概率论课件单侧置信区间
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《数理统计》第7章§7单侧置信区间
§7
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
单侧置信区间
1/4
对这类“ 对这类“好”指 对这类“坏 < 指 对这类“< α”1, 若存在统计量 θ = θ( X , X ,L, X ) ∀0 1 n 标2 标 满足 ∀ θ ∈Θ 有 关心下限 关心上限 P{θ < θ } =1−α 则称 ( θ , ∞ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为单侧置信下限 . 单侧置信下限. 若存在统计量 θ = θ ( X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn ) 满足 ∀ θ ∈Θ 有
P{ θ < θ } =1−α 则称 (−∞,θ ) 为 θ 的置信水平为 1−α 的 单侧置信区间, 单侧置信区间, 称 θ 为 单侧置信上限 . 单侧置信上限.
第七章 参数估计
§7
单侧置信区间
2/4
的样本, 为来自总体 设 X1, X2 ,⋅⋅⋅, Xn 为来自总体 X ~ N(µ,σ 2 ) 的样本, µ,σ 2均未知.试求 µ 的置信水平为 1−α 的单侧置信下限. 均未知. 的单侧置信下限. µ,σ 2 的无偏估计分别是 X, S 2 且 , X −µ ~ t(n −1) S/ n 对于给定的置信水平 1−α ,可查表求得 tα (n −1) 使得 怎样直接写出置信下限 µ ~ X − S t(n −1) ~ − t( X − µ XS µ n −1) P n < tα (n −1) = 1−α n α S / n 故 µ 的单侧置信下限为 等价地有 tα(n −1) µ = X − S tα (n −1) n P{ X − S tα (n −1) < µ } = 1−α n µ 的置信上限是什么 故 µ 的单侧置信下限为 µ= X− S ttα((n−1) = + S −1) µ X nαn n
第七节单侧置信区间
即:
=X
s n
tα ( n 1)
∵ X = 234.7
tα ( n 1) = t 0.05 ( 20 1) = t 0.05 (19) = 1.7291
概率统计
的单侧置信下限为: 所求的 的单侧置信下限为
s
1590.85 = = 8.92 20 n
= 234.7 8.92 × 1.7291 = 234.7 15.43 = 219.3(元 )
概率统计
解: 用 表示职工家庭人均月收入 X 表示测到的数 表示职工家庭人均月收入, 值,它是一个正态随机变量. 它是一个正态随机变量. 现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入 现要根据所抽取的 的数据, 的数据,在方差未知的条件下求 E ( X ) = 的 单侧置信下限. 单侧置信下限. 由题设可知 为:
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 定义 给定 α (0 < α < 1), 若由样本 X 1 , X 2 X n 确定 的 θ = θ ( X 1 , X 2 X n ) (或θ = θ ( X 1 , X 2 , X n )) 满足: 满足 P (θ > θ ) = 1 α (或 P (θ < θ ) = 1 α ) 则称随机区间: ( θ , + ∞ ) (或 ( ∞ , θ ) ) 是 θ 称随机区间 单侧置信区间. 的置信度为1 α 的单侧置信区间.θ 称为置信 单侧置信下限( 度为 1 α 单侧置信下限(或称 置信度为1 α 的单侧置信上信区间的求法 思路: 思路 同双侧量区间的求法 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 不同处: 在求单侧置信区间时不是查双侧 分位点. 点,而是查单侧 α 分位点.
α 分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查, 个家庭, 进行调查,现抽取 20 个家庭,所得的月平均 收入 X = 234.7 (元),2 = 1590.85 s 试以 95% 的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少? 单侧置信下限) 入的最低下限为多少?(单侧置信下限)
概率论课件单侧置信区间
由右图
za
P
X
/
n
z
1
即
P
X
n
z
1
于是得到μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间为
( X n z , )
μ的一个置信水平为1-α的单侧置信下限为：
X
n
z .
注意：在置信区间中的α /2都被α取代，这是由于 区间估计为双侧时，共为α的概率由两边均分，各占α /2.而置信上、下限则是单侧的.
6.5 单侧置信区间
定义6.7 对于给定值α(0<α<1)，由样本X1, X2
,…,Xn确定的统计量 与 ，若对θ的一切可取的值有
P{ } 1 则称随机区间( , )是θ 的置信水平为1- α的单侧
置信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信下
限. 若对θ的一切可取的值有
由书上的第149页表6-1，我们可以得到参数置信 上、下限的结果.
