人教版高中数学选修2-2学案：导数的计算

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人教版选修2-2第一章导数的概念与计算同步教案

（二）导数的计算知识梳理1.基本初等函数的导数公式函数导函数y c ='0y = *()()n y f x x n Q ==∈'1n y nx -= sin y x = 'cos y x =cos y x = 'sin y x =-()x y f x a ==()x y f x e =='x y e = ()log a f x x =()ln f x x ='1()f x x= 2.导数运算法则导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ 3. 复合函数的求导法则如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，则(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ' 或记作 x y '=u y '•x u '注：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

教案解读本次课的内容较为简单基础，结合考纲要求系统梳理知识点，让学生正确地把握知识的重难点。

例题由浅入深，逐步加强学生学习数学的自信心，更好的激发学生的学习兴趣；如基本初等函数的导数公式以及导数运算法则的应用到复合函数的求导法则的过渡；求切线方程中，由切点到非切点的应用。

在课后作业的布置，1-5，7-9题较基础简单，适合大部分学生；而第6、10、11题难度较大，针对基础较好的学生布置的。

2013新人教A版选修(2-2)1.2《导数的计算》word教案

§1.2导数的运算§1.2.1常见函数的导数目的要求：（1）了解求函数的导数的流程图，会求函数的导函数（2）掌握基本初等函数的运算法则教学内容一．回顾函数在某点处的导数、导函数思考：求函数导函数的流程图新授；求下列函数的导数（1）y kx b =+ （2）2()f x x =（3）3()f x x = （4）1()f x x=（5）()f x =思考：你能根据上述（2）～（5）发现什么结论？几个常用函数的导数：基本初等函数的导数：（7）1()'(x x αααα-=为常数）（8）'()ln (0,x x a a a a =>且1)a ≠（7）11(log )'log (0,ln a a x e a x x a==>且1)a ≠ （8）()'x x e e = （9）1(ln )'xx=（10）(sin )'cos x x = （11）(cos )'sin x x =- 例1．若直线y x b =-+ 为函数1y x=图像的切线，求b 及切点坐标。

例2．直线132y x =+能作为下列函数()y f x =图像的切线吗？若能，求出切点坐标；若不能，简述理由（1）1()f x x = （2）1()f x x=-（3）()sin f x x = （4）()xf x e =小结：（1）求函数导数的方法（2）掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式作业：（1）在曲线24y x=上一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135o。

（2）当常数k 为何值时，直线y x =才能与函数2y x k =+相切？并求出切点§1.2.2函数的和、差、积、商的导数目的要求：了解导数的四则运算法则，能利用导数的四则运算法则求函数的导数重点难点：四则运算法则应用教学内容：一．填写下列函数的导数：（1）()'kx b += （2）()'C =（3）()'nx = （n 为常数）（4）()'xa = （0a >且1a ≠）（5）(log )'a x = （0a >且1a ≠）（6）()xe = （7）(ln )x = （8）(sin )'x = （9）（cos )x '= 二．新授：例1．求2y x x =+的导数思考：（1）已知'(),'()f x g x ，怎样求[()()]'f x g x +呢？（2）若'2y x =+，则y =导数的四则运算法则：（1）（2）（3）（4）（5）特别，当()u x c =(c 为常数)时，有 )()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．例2．求下列函数的导数（1）2()sin f x x x =+ （2）323()622g x x x x =--+例3．求下列函数的导数：（1）()sin f x x x = （2）21()t S t t+=板演：1．用两种方法求函数(21)(3)y x x =-+的导数2．求下列函数的导数（1）21()f x x = （2）()23xf x x =+（3）2sin ()x f x x= （4）22y x x =•2．已知函数()f x 的导数是'()f x ，求函数2[()]f x 的导数。

