直线与椭圆的位置关系---弦长或距离问题

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√
（8）（2015 天津文 19）已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>Biblioteka Baidu
b
>
0)
的上顶点为
B，左焦点为 F ，离心率为
5 .
5
（ I ）求直线 BF 的斜率；
（ II ）设直线 BF 与椭圆交于点 P （P 异于点 B），过点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆
交于点 Q（Q 异于点 B）直线 P Q 与 y 轴交于点 M, |P M | = λ|M Q|.
与圆
(x
+
1)2
+
( y
−
√ )2 3
=
16 相交于 M, N
两点，且 |M N | = 5 |AB|，求椭圆的方程. 8
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（6）（2018 天津理 19）设椭圆 x2 + y2 = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为
√
a2 b2
5
，点
A
的坐标为
(b,
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（4）（2012 天津理 19）已知椭圆 x2 + y2 = 1 (a > b > 0) 的左、右顶点分别为 A, B，点 P 在椭圆上且异 a2 b2
于 A, B 两点，O 为坐标原点.
（
I
）
若直线 AP
与 BP
的斜率之积为
−
1 2
，求椭圆的离心率；
（ II ）
若 |AP |
=
|OA|，证明直线 OP
y
（ I ） 求椭圆 E 的方程；
（ II ） 直线 AP 与椭圆 E 的另一个交点为 P ，与圆 O 的另一个交点 Q.
√ （ i ） 当 |AP | = 8 2 时，求直线 AP 的斜率；
5
A
O
x
（ ii ） 是否存在直线 AP ，使得 |AQ| = 4？若存在，求出直线 AP |AP |
的斜率；若不存在，说明理由.
直线与椭圆的位置关系——弦长或距离
2020 年 1 月 24 日
（1）（2014 陕西文 20）已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
经过点
( 0,
√3)，离心率为
1 ，左、右焦点分别 2
为 F1(−c, 0)、F2(c, 0).
y
（ I ） 求椭圆的方程；
（ II ）
若直线 l：y
=
−
1 2
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b
>
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2
，右顶点为 A，上顶
点为 B . 已知 |AB| =
3 2 |F1F2| .
（ I ）求椭圆的离心率；
（ II ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 P B 为直径的圆经过点 F1 ，经过点 F2 √
的直线 l 与该圆相切于点 M, |M F2| = 2 2，求椭圆的方程.
第 2 题图
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(√ √ )
（3）（2012 天津文 19）已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b
>
0)，点
P
5 a,
2 a
在椭圆上.
52
（ I ） 求椭圆的离心率；
（ II ） 设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点 Q 在椭圆上且满足 |AQ| = |AO|，求直线 OQ 的斜 率的值.
的斜率 k 满足 |k|
>
√ 3.
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（5）（2011 天津文 18）已知椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=
1 (a
>
b
>
0) 的左、右焦点分别为 F1, F2.
点 P (a, b) 满足
|P F2| = |F1F2|.
（ I ） 求椭圆的离心率；
（ II ）
设直线 P F2
与椭圆相交于 A, B
两点. 若直线 P F2
0)，且
|F
B|
·
|AB|
=
√ 6 2.
3
（ I ）求椭圆的方程；
（ II ）设直线 l : y = kx (k > 0) 与椭圆在第一象限的交点为 P ，且 l 与直线 AB 交于点 √
Q. 若 |AQ| = 5 2 sin ∠AOQ（O 为原点），求 k 的值. |P Q| 4
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（7）（2014 天津文 18）设椭圆 √
（ i ）求 λ 的值； √
（ ii ）若 |P M | sin ∠BQP = 7 5 ，求椭圆的方程. 9
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x
+
m
与椭圆交于
A、B
两点，与以 F1F2 √
为
直径的圆交于 C、D 两点，且满足 |AB| = 5 3 ，求直线 l 的 |CD| 4
方程.
A C
F1 O
D
F2
x
B
第 1 题图
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√
（2）
椭圆 E
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1 (a > b > 0) 的离心率为
3 ，其左顶点 A 在圆 O : x2 + y2 = 16 上. 2