第三节函数的连续性68421
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.3函数的连续性
无穷间断点 振荡间断点
(极限为无穷的间断点)
注 左右极限都存在的间断点为第一类间断点.
不是第一类的任何间断点为第二类间断点.
三.连续函数的运算及初等函数的连续性
定理1 如果函数f (x)和g(x)都在x0处连续,则由f (x) 与g(x)经过四则运算构成的函数, 即f (x) g(x),
第二节 函数极限 (Limits of Functions)
（二）
思考：
试问函数f
(x)
x sin 10
1 x
5+x2
x0
x0 x0
在x=0点的左右极限是否存在，若存在其值为多少？
四、两个重要极限
(一)、两个重要极限
lim sin x 1 x0 x
lim
x
ex 1~ x ln(1 x) ~ x
(即 lim ex 1 1） x0 x
(即lim ln(1 x) 1)
x0
x
n 1 x 1~ x / n
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x,
tan x ~ x, arctan x ~ x, 1- cos x ~ x2 / 2
1
1 x
x
e
推论
lim 1
1
xx
e
x0
(二)、利用两个重要极限求极限
例1.求 lim tan x . x0 x
例2.求
lim
x0
1
cos x2
x
.
cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
高等数学函数连续性教学ppt
解 ff((xx))在在xx==2及x0及其其近近旁旁有点定是义否且有f(2定)=义3;？ 若有定义， f(x0)=？
lim f (lxim) fli(mx)(x ? 1) 3;
x2 x x0 x2
lim f ( x) f (2) 3.
x2
lim
x x0
f ( x) ？ f ( x0 )
lim
x0
y
lxim0
f
( x0
x)
f ( x0 )
0
则称函数 y=f (x)在点x0连续，也称点x0为函数 y=f(x)的连续点．
5
第一章 函数的极限与连续
说明：
第三节 函数的连续性
1. 函数 y=f (x)在点x0连续的几何意义表示函 数图形在x0不断开.
y
所以，函数f (x) = x+1在x=2处连续.
9
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
例2 讨论函数
f
(
x)
sin
1 x
,
x 0,
在x = 0处的连续性． 0 , x 0
解 f (x)在x = 0及其近旁有定义且 f(0)=0;
lim f ( x) limsin 1 不存在,
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
第一章 函数的极限与连续
第一节 函数及其性质
第二节 极限
第三节 函数的连续性
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
第一章 函数的极限与连续
第三节 函数的连续性
在讨论函数极限时, 我们说函数在一点的 函数值与极限值是两个不同的问题 .
1.3函数的连续性
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1.3.1 连续性的概念（P23）
二、连续性的定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
例如利用连续性计算函数������ = ������������������������的极限：
y
y cos x
π
π
Oπ
������(������) ������ ������(������������) ∆������
∆������
lim y
x 0
lim
x x0
f
(
x
)
f ( x0 )
0
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f ( x0 )
f ( x0 )
O ������������ ������������������+ ∆������ ������
f (0 ) 2, f (0 ) 0
x
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1.3.2 函数的间断点
由连续的定义式： lim x x0
f (x)
f ( x0 )
������(������)在点������������处连续必须同时满足以下三个条件：
(1) 函数������(������)在������������处有定义，即������(������������)存在 ;
数的间断点.
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1.3.2 函数的间断点
数学分析之函数的连续性PPT课件
( 2 )
注 意 到 ( 2 ) 式 在 x x 0 时 恒 成 立 , 因 此 0 x x 0
可改写为 xx0 ， 这样就得到函数 f (x) 在点x0
连 续 的 e 定 义 .
定义2 设 f ( x ) 在 点 x 0 的 某 个 邻 域 内 有 定 义 . 如果
对任意的e 0, 存在 0,当 xx0 ,时
f(x )f(x 0)e,
则 称 f( x )在 点 x 0 连 续 .
为 了 更 好 地 刻 划 函 数 在 点 x 0 的 连 续 性 , 下 面 引 出 连续性的另外一种表达形式. 设 x x x 0 ,
y y y 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 )
e 而不是用术语“ 对 于 任 意 的 0 ” ,这 样 可 求 得
| f (x) | 的一个明确的上界.