人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.2第二课时导数的运算法则

第二课时导数的运算法例预习课本P15～ 18，思虑并达成以下问题(1)导数的四则运算法例是什么？在使用运算法例时的前提条件是什么？(2)复合函数的定义是什么，它的求导法例又是什么？[新知初探 ]1．导数的四则运算法例(1)条件： f(x)， g(x)是可导的．(2)结论：① [f(x) ±g(x)] ＝′f′(x)±g′(x)．② [f (x)g(x)] ＝′ f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)．③f x′＝f xg x － f x g x(g(x) ≠ 0)．g x2[g x[点睛 ]应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推行到有限个函数的和差的导数运算．(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零 )必可导．(3)若两个函数不行导，则它们的和、差、积、商不必定不行导．(4)对于较复杂的函数式，应先进行适合的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．2．复合函数的求导公式(1)复合函数的定义：①一般形式是 y＝ f(g( x))．②可分解为 y＝ f(u)与 u＝ g(x)，此中 u 称为中间变量．(2)求导法例：复合函数y＝ f (g(x))的导数和函数y＝ f(u)， u＝ g(x)的导数间的关系为：y x′＝ y u′·u x′.[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1) f′(x)＝2x，则 f(x)＝ x2 .()(2)函数 f(x)＝ xe x的导数是 f′(x)＝e x(x＋ 1)． ()(3)函数 f(x)＝ sin(－ x)的导数为 f′(x)＝ cos x． ()答案： (1) × (2) √ (3) ×2．函数 y ＝ sin x ·cos xA ． y ′＝ cos 2x ＋ sin 2xC ． y ′＝ 2cos x ·sin x答案： B的导数是()B ． y ′＝ cos 2xD ． y ′＝ cos x ·sin x3．函数 y ＝ xcos x － sin x 的导数为 ________．答案：－ xsin x4．若 f(x)＝ (2x ＋ a)2，且 f ′(2)＝ 20，则 a ＝ ________.答案： 1利用导数四则运算法例求导[典例 ] 求以下函数的导数：2＋ log 3x ； (2)y ＝ x 3 x(3)y ＝ cos x(1) y ＝ x ·e ；x .解 ′＝ 2＋ log ＝′ 2 ) ′＋ (log′ [ ] (1) y (x 3x)(x 3x) ＝ 2x ＋ 1.xln 33 x 3x3 x′′＝ · ) ′＝ ( x) ′·e＋x· )(2) y(x e(e＝ 3x 2·e x ＋x 3 ·e x ＝ e x (x 3＋ 3x 2)． (3) y ′＝ cos x ′＝ xx － cos x x2xx － x ·sin x － cos x xsin x ＋ cos x＝ 2 ＝－ 2. xx求函数的导数的策略(1)先划分函数的运算特色，即函数的和、差、积、商，再依据导数的运算法例求导数．(2) 对于三个以上函数的积、商的导数，挨次转变为“两个 ”函数的积、商的导数计算．[活学活用 ]求以下函数的导数：x(1) y ＝ sin x － 2x 2； (2)y ＝cos x ·ln x ； (3) y ＝ sin ex .解： (1)y ′＝ (sin x － 2x 2) ′＝ (sin x) ′－ (2x 2) ′＝ cos x － 4x. (2) y ′＝ (cos x ·ln x) ′＝ (cos x) ′·x ＋ln cos x ·(ln x) ′＝－ sin x ·ln x ＋ cos xx.e xxx － e x x(3) y ′＝ sin x ′＝sin 2x ＝ e x ·sin x － e x ·cos x e x x － cosx2 ＝2sin xsin x复合函数的导数运算[典例 ] 求以下函数的导数：(1) y ＝ 1 2； (2)y ＝ e sin(ax ＋b)；1－ 2x(3) y ＝ sin 2 2x ＋π3 ； (4)y ＝ 5log 2(2x ＋ 1)．[解 ] (1)设 y ＝u － 1， u ＝ 1－ 2x 2，2则 y ′＝ (u －12) ′ －(12x2) ′＝－21u － 32 ·(－ 4x)＝－1 23 23.(1－ 2x )－2(－ 4x)＝ 2x(1－ 2x )－ 22(2) 设 y ＝ e u ， u ＝ sin v ， v ＝ ax ＋ b ，则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ e u ·cos v ·asin(ax ＋b) ．＝ acos(ax ＋ b) ·e(3) 设 y ＝ uπ2， u ＝ sin v ， v ＝2x ＋，3则 y x ′＝ y u ′·u v ′·v x ′＝ 2u ·cos v ·22π＝ 4sin vcos v ＝ 2sin 2v ＝ 2sin 4x ＋ 3 .(4) 设 y ＝ 5log 2 u ， u ＝ 2x ＋ 1，则 y ′＝ 5(log 2u) ′·x ＋(21) ′＝ 10 ＝ 10 .uln 2 x ＋1．求复合函数的导数的步骤2．求复合函数的导数的注意点(1) 内、外层函数往常为基本初等函数．(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．[活学活用 ]求以下函数的导数：(1) y ＝ (3x － 2)2 ； (2) y ＝ ln(6x ＋ 4)；(3) y ＝ e 2x ＋1；(4)y ＝ 2x － 1；π； (6)y ＝ cos 2x.解： (1)y ′＝ 2(3x － 2) ·(3x －2) ′＝ 18x － 12；13；(2) y ′＝ 6x ＋ 4·(6x ＋ 4) ＝′3x ＋ 2(3) y ′＝ e 2x ＋ 1·(2x ＋ 1) ′＝2e 2x ＋1；(4) y ′＝ 1 ′＝1. ·(2x － 1) 2x － 1 2 2x － 1π ππ(5) y ′＝ cos 3x － 4 ·3x － 4 ′＝3cos 3x － 4 .(6) y ′＝ 2cos x ·(cos x) ′＝－ 2cos x ·sin x ＝－ sin 2x.与切线相关的综合问题2π[典例 ]处的切线斜率为 ________．(1) 函数 y ＝ 2cos x 在 x ＝12(2) 已知函数 f(x)＝ ax 2＋ ln x 的导数为 f ′(x)，①求 f(1)＋ f ′(1)．②若曲线 y ＝ f (x)存在垂直于 y 轴的切线，务实数a 的取值范围．[分析 ] (1) 由函数 y ＝ 2cos 2x ＝ 1＋ cos 2x ，得 y ′＝ (1＋ cos 2x) ′＝－ 2sin 2x ，所以函数在π 2sinπ＝处的切线斜率为－2 × ＝－1.x1212答案：－1(2) 解： ①由题意，函数的定义域为(0，＋ ∞)，由 f( x)＝ ax 2＋ ln x ，得 f ′(x)＝ 2ax ＋ 1，x 所以 f(1)＋ f ′(1)＝ 3a ＋ 1.② 因为曲线 y ＝ f(x)存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转变为在 x ∈ (0，＋∞)内导函数f ′(x)＝ 2ax ＋ 1存在零点，x即 f ′(x)＝ 0?2ax ＋ 1x ＝ 0 有正实数解，(5) y ＝ sin 3x － 4即 2ax 2＝－ 1 有正实数解，故有 a<0 ，所以实数 a 的取值范围是 (－∞， 0)．对于函数导数的应用及其解决方法(1) 应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及波及切线问题的综合应用．(2) 方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再依据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．[活学活用 ]若存在过点 (1,0) 的直线与曲线y ＝ x 3 和 y ＝ ax 2＋15都相切，则 a 的值为 ()4 x － 92521A ．－ 1 或－ 64B ．－ 1 或 4C ．－ 7或－ 25D ．－7或 74 644分析：选A 设过点 (1,0)的直线与曲线 y ＝ x 3 相切于点 (x 0， x 03)，则切线方程为y － x 03＝ 3x 02(x － x 0)，即 y ＝ 3x 02x － 2x 03.又点 (1,0)在切线上，代入以上方程得 3x 0＝ 0 或 x 0＝ .2当 x 0＝ 0 时，直线方程为 y ＝ 0.21525由 y ＝ 0 与 y ＝ ax ＋4 x － 9 相切可得 a ＝－ 64.当 x 0＝ 3时，直线方程为 y ＝ 27x － 27.24 42727215由 y ＝ 4 x － 4 与 y ＝ ax ＋ 4 x － 9 相切可得 a ＝－ 1.层级一学业水平达标1．已知函数 f (x)＝ ax 2 ＋c ，且 f ′(1)＝ 2，则 a 的值为 ()A ． 1B. 2C ．－ 1D ． 0分析：选A∵ f(x)＝ ax 2＋ c ，∴ f ′(x)＝ 2ax ，又∵ f ′(1)＝ 2a ，∴ 2a ＝ 2，∴ a ＝ 1.2．