P{ } 1 则称随机区间(, )是θ 的置信水平为1- α的单侧置
信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置知 2，求的单侧置信区间.
若X1, X 2, , X n是来自总体X的一个样本，由
X N (0,1) / n
应用统计学第6章参数估计(置信区间)ppt课件
从中解得
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
单侧置信限.ppt
区间 (, ) 为参数 的 单侧置信区间. 为单侧置信上限.
(, ), ( , ) : 随机区间
3、单侧区间估计的主要步骤 (1)根据样本X1, X2 , ..., Xn构造统计量:G G( X1, ..., Xn , ), 要求G中包含待估参数 ,但不能包含其它参数.并且G的
分布已知,且其分布不依赖于其它未知参数.
P( 2
a) 1
因此,
a
2 1
(n
1)
解不等式:
(n 1)S 2
2
2 1
(
n
1)
得 2 的 1 单侧置信区间:
f (t)
(0, (n 1)S 2 )
2 1
(n
1)
单侧置信下限: 2 (n 1)S2 2 (n 1)
O
2 1
t
例3 用某仪器测量温度, 重复 5 次, 得数据1250 oC , 1260 oC , 1265 oC , 1245 oC, 1275 oC . 若测得的数据服从
12.2 11.9 12.4 12.6.设样本来自正态总体N( , 2 ), , 2均 未知,试求的置信水平为0.95的单侧置信上限 .
解:由已知n 10 , 1 0.95, 0.05
查表得 t (n 1) t0.05(10 1) 1.8331
计算可得 x 11.72,
正态分布 , 求总体方差 2 的 0.95 置信区间上限 .
解 : 样本方差观测值
s2
1 51
5 i 1
( xi
1259)2
142.5
=0.05, 查表得
2 1
(n
Байду номын сангаас1)
2 0.95
(4)
第7节 单侧置信区间
解
µ 是 X 的无偏估计且
X S
−
µ
~
t(n
− 1)
n
⎧
⎫
Q
P
⎪ ⎨ ⎪⎩
X S
−
µ
n
<
tα (n − 1)
⎪ ⎬ ⎪⎭
=1−α
⇒
P⎧⎨µ
⎩
>
X
−
tα
(n−1)
S
n⎫⎬⎭=1−α
⇒µ>X−
S n
tα
(n
−
1)
由题设 x = 41117, s = 1347, 1 − α = 0.95, n = 16
41250 40187 43175 41010 39265 41872 42654 41287 38970 40200 42550 41095 40680 43500 39775 40400
假设这些数据来自正态总体 N (µ,σ 2 ) . 其中µ,σ 2 未知，试求 µ 的置信水平为0.95的置信下限.
2、
σ
2 1
σ
2 2
的单侧置信区间（µ1, µ2 未知）
(n1 − 1)S12
S12
σ
2 1
S22
=
σ
2 1
(n2 − 1)S22
(n1
− 1)
~
F (n1 − 1, n2
− 1)
σ
2 2
σ
2 2
(n2 − 1)
⇒
⎧ ⎪
S12
P
⎪⎨σ
2 1
⎩
S
2 2
σ
2 2
⎫
⎪ ⎬
=
1
−
α
7.7单侧置信区间PPT课件
侧置信下限 .
又如果统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间 ( , ) 是 的置信水平为 1 的 单侧置信区间 , 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限 .
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方差 2 均为
的置信水平为 0.95 的置信下限
x
s n
t
(n
1)
1065.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
未知 , 设 X1, X2 ,, Xn 是一个样本 , 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
Байду номын сангаас
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为 1 的置信下限
X
S n
t
(n
1).
又由
第七节 单侧置信区间
一、问题的引入 二、基本概念 三、小结
一、问题的引入
上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实 际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。
例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了。
又如果统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ), 对于任 意 满足
P{ } 1 ,
则称随机区间 ( , ) 是 的置信水平为 1 的 单侧置信区间 , 称为 的置信水平为1 的单侧
置信上限 .
2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间
例如对于正态总体X，若均值, 方差 2 均为
的置信水平为 0.95 的置信下限
x
s n
t
(n
1)
1065.
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
未知 , 设 X1, X2 ,, Xn 是一个样本 , 由
X ~ t(n 1),
S/ n
有
P
X S/
n
t
(n
1)
1
,
即
P X
Байду номын сангаас
S n
t
(n
1)
1
,
于是得 的一个置信水平为 1 的单侧置信区间
X
S n
t
(n
1),
,
的置信水平为 1 的置信下限
X
S n
t
(n
1).