定理4.3（局部保号性）若 函 数 f 在 点 x 0 连 续 , 且 f ( x 0 ) 0 ( 或 f ( x 0 ) 0 ) ,则对任意一个满足
0 r f ( x 0 ) 或 ( f ( x 0 ) r 0 ) 的 正 数 r , 存 在 0 , 当 x ( x 0 , x 0 ) 时 ,
定义3 设 函 数 f ( x ) 在 点 x 0 的 某 个 右 邻 域 U ( x 0 ) (左邻 U(域 x0))有定义，若
x l x 0 if ( m x ) f ( x 0 )( x l x 0 if ( m x ) f ( x 0 )), 则 称 f ( x ) 在 点 x 0 右 ( 左 ) 连 续 . 很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数 的定义可得：
2
2
coxs( x)1, 2
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
函数的连续性0160443页PPT文档
x 0
lif ( m x ) lix m ( x ) D 0 f ( 0 ).
x 0 x 0
故 f(x )在 x 0 处 连 续 .
注意:上述极限式绝不能写成
lix m ( x ) D lix lm iD ( m x ) 0 .
x 0
x 0x 0
由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
x 0
x 0
所 以 f在 x 0 处 左 连 续 .
又因为
yx o
yxaa0
yxaa0
x
lifm (x ) li(x m a ) a ,
x 0
x 0
所以, 当 a 0 时 , f 在 x 0 处 不 是 右 连 续 的 ； 当a0时，f在 x 0 处 是 右 连 续 的 . 综上所述, 当 a 0 时 ,f 在 x 0 处 连 续 ； 当a0时， 在 x 0 处 不 连 续 .
(3)
x0
这 里 我 们 称 x 是 自 变 量 ( 在 x 0 处 ) 的 增 量 , y 为 相 应的函数(在 y0 处)的增量
例1 证 明 f ( x ) x D ( x ) 在 x 0 处 连 续 , 其 中 D ( x )
为狄利克雷函数. 证 因 f( 0 ) 为 0 ,D (x ) 1 ,lix m 0 ,所以
x 0
y yxsgxn
O
x
又如：函数
x, x0
f(x) a,
(a0) x0
在
x 0 处不连续
lif ( m x ) lix m ( x ) D 0 f ( 0 ).
x 0 x 0
故 f(x )在 x 0 处 连 续 .
注意:上述极限式绝不能写成
lix m ( x ) D lix lm iD ( m x ) 0 .
x 0
x 0x 0
由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0 有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说, 极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还 要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.
x 0
x 0
所 以 f在 x 0 处 左 连 续 .
又因为
yx o
yxaa0
yxaa0
x
lifm (x ) li(x m a ) a ,
x 0
x 0
所以, 当 a 0 时 , f 在 x 0 处 不 是 右 连 续 的 ； 当a0时，f在 x 0 处 是 右 连 续 的 . 综上所述, 当 a 0 时 ,f 在 x 0 处 连 续 ； 当a0时， 在 x 0 处 不 连 续 .
(3)
x0
这 里 我 们 称 x 是 自 变 量 ( 在 x 0 处 ) 的 增 量 , y 为 相 应的函数(在 y0 处)的增量
例1 证 明 f ( x ) x D ( x ) 在 x 0 处 连 续 , 其 中 D ( x )
为狄利克雷函数. 证 因 f( 0 ) 为 0 ,D (x ) 1 ,lix m 0 ,所以
x 0
y yxsgxn
O
x
又如：函数
x, x0
f(x) a,
(a0) x0
在
x 0 处不连续
函数的连续性.ppt
x0
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
xx0
f
(x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数在某区间的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
而且 lim f 则称函数f(x)x0 )
处连续。
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、 开区间内连续， 闭区间上连续
4、 结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
四、闭区间上连续函数的性质： f (x1)y f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续 曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。 如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这时
我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1 处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
2、 lim f (x)存在。 x x0
3、
lim
因而函数 f (x) 在x=0处是右连续，而非左连续。
结论：函数在一点处连续的充要 条件是既左连续又右连续
lim
x x0
f ( x) lim x x0
f (x)
f (x0 )
lim
xx0
f
(x)
f (x0 )
y
o
x0
x
三、函数在某区间的连续性：
1、开区间内连续：如果f (x) 在某一开
而且 lim f 则称函数f(x)x0 )
处连续。
2、
f(x)在点x0处右连续。
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
f(x)在 x0 处左连续。
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
3、 开区间内连续， 闭区间上连续
4、 结论：函数在一点处连续的充要 条件是即左连续又右连续
四、闭区间上连续函数的性质： f (x1)y f (x2 )
oa
x2
x1 b
x
从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续 曲线，必有一点达到最高，也有一点达到最低。 如上图：
对于任意 x [a,b], f (x1) f (x), f (x2) f (x) ，这时
我们说闭区间[a，b]上的连续函数f（x）在点x1 处有最大值f（x1），在点x2处有最小值f（x2）。
y分
80 60 40 20
40 80 120 160 x分
一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件：
1、f (x0 ) 存在，即函数 f (x)
在点x0处有定义。
2、 lim f (x)存在。 x x0
3、
lim
第三节函数的连续2 PPT资料共34页
f(x)
1
,x
0
已 知 f(x) 在
ln(
b
x
x 2 ), x
0
x0处连续，试确 定 a 和 b 的值.