函数2y ＝ (x ＋ 1) (x － 1)在x ＝ 1 处的导数等于()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：选 D y ′＝ [(x ＋ 1) 2] ′(x － 1)＋ (x ＋ 1) 22＝ 3x 2＋ 2x(x － 1) ′＝ 2(x ＋ 1) ·(x － 1) ＋ (x ＋ 1) － 1，∴ y ′|＝＝ 4.x 13．曲线 f(x)＝ xln x 在点 x ＝ 1 处的切线方程为 ( )A ． y ＝ 2x ＋ 2B ． y ＝ 2x － 2C ． y ＝ x － 1D ． y ＝ x ＋ 1分析：选C∵ f ′(x)＝ ln x ＋ 1，∴ f ′(1)＝ 1，又 f(1) ＝0，∴在点 x ＝ 1 处曲线 f(x)的切线方程为 y ＝ x － 1.4. 已知物体的运动方程为s ＝ t 2＋ 3(t 是时间， s 是位移 )，则物体在时辰 t ＝ 2 时的速度t为 ()19 17 A. 4B. 415 13C. 4D. 4分析：选D33 13∵ s ′＝ 2t －t ，∴ s ′|t2＝ 4－4＝4＝5．设曲线 y ＝ ax － ln(x ＋ 1)在点 (0,0) 处的切线方程为 y ＝ 2x ，则 a ＝ ()A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3分析：选Dy ′＝ a － 1，由题意得 y ′|x ＝0＝ 2，即 a － 1＝ 2，所以 a ＝3.x ＋ 13－ x ＋ 3 在点 (1,3)处的切线方程为 ________．6．曲线 y ＝ x22分析：∵ y ′＝ 3x － 1，∴ y ′x1＝ 3×1 － 1＝ 2.＝∴切线方程为 y － 3＝ 2(x －1) ，即 2x － y ＋ 1＝ 0.答案： 2x － y ＋ 1＝ 07．已知曲线y 1＝ 2－ 1与 y 2＝ x 3－ x 2＋ 2x 在 x ＝x 0 处切线的斜率的乘积为3，则 x 0＝x ________.分析：由题知 y ′＝12处切线的斜率分别为12＝ 3x － 2x ＋ 2，所以两曲线在 x ＝ x2，1x ， y ′2x 02－2x 0＋ 2，所以3x 02－ 2x 0＋ 23x 02＝ 3，所以 x 0＝ 1.x 0答案： 1ππ8．已知函数 f (x)＝ f ′4 cos x ＋ sin x ，则 f 4 的值为 ________．π分析： ∵ f ′(x)＝－ f ′4 sin x ＋ cos x ，ππ 2 2∴ f ′4 ＝－ f ′4 ×2 ＋ 2 ，π得 f ′4 ＝ 2－ 1.∴ f( x)＝ ( 2－ 1)cos x ＋ sin x.π∴ f 4 ＝ 1. 答案： 19．求以下函数的导数：2e x ＋ 1x；(1) y ＝ xsin x ； (2)y ＝ e － 1x ＋ cos x(3) y ＝ x ＋ sin x ； (4)y ＝ cos x ·sin 3x.22解： (1)y ′＝ (x) ′sinx ＋ x(sin x) ′＝ sin 2 x ＋ x ·2sin x ·(sin x) ′＝sin 2x ＋ xsin 2x.(2) y ′＝ e x ＋ 1 ′ e x － 1－ e x ＋ 1e x － 1 ′x 1 2e －－ 2e x .＝x－ 12ex ＋ cos x ′ x ＋ sin x － x ＋ cos xx ＋ sin x ′(3) y ′＝x ＋ sin x2＝1－ sin xx ＋ sin x －x ＋ cos x1＋ cos xx ＋ sin x 2－ xcos x －xsin x ＋ sin x － cos x － 1 ＝ x ＋ sin x 2.(4) y ′＝ (cos x ·sin 3x) ′＝ (cos x) ′sinx3＋ cos x(sin 3x) ′＝－ sin xsin 3x ＋ 3cos xcos 3x＝ 3cos xcos 3x － sin xsin 3x.10．偶函数 f(x)＝ ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e 的图象过点 P(0,1)，且在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝x － 2，求 f(x)的分析式．解： ∵ f(x)的图象过点 P(0,1)，∴ e ＝ 1.又∵ f( x)为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)．故 ax 4＋ bx 3＋ cx 2＋ dx ＋ e ＝ ax 4－ bx 3＋ cx 2－ dx ＋ e.∴ b ＝ 0， d ＝ 0.∴ f(x)＝ ax 4＋ cx 2＋ 1. ∵函数 f(x)在 x ＝ 1 处的切线方程为y ＝ x － 2，∴切点为 (1，－ 1)．∴ a ＋ c ＋ 1＝－ 1.∵f′(x)|x＝1＝ 4a＋ 2c，∴ 4a＋ 2c＝ 1.∴a＝5， c＝－9.225492∴函数 f(x)的分析式为 f (x)＝x－ x ＋ 1.22层级二应试能力达标1．若函数 f(x)＝ ax4＋ bx2＋ c 知足 f′(1)＝ 2，则 f′(－1)等于 ()A．－ 1B．－ 2C． 2D． 0分析：选B∵ f′(x)＝ 4ax3＋ 2bx 为奇函数，∴ f′(－1)＝－ f′(1)＝－ 2. 2．曲线 y＝ xe x－1在点 (1,1)处切线的斜率等于 ()A． 2e B． eC． 2D． 1分析：选C函数的导数为 f′(x)＝ e x－1＋ xe x－1＝ (1＋ x)e x－1，当 x＝ 1 时， f′(1)＝ 2，即曲线x－1在点 (1,1)处切线的斜率k＝ f′(1)＝ 2，应选 C. y＝ xe3．已知函数 f (x)的导函数为 f′(x)，且知足 f(x)＝ 2xf ′ (e)＋ ln x，则 f′ (e)＝ ()－ 1B．－ 1A． e－ 1D．－ eC．－ e分析：选C∵ f(x)＝ 2xf′(e)＋ ln x，∴f′(x)＝ 2f′(e)＋1 x，∴f′(e)＝ 2f′(e)＋1，解得 f′(e)＝－1，应选 C.e e4．若 f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，则 f′(x)＞ 0的解集为 ()A． (0，＋∞ )B． (－ 1,0)∪ (2，＋∞) C． (2，＋∞ )D． (－ 1,0)分析：选C∵ f(x)＝ x2－ 2x－ 4ln x，∴f′(x)＝ 2x－ 2－4x＞ 0，x＋x－或 x＞ 2，整理得＞ 0，解得－ 1＜ x＜ 0x又因为 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，所以 x＞ 2.5．已知直线y＝ 2x－ 1 与曲线 y＝ ln(x＋ a)相切，则a 的值为 ________________．1分析：∵ y＝ ln(x＋ a)，∴ y′＝，设切点为(x0，y0)，1则 y0＝ 2x0－ 1， y0＝ ln(x0＋ a)，且x0＋a＝ 2，解之得 a＝1ln 2. 2答案：1ln 22x在点 (1,1)的切 l， l 上的点到x2＋ y2＋ 4x＋ 3＝ 0 上的点的6．曲 y＝2x－1近来距离是 ____________．分析： y′＝－1|y－ 1＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 2 2， y′x＝1＝－ 1，∴切方程＝ 0，心 (－ 2,0)到直的距离d＝ 2 2，的半径 r＝ 1，∴所求近来距离 2 2－ 1.答案： 2 2－17．已知曲 f (x)＝ x3＋ ax＋ b 在点P(2，－ 6)的切方程是13x－ y－ 32＝ 0.(1) 求a， b 的；1(2)假如曲 y＝ f(x)的某全部与直 l：y＝－4x＋ 3 垂直，求切点坐与切的方程．解： (1)∵ f(x)＝ x3＋ ax＋ b 的数 f′(x)＝ 3x2＋ a，由意可得f′(2)＝ 12＋ a＝13， f(2)＝ 8＋ 2a＋ b＝－ 6，解得 a＝ 1， b＝－ 16.1(2)∵切与直 y＝－4x＋ 3 垂直，∴切的斜率k＝ 4.切点的坐(x0， y0)，2f′(x0)＝ 3x0＋ 1＝ 4，∴ x0＝±1.由 f( x)＝ x3＋x－ 16，可得 y0＝ 1＋ 1－ 16＝－ 14，或 y0＝－ 1－ 1－ 16＝－ 18.切方程y＝ 4(x－ 1)－ 14 或 y＝ 4(x＋ 1)－ 18.即 y＝ 4x－ 18 或 y＝ 4x－ 14.8． f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1， x≥0， n∈ N， n≥2.(1) 求 f n′ (2)；明：在 0，2内有且有一个零点(a，且＜12n(2)f n(x)n)a n－＜n＋13023.解： (1)由 f n′(x)＝ 1＋ 2x＋⋯＋ nx n－1.所以 f n′ (2)＝ 1＋ 2×2＋⋯＋ (n－ 1)2n－2＋n·2n－1，①2f n′ (2)＝ 2＋ 2×22＋⋯＋ (n－ 1)2n－1＋ n·2n，②①－②得，－ f n′ (2)＝ 1＋ 2＋ 22＋⋯＋ 2n－1－ n·2n＝1－ 2n n n－ n·2＝ (1－ n) ·2－ 1，1－ 2所以 f n′ (2)＝ (n－1)n ·2＋1.(2)因 f(0)＝－ 1＜ 0，22nn 231－3－ 1＝1－2×2n2×22＞ 0，f3＝23≥ －3 1－13因 x≥0， n≥2.所以 f n(x)＝ x＋ x2＋⋯＋ x n－ 1 增函数，所以 f n(x)在 0，2内增，3所以 f n在 0，2内有且有一个零点 a n(x)3.n＋ 1x－ x因为 f n(x)＝－1，n＋1所以 0＝ f n(a n) ＝a n－ a n－ 1，1－ a n由此可得11n＋ 11，故12 a n＝＋a n＞2＜ a n＜ .22231 1 n＋112 n＋1n所以 0＜ a n－22＝2a n＜2×3＝3n＋ 1.。

