公式为x=±a²/c，y=0。
4. 双曲线的两个顶点分别为A(-a,0)和B(a,0)，两个焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)。
5. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。
四、抛物线抛物线的定义是到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹，其中F为焦点，l为准线。
高考数学中的曲线与曲面相关知识点总结
高考数学中的曲线与曲面相关知识点总结数学是高考中的必考科目，数学中的曲线与曲面是数学中的重要知识点，这些知识点涵盖了函数、极限、微积分、空间几何等多个领域。
本文将就高考数学中的曲线与曲面相关知识点进行总结，帮助读者更好地掌握这些知识。
一、曲线1、一阶导数、二阶导数在高考中，曲线的求导是经常涉及的知识点。
求导时需要先计算一阶导数，然后再根据一阶导数的值来判断曲线的性质。
如下表所示：一阶导数$f'(x)$ | 曲线$y=f(x)$的性质---|---$f'(x)>0$ | 曲线递增$f'(x)<0$ | 曲线递减$f'(x)=0$ | 曲线达到极值，可以使用二阶导数判断$f''(x)>0$ | 曲线在极值处为极小值$f''(x)<0$ | 曲线在极值处为极大值2、参数方程与极坐标方程参数方程是用参数表示曲线上的点的一种方法，它的一般形式为$x=f(t), y=g(t)$。
极坐标方程是把曲线上的点表示为它们对应于一个点与极轴之间的极径$r$以及极角$\theta$，通常形式为$r=f(\theta)$。
使用参数方程或者极坐标方程可以简化曲线的求导，但需要转换后方便使用。
3、对称性与周期性曲线的对称性和周期性也是高考中常考的知识点。
关于对称性，曲线可以有以下几种对称：1）关于$x$轴对称曲线关于$x$轴对称的条件为$f(-x)=f(x)$。
2）关于$y$轴对称曲线关于$y$轴对称的条件为$f(-x)=-f(x)$。
3）关于原点对称曲线关于原点对称的条件为$f(-x)=-f(x)$。
关于周期性，曲线可以有以下几种情况：1）关于$x$轴有周期性曲线以$x$轴为周期，当$f(x+m)=f(x)$，$m$为正整数时，曲线的周期为$m$。
2）关于$y$轴有周期性曲线以$y$轴为周期，当$f(x+n)=f(x)$，$n$为正整数时，曲线的周期为$2n$。
高等数学--45曲线凸性、拐点与渐近线-精品文档
)存在且连续 , 证： f (x) 二阶可导 , f(x
则 f ( x ) [ f ( x ) ] 在 x 两边变 , 0
f ( x ) 在 x 取得极值 , 由可导函数取极值的条件. 0
又 ( x ,f ( x ) ) 是拐点 , 0 0
(x f . 0) 0
在 ( 0 , ) 内 , y 0 ,曲线在 [ 0 , ) 上是凸的 .
3 点 ( 0 , 0 ) 是曲线 y x 的拐点 .
9
信息学院
考研题欣赏 （2019年3，4）设
罗捍东
f( x )xx ( 1 ) ，则
(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。 (B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。 (C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。
3
信息学院
2 3 y x , y 6 x , 解：
罗捍东
3 例1：判断曲线 yx 的凹凸性 .