四 、 设 函 数 f (x ) 在 x 0 处 连 续 ， 且 f (0) 0 ,已 知
g(x) f(x)， 试 证 函 数 g(x) 在 x 0 处 也 连 续 .
目录 上一页 下一页 退 出
但反之不成立.
例
f(x)1,1,
x0 x0
在 x 0 0 不 连 续
但 |f ( x ) | 、 f 2 ( x ) 在 x 0 0 连 续
目录 上一页 下一页 退 出
练习题
一、填空题： 1、指 出 y x 2 1 在 x 1 是 第 _______类 间 x2 3x 2 断点；在 x 2 是第_____类间断点 . 2、指 出 y x 2 x 在 x 0 是 第 ________ 类 间 x ( x 2 1) 断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1 是第_____类间断点 . x, x 1
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思考题解答 f(x)在 x0连 续 ， x l ix0m f(x)f(x0)
且 0 f ( x ) f ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) x l ix0m f(x)f(x0)
x l x i0fm 2 (x ) x l x i0fm (x ) x l x i0fm (x ) f2(x0) 故 |f ( x ) |、 f 2 ( x ) 在 x 0 都 连 续 .
x 0为函数的可去间.断点
第三节 函数的连续性和连续函数.ppt
6
例3
当a取 何值 时, 函 数
f
(x)
cos a
x, x,
在 x 0处 连续.
x 0, x 0,
解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim(a x) a,
x0
x0
要使 lim （f x） lim （f x） f (0) a 1,
(见下图)
15
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
16
四、初等函数的连续性
1、连续函数的四则运算法则
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则
f (x) f ( x) g( x), f ( x) g( x), g( x) (g( x0 ) 0)
如果 f ( x)在点x0处左右极限都存在, 但f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
例6
讨论函数
f
(
x
)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
2
2、函数在一点处连续的定义
定义 1 设函数 y f ( x) 在点x0 的某一邻域内有定义，
函数的连续性(1-32)
证明 对任意的 x0 > 0 , 利用结论
lim
x x0
ln
x
ln
x0
lim
x x0
f(x) Fra biblioteklim
x x0
loga
x
ln x lim
x x0 ln a
ln x0 ln a
loga x0
f ( x0 )
(4) 幂函数 f (x) = xµ( µ≠0 ) 在其定义域上连续
证明 对任意的 x0 > 0 ,
x x0
(3) f ( x0) A
y y=f(x) (1)
y
A
A
y=f(x) (2)
y y=f(x) (3)
0
X0
x
f(x)在 x0 处无定义
0
X0
x
f(x)在 x0 处有定义
0 X0
x
f(x)在 x0 处出现跳跃
y
y=f(x) (4)
0
X0 x
f(x)在 x0 附近无界
(5)
y sin 1 x
lim x0
x
f (0)
2
2x
f (0 0) lim f ( x) lim cos
x0
x0 x2 1
2 f (0)
于是 f (x) 在 x = 0 处连续
当 x > 0 时, f (x)在 x = 2n 处无定义 , 可知 x =2n是 间断点
x x0
x x0
A F(x0)
所以 ，F(x) 在 x0 处连续
例 讨论下列函数的连续性：
(1)
f ( x) sin x
函数的连续性
y
y = f (x)
1
y
y = f (x)
o
π 2
x
o
1
2
x
定理 2(介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 [a, b] 2(介值定理) 介值定理 上连续， 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那末， 对于 A与 B之间的任意一个数 C， 那末， 在开区间
左右连续： 左右连续：
定义： 定义： 若函 f(x) 满足
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
则称函数 f(x) 在点 x0 处左连续。 处左连续。 则称函数 同理可以定义右连续. 同理可以定义右连续
x→x0
lim f (x) = f (x0 ) lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) +
三、 闭区间上连续函数的性质
试作闭区间上连续函数的图形 试作闭区间上连续函数的图形 问:图形有何特点
y
y = f (x)
a
o
x1
b
x
定理1 最大值和最小值定理) 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) ∈ C [a , b], 则 ξ 1 , ξ 2 ∈ [a , b], 使得 x ∈ [a , b], 有 f (ξ 1 ) ≥ f ( x ), f (ξ 2 ) ≤ f ( x ).
