科学计算方法3(不动点迭代)
picard迭代法原理
picard迭代法原理
Picard迭代法，也称为不动点迭代法，是一种用于求解非线性方程的迭代方法。
其基本思想是将非线性方程转化为一个不动点问题，然后通过迭代逼近不动点来求解方程。
具体来说，设非线性方程为f(x)=0，将其转化为x=g(x)，其中g(x)是一个与f(x)等价的函数。
然后，选取一个初始值x0，通过迭代计算x1=g(x0)，x2=g(x1)，...，xn=g(xn-1)，直到满足一定的收敛条件为止。
最终得到的xn就是方程的解。
Picard迭代法的收敛性与函数g(x)的Lipschitz常数有关。
如果g(x)在某个区间内满足Lipschitz条件，则Picard迭代法是收敛的。
但是，如果Lipschitz常数过大，迭代收敛速度会变慢。
需要注意的是，Picard迭代法并不是一种通用的求解非线性方程的方法，只适用于一些特定的问题。
同时，由于其收敛速度较慢，通常需要结合其他方法来提高求解效率。
不动点迭代总结
非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。
从具体的空间（如pL 空间或pl 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。
可以说成果丰富。
迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。
在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。
下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展一 算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。
2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。
不动点迭代 复数
不动点迭代复数不动点迭代法可以用于求解复数方程的近似解。
基本思想是将方程的解等价变换为某个函数的不动点。
具体来说，给定一个复数方程f(z)=0，我们可以将其等价变换为z=φ(z)，其中φ是f的根等价变换为的不动点。
从某个初值z0出发，我们可以计算z1=φ(z0)，z2=φ(z1)，…，zk+1=φ(zk)，…。
如果{zk}(k=0~∞)收敛，即存在某个复数z*，使得lim(k->∞)zk=z*，并且φ连续，那么由lim(k->∞)zk+1=lim(k->∞)φ(zk)可以知道z*=φ(z*)，即z*是φ的不动点，也就是f的根。
在具体实现上，可以采用不同的迭代格式进行求解。
例如，可以使用符号计算软件（如MATLAB）来实现不动点迭代法求解复数方程。
首先将方程转化为字符串形式输入，然后将字符串转化为函数形式，设定初值、迭代范围和精度等参数，然后进行迭代计算，直到满足精度要求或者达到最大迭代次数为止。
需要注意的是，不动点迭代法不一定总是收敛于方程的解，因此在进行迭代计算时需要检查收敛情况。
如果不收敛，需要重新选择初值或者采用其他方法进行求解。
不动点迭代法是一种求解方程近似解的方法，其优点和缺点如下：优点：算法简单，易于实现。
对于某些问题，不动点迭代法可以快速收敛到精确解。
可以通过选择合适的迭代函数来改善收敛速度。
缺点：不动点迭代法的收敛性取决于迭代函数的选择，如果选择不当，可能导致迭代不收敛或者收敛速度极慢。
对于某些问题，不动点迭代法可能无法找到解，或者找到的解不是唯一解。
不动点迭代法对于初值的选择比较敏感，不同的初值可能导致不同的收敛结果。
在实际应用中，不动点迭代法可能受到计算精度、舍入误差等因素的影响，导致结果不准确。
因此，在使用不动点迭代法时，需要仔细选择迭代函数和初值，并注意算法的收敛性和稳定性。
同时，可以结合其他方法（如牛顿迭代法、二分法等）来提高求解精度和效率。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
不动点迭代
不动点迭代
不动点迭代可以求解方程f(x)=0在区间[a,b]内的根。
1、不动点（FixedPoint）
首先来看一下什么是不动点【1】：
换句话说，函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点，下图画出了函数y=cos(x)与y=x 在区间[0,π/2]的交点，即cos(x)的不动点【2】：
2、不动点迭代（Fixed Point Iteration）
不动点迭代又称为简单迭代（simple iteration）。
下面来看一下不动点迭代【3】：
也就是说，为了求解方程f(x)=0，首先将方程转换为x=g(x)，然后初始化x0，循环迭代xi+1=g(xi)，直到满足收敛收件。
这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的，比如对于f(x)=x-cos(x)，求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0，即x=cos(x)，因此g(x)=cos(x)；再例如对于方程【4】
可以等价为
还可以等价为
也就是说，将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式，因此对方程f(x)=0来说，g(x)也不是唯一的。
3、不动点迭代的收敛性
这个迭代过程是很简单的，但这里有个关键性的问题：迭代收敛么？即经过N次迭代后是否会收敛于不动点？
3.1 例子
先看两个例子，这里有两个方程【5】：
可以通过其它方法得到方程E1和E2的根：
画出E1和E2曲线：。
不动点法求解数列
不动点法求解数列
不动点法（Fixed-point Iteration）是一种基于迭代的求解数列
的方法。
它的基本思想是通过对式子放大或缩小来求解数列中每一项
的值，并进行小步长的迭代来收敛最终的结果。
首先，我们需要定义数列中每个项的范围，以及要求的精度要求。
然后，我们可以用一定的步长进行不动点迭代，具体的步长可以通过
计算数列中每一项在每一次不动点迭代中的新值，按照一定的规律或
者算法，以便确定下一步应该走多远，当两步之间的距离小于给定的
精度时，便可以确定数列中每一项的值。
值得注意的是，不动点迭代法并不一定适用于所有数列，而且由
于该法利用步长逐渐缩小，因此会耗费较多的时间，而且不容易收敛，有可能导致出现无解的情况。
另外，使用不动点迭代法还需要注意发
散的情况，也就是当迭代步长越来越大时，就会出现数列渐进远离正
确的解的情况。
因此，应用不动点迭代法求解数列时，应该根据数列的特性，合
理选择迭代步长，保证在给定的范围之内可以收敛到解，同时格外注
意发散的情况，以及时间上的消耗。
不动点迭代法及其加速技术
f ( xk ) xk 1 xk m ' f ( xk )
此时, 不实用: m往往不确定.