又由
第七节 单侧置信区间
一、问题的引入 二、基本概念 三、小结
一、问题的引入
上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实 际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限。
例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了。
单侧置信区间
n
L(t,m,t0)
n
tm0
n i1
tim
i1
tim1e t0
n
n
tim
ln L(m ,t0)nln m l n t0 (m 1)i 1ln ti i 1 t0
ln
L(m,t0 m
)
n m
n i1
ln ti
n
tim ln ti
i1
t0
0
ln
L(m, t0
t0
)
n
t0
n
tim
n
n
XXi /n,YYi /n
i1
i1
n
n
Q (Y iY ˆi)2 (Y imi X B )2
i 1
i 1
Q Q 0 m B
n
n
Y i mˆ X i
Bˆ i 1
i1
N
mˆ
n i1
X iYi
1 N
n
n
X i Yi
i1
i1
n i1
X
2 i
1 N
n i1
X i 2
rrr
))
22 ))
CC CC
UU
UU
22 2 2
22
122 11
( 22 r ((22rr
) )
2) 2)
22
单侧
定数截尾
CL
2
2
(2
r
)
2
CU
2
2 1
(2 r )
2
C L
2
2
(
2
r
)
C U
2
2 1
(2
单侧置信区间
μ的置信水平为1-α的单侧置信区间
S X t ( n 1 ), n
μ的置信水平为1-α的单侧置信下限为
S X t ( n 1) n
又例如,μ未知,
2
( n 1) S 2
2
~ ( n 1)
2
给定α,找
12 ( n 1)
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ),
由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1 , X 2 ,, X n ) ,
Θ,
使得
P{ } 1 ,
称随机区间( , ) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限. 对于给定值α ( 0 <α <1 ), 如果有统计量 使得
( n 1) S 2 5 0.039 0.41 2 1 ( n 1) 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 ) ，其中 2 已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
思考题答案：
n
X
z
练习题：
1. 为研究某汽车轮胎的磨损特性,随机抽了16只轮胎 使用,记录其使用到磨坏时所行驶的路程(公里),得
X , S 2 分别是样本均值和样本方差.
未知，
2
X ~ t ( n 1), S/ n
给定α,
找 t (n 1), 使
X P t ( n 1) 1 S / n
S P X t ( n 1) 1 n
x 41116, s 6346.
浙大概率论与数理统计课件 概率7-4区间估计
X t(n1)
S n
将样本值代入得
的置信水平为0.95的单侧置信下限是
1065小时
三、小结
数理统计
这一讲，我们介绍了区间估计. 同学们可通过练习，掌握各种求未知参数的 置信区间的具体方法.
数理统计
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1 4 5 5 1 5 0 2 1 3 7 0 1 6 1 0 1 4 3 0 1 4 7 3 .4
5
可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右。
但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？ 因此我们自然希望能确定一个区间，使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.
——区间估计
一、 置信区间定义
数理统计
设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本
X1,X2,…Xn确定的两个统计量
: 5. 对“a<U(T, )<b”作等价变形,得到如下形式
θθθ
即
P {θθθ}1α
于是 ( θ , θ ) 就是的100(1)％的置信区间.
数理统计
例1 设X1,…Xn是取自 N(,2) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
解 选 的点估计为 X , 取 U X ~ N(0, 1)
n
明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？
寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.