当 x0 时，y 0 ,
曲线 在 ( , 0 ] 为凸的；
0 y , 当 x0 时， 曲线 在 [ 0 , ) 为凹的；
(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点 . 注意到, 点
信息学院
4.5.1 曲线凸性与拐点
罗捍东
C
B
A
o
x
yf( x )
第五节 曲线凸性、拐点与渐近线 y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
yf( x )
y
o
x1
x2 x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
o x1
x2
x
著名的曲线方程
著名的曲线方程（实用版）目录1.引言：介绍著名的曲线方程2.曲线方程的定义与分类3.常见的曲线方程4.曲线方程在数学及其他领域的应用5.结论：总结著名的曲线方程的重要性正文【引言】在数学领域，曲线方程是一个非常重要的概念。
通过曲线方程，我们可以描述各种不同形状的曲线，从而研究它们的性质以及在实际问题中的应用。
本文将介绍一些著名的曲线方程，包括它们的定义、分类和在数学及其他领域的应用。
【曲线方程的定义与分类】曲线方程是描述曲线上每个点坐标的方程。
根据方程的形式，曲线方程可以分为参数方程、普通方程和极坐标方程等。
- 参数方程：用参数表示曲线上点的坐标，例如 x=t^2, y=2t- 普通方程：用 x 和 y 表示曲线上点的坐标，例如 y=x^2- 极坐标方程：用极坐标表示曲线上点的坐标，例如 r=a*sin(theta) 【常见的曲线方程】在数学中，有许多著名的曲线方程，如：- 圆：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2- 椭圆：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1- 双曲线：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1- 抛物线：y^2 = 2px 或 x^2 = 2py- 直线：y = kx + b【曲线方程在数学及其他领域的应用】曲线方程在数学中有着广泛的应用，如求解方程、研究曲线性质、曲线拟合等。
此外，曲线方程在其他领域也有重要应用，如物理学中的运动轨迹、工程学中的设计与建模等。
- 在物理学中，利用曲线方程可以描述物体在力的作用下的运动轨迹，从而分析物体的受力情况和运动状态。
- 在工程学中，利用曲线方程可以进行各种设计与建模，如建筑结构的受力分析、飞机翼型的优化设计等。
【结论】著名的曲线方程在数学及其他领域具有重要意义。
高等数学特殊曲线
高等数学特殊曲线高等数学中的特殊曲线是数学中的一个重要概念，包括一些常见的曲线和图形，如直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆等。
这些曲线在数学中有着广泛的应用，对于理解数学概念、解决数学问题以及探索现实生活中的现象都有着重要的意义。
首先，直线是一种最基本的几何图形，也是特殊曲线的一种。
在高等数学中，直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
直线的斜率可以通过求导数得到，而直线的截距则是通过令y=0得到的。
直线在几何学中有着重要的应用，如平行线、垂直线等，同时也是解析几何中的基础内容之一。
其次，圆是一种常见的曲线，其方程可以表示为x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
圆的半径可以通过求方程的根得到，而圆心的坐标则是通过令x=0和y=0得到的。
圆在几何学中有着广泛的应用，如圆周长、圆面积等，同时也是解析几何中的基础内容之一。
另外，抛物线是一种常见的曲线，其方程可以表示为y² = 2px，其中p是常数。
抛物线的形状取决于p的值，当p>0时，抛物线开口向上，当p<0时，抛物线开口向下。
抛物线在数学中有着广泛的应用，如最优化问题、波动问题等，同时也是解析几何中的基础内容之一。
此外，双曲线是一种特殊的曲线，其方程可以表示为y² - x² + bx + by + c = 0，其中b、c是常数。
双曲线的形状取决于b 和c的值，当b和c不同时为0时，双曲线为实数轴上的双曲线，当b和c同时为0时，双曲线为虚数轴上的双曲线。
双曲线在数学中有着广泛的应用，如信号处理、波动问题等，同时也是解析几何中的基础内容之一。
最后，椭圆是一种特殊的曲线，其方程可以表示为x²/a²+ y²/b² = 1，其中a和b是常数。
椭圆的形状取决于a和b的值，当a和b相等时，椭圆为圆形；当a和b不相等时，椭圆为椭圆形。
考研数学特殊曲线总结
考研数学特殊曲线总结
在考研数学中，常见的特殊曲线包括椭圆、双曲线和星形线等。
以下是对这些特殊曲线的简要总结：
1. 椭圆：椭圆是平面上的一个特殊曲线，其形状类似于一个“拉长”的圆形。
在数学中，椭圆有很多应用，如天体运动中的轨道、电子轨道等。
椭圆的焦点定理是一个重要的定理，可以用来计算椭圆的面积和周长。
2. 双曲线：双曲线是平面上的一个特殊曲线，其形状类似于两个开口朝外的对称的弧线。
双曲线在电磁波理论中的反射和折射、在力学中的弹性碰撞等方面也有应用。
3. 星形线：星形线是一种参数曲线，其参数方程为 $x=a
\cos^{3}\theta$ 和 $y=a \sin^{3}\theta$。
星形线是一个三次曲线，形状类似于五角星。
4. 摆线：摆线是一种参数曲线，其参数方程为 $x=a(\theta-
\sin\theta)$ 和$y=a(1-\cos\theta)$。
摆线是一个圆滚轮在直线上滚动时，圆滚轮的瞬时位置所形成的轨迹。
5. 心形线：心形线是一种参数曲线，其参数方程为
