第三节函数的连续性68421

例3.2.1 证f明 (x ) six 在 n (, )上 .连续
证 ： x0 (, ) ，由于 sx i s n x i0 n 2 cx o 2 x 0 sx i 2 n x 0 2 sx i 2 n x 0
2x 2x 0xx 0
0 ,取 ， x ： x x 0 ， 有
sx i n sx i0 n x x 0
(2 l x x i ) 0fm (x )g (x ) f(x 0 )g (x 0 );
(1)，(2)可推广到有限个函情数形.的
（ 3 ） lim f(x)f(x0) x x0 g(x) g(x0)
(g(x0)0)
例3.2.3 ( 1 多 ) P n ( x ) 项 a n x n a n 1 x n 1 式 a 1 x a 0
例3.2.2 指f 数 (x ) a x ( a 函 0 ， a 1 数 ) 在 ( , )wk.baidu.com上连续.
证 x 0 ： ( , ) ， 首 a x a x 0 有 a 先 x 0 ( a x x 0 1 )
所以 li证 a m x ＝ ax0就归l结 ia m t 为 1 ，证
解：
1， x0 sgnx0 ， x0
1 ， x0
f(0)lis m gx n 1 ， x 0 f(0)lim sgx n1， x 0
f(0 )f(0 )
第三节 函数的连续性
教学目标：
连续性的概念
内容：
1 函数在点 x 0 的连续性
2 间断点及其的分类
3 区间上的连续函数的性质
重点：函数在点 x 0 的连续性
青
难点：连续、一致连续的证明
岛
科
要求：理解连续的定义，间断点的分类，
技 大
会 用定义证明函数的连续性。
学
一、连续函数的定义
定义3.2.1 设函f数 (x)在点 x0的某个邻域中有定义 并且 lx ix成 m f(x) 立 f(x0)，则f称 (x)在函 点 x0连数 续 ，
由连续函数 ， Pn的 (x)和 四 Q(x)在 则其 运定 算义 . 域 例3.2.4 tanx,sexc,coxt,csxc在其定义域 . 上连续
证3 ： .我 2例 .1 们 sx i与 n c 已 x o 在 ( s证 , )上 连续
由连续函数的四则运，算可知
taxnsin x， sexc 1 ，在其定义域
x x0
t 0
若 t0， 则a当 1时， 1 t且 1 t知， 1
1
1 at a t
因lim n a1，由极限的夹 到li逼 m at 性 1 ，得
n
t0＋
当0a1时，
limat
t0＋
1 lt i0＋ m1t
1 1t 1
lim
a t0＋a
若 t0时， ut， 令于是
lim at
1 lim 1
" "定义：
x l x i0－ m f(x)f(x0)
0 ， 0 ， x ( x x 0 0 ) : f ( x ) f ( x 0 )
x l x i0 ＋ m f(x )f(x 0)
0 ， 0 ， x ( 0 x x 0 ) : f ( x ) f ( x 0 )
所s以 ix n 在 ， (, ) 上连 . 续
同理 f(x ) 可 cx o 在 ( s 证 , )上 .连续
定义3.2.3 若 x l x 0 i－ f m (x ) f(x 0 )则 , f(x ) 称 在 x 0 左 点 ； 连续 若 x l x i 0f m (x ) f(x 0 )，f( 则 x )在 x 0 称 右 点 .连
在(,)上连续， (2有 ) 理 Q (x )函 a nx n 数 a n 1x n 1 a 1x a 0在其
b m x m b m 1x m 1 b 1x b 0 域上连续 .
证 ( 1 ) x 0 ： ( , ) ， l x x 0 C i m C ， l x x 0 i x m x 0 ， f(x )C ， g (x )x 在 (, )上 连续，
定义3.2.4 若f(x)在(a,b)上连续，且在a右 左连 端点 续，在右 b左 端连 点续，则f(称 x)在 函 闭数 区[a间 ,b]上连续 定理 f(x 3 )在 . x 0 处 2.连 1f (x续 )在x0点既右连续又左.连 即 l x x 0 f i ( x ) m f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 )
xx0
（ 3 ） lx ix0 m f(x)f(x0).
三者缺一不称 可x点 ， 0是 f(否 x)的 不 则连 就， 续点 亦称间断点. 1.第一类不连续点： 函数 f(x)在点 x0的左、右极限不 都相 存等 在， 但
即 f(x 0 )f(x 0 ).
例3.2.5 讨f论 (x)sgx在 nx0处的连 . 续性
0
或x0 称 是函 f(x)的 数 连续 . 点
""定义： f(x)在x0 点 连 续 0 ， 0 ， x ( x x 0 ) : f ( x ) f ( x 0 ) 定义3.2.2 若函f(数 x)在区(a,间 b)的每一点, 都连
则称 f(x)函 在数 开 (a,b)区 上 连 间 .续
t0
a n0 u
综合 lia 起 m t 1， 来从 l， ia m x ＝ 而 a x 0. 有
t 0
x x 0
二、连续函数的四则运算
设 l x x 0 if ( m x ) f ( x 0 ) ， l x x 0 ig ( m x ) g ( x 0 )则 ,
( 1 l x x 0 i ) [f m ( x ) g ( x ) ]f( x 0 ) g ( x 0 )( ,， 为 )常 ;
coxs
coxs
｛ xxR ,xk,kZ}上连 . 续
2
cox tcox， scsxc 1， sixn sixn
在其x 定 x R ,x 义 k ,k 域 Z }上 ｛连 . 续
三、不连续点的类型
函数 f(x)在点 x0处连续必须满足 （1）f(x)在点 x0有定义； （2）limf (x)存在；