人教版高中数学选修2-2第一章导数的概念与计算同步教案

在求导时要由外到内，逐层求导。

教案解读本次课的内容较为简单基础，结合考纲要求系统梳理知识点，让学生正确地把握知识的重难点。

在课后作业的布置，1-5，7-9题较基础简单，适合大部分学生；而第6、10、11题难度较大，针对基础较好的学生布置的。

人教版高中数学选修(2-2)-1.2《导数的计算》教学设计

1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？是如何计算得到的？任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________；特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______；特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式．例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三认识规律，熟练掌握法则导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________；（2）[()()]__________________f x g x '⋅=；（3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．（2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-．点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数f (x )的导函数（3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．（2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量．利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】解： A探究型多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式；（2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。

高二数学(人教版)选修2-2导学案：1.2.2基本初等函数的导数公式和导数的运算法则(无答案)

编号： gswhsxxx2 -2-01-04文华高中高二数学选修2--2 第一章《导数及其应用》§基本初等函数的导数公式及导数的运算法例导教案学习目标1.理解两个函数的和 (或差 )的导数法例，学会用法例求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法例，学会用法例求乘积形式的函数的导数.3.经过对导数的认识，感觉数学科学的无量魅力，培育学习数学的浓重兴趣。

要点、难点形成导数的观点，认识导数的内涵。

学习方法认识并掌握导数的观点及求法。

学习过程一，自主学习（预习教材 P 14~ P 19，找出迷惑之处）复习 1：常有函数的导数公式：(1) C ' ____(C 为常数 )；(2) ( x n )'+(sin x)' _______ ；________ ,n ∈ N ； (3) (4) (cos x)'_______ ;(5) (e x )'________ ;(6) (a x )'_________ ;(7) (ln x)'______ ;(8)(loga x)'1 logaxe复习 2：依据常有函数的导数公式计算以下导数（1） y x6（2） y x1 1（3）y （ 4）yx2 4 x3二，探究新知1.可导函数的四则运算法例法例 1 [ u( x)v(x)]'____________. (口诀：和与差的导数等于导数的和与差).法例 2 [ u( x)v( x)]____________ .( 口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)法例 3 [u( x)] _______________( v( x) 0) (口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导v(x)上不导，中间是负号 )例1. 依据基本初等函数的导数公式和导数运算法例，求函数y x3 2x 1 3导数.x变式：（ 1） y log 2 x ；（2）y2e x；5 2（ 3） y 2 x 3x 5 x 4 ；（ 4） y 3cos x 4sin x例 2 求以下函数的导数：（1）y x3 log2 x ；（ 2）y x n e x（3）y=2e-x三、讲堂小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算获得的简单的函数均可利用求导法例与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．关于函数求导，一般要按照先化简，再求导的基来源则.求导时，不只要重视求导法例的应用，并且要特别注意求导法例对求导的限制作用.在实行化简时，第一要注意化简的等价性，防止不用要的运算失误.四，讲堂展现求以下函数的导数（ 1）y x x （）n x2 log 2 2 y x e (n Q)（ 3）y x x 2（ 4）y(2 3x)(3 5x x2 )本节课我最大的收获是:我存在的迷惑有:《基本初等函数的导数公式及导数的运算法例》节节过关检测班级组名学生姓名1、以下四组函数中导数相等的是（）A. f (x) 1与f ( x) xB. f (x) sin x与f ( x)cosxC. f ( x) 1 cosx与f (x)sin x D . f ( x) 1 2x2与 f (x)2x 2 32、以下运算中正确的选项是（）A.(ax2bx c)a( x2 ) b(x)B.(sin x 2x2 )(sin x) 2 ( x 2 )C.( sin2 x) (sin x) 2( x2)D.(cos x sin x) (sin x) cos x (cos x) cos x x x3、对随意的x，有f ( x)4x3 , f (1)1, 则此函数分析式能够为（）A. f ( x) x4B. f ( x) x 4 2C. f (x) x4 1 D . f ( x)x44、函数y x33x 21在点1, 1处的切线方程为（）3x 3x 4x 3 D .y 4x 55、函数( ) 2 3 3 2 5x 4的导数 f ( x) ， f ( 3) .f x x x6、已知函数 f (x)13 8x2x 2 , 且 f ( x0 ) 4, 则 x0.7、过原点作曲线y e x的切线，则切点坐标为，切线的斜率为.。

人教版高中数学选修2-2学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）【学习目标】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则；2.理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和求导法则求函数的导数.【新知自学】知识回顾：1. 1.基本初等函数的导数公式：新知梳理：1. 导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x),（1）[()]cf x =_____________;（2）[]='±)()(x g x f ___________；（3）[]='∙)()(x g x f _______________；（4）='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ________________)0)((>x g ．感悟：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即：[]''()()cf x cf x =. 对点练习：1.下列等式成立的是( )A.3)3(='B.235)2(x x ='C.236)2(x x -='-D.5510)2(x x =' 2.若2y x x ＝＋，则='y ( )A.2xB.2x+1C.3xD.x 2+13.设,2x e x y =则='y ( )A. x e x x 22+B.x xe 2C. x e x x )2(2+D. x e x x )(2+ 4.设xx y sin =，则='y __________________. 【合作探究】典例精析：例1.求下列函数的导数：（1）x y 2=; (2)323+-=x x y ；(3)y=xsinx; (4)y=x2x.变式练习：求下列函数的导数：（1）x x x f sin )(3=; (2) y=x x ln x 31-;（3）x e x y cos =; (4)y=(x 2-2)(x+1).例2.求函数y=(2cos 2sinx x +)2-1的导函数.变式练习：求函数x xx xy +-+-+=1111的导函数.例3.曲线y=xe x +2x+1在点(0,1)处的切线方程.变式练习：若曲线f(x)=xsinx+1在x=2π处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，求实数a 的值.规律总结：1.对于和与差的导数运算法则，此法则可以推广到任意有限个可导函数的和与差，即：[f 1(x)± f 2(x)±…f n (x)]'=)(1x f '± )(2x f '±…±)(x f n '.2.对于积与商的导数的运算法则，首先要注意不能出现)()(])()([x g x f x g x f '⋅'='⋅以及)()(])()([x g x f x g x f ''='这样的错误；其次，还要特别注意两个函数积与商的求导公式中的符号的异同，积的求导公式中是“+”，商的求导公式中是“-”.【课堂小结】1.已知αx x f =)(，若4)1(-=-'f ，则α的值( )A.一4B. 4C.±4D.不确定2.若函数f(x)=x 2+bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数f '(x)的图象是（）3.若f(x)=x 2e x ，则=')2(f _____________.4.求下列函数的导数：(1)2()sin f x x x ＝＋；（2）323()622g x x x x ＝－－＋．(3)()sin h x x x ＝；（4）()2ln f x x x ＝.1. 1.函数n m mx y -=2的导数为34x y =',则( ) A.2,1-=-=n m B.2,1=-=n mC.2,1==n mD.2,1-==n m2.函数32+=x x y 的导函数为__________________.3. 直线y ＝－14x ＋b 是函数f (x )＝1x的切线，则b ＝________.4.求下列函数的导数：（1）x x y 43log =；（2）x y x cos 2=；(3)x y 2sin =；(4)x x f tan )(=.5.直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，求2a ＋b 的值.6.设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求(0)f ',)1-(f '．7．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l .(1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程；(2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．。