$x^{2}+y^{2}+ax=a\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 或极坐标形式 $\rho=a(1-
\cos\theta)$。
心形线是一个二次曲线，形状类似于心形。
这些特殊曲线在数学中有广泛的应用，如几何学、物理学和工程学等领域。
在考研数学中，掌握这些特殊曲线的性质和特征是非常重要的，有助于解决各种数学问题。
4.2.1 常用于描述频率特性的几种曲线
G1 ( jw)G2 ( jw) G1 ( jw) e j1 (w ) . G2 ( jw) e j2 (w ) G1 G2 e j1 2
20lg G1G2 20lg G1 20lg G2
几个频率特性相乘，对数幅、相曲线相加
G1G2 1 2
两个频率特性互为倒数，幅、相特性反号，关于轴对称
线 性 分 度
L( w)
40 20
dB
w
0.1 1 10 100
w 2f
rad / s (弧度/秒)
线 性 分 度
( w )
900
度
w
0.1 1 10 100
rad / s (弧度/秒)
－900
对数频率特性优点 – 展宽频率范围 – 对于不含不稳定环节的系统，可由对数频率特性得到系 统的传函。 – 典型环节可用直线或折线近似表示
• 幅频特性是w 的偶函数 • 相频特性是w 的奇函数
w : 0 的曲线和w : 0的曲线关于实轴对称
• 性能分析（尤其是稳定性）时不需要绘制精确 的幅相特性曲线，只需绘制大致形状即可
对数分度：
lg 2 0.301
lg 5 0.699
lg 7 0.845
lg 8 3 lg 2 0.903
4.2. 典型环节频率特性
4.2.1 常用于描述频率特性的几种曲线
• 幅相频率特性曲线简称幅相曲线，又称极坐标图。在复平面 上，以角频率 w为自变量，把频率特性的幅频特性 ——模和 相频特性 ——相角同时在复平面上表示出来的图就是幅相曲 线。
• 开环对数频率特性图(对数坐标图或Bode图) 包括 开环对数幅频曲线 和 开环对数相频曲线 横坐标为w，以对数分度， 十倍频程，单位是rad/s 频率w每扩大10倍，横轴上变化一个单位长度。因此，对 于w坐标分度不均匀，对于lgw 则是均匀的。
《数学分析》附录Ⅱ 重要平面曲线
• 曲率半径:
R
4
a
sin
t 2
• 一拱长: 8a
• 一拱面积: S 3 π a2
• 渐屈线: 仍为摆线,
在 O 坐标系下
与原摆线一致
y
M O πa 2πa
O
2πa x
x
结束
心形线
x2 y2 ax a x2 y2
或 r a(1 cos )
y
Ox
点击图中任意点 动画开始或暂停
LOM
a 2
(
2 1 arsh )
其中arsh ln( 1 2 )
3
• 曲率半径 :
R
a
( 2 1)2 22
• 扇形 M 1OM 2 的面积 :
S
1 6
a
2
(
2 1
2 2
)
结束
对数螺线 (等角螺线) r ea
• 等角性 : 曲线与所有过极点的射线
结束
四叶玫瑰线
a
O
x
a
Ox
点击图中任意点 动画开始或暂停
结束
y
Ox
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
半立方抛物线
y
O
x
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
概率曲线
• 拐点: • 拐点处切线斜率: • 渐近线: • 与 x 轴之间的面积: • 关于 y 轴对称
y
A
B
O
x
设 服从标准正态分布 ,
则其概率密度函数为
结束
笛卡儿叶形线(续)
大学数学(高数微积分)专题五第2讲椭圆双曲线(课堂讲义)
关
热点分类突破
(1)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个
端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D，且B→F＝2 F→D，则 C 的
离心率为________．
本 (2)过双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作圆 x2＋y2＝a42的
讲 栏
切线，切点为 E，延长 FE 交双曲线右支于点 P，若 E 为 PF
本 ＝－43m＋m－2m23－2－m23－2
讲
栏 目
＝－m2－m3 ＋43＝－13(3m2＋m－4)
开
关 ＝－13(3m＋4)(m－1)＝0，
∴m＝－43或 m＝1(舍去)，
经检验m＝－43符合条件，
∴存在满足条件的直线l，其方程为3x－3y－4＝0.
热点分类突破
(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或 “点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条 件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相
∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，
从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.
本
讲 栏 目
∴c＝|OF|＝12|AB|＝5，
开 利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，
关
则|BF′|＝|AF|＝6，
∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.
因此椭圆的离心率e＝ac＝57.
关
∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，
∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.
