数与式的运算、因式分解(教师版)

数与式的运算

一、乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式

22()()a b a b a b +-=-；

⑵完全平方公式

2

2

2

()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

⑶三数和平方公式

2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；

⑷两数和完全立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算：

⑴)749)(7(2

x x x +-+

⑵)1)(1)(1)(1(2

2+-+++-a a a a a a

(3)+ (4)2222

[(2)][(2)]x y x y -+++

答案：（1）3343x + （2）6

1a - （3）

a c

b +--

(4)422422

28816x x y y x y ++-++

例题的设计意图

(1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。

二、根式

0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：

(1) 2(0)a a =≥

(2)

(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪

===⎨⎪-<⎩

(3)

0,0)a b =≥≥

(4)

0,0)a b =>≥ 三、分式

当分式

A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A

B

就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

【例2】化简

（1

（2）11x

x x x x

-+

-

例题的设计意图

（1）考查根式的性质

（2）繁分式的化简，我个人比较倾向解法二，运算速度快

（1）解法一：因为

2

2

2

=+

22426==+=

0>

=解法二：

=

=

2=

=

==

=

=

2=

=

=

=

=

解法一：利用到a =和2a =，先计算原式的平方，然后再开方．

（2）解法一：原式

=222(1)11(1)1(1)(1)11

x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++=====--⋅+-+-+

++--+ 解法二：原式=22

(1)1

(1)(1)111()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

++====-⋅-+--+++--⋅

说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，

解法二则是利用分式的基本性质A A m

B B m

⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两

种方法．

因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能。

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、求根法和分组分解法等等。

一、公式法(立方和、立方差公式)

【公式1】2

222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++

【公式2】32233

33()a a b ab b a b +++=+

【公式3】3223333()a a b ab b a b -+-=- 【公式4】

3322()()a b a b a ab b +=+-+ 【公式5】

3322()()a b a b a ab b -=-++ 【例1】把下列各式分解因式： ⑴3

3

827x y --= ； ⑵331

4()()2

x y x y --

+= ； ⑶32238365427x x y xy y -+-= ；

⑷76

x xy -= ； 【答案】（1）2

2

(23)(469)x y x xy y -+-+ （2）

221

(3)(763)2

x y x xy y --+ （3）（3）3

(23)x y -

（4）2

2

2

2

()()()()x x y x xy y x y x xy y +-+-++

二、十字相乘法

一般二次三项式2

ax bx c ++型的因式分解。大家知道，

2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()

a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成

12

a a ，

常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c

写成1

1

2

2a c a c

⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到

1221

a c a c +，如果它正好等于2

ax bx c ++的一次项系数b ，那么2

ax bx c ++就可以分解

成

1122()()a x c a x c ++，其中

11

,a c 位于上一行，

22

,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线

分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．