寻找未知参 数的一个良 好估计.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
数理统计
概率统计与随机过程课件83 置信区间-文档资料
n
相互独立 (1 ) X S X ~ T (n 1) (2 ) S n n
2
n
( n 1) S 2
2
与 X
课件
5
( II ) 两个正态总体 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体X ~ N ( 1 , 12 ) 的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , , Ym 是来自正态总体 Y ~ N ( 2 , 22 ) 的一个简单随机样本 它们相互独立. m n 1 1 Y Yj 令 X Xi m j 1 n i1 n m 1 1 2 2 2 2 S1 ( X X ) S ( Y Y ) i 2 j n 1 i1 m 1 j 1
1 s ( x x) n 1
n 2 i 1 i
2
根据第七章定理四，统计量 x U
2
V
(n 1)
s ~ (n 1)
2 2
U与V独立
T
s/ n
V
~ t ( n 1)
( n 1)
请比较U与T
x U ~ N (0,1) / n
对给定的，查t分布表可得临界值
1
1 x (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 6
2
0.06,
2
0.06 ,
n 14.75
n6
于是
x 1.96
x 1.96
n
15.15
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计
y1 , , yn来自 N (2 , )
相互独立 (1 ) X S X ~ T (n 1) (2 ) S n n
2
n
( n 1) S 2
2
与 X
课件
5
( II ) 两个正态总体 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体X ~ N ( 1 , 12 ) 的一个简单随机样本
Y1 , Y2 , , Ym 是来自正态总体 Y ~ N ( 2 , 22 ) 的一个简单随机样本 它们相互独立. m n 1 1 Y Yj 令 X Xi m j 1 n i1 n m 1 1 2 2 2 2 S1 ( X X ) S ( Y Y ) i 2 j n 1 i1 m 1 j 1
1 s ( x x) n 1
n 2 i 1 i
2
根据第七章定理四，统计量 x U
2
V
(n 1)
s ~ (n 1)
2 2
U与V独立
T
s/ n
V
~ t ( n 1)
( n 1)
请比较U与T
x U ~ N (0,1) / n
对给定的，查t分布表可得临界值
1
1 x (14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1) 14.95 6
2
0.06,
2
0.06 ,
n 14.75
n6
于是
x 1.96
x 1.96
n
15.15
故所求置信区间为 14.75 , 15.15
2.方差D(X)未知，对EX进行区间估计
y1 , , yn来自 N (2 , )
单侧置信区间
(n
1)
2 0.95
(5)
1.145,
S 2 0.039
标准差σ的单侧 0.95 的置信上限
(n 1)S 2
2 1
(n
1)
5 0.039 0.41 1.145
思考题：
总体 X ~ N ( , 2 )，其中 2已知，
求μ的置信水平为1-α的单侧置信上限
布, N (, 2 ),, 2未知.从某天生产的滚珠中随机地抽
取6个滚珠,测得直径（毫米）为
14.7， 15.1， 14.9， 14.8， 15.2， 15.1
求标准差σ的单侧 0.95 的置信上限.
解： 2的单侧 0.95 的置信上限是
2
(n 1)S 2
2 1
(
n
1)
2
§7 单侧置信区间
返回目录
对给定值α ( 0 <α <1 ), 由样本X1, X2,…, Xn确定统计量
( X1, X2 ,, Xn ), Θ, 使得
P{ } 1 ,
称随机区间( ,) 是θ的置信水平为1-α的单侧置信 区间； 为θ的置信水平为1-α的单侧置信下限.
2
(n 1)S 2
12 (n 1)
1
2 的置信水平为1-α的单侧置信区间
0,
(n 1)S
12 (n
2
1)
2 的置信水平为1-α的单侧置信上限为
2
(n 1)S 2
2 1
(n
《单侧置信限》课件
2 重要性
通过单侧置信限，我们可以确定一个参数的下限或上限，从而更好地进行决策和判断。
单侧置信限是什么
单侧置信限是用来估计一个参数的范围，使得参数值在这个范围内的概率达到预设的置信水平。它可以帮助我 们确定一个参数的下限或上限。
单侧置信限的计算方法
方法一
使用统计软件计算，如SPSS、Excel等。
结论和要点
1 单侧置信限可以帮助 2 应用领域广泛，包括 3 与双侧置信限相比，
我们确定一个参数的
医学研究、市场调研
单侧置信限的计算复
下限或上限。
和质量控制等。
杂度较低。
2 局限
只能确定一个参数的下限或上限，无法同时 确定上下限。
单侧置信限与双侧置信限的比较
参数 估计范围 应用领域 计算复杂度
单侧置信限 确定下限或上限 一些特定的场景 较低
双侧置信限 确定上下限 一般的统计分析 较高
案例分析和实例讲解
案例一
研究某种药物的疗效是否达到一定的标准
案例二
评估一批产品的质量是否满足标准要求
方法二
根据公式进行计算，具体公式取决于所研究的参数类型和分布。
单侧置信限的应用领域Fra bibliotek医学研究
用于估计某种治疗方法的效 果是否达到一定的标准。
市场调研
用于估计某个产品的销售额 是否达到一定的目标。
质量控制
用于估计生产过程中某些参 数是否符合规定的质量标准。
单侧置信限的优点和局限
1 优点