人教版高中数学选修2-21.2.2导数的运算法则学案

1．2.2 导数的运算法例能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法例求简单函数的导数．基础梳理1．若 c 为常数，则 (cu) ＝′cu ′.2(3x ) ′＝ 6x ．2．法例 1： [u(x) ±v(x)] ＝′u ′(x)±v ′(x)．322(x ＋ x ) ′＝ 3x ＋ 2x ．3．法例 2： [u(x)v( x)] ＝′u ′(x)v(x)＋u(x)v ′(x)．x x x ．(xe ) ＝′ e ＋ xe 4．法例 3：u （ x ）′＝ u ′（ x ） v （ x ）－ u （ x ） v ′（ x ）v （ x ）2[ v(x) ≠ 0]．v （ x ）e x ′＝ xe x －e xx 2 ．x想想：已知h(x)＝ 2sin x ， f(x)＝ x 2，g(x)＝3.x则 (1)h ′(x)＝ ________；(2)[ f(x)＋ g(x)] ＝′________；(3)[ h(x)－ 2f(x)] ＝′__________ ；(4)[ h(x) ·f(x)] ＝′________________ ； (5)[ f(x) ÷h(x)] ′．答案：(1)h ′(x)＝ 2cos x ；3(2)[ f(x)＋ g(x)] ＝′2x － x 2；(3)[ h(x)－ 2f(x)] ＝′(2sin x － 2x 2) ′＝ 2cos x －4x ；(4)[ h(x) ·f(x)] ＝′(2sin x · x 2) ′＝ 2(sin x)′· x 2＋ 2sin x · (x 2) ＝′2x 2cos x ＋4xsin x ；222 2x（ x ） ′·2sinx －（2sin x ） ′·x 4xsin x － 2x cos x(5)[ f(x) ÷h(x)] ＝′ 2sin x ′＝ 4sin 2 x＝4sin 2 x.自测自评1．函数 y ＝ e x ln x 的导数是 (C)A. e xB ． e x ln xxxe xe x ln xC ．e ln x ＋ xD.x2． (2013 江·西卷 )若曲线 y ＝ x α＋ 1(α∈ R) 在点 (1， 2)处的切线经过坐标原点，则α＝_____________.α －y ＝ αx 过点 (1， 2)解得 α＝2.分析： y ′＝αx 1，则 k ＝ α，故切线方程答案： 22x x的导数是 ____________ ．3．函数 y ＝ x － sin 2cos 22x cosx 21 1 cos x.分析：由于 y ＝ x － sin2 ＝x － sin x ，因此 y ′＝ 2x －222答案： y ′＝ 2x － 1cos x2基础巩固1．以下求导运算正确的选项是 (B)A. x ＋1 1 x′＝1＋ 2x1B ．(log 2x) ′＝ xln 2C ．(3 x ) ＝′ 3x · log 3eD ． (x 2cos x) ＝′－ 2xsin x2. 对随意 x ，有 f ′(x)＝ 4x 3， f(1)＝－ 1，则 (A) A ． f(x)＝ x 4－ 2 B ． f(x)＝x 4＋ 2 C ．f(x)＝ x 3D ． f(x)＝－ x 43在点 P(1， 12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 (C) 3．曲线 y ＝ x ＋ 11 A ．－ 9B ．－ 3C ． 9D ． 15分析：∵ y ′＝ 3x 2，∴ y ′ |x ＝ 1＝ 3，切线方程为 y － 12＝3(x －1) ，即 y ＝ 3x ＋ 9，令 x ＝ 0，得 y ＝ 9.应选 C.x在点 (0，－ 2)处的切线方程为 ____________ ．4． (2014 高·考广东卷 )曲线 y ＝－ 5e ＋ 3 分析：由于 y ＝－ 5e x ＋3，因此 y ′＝－ 5e x，因此，所求切线的斜率为k ＝－ 5e 0＝－ 5，故所求切线方程为 y －( －2)＝－ 5x ，即 5x ＋ y ＋ 2＝0.答案： 5x ＋ y ＋ 2＝0能力提高5．以下求导式正确的选项是(C)① (2x 3－ cos x) ′＝ 6x 2＋ sin x ；② 2－1x ′＝12；x③ [(3＋ x 2)(2 － x 3 )]′＝ 2x(2－ x 3 )＋ 3x 2(3＋ x 2)；1＋ cos x2④ 2x （1＋ cos x ）＋ x sin xx 2 ′＝x 4；⑤x 3 ′＝3x 2sin x － x 3cos xsin x2；sin x⑥ (tan x) ′＝ cos12x .A ．①②③⑤B ．②④⑤⑥C ．①②⑤⑥D ．①②③④⑤⑥6．某市在一次降雨过程中，降雨量 y(mm) 与时间 t(min) 的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝ 10t ，则在时辰 t ＝ 40 min 的降雨强度为 (D)A ． 20 mmB ． 400 mm1 1 C.2 mmD.4 mm由于 f ′(t)＝ ( 10t 110，因此 f ′(40)＝10 ＝分析：降雨强度是降雨量对时间的导数，2′＝t 2 40214.7．已知 f(x)＝ x 2， g(x)＝ ln x ，若 f ′(x)－ g ′(x)＝ 1，则 x ＝ ________．分析： f ′(x)－g ′(x)＝ 2x － 1＝ 1，即 2x 2－ x － 1＝ 0.解得 x ＝－ 1或 x ＝ 1，又 x>0，∴ x ＝1. x2 答案： 1π π＝ ________．8．已知函数 f(x) ＝f ′3 sin x ＋ cos x ，则 f 6 π π分析： f ′(x)＝f ′cos x － sin x ，令 x ＝，3 3π ＝－ 2sin π 3，则 f ′ ＝－3 3因此 f(x)＝－3sin x ＋ cos x ，因此 fπππ＝ 0.＝－ 3sin ＋ cos 66 6答案： 09．已知曲线 y ＝x 3 － 3x ，过点 (0，16) 作曲线的切线，求曲线的切线方程．分析：设切点为 (x 1， y 1)，则切线的斜率k ＝ y ′x ＝ x 1＝ 3x 21－ 3，∴切线方程为 y ＝(3x 21－3)x ＋ 16.又切点在切线上，∴ y 1＝ (3x 21－ 3)x 1＋ 16.∴ x 31－ 3x 1＝ (3x 21－ 3)x 1＋ 16，解得 x 1＝－ 2.∴切线方程为 y ＝9x ＋ 16，即 9x －y ＋ 16＝ 0.10．证明：过曲线 y ＝ 1上的任何一点 P(x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的 x面积是一个常数．1 1证明：由 y ＝ x ，得 y ′＝－ x 2.∴ k ＝ f ′(x 1， y12 .∴过点 P(x 0＝－ 20)＝－x 0 0)的切线方程为y － y( x － x )．x 012令 x ＝ 0，得 y ＝ y 0＋ x 0＝ x 0；令 y ＝ 0，得 x ＝ 2x 0.∴过点 P(x ，y0)(x 0 >0) 的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝ 1× 2x × 2＝2 是一个2 0x 0常数．。