x cos x + ln x 1 cos1+ ln1 lim x = 1 2 x→ 1 e 1+ x e 1+12
2 2
cos1 = . e 2
y = f (x)
1
y
y = f (x)
o
π 2
x
o
1
2
x
定理 2(介值定理) 设函数 f (x)在闭区间 [a, b] 2(介值定理) 介值定理 上连续， 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (a) = A 及 f (b) = B,
那末， 对于 A与 B之间的任意一个数 C， 那末， 在开区间
左右连续： 左右连续：
定义： 定义： 若函 f(x) 满足
x→x0
lim f (x) = f (x0 )
则称函数 f(x) 在点 x0 处左连续。 处左连续。 则称函数 同理可以定义右连续. 同理可以定义右连续
x→x0
lim f (x) = f (x0 ) lim f (x) = lim f (x) = f (x0 ) +
三、 闭区间上连续函数的性质
试作闭区间上连续函数的图形 试作闭区间上连续函数的图形 问:图形有何特点
y
y = f (x)
a
o
x1
b
x
定理1 最大值和最小值定理) 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
若 f ( x ) ∈ C [a , b], 则 ξ 1 , ξ 2 ∈ [a , b], 使得 x ∈ [a , b], 有 f (ξ 1 ) ≥ f ( x ), f (ξ 2 ) ≤ f ( x ).
x cos x + ln x 1 cos1+ ln1 lim x = 1 2 x→ 1 e 1+ x e 1+12
2 2
cos1 = . e 2
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版第一节：引言函数的连续性是高中数学中的重要概念之一，它在解决实际问题、分析函数性质以及计算积分等方面起到了重要作用。
通过本教案，我们将全面介绍函数的连续性的概念、性质和计算方法，帮助学生建立正确的观念，培养逻辑思维和数学分析能力，并且通过例题演练加深他们对该知识点的理解。
第二节：函数的连续性概念1. 连续性的定义：介绍什么是函数的连续性，以及连续函数和间断函数的区别。
2. 连续性的三个条件：详解连续函数的三个条件：函数在定义域内有定义、极限存在和函数值等于极限值。
3. 连续性与可导性的关系：介绍可导函数与连续函数之间的关系，以及可导函数在一点的连续性。
第三节：函数的连续性性质1. 连续函数运算性质：介绍连续函数加减乘除的性质，以及连续函数的复合函数是否连续的判定。
2. 闭区间上连续函数性质：讲解闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性质，以及零点定理的应用。
3. 介值定理：详细解释介值定理的概念和证明方法，以及介值定理在实际问题中的应用。
第四节：函数连续性的计算方法1. 分段函数的连续性：介绍分段函数在分段点是否连续的判定方法，以及常见的分段函数例题。
2. 反函数的连续性：讲解反函数连续性的判定条件和例题展示。
3. 参数方程的连续性：详解参数方程连续性的考察方法，以及参数方程在连续性问题中的应用。
第五节：例题演练通过一些经典的例题演练，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六节：拓展应用通过一些实际问题的拓展应用，引导学生将所学的函数连续性理论应用到实际问题中，培养解决问题的能力和实际思维能力。
第七节：总结与作业布置对本节课所学内容进行总结，并布置相应的作业，巩固学生对函数连续性的理解。
本教案旨在通过全面系统地介绍高中数学中函数的连续性概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解该知识点，并能够运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应该注重理论与实践相结合，多设立例题和练习题，培养学生分析和解决问题的能力。
函数的连续性PPT教学课件
输导组织 ， 输导有机物
机械组 织，增 加茎的 强度
木质部