能对参数的范围进行明确的估计，有助于进 行决策和判断。
《单侧置信限》PPT课件
在这个PPT课件中，将介绍单侧置信限的概念、计算方法、应用领域、优点和 局限，以及与双侧置信限的比较。通过案例分析和实例讲解，帮助大家深入 理解和掌握这一概念。
通过单侧置信限，我们可以确定一个参数的下限或上限，从而更好地进行决策和判断。
单侧置信限是什么
单侧置信限是用来估计一个参数的范围，使得参数值在这个范围内的概率达到预设的置信水平。它可以帮助我 们确定一个参数的下限或上限。
单侧置信限的计算方法
方法一
使用统计软件计算，如SPSS、Excel等。
结论和要点
1 单侧置信限可以帮助 2 应用领域广泛，包括 3 与双侧置信限相比，
我们确定一个参数的
医学研究、市场调研
单侧置信限的计算复
下限或上限。
和质量控制等。
杂度较低。
2 局限
只能确定一个参数的下限或上限，无法同时 确定上下限。
单侧置信限与双侧置信限的比较
参数 估计范围 应用领域 计算复杂度
单侧置信限 确定下限或上限 一些特定的场景 较低
双侧置信限 确定上下限 一般的统计分析 较高
案例分析和实例讲解
案例一
研究某种药物的疗效是否达到一定的标准
案例二
评估一批产品的质量是否满足标准要求
方法二
根据公式进行计算，具体公式取决于所研究的参数类型和分布。
单侧置信限的应用领域Fra bibliotek医学研究
用于估计某种治疗方法的效 果是否达到一定的标准。
市场调研
用于估计某个产品的销售额 是否达到一定的目标。
质量控制
用于估计生产过程中某些参 数是否符合规定的质量标准。
单侧置信限的优点和局限
1 优点
能对参数的范围进行明确的估计，有助于进 行决策和判断。
《单侧置信限》PPT课件
在这个PPT课件中，将介绍单侧置信限的概念、计算方法、应用领域、优点和 局限，以及与双侧置信限的比较。通过案例分析和实例讲解，帮助大家深入 理解和掌握这一概念。
《置信区间详细定义及计算》PPT课件
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。
S 2 的概率分布是难以计算的，而
2
p y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
则所求μ的置信区间为
2
[6720
28
2.306]
即 [6650.9 , 6889.1]
3
则钢索所能承受的平均张力为 6650.9 kg/cm2
三、方差σ2的置信区间
已知总体 X ~ N (, 2)
下面我们将根据样本找出σ2 的置信区间， 这在研究
生产的稳定性与精度问题是需要的。 我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与
2
x
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
2
2
则得到σ2随机区间
第七节单侧置信区间
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是 的置信度为1 的单侧置信区间。 称为置信 度为 1 单侧置信下限（或称 置信度为1 的单侧置信上限)
为为置信度
概率统计
二. 单侧置信区间的求法 思路: 同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 2 收入 X 234.7 （元）， s 1590.85
即:
X
s
n
t ( n 1)
X 234.7
t (n 1) t0.05 (20 1) t0.05 (19) 1.7291
概率统计
所求的 的单侧置信下限为:
s
1590.85 8.92 20 n
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
第绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
一. 单侧置信区间定义 定义: 给定 (0 1), 若由样本 X1 , X 2 X n 确定
的 ( X1 , X2 Xn ) (或 ( X1 , X2 , X n )) 满足: P ( ) 1 (或 P( ) 1 ) 则称随机区间: ( , ) (或 (, )) 是 的置信度为1 的单侧置信区间。 称为置信 度为 1 单侧置信下限（或称 置信度为1 的单侧置信上限)
为为置信度
概率统计
二. 单侧置信区间的求法 思路: 同双侧量区间的求法 不同处： 在求单侧置信区间时不是查双侧 点，而是查单侧 分位点。
分位
例7. 设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入 进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均 2 收入 X 234.7 （元）， s 1590.85
即:
X
s
n
t ( n 1)
X 234.7
t (n 1) t0.05 (20 1) t0.05 (19) 1.7291
概率统计
所求的 的单侧置信下限为:
s
1590.85 8.92 20 n
234.7 8.92 1.7291 234.7 15.43 219.3(元)
第绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在 有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方 向的界限。 例如， 对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过 长没什么问题，过短就有问题了.
这时，可将置信上限取为 +∞,而只着眼于置信下限, 这样求得的置信区间称为 单侧置信区间.
得:该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为219.3 (元).