[最新]人教版高中数学选修2-2导学案：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[WORD版可编辑]

f / (x0 )或y / | x x0 ，即 f / ( x0 )
lim y _____________________ ． x0 x
2.导数的几何意义：函数在 f (x) 在 x x0 处的导数就是函数图象在点
切线的斜率 k，即 k=____________________________. 新知梳理：
度.
3s 时的速
4. 求曲线 y x 3 上过点 M 2,8 的切线与坐标轴围成的三角形面积 .
5. 已知 P 1,1 、 Q 2,4 是曲线 y x2 上的两点，求与直线 PQ 平行的曲线 y x 2 的切线
方程 . 6.已知抛物线 y=x 2，直线 x-y-2=0 ，求抛物线上的点到直线的最短距离 .
（ 2）用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度
.
2.在求函数的导函数时，可根据函数解析式的结构特征，先进行适当变形，在选择合适的求导公式 .
【课堂小结】
【当堂达标】
1. 1. 函数 y 3 x 2 的导数 y =（）
A. 3 x 2 B. C. 1 x2 D.
2
1 x2 3
1
2 x
3
3
2. 在曲线 y x 2 上切线的倾斜角为 3 的点是（
）
4
2
A. ,
B.
2,4
88
C. 1 , 1
D.
24
1 , 1 坐标出错了 24
3. 若 f x x3 ， f / x0 6 ，则 x0 的值是（
）.
A. 2 B.
2
C. 2 D. 1
4. 求下列函数的导数：
（1） y=log 27;
(2)
1 y x2 ;

高二数学(人教版)选修2-2导学案设计：1.2.2导数的运算法则(二)(无答案)

编号：gswhsxxx2-2-0105文华高中高二数学选修2--2第一章《导数及其应用》1.2.2 导数的运算法则（二）导学案学习目标1.理解复合函数概念，2.记住复合函数的求导法则.理解导数的物理及几何意义；3..感受数学科学的无穷魅力，培养学习数学的浓厚兴趣。

重点、难点记住复合函数的求导法则.学习方法了解并掌握导数的概念及求法。

学习过程一、自主学习【基本概念】一般地，对于两个函数)(u f y =和)(x g u =，如果通过变量y u ,可以表示成x 的，那么称这个函数为函数)(u f y =和)(x g u =的，记作 .如果函数)(),(x g u u f y ==和它们的复合函数))((x g f y =的导数分别记为,]))(([),(),('=''=''='x g f y x g u u f y x x u 那么='x y .即y 对x 的导数等于y 对的导数与u 对的导数的 .典型例题例1求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）1x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+变式：求下列函数的导数：（1）cos 3x y =；（2）2sin(25)y x x =+例2已知抛物线c bx ax y ++=2通过点)1,1(，且在点)1,2(-处与直线3-=x y 相切，求c b a ,,的值.三、课堂展示求下列函数的导数（1）y=(2x+3)＾2 (2)y=e＾﹣0.05x+1能力提升求下列函数的导数（1）)43sin(2)13ln(π-+-=x x y（2）)62cos(π+-=x y（3）11++=-x x e e y （4）x e y 23-=四，课堂小结1．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.2．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．本节课我最大的收获是:我存在的疑惑有:《导数的运算法则》节节过关达标检测班级组名学生姓名1、函数,)23()(3x x f -=则)(x f '=（）2)23(3.x A - 2)23(6.x B - 2)23(6.x C -- 3)23(2.x D --2、若函数),32cos(3)(π+=x x f 则)2(πf '=（） 33.-A 33.B 36.-C 36.D3、函数12+=x y 的导数为（）121.2+x A 12.2+x x B 1.2+-x x C 1.2+x x D4、函数42-=x e y 在点2=x 处的切线方程为（）032.=--y x A 032.=-+y x B 012.=+--e y ex C 012.=-++e y ex D5、★函数22cos 53sin x x y +=的导数是（）2sin 53sin 2.x x A - 2sin 106sin 2.x x x B -2sin 106sin 3.x x C + 2sin 106sin 3.x x x D -6、若函数)1(log )(3-=x x f ，则2='x y = .7、已知函数x x x x x x f 153)(2+-+=，则)(x f '= .。

人教版高中数学选修(2-2)-1.2《导数的计算》教学设计

人教版高中数学选修2-2学案：变化率与导数

变化率与导数（复习课）【学习目标】1.掌握平均变化率与瞬时变化率的关系；2.掌握导数的定义及其几何意义，并会求简单函数的导函数；3.会求经过简单曲线上的点的切线方程.【新知自学】知识回顾1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的，记作 .3.导数的几何意义：函数()f x 在0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点处的 .4.导数的物理意义:一般地,设()s s t =是物体的位移函数,那么'()s t 的物理意义是 ________________________________________ ;设()v v t =是物体的速度函数,那么'()v t 的物理意义是 . 对点练习：1.函数2()f x x =在区间[1,3]的平均变化率为 .2.在R 内可导函数()f x 满足'(2)3f =,kf k f k )2()2(lim 0-+→= . 3.自由落体运动的物体位移S(m)与时间t(s)的关系为212S t =,则3t =s 时该物体的瞬时速度为 .4.已知f(x)=x 2,则=')2(f ______________.【合作探究】典例精析例1.若曲线y=x 2+6在点P 处的切线垂直于直线2x-y+5=0，求点P 的坐标及切线方程.例2．若0()2f x '=,则kx f k x f k )()2(lim 000--→ = .【当堂达标】1.函数()ln f x x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦的平均变化率为 _____________.2.若物体位移2()32s t t t =-,(单位:米)则当3t =秒时,该物体的速度为米/秒.3.若0()2f x '=,则0lim →k 00()()2f x k f x k--= . 4.若函数f(x)=ax 2+c ，且2)1(f ='，求a 的值.【课时作业】1.汽车作加速直线运动,若t s 时的速度为2()3v t t =+,则汽车开出 s 后加速度为12.2.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+5，则f(1)+(1)f '=__________.3.直线y=x 2+ax+b 在点处的切线方程是x-y+1=0，则（）A.a=1,b=1B.a=-1,b=1。

新人教版高中数学选修2-2教案：第1章导数与定积分 1.1导数的概念与运算

1.1导数的概念及运算【知识要点】1、导数的概念：一般地，函数=()y f x 在包含0x 的某个区间有意义，当自变量在0 x =x 处附近改变量为x ∆时，函数值也相应的改变=00y f(x+x )-f(x )∆∆，当0x ∆→（x ∆趋近于0）时，此时在0x =x 处的瞬时变化率是：00lim =lim00x x f(x+x )-f(x )yx x∆→∆→∆∆∆∆，称它为函数=()y f x 在0 x =x 处的导数，记作0=()y f x '或0==00|,|=()=lim 00x x x x x f(x+x )-f(x )y y f x x∆→∆'''∆即2、函数=()y fx 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是：曲线=()y f x 上过点0x 的切线的斜率。

理解导数的几何意义应注意以下三点：（1）利用导数求曲线的切线方程：①求出=()y f x 在点0x 处的导数0()f x '；②利用直线方程的点斜式得切线方程为：0=()00y f x (x -x )+y '（2）若曲线=()y f x 在点0x 处的导数0()f x '不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直。