连接A1F，则△AA1F为等边三角形，
过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，
热点分类突破
设l交x轴于N，则|NF|＝|A1F1|＝12|AA1|＝12|AF|，即p＝32，
高等数学4-5曲线的凹凸与拐点
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的
拐点 (0,1)
凸的
拐点 (2 3 ,1127)
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
的一个拐点.
例5 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
4
5
x3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
如果f ( x)在[a,b]内连续,且在 (a,b)内的图形是凹 (或凸)的,那末称 f ( x)在[a,b]内的图形是凹(或凸)的 ;
二、曲线凹凸的判定
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
定理1 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
两点 x1, x2 ,
恒有
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) , 2
几种特殊类型的曲线
或
k τ
=
± tan θ.
(d) =⇒ (a)
设
k τ
为常数,
作向量 γ
+
τ k
α
,
则因
d ds
γ
+
τ k
α
= 0,
故 (γ
+
τ k
α)
是常向量.
这时
cos ∠(α, γ
+
τ k
α)
=
α
·
(γ
+
τ k
α)
|α|
·
|γ
+
τ k
α|
τ
=
1
k
+
(
τ k
)2
,
所以 α
与固定方向 (γ
+
τ k
α)
成固定角.
1.7.3 平面曲线 熟知平面曲线的特征是挠率 τ ≡ 0 . 作为空间曲线的特殊情形, 只要在空间曲线的基本 公式中, 取 τ = 0 , 就得到平面曲线的基本公式
1 k
2+
1 τ
d(1/k) ds
2
, 将这式两边对 s 求导, 直接计算得到
d ds
(l2)
=
0,
所以 l2 是一个常数, 即 C 上任一点 P 到定点 M 的距离为常数, 因此 C 在一球面上.
【例1】 设 C 是平面 π 内的曲线, 如果 C 在 π 内的法线通过 π 内的一定点 M , 则 C 一
48
1. 相对曲率的定义
回忆空间曲线的曲率定义为 k = lim
∆s→0
∆ϕ ∆s
, 这里 ∆ϕ 为曲线上
大一高等数学第三章第五节曲线的凹凸与拐点教材
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
解 y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 点.
曲线的拐点及其求法
1.定义
y cos x sin x . 3 7 , x2 . 令 y 0, 得 x1 4 4 7 3 f ( ) 2 0, f ( ) 2 0, 4 4
3 7 在[0,2]内曲线有拐点为 ( ,0), ( ,0). 4 4
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
高等数学18种曲线
高等数学18种曲线以下是高等数学中18种曲线的详细介绍：1.星形线：星形线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=sinθ，直角坐标方程为x2+y2−x=0。
星形线是围绕原点对称的，并且在直角坐标系中呈现出类似于星形的形状。
2.心形线：心形线也是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=1+cosθ，直角坐标方程为x2+y2−2x=0。
心形线也是围绕原点对称的，并且在直角坐标系中呈现出类似于心形的形状。
3.摆线：摆线是一种在圆上运动的质点在直线上的轨迹曲线。
其极坐标方程为ρ=a+bθ，直角坐标方程为x=a(1−cos t)和y=b(1+sin t)。
摆线有许多有趣的性质，例如它的长度和圆的半径相等。
4.对数螺线：对数螺线是一种以原点为中心，向四周无限延伸的曲线。
其极坐标方程为ρ=eθ，直角坐标方程为x=et cos t和y=et sin t。
对数螺线的形状类似于螺壳，并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。
5.双曲螺线：双曲螺线是一种在双曲线上运动的点在直线上的轨迹曲线。
其极坐标方程为ρ=a2−b2sinθ，直角坐标方程为x=a cosh t cosθ和y=b sinh t sinθ。
双曲螺线的形状类似于螺线，但是它的曲率是负的。
6.阿基米德螺线：阿基米德螺线是一种在平面内无限延伸的曲线，其极坐标方程为ρ=aθ，直角坐标方程为x=a(1−os t)和y=a(1+sin t)。