概率统计
7.7 单侧置信区间
( n 1) S 2 0, 2 ( n 1) , 1
2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1)
因
令
2
( n 1) S 2
P{
2
~ 2 ( n 1) ，
2 ( n 1)} 1 ，
( n 1) S 2
2
故 的置信水平1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 ( 2 , ) ， ( n 1)
( n 1) S 单侧置信下限为 2 。 ( n 1)
2 2
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿 命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡 寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95 的单侧置信下限.
解
X X ~ t (n 1), 有 P t (n 1) 1 , S/ n S / n
于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间 S t ( n 1), , X n
1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950, t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318, s t ( n 1) 1065. 的置信度为0.95的置信下限 x n
2. 正态总体均值的单侧置信区间
X X1, X 2 ,, X n iid N (, ) ，, 未知 取 ~ t (n 1), S/ n
2 2
X 有 P t ( n 1) 1 , S / n
S 即 P X t ( n 1) 1 , n 于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间
2 ( n 1 ) S 2 2 . 1 ( n 1)
因
令
2
( n 1) S 2
P{
2
~ 2 ( n 1) ，
2 ( n 1)} 1 ，
( n 1) S 2
2
故 的置信水平1 的单侧置信区间
( n 1) S 2 ( 2 , ) ， ( n 1)
( n 1) S 单侧置信下限为 2 。 ( n 1)
2 2
例1 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验,测得寿 命(以小时计)为1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡 寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95 的单侧置信下限.
解
X X ~ t (n 1), 有 P t (n 1) 1 , S/ n S / n
于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间 S t ( n 1), , X n
1 0.95, n 5, x 1160, s 2 9950, t ( n 1) t0.05 (4) 2.1318, s t ( n 1) 1065. 的置信度为0.95的置信下限 x n
2. 正态总体均值的单侧置信区间
X X1, X 2 ,, X n iid N (, ) ，, 未知 取 ~ t (n 1), S/ n
2 2
X 有 P t ( n 1) 1 , S / n
S 即 P X t ( n 1) 1 , n 于是得的一个置信度为1 的单侧置信区间
概率论与数理统计-第6章-第5讲-单个正态总体参数的置信区间
(5)
,
2 0.975
(5)
] [0.0199,
0.3069 ]
10
第5讲 单个正态总体参数的置信区间
这一讲，我们主要讨论了总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限 定理，也可以近似求得参数的区间估计.
11
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
1)
2
(n 1)S 2
2
1
2
(n 1)
f (x) 2 ~ 2 (n 1)
2 1 2
2
2
x
6
本讲内容
01 正态总体参数的置信区间 02 典型例题
02 典型例题
例 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N ( 2),
现从某天的产品中随机抽取6件, 测得直径为
15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
概率论与数理统计
第6章 参数估计
第5讲 单个正态总体参数的置信区间
主讲教师 |
本讲内容
01 正态总体参数的置信区间 02 典型例题
01 正态总体参数的置信区间
一个正态总体 X ~N ( 2) 的情形
(1) 方差 2已知, 的置信区间
[X
σ n uα 2 ,
X
σ n uα 2 ]
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
(n
1)}
1
[X
S n
t
2 (n
1),
X
S n
t
2 (n
1)]
4
01 正态总体参数的置信区间
(3) 当 已知时,方差 2 的置信区间
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由书上的第149页表6-1，我们可以得到参数置信 上、下限的结果.
6.5 单侧置信区间
定义6.7 对于给定值α(0<α<1)，由样本X1, X2
,…,Xn确定的统计量 与 ，若对θ的一切可取的值有
P{ } 1 则称随机区间( , )是θ 的置信水平为1- α的单侧
置信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信下
限. 若对θ的一切可取的值有
由右图
za
P
X
/
n
z
1
即
P
X
n
z
1ຫໍສະໝຸດ 于是得到μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间为
( X n z , )
μ的一个置信水平为1-α的单侧置信下限为：
X
n
z .
注意：在置信区间中的α /2都被α取代，这是由于 区间估计为双侧时，共为α的概率由两边均分，各占α /2.而置信上、下限则是单侧的.
P{ } 1 则称随机区间(, )是θ 的置信水平为1- α的单侧置
信区间， 称为θ 的置信水平为1- α的单侧置信上限.
例如设总体X N(, 2 ),已知 2，求的单侧置信区间.
若X1, X 2, , X n是来自总体X的一个样本，由
X N (0,1) / n