方法二. 取 F ( x )
( x) x m
f ( x) f ' ( x)
, ' ( x * ) 0 , 至少2阶收敛.
f ( x) ,再对函数F(x)用Newton迭代: ' f ( x)
求K，使得
| ( x ) | | 1 K Kg( x ) | 1
f ( x ) x 3 3 x 1 0 在 (1, 2) 的实根。 例：求
如果用 中有
1 3 x ( x 1) g( x )进行迭代，则在(1, 3
2)
| g( x ) | | x 2 | 1
K 3 现令 ( x ) (1 K ) x Kg ( x ) (1 K ) x ( x 1) 3
希望 | ( x ) | | 1 K Kx | 1 ，即 2 在 (1, 2) 上可取任意 K 0 ，例如K =
2
2 K 0 2 x 1
则 所以
f ( x) f ( x) [ f ( x)]2 f ( x ) f ( x ) (x ) 1 2 [ f ( x)]2 [ f ( x )]
( a ) 0
由定理2
该迭代法至少是平方收敛的
Newton迭代法的特征
•
Newton迭代公式是一种特殊的不动点迭代,其 迭代矩阵为:
Newton迭代法又称切线法.
4. Newton迭代法收敛定理
f ' ( x*) 0 ,且在 x* 的邻域 定理 设 f(x*)=0, '' 上 f 存在, 连续, 则可得
不动点法特征根法总结
不动点法特征根法总结不动点法和特征根法都是数值计算方法中经常使用的技术。
它们都是通过迭代的方式来求解非线性方程或特征根的数值解。
下面是对不动点法和特征根法的总结和比较。
1. 不动点法（Fixed Point Method）：不动点法是一种迭代算法，用于求解非线性方程的数值解。
它的基本思想是将非线性方程转化为一个等价的形式，其中等式的两边都包含同一个未知变量，然后通过不断迭代的方式逼近方程的数值解。
算法步骤：（1）将原方程转化为不动点方程：f(x)=x。
（2）选择初始近似值x0。
（3）通过递推公式xn+1 = g(xn)进行迭代，直到满足收敛准则。
优点：（1）不动点法在求解非线性方程时比较简单，易于实现。
（2）不动点法较为稳定，收敛速度较快。
（3）不动点法在逼近数值解时不需要对函数求导。
缺点：（1）不动点法的收敛性和唯一性需要满足一定的条件，不能保证对所有的方程都有效。
（2）不动点法的收敛速度较特征根法慢。
（3）需要选择合适的初始值，否则可能会导致迭代发散。
2. 特征根法（Eigenvalue Method）：特征根法是一种用于求解特征值和特征向量的数值计算方法。
它在很多科学和工程领域广泛应用，例如结构力学、信号处理和量子力学等。
算法步骤：（1）构造矩阵A。
（2）计算A的特征值和特征向量。
（3）利用特征值和特征向量求解原问题。
优点：（1）特征根法对于求解特征值和特征向量非常高效，速度较快。
（2）特征根法易于理解和实现。
缺点：（1）特征根法要求矩阵A的阶数较小，计算复杂度较高。
（2）特征根法在求解特征值和特征向量时对矩阵的性质有一定要求，有时可能会出现精度不足或数值不稳定的问题。
（3）特征根法只能求解特征值和特征向量，无法直接求解其他类型的问题。
综上所述，不动点法和特征根法在数值计算中都具有重要的应用价值。
不动点法是一种用于求解非线性方程数值解的迭代算法，简单易实现，但收敛速度较慢；特征根法是一种用于求解特征值和特征向量的高效算法，但对矩阵尺寸和性质有一定要求。
不动点迭代法求方程的根
实验报告
专业班级：学号：姓名：
实验名称：用不动点迭代法解非线性方程
1.实验目的：
(1)掌握不动点迭代法求根的方法
（2）学会运用C语言编写出相应的循环程序，得出方程的解。
2.随着不断的迭代，迭代数值会越来越接近不动点值x0。程序中变量的类型小数点后的位数是一定的，所以，随着不断的迭代，会出现相等的两数，那么，此时的xk可以近似看做方程根x*。
程序流程图
N
Y
4.实验步骤或程序（经调试后正确的源程序）
主要步骤与程序代码,见附件A