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
一、双子叶植物茎的结构
4、研究形成层
双子叶植物茎的形成层处在
部和 木质 部之间，它是由几层很
薄 韧的皮细胞组成，这里的细胞能
分裂增生，属于
组织。
形成层细胞的细胞壁很薄，在
此处容易把木质部和韧皮部剥
离开来。 分生
外树皮 保护作用
树皮 双
内树皮
运输有机物 输导 筛管 组织
子 叶
（靠里是韧皮部）
韧皮纤 增加茎的强度 机械
植 物
维 组织
茎 的
形成层 细胞能分裂增生 分生组织
结
构
导管 输导水和无机盐 输导组织
木质部
木纤维 增加茎的强度 机械组织
2、单子叶植物茎的结构（了解）
木质部： 导管 结 构
构成维管束，分散 在薄壁细胞中
内树皮
（靠里是韧皮部）
内树皮 （靠里是韧皮部）
木质部
一、双子叶植物茎的结构
2、研究木质部
木质部就是我们通常所
说的木材，木质部由
和
组导成管。
木纤维
木质部
外树皮
内树皮 （靠里是韧皮部）
思考：导管有什么作用？属于什么组织？
实验：把带叶的新鲜植物枝条插入红墨水中，待红墨水上升到 茎中后取出，把茎横切一小片，仔细观察。
2.6函数的连续性
高二备课组
函数在点x=x0处连续的图象特征：这个函数的图象在 x=x0没有中断。 例1、观察下面的图象，根据图象判断函数在点x=x0 处是否连续。
注：一些简单函数的连续性，可以通过图象直接观察。 如初等函数（一次函数，二次函数，反比例函数，指 对数函数）在定义域内的每一点上均连续。
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" "定义：
x l x i0－ m f(x)f(x0)
0 ， 0 ， x ( x x 0 0 ) : f ( x ) f ( x 0 )
x l x i0 ＋ m f(x )f(x 0)
0 ， 0 ， x ( 0 x x 0 ) : f ( x ) f ( x 0 )
(2 l x x i ) 0fm (x )g (x ) f(x 0 )g (x 0 );
(1)，(2)可推广到有限个函情数形.的
（ 3 ） lim f(x)f(x0) x x0 g(x) g(x0)
(g(x0)0)
例3.2.3 ( 1 多 ) P n ( x ) 项 a n x n a n 1 x n 1 式 a 1 x a 0
解：
1， x0 sgnx0 ， x0
1 ， x0
f(0)lis m gx n 1 ， x 0 f(0)lim sgx n1， x 0
f(0 )f(0 )
定义3.2.4 若f(x)在(a,b)上连续，且在a右 左连 端点 续，在右 b左 端连 点续，则f(称 x)在 函 闭数 区[a间 ,b]上连续 定理 f(x 3 )在 . x 0 处 2.连 1f (x续 )在x0点既右连续又左.连 即 l x x 0 f i ( x ) m f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 )
在(,)上连续， (2有 ) 理 Q (x )函 a nx n 数 a n 1x n 1 a 1x a 0在其
b m x m b m 1x m 1 b 1x b 0 域上连续 .
证 ( 1 ) x 0 ： ( , ) ， l x x 0 C i m C ， l x x 0 i x m x 0 ， f(x )C ， g (x )x 在 (, )上 连续，
x x0
t 0
若 t0， 则a当 1时， 1 t且 1 t知， 1
1
1 at a t
因lim n a1，由极限的夹 到li逼 m at 性 1 ，得
n
t0＋
当0a1时，limatt0＋来自1 lt i0＋ m1t
1 1t 1
lim
a t0＋a
若 t0时， ut， 令于是
lim at
1 lim 1
由连续函数 ， Pn的 (x)和 四 Q(x)在 则其 运定 算义 . 域 例3.2.4 tanx,sexc,coxt,csxc在其定义域 . 上连续
证3 ： .我 2例 .1 们 sx i与 n c 已 x o 在 ( s证 , )上 连续
由连续函数的四则运，算可知
taxnsin x， sexc 1 ，在其定义域
例3.2.2 指f 数 (x ) a x ( a 函 0 ， a 1 数 ) 在 ( , ) 上连续.