3、导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x 都是可导的，则称f(x)在开区间(a,b)内可导，在区间(a,b)构成一个新函数f (x)'，我们把这个函数称为函数=()y f x 的导函数，简称导数。

注意：①函数在一点处的导数，就是该点的函数改变变量与自变量的比值的极限，它是一个数，不是变数。

②某点0x 可导，即导数存在，则说明()=()+-00f x f x ''，即该点的左导等于右导。

否则，此点导数不存在。

4、常用的基本初等函数的导数(重点)： (1)常见函数的导数： ①=0C '；②=1x '；③(kx+b)=k(k b )'、常数④22(x)=x '；⑤323(x)=x '；⑥211()-=x x'；⑦='（2）基本初等函数的导数：①-1()()nn x=nx n Q '∈②(sin )=cos x x '；③(cos )= -x sinx '； ④()=x x e e '⑤()=ln ()xx a a a a >0a 1'≠且⑥1(ln )=x x'⑦1(log )=(>00)ln a x a a x a'≠且（3）导数的运算法则（()g()f x ,x 均为可导函数）①[()g()]=()g ()f x x f x x '''±±②[()*g()]=()g()+()g ()f x x f x x f x x '''③2()()g()-()g ()[]=[g()0]g()[g()]f x f x x f x x x x x '''≠ (4)复合函数的导数：设函数=()u x ϕ在点x 处有导数=(),u x ϕ''函数=()y f u 在点x 的对应点u 处有导数=()y f u ''，则复合函数=(())y f x ϕ在点x 处的导数有导数，即：=(())=()*(x),=()x y f x f u u x ϕϕϕ''''【解题方法】【关于导数的定义】1-1、第一步：对于未给定具体的自变量x 的值，求解导数一般要构造出求导数的形式，对于缺少项采用添项补项的方法，如出现了0(+)f x a x ∆则分子要补项0-()f x ，分母要乘以a 。

人教课标版高中数学选修2-2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》导学案

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则学习目标1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数学习过程（一）【复习回顾】复习五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式填写下表（二）【提出问题，展示目标】我们知道,函数*()()n y f x x n Q ==∈的导数为'1n y nx -=，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。

那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。

减。

乘。

除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。

（三）【合作探究】1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2x y =（2）3x y =与3log y x =2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于：）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）4x xy =；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．（四）．典例精讲例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是：解：变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现？三．反思总结：（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：（2）导数的运算法则：四．当堂检测 1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）2x y e =（3）32234y x x =-- （4）3cos 4sin y x x =-2.求下列函数的导数（1）ln y x x = （2）ln xy x=。

人教新课标版数学高二-人教选修2-2学案设计1.2导数的计算

1.2 导数的计算问题导学一、利用公式求导数活动与探究1求下列函数的导数：(1)y ＝1x 4；(2)y ＝log 3x ；(3)y ＝5x 4； (4)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4；(5)y ＝3ln x ＋ln 1x 2．迁移与应用1．(2013福建厦门模拟)已知f (x )＝1x 3，则f ′(1)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－32．给出下列命题：①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2．其中正确命题的数目为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．二、导数运算法则的应用活动与探究2求下列函数的导数：(1)y ＝cos x ＋⎝⎛⎭⎫12x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 44＋⎝⎛⎭⎫cos x 44；(5)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (6)y ＝x ln x ．迁移与应用1．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．cos 2x ＋sin 2xB ．cos 2xC ．sin 2xD ．cos x ·sin x2．求下列函数的导数：(1)f (x )＝2x x 2＋1； (2)f (x )＝x 2＋sin x 2cos x 2； (3)f (x )＝(x ＋2)⎝⎛⎭⎫1x －2．(1)运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f (x )的结构和特征，若直接求导很繁琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简，整理，然后再套用公式求导．三、求复合函数的导数活动与探究3求下列函数的导数：(1)f (x )＝(－2x ＋1)2；(2)f (x )＝ln(4x －1)；(3)f (x )＝23x ＋2；(4)f (x )＝5x ＋4；(5)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6；(6)f (x )＝cos 2x ．迁移与应用1．若f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，则f ′⎝⎛⎭⎫2π9＝__________． 2．求下列函数的导数：(1)y ＝ln 1x ；(2)y ＝11－2x 2．求复合函数的导数时要注意以下三点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量；(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x ；(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3．四、导数运算的应用活动与探究4已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2．(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．迁移与应用1．曲线y ＝e x 在(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A ．94e 2B ．2e 2C ．e 2D ．e 222．在曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过点P 的切线与直线y ＝4x －7平行．(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程．在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，点P 不一定是切点．(2)求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x 0，y 0)，然后写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)，最后代入点P 的坐标，求出(x 0，y 0)．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)0 (2)1 (3)2x (4)－1x 2 (5)12x2．(1)0 (2)αx α－1 (3)cos x (4)－sin x (5)a x ln a (6)e x (7)1x ln a (8)1x预习交流1 (1)提示：这两个求导结果皆错．①中函数y ＝3x 是指数函数，其导数应为(3x )′＝3x ln 3；②中函数y ＝x 4是幂函数，其导数为(x 4)′＝4x 3．(2)提示：①f ′(x )＝32x ；②f ′(x )＝0；③f ′(x )＝0． 3．(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0) 预习交流2 提示：能推广．容易证明：[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．4．(1)f (g (x )) (2)y ′u ·u ′x预习交流2 提示：复合函数求导的主要步骤是：(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选取中间变量；(2)求每一层基本初等函数的导数；(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用导数公式，必要时进行合理变形、化简，再求导．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5． (2)y ′＝(log 3x )′＝1x log 3e ＝1x ln 3． (3)y ′＝(5x 4)′＝(45x )′＝1545x -． (4)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．(5)∵y ＝3ln x ＋ln 1x 2＝ln x 3＋ln 1x2＝ln x ， ∴y ′＝(ln x )′＝1x．迁移与应用 1．D 解析：∵f (x )＝1x3＝x －3， ∴f ′(x )＝－3x －4．∴f ′(1)＝－3．2．C 解析：①中y ＝ln 2为常数，故y ′＝0，因此①错，其余均正确．活动与探究2 思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y ′＝⎣⎡⎦⎤cos x ＋⎝⎛⎭⎫12x ′＝－sin x ＋⎝⎛⎭⎫12x ln 12． (2)方法1：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)·(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；方法2：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)·(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11．(3)方法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2 ＝x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2；方法2：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′ ＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2． (4)y ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x ． (5)y ＝cos 2x sin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ， ∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ．(6)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12．迁移与应用 1．B 解析：y ′＝(sin x )′·cos x ＋sin x ·(cos x )′＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x ．2．解：(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1′ ＝(2x )′(x 2＋1)－2x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2； (2)f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋sin x 2cos x 2′ ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12sin x ′ ＝2x ＋12cos x ； (3)f ′(x )＝⎣⎡⎦⎤(x ＋2)⎝⎛⎭⎫1x －2′ ＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋2x －4′ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋2x －3′ ＝－1x －32x -＝－1x －1x x．活动与探究3 思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y ＝u 2，u ＝－2x ＋1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·(－2)＝－4(－2x ＋1)＝8x －4．(2)设y ＝ln u ，u ＝4x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·4＝44x －1． (3)设y ＝2u ，u ＝3x ＋2，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ln 2·3＝3ln 2·23x ＋2．(4)设y ＝u ，u ＝5x ＋4，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝12u ·5＝525x ＋4． (5)设y ＝sin u ，u ＝3x ＋π6，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·3＝3cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6． (6)方法1：设y ＝u 2，u ＝cos x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·(－sin x )＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x ；方法2：因为f (x )＝cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝12＋12cos 2x ，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫12＋12cos 2x ′＝0＋12·(－sin 2x )·2＝－sin 2x ．迁移与应用 1．0 解析：由于f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＝12＋12cos ⎝⎛⎭⎫6x ＋2π3， ∴f ′(x )＝－12sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋2π3·6＝－3sin ⎝⎛⎭⎫6x ＋2π3，于是f ′⎝⎛⎭⎫2π9＝－3sin ⎝⎛⎭⎫6×2π9＋2π3＝－3sin 2π＝0． 2．(1)解法一：设u ＝1x，y ＝ln u ，则 y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·⎝⎛⎭⎫－1x 2＝x ⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x．解法二：y ＝ln 1x ＝－ln x ，则y ′＝(－ln x )′＝－1x． (2)解：设u ＝1－2x 2，y ＝u －12，则 y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝3212u -⎛⎫- ⎪⎝⎭·(－4x )＝3221(12)2x ---(－4x )＝3222(12)x x --＝2x (1－2x 2)1－2x 2．活动与探究4 思路分析：本题主要考查导数的几何意义以及直线方程，三角形面积等知识，解决此题的关键是利用两直线垂直的条件，求出直线l 2的斜率和切点，进而求出方程．要求所围成三角形的面积，需求出l 1与l 2的交点和l 1，l 2在x 轴上的截距．解：(1)∵y ′＝2x ＋1，f ′(1)＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3．设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ， b 2＋b －2)，则直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)·(x －b )，即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2．∵l 1⊥l 2，∴3×(2b ＋1)＝－1，b ＝－23． ∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52·⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512．迁移与应用 1．D 解析：y ′＝e x ，∴y ′|x ＝2＝e 2．∴切线方程为y －e 2＝e 2·(x －2)，即y ＝e 2x －e 2．当x ＝0时，y ＝－e 2；当y ＝0时，x ＝1，∴S △＝12×1×|－e 2|＝e 22． 2．解：∵y ′＝3x 2＋1，根据导数的几何意义，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0，即3x 20＋1＝4．∴x 0＝±1，当x 0＝1时，y 0＝1，此时切线为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3与y ＝4x －7平行．∴点P 坐标为(1,1)．当x 0＝－1时，y 0＝－3，此时切线为y ＋3＝4(x ＋1)，即y ＝4x ＋1也满足条件．∴点P坐标为(－1，－3)．综上可知，切点坐标为(1,1)，(－1，－3)．当堂检测1．若f(x)＝πcos4，则f′(x)为()A．πsin4-B．πsin4C．0 D．πcos4 -答案：C解析：f(x)＝πcos42=，故f′(x)＝0．2．若f(x)＝x ln x，且f′(x0)＝2，则x0＝() A．e2B．eC．ln22D．ln 2答案：B解析：∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由已知得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e．3．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为__________．答案：2x－y＋1＝0解析：由y＝x3－x＋3得y′＝3x2－1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝3×12－1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0．4．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，且f′(－1)＝4，则a＝________．答案：103解析：f′(x)＝3ax2＋6x，则3a－6＝4，故103a=．5．求下列函数的导数：(1)y=答案：解：设y=u＝3x－x2，则y′x＝y′u·u′x＝·(3－2x) (2)y＝e2x＋1；答案：设y＝e u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝e u·2＝2e2x＋1．(3)πsin34y x⎛⎫=-⎪⎝⎭．答案：设y＝sin u，π34u x =-，则y′x＝y′u·u′x＝cos u·(－3)＝π3cos34x⎛⎫--⎪⎝⎭．。