阿基米德螺线的形状类似于螺线，并且它的曲率随着半径的增长而逐渐减小。
7.伯努利双纽线：伯努利双纽线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为ρ=±2a sin2θ，直角坐标方程为(x2+y2)2=4a2y2。
伯努利双纽线的形状类似于两个交叉的圆环，并且在不同的参数条件下表现出不同的性质。
8.三叶玫瑰线：三叶玫瑰线是一种具有三个叶子的特殊曲线，其极坐标方程为ρ=3a cosθ，直角坐标方程为x=3a cos3t和y=3a sin3t。
三叶玫瑰线的形状类似于三片叶子连接在一起，并且它的曲率随着半径的变化而变化。
《附带曲线》课件
详细讲解如何使用各种工具（如Adobe Illustrator、Inkscape等）设计出令人满意 的曲线效果。
3
实践练习
提供实践练习，让学生巩固所学知识并完成自己的曲线设计项目。
第五部分：总结
1 复习重点内容
2 学习建议及资源
回顾本课程的核心概念和重点内容，巩固学生的 学习成果。
提供一些建议，帮助学生更好地学习曲线知识， 并提供相关资源供学生进一步深入学习。
结束语
1 总结本课程内容
简要总结本课程的内容，强调学习曲线的重要性和应用前景。
2 下一节课任务
布置下一节课的学习任务，鼓励学生继续探索曲线的奥秘。
第三部分：曲线的应用
各领域的应用
介绍曲线在工程、设计、动画、游戏等各个领域的 广泛应用，激发学生们对曲线的兴趣。
成功案例
详细讲解几个成功案例，展示曲线应用在实际项目 中的价值，吸引学生的关注。
第四部分：曲线的实战应用
1
具体案例
引入具体案例，让学生了解如何将曲线应用到实际问题中。
2
使用工具设计曲线
第二部分：曲线基础知识
1
曲线的定义和特点
详细介绍曲线的定义及其具有的特点，让学生对曲线有深刻的认识。
2
常见的曲线类型
分类介绍折线、Bezier曲线、B样条曲线等常见的曲线类型，展示其各自的特点和 适用场景。
3
数学表示法
解释常见的数学表示法，如向量、矩阵、坐标系等，让学生理解曲线的数学概念 和应用。
《附带曲线》PPT课件
# 附带曲线 PPT课件 大纲
这个课件将带您领略曲线的美妙世界！我们将从曲线的定义、类型及其广泛 的应用领域入手，引导您学会如何设计出令人满意的曲线。快来开启一段奇 幻之旅吧！
《高等数学》附录5(几种常用的曲线)
(10)阿基米德螺线(11)对数螺线(12)双曲螺线
(13)伯努利双纽线(14)伯努利双纽线(15)三叶玫瑰线
(16)三叶玫瑰线(17)四叶玫瑰线(18)四叶玫瑰线
479附录5几种常用的曲线1三次抛物线2半立方抛物线3概率曲线6笛卡儿叶形线7星形线内摆线的一种8摆线9心形线外摆线的一种48010阿基米德螺线11对数螺线12双曲螺线15三叶玫瑰线16三叶玫瑰线17四叶玫瑰线18四叶玫瑰线
附录5几种常用的曲线
(1)三次抛物线(2)半立方抛物线(3)概率曲线
(4)箕舌线(5)蔓பைடு நூலகம்线(6)笛卡儿叶形线
[数学]常用方程曲线
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常用方程曲线1.螺旋线r=半径参数*ttheta=t*(圈数参数*360)z=高度参数*t2.球面螺旋线tho=半径参数theta=t*180phi=t*360*圈数参数3.星形线a=直径参数x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^34.渐开线r=基圆直径/2theta=t*90(转过的角度参数)x=r*cos(theta)+r*sin(theta)*theta*(pi/180)y=r*sin(theta)-r*cos(theta)*theta*(pi/180)z=01. 笛卡尔坐标下的渐开线参数方程卡笛尔坐标系下的渐开线参数方程如下（设压力角afa 由0到60度，基圆半径为10）：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180 * sin(afa)y=10*sin(afa)-pi*10*afa/180 * cos(afa)z=02.圆柱坐标下的渐开线参数方程圆柱坐标系下的渐开线参数方程如下（设基圆半径为10，压力角afa 从0到60度）：afa = 60*tr = (10^2 + (pi*10*afa/180)^2)^0.5theta = afa-atan((pi*10*afa/180)/10)z = 0在Pro/ENGINEER 里使用Feature > Creat > Datum > Curve > From Equation 命令，选择一个坐标系，然后选择坐标类型（笛卡尔坐标/圆柱坐标/球坐标），在窗口里输入以上方程即可生成一段精确的渐开线。
Pro/ENGINEER关于零件建模中的坐标系坐标系是可以添加到零件和组件中的参照特征，它可执行下列操作：∙计算质量属性。
∙组装元件。
∙为“有限元分析(FEA)”放置约束。
∙为刀具轨迹提供制造操作参照。
∙用作定位其它特征的参照（坐标系、基准点、平面和轴线、输入的几何，等等）。