证 x 0 ： ( , ) ， 首 a x a x 0 有 a 先 x 0 ( a x x 0 1 )
所以 li证 a m x ＝ ax0就归l结 ia m t 为 1 ，证
例3.2.1 证f明 (x ) six 在 n (, )上 .连续
证 ： x0 (, ) ，由于 sx i s n x i0 n 2 cx o 2 x 0 sx i 2 n x 0 2 sx i 2 n x 0
2x 2x 0xx 0
0 ,取 ， x ： x x 0 ， 有
sx i n sx i0 n x x 0
0
或x0 称 是函 f(x)的 数 连续 . 点
""定义： f(x)在x0 点 连 续 0 ， 0 ， x ( x x 0 ) : f ( x ) f ( x 0 ) 定义3.2.2 若函f(数 x)在区(a,间 b)的每一点, 都连
则称 f(x)函 在数 开 (a,b)区 上 连 间 .续
第三节 函数的连续性
教学目标：
连续性的概念
内容：
1 函数在点 x 0 的连续性
2 间断点及其的分类
3 区间上的连续函数的性质
重点：函数在点 x 0 的连续性
青
难点：连续、一致连续的证明
岛
科
要求：理解连续的定义，间断点的分类，
技 大
会 用定义证明函数的连续性。
学
一、连续函数的定义
定义3.2.1 设函f数 (x)在点 x0的某个邻域中有定义 并且 lx ix成 m f(x) 立 f(x0)，则f称 (x)在函 点 x0连数 续 ，
所s以 ix n 在 ， (, ) 上连 . 续
同理 f(x ) 可 cx o 在 ( s 证 , )上 .连续
定义3.2.3 若 x l x 0 i－ f m (x ) f(x 0 )则 , f(x ) 称 在 x 0 左 点 ； 连续 若 x l x i 0f m (x ) f(x 0 )，f( 则 x )在 x 0 称 右 点 .连
t0
a n0 u
综合 lia 起 m t 1， 来从 l， ia m x ＝ 而 a x 0. 有
t 0
x x 0
二、连续函数的四则运算
设 l x x 0 if ( m x ) f ( x 0 ) ， l x x 0 ig ( m x ) g ( x 0 )则 ,
( 1 l x x 0 i ) [f m ( x ) g ( x ) ]f( x 0 ) g ( x 0 )( ,， 为 )常 ;
xx0
（ 3 ） lx ix0 m f(x)f(x0).
三者缺一不称 可x点 ， 0是 f(否 x)的 不 则连 就， 续点 亦称间断点. 1.第一类不连续点： 函数 f(x)在点 x0的左、右极限不 都相 存等 在， 但
即 f(x 0 )f(x 0 ).
例3.2.5 讨f论 (x)sgx在 nx0处的连 . 续性
coxs
coxs
｛ xxR ,xk,kZ}上连 . 续
2
cox tcox， scsxc 1， sixn sixn
在其x 定 x R ,x 义 k ,k 域 Z }上 ｛连 . 续
三、不连续点的类型
函数 f(x)在点 x0处连续必须满足 （1）f(x)在点 x0有定义； （2）limf (x)存在；
x l x i0－ m f(x)f(x0)
0 ， 0 ， x ( x x 0 0 ) : f ( x ) f ( x 0 )
x l x i0 ＋ m f(x )f(x 0)
0 ， 0 ， x ( 0 x x 0 ) : f ( x ) f ( x 0 )
(2 l x x i ) 0fm (x )g (x ) f(x 0 )g (x 0 );
(1)，(2)可推广到有限个函情数形.的
（ 3 ） lim f(x)f(x0) x x0 g(x) g(x0)
(g(x0)0)
例3.2.3 ( 1 多 ) P n ( x ) 项 a n x n a n 1 x n 1 式 a 1 x a 0
解：
1， x0 sgnx0 ， x0
1 ， x0
f(0)lis m gx n 1 ， x 0 f(0)lim sgx n1， x 0
f(0 )f(0 )
定义3.2.4 若f(x)在(a,b)上连续，且在a右 左连 端点 续，在右 b左 端连 点续，则f(称 x)在 函 闭数 区[a间 ,b]上连续 定理 f(x 3 )在 . x 0 处 2.连 1f (x续 )在x0点既右连续又左.连 即 l x x 0 f i ( x ) m f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) f ( x 0 )
在(,)上连续， (2有 ) 理 Q (x )函 a nx n 数 a n 1x n 1 a 1x a 0在其
b m x m b m 1x m 1 b 1x b 0 域上连续 .