人教版高中数学选修2-2学案：导数的计算

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导数的计算（复习课）
【学习目标】
1.掌握基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则；
2.会求含有加、减、乘、除运算的函数导数；
3.会求简单复合函数的倒数.
【知识回顾】
1.基本初等函数的导数公式：
（1）c '=___________（c 为常数）；（2）)('α
x =________（α为常数）；（3）)('x
a =________（0a ＞且1a ≠）；（4）)(log 'x a =______（0a ＞且1a ≠）；（5）)('x e =_____________；（6）)(ln 'x =_____________；（7）=')(sin x ___________；（8）)(cos 'x =____________．
2.设两个函数分别为f(x)和g(x),
（1）=')]([x f c _____________; （2）[]='±)()(x g x f ___________；（3）[]='∙)()(x g x f __________________; （4）='
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡)()(x g x f ____________)0)((>x g ．
3. 复合函数()[]x f y ϕ=，设u φ＝(x ), 则))((x f ϕ'=_________________.
(复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代)
【典例精析】
例1. 求曲线2
y x ＝过下列点的切线方程：（1）P （-1,1）；（2）Q(0，－1).联合例5后置处理
例2.求下列函数的导数：（1）y=3x ·lnx ；
（2）y=lgx-2
x 1；（3）y=x
x
-1cos ；
（4）2)2(-=x y .
例3.已知2()2(1)f x x xf '=+，求(0)f '.
例4.设()(1)(2)(3)f x x x x x ＝＋＋＋(4)x ＋，求)2-(f '．
例5.已知曲线y ＝ln x ，则过点 (0，－1)的曲线的切线方程为( )
A ．x －2y －2＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x －y －1＝0或x ＋y －1＝0
D ．2x －3y －3＝0
可以与例1的第2问一起处理
【当堂达标】
1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（）
A ．sin α
B ．cos α
C ．sin cos αα+
D ．2sin α
2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（）
3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=
4.求函数3
(1cos2)y x =+的导数.
【课时作业】
1.函数2x y e =的导数'y =
2.函数n y mx =的导数为34y x '=，则m = ，n = .
3.()cos f x x x =,则'()3
f π
= .
4.函数2log ()x
f x x
=,则该函数的导数'()f x = .
5.设2()22'(1)f x x f x =-,求)1(f '.
6.函数()f x 的导函数'()f x 是一次函数,且()f x 是偶函数,'(1)2f =,(1)2f =-,求()f x 的函数表达式.
7.设函数x
b
ax x f -
=)(，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0, （1）求f(x)的解析式；
（2）证明：曲线y=f(x)上任一点出的切线与直线x=0和直线y=x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值.
8.曲线y=e2x cos3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程.
赠送初中数学几何模型
【模型二】半角型：图形特征：
45°
43
2
1
D
A
C
1
F
D
A
B
正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=1
2
∠BAD
推导说明：
1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠F AE＝45°，求证：EF＝BE+DF
45°
D
B
a+b-a
a 45°
A B
E
D
B
a +b
-a
a
45°
A
B
E
挖掘图形特征：
a+b
x-a
a 45°D
E
a +b
-a
45°
A
运用举例：
1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .
（1）求证：EF =FM
（2）当AE =1时，求EF 的长．
D
E
3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°. （1）求线段AB的长；
（2）动点P从B出发，沿射线
．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；
（3）求AE－CE的值.
D
C
变式及结论：
4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
D
A
B C
F
E
D
C
D
C。

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