证 ( 1 ) x 0 ： ( , ) ， l x x 0 C i m C ， l x x 0 i x m x 0 ， f(x )C ， g (x )x 在 (, )上 连续，
x x0
t 0
若 t0， 则a当 1时， 1 t且 1 t知， 1
1
1 at a t
因lim n a1，由极限的夹 到li逼 m at 性 1 ，得
n
t0＋
当0a1时，limatt0＋来自1 lt i0＋ m1t
1 1t 1
lim
a t0＋a
若 t0时， ut， 令于是
lim at
1 lim 1
由连续函数 ， Pn的 (x)和 四 Q(x)在 则其 运定 算义 . 域 例3.2.4 tanx,sexc,coxt,csxc在其定义域 . 上连续
证3 ： .我 2例 .1 们 sx i与 n c 已 x o 在 ( s证 , )上 连续
由连续函数的四则运，算可知
taxnsin x， sexc 1 ，在其定义域
例3.2.2 指f 数 (x ) a x ( a 函 0 ， a 1 数 ) 在 ( , ) 上连续.
证 x 0 ： ( , ) ， 首 a x a x 0 有 a 先 x 0 ( a x x 0 1 )
所以 li证 a m x ＝ ax0就归l结 ia m t 为 1 ，证
例3.2.1 证f明 (x ) six 在 n (, )上 .连续
证 ： x0 (, ) ，由于 sx i s n x i0 n 2 cx o 2 x 0 sx i 2 n x 0 2 sx i 2 n x 0
2x 2x 0xx 0
0 ,取 ， x ： x x 0 ， 有
sx i n sx i0 n x x 0
0
或x0 称 是函 f(x)的 数 连续 . 点
""定义： f(x)在x0 点 连 续 0 ， 0 ， x ( x x 0 ) : f ( x ) f ( x 0 ) 定义3.2.2 若函f(数 x)在区(a,间 b)的每一点, 都连
则称 f(x)函 在数 开 (a,b)区 上 连 间 .续
第三节 函数的连续性
教学目标：
连续性的概念
内容：
1 函数在点 x 0 的连续性
2 间断点及其的分类
3 区间上的连续函数的性质
重点：函数在点 x 0 的连续性
青
难点：连续、一致连续的证明
岛
科
要求：理解连续的定义，间断点的分类，
技 大
会 用定义证明函数的连续性。
学
一、连续函数的定义
定义3.2.1 设函f数 (x)在点 x0的某个邻域中有定义 并且 lx ix成 m f(x) 立 f(x0)，则f称 (x)在函 点 x0连数 续 ，
所s以 ix n 在 ， (, ) 上连 . 续
同理 f(x ) 可 cx o 在 ( s 证 , )上 .连续
定义3.2.3 若 x l x 0 i－ f m (x ) f(x 0 )则 , f(x ) 称 在 x 0 左 点 ； 连续 若 x l x i 0f m (x ) f(x 0 )，f( 则 x )在 x 0 称 右 点 .连
t0
a n0 u
综合 lia 起 m t 1， 来从 l， ia m x ＝ 而 a x 0. 有
t 0
x x 0
二、连续函数的四则运算
设 l x x 0 if ( m x ) f ( x 0 ) ， l x x 0 ig ( m x ) g ( x 0 )则 ,
( 1 l x x 0 i ) [f m ( x ) g ( x ) ]f( x 0 ) g ( x 0 )( ,， 为 )常 ;
xx0
（ 3 ） lx ix0 m f(x)f(x0).
三者缺一不称 可x点 ， 0是 f(否 x)的 不 则连 就， 续点 亦称间断点. 1.第一类不连续点： 函数 f(x)在点 x0的左、右极限不 都相 存等 在， 但
即 f(x 0 )f(x 0 ).
例3.2.5 讨f论 (x)sgx在 nx0处的连 . 续性
coxs
coxs
｛ xxR ,xk,kZ}上连 . 续
2
cox tcox， scsxc 1， sixn sixn
在其x 定 x R ,x 义 k ,k 域 Z }上 ｛连 . 续
三、不连续点的类型
函数 f(x)在点 x0处连续必须满足 （1）f(x)在点 x0有定义； （2）limf (x)存在；