附件A实验报告
（适用计算机程序设计类）
专业班级：学号：姓名：
实验步骤或程序：
程序代码：
5．程序运行结果
2.实验内容：
问题：求方程f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根x*。
算法描述：
1）把方程改写成 的形式
2）代入x0=1.5,并反复利用迭代公式 计算
3）对上式得到的序列{xk}求极限lim xk=x*,所求得的x*即为非线性方程的根
3.实验方案（程序设计说明）
算法设计思路：
将x0代入迭代公式，作为第一次迭代结果x1。
确定隔根区间的方法
确定隔根区间的方法隔根区间是数学中一个重要的概念，用于确定函数在某个区间内的根的范围。
在数学和计算机科学领域中，我们经常需要找到函数的根，即使是在计算机编程和数据分析中也经常会用到。
下面将介绍一些确定隔根区间的方法。
1. 二分法二分法是一种简单而有效的确定隔根区间的方法。
它的原理是将区间一分为二，然后通过比较函数在分割点的取值来确定根所在的区间。
如果函数在分割点的取值为正，那么根就在分割点的左侧区间；如果取值为负，根就在右侧区间；如果取值为零，那么分割点就是根。
然后，再将确定的区间继续二分，直到找到根或者达到一定的精度。
2. 不动点迭代法不动点迭代法是另一种确定隔根区间的方法。
它的原理是通过迭代函数的不动点来逼近根。
不动点是指在函数f(x)中满足x = f(x)的点，也就是函数f(x)与直线y = x的交点。
通过选择合适的迭代函数，可以将根所在的区间不断缩小，直到找到根或者达到一定的精度。
3. 牛顿法牛顿法是一种更高效的确定隔根区间的方法。
它的原理是通过函数的切线来逼近根。
假设我们已经有一个初始的猜测值x0，然后通过计算函数在x0处的斜率来确定切线的斜率，然后将切线与x轴的交点作为新的猜测值。
通过不断迭代，可以逼近根的位置。
牛顿法的收敛速度非常快，但需要注意选择合适的初始猜测值，否则可能会陷入局部最优解。
4. 割线法割线法是一种类似于牛顿法的确定隔根区间的方法。
它的原理是通过两个初始的猜测值x0和x1来确定一条割线，然后将割线与x轴的交点作为新的猜测值。
通过不断迭代，可以逼近根的位置。
割线法的收敛速度比牛顿法慢一些，但不需要计算函数的导数，因此在某些情况下更加适用。
以上是确定隔根区间的几种常见方法。
根据具体的问题和要求，我们可以选择合适的方法来确定根的范围。
在实际应用中，我们可以利用计算机编程和数值计算方法来实现这些方法，从而更加高效地找到函数的根。
同时，我们还可以通过绘制函数的图像和观察函数的性质来帮助确定隔根区间，从而提高计算的准确性和效率。
不动点迭代法及其收敛定理
显然, p越大,收敛速度也就越快
那么, 如何确定 p, 从而确定收敛阶呢？
如果迭代函数 ( x )在精确解x * 处充分光滑, 即处处可导
将( x)在x * 作Taylor 展开, 有
( x ) ( x *) ( x *)( x x *)
( x *)
2!
( p)
1. Newton迭代公式建立
f ( xn ) f ( x ) f ( xn ) f ' ( xn ) ( x xn ) ( x xn ) 2 2! f ( x ) f ( xn ) f ' ( xn ) ( x xn ) ——Taylor展开线性化
将f(x)在点xn作Taylor展开:
3 2
显然迭代法发散 (2) 如果将原方程化为等价方程
x1 2
仍取初值
x0 0
x1 3
x2
x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
Lk x1 x0 1 L 由于L 1, lim( xk x *) 0 k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
证毕.
定理1指出, 只要构造的迭代函数满足 | ( x) | L 1
( p)
数值分析3(不动点迭代)
设f(x) = 0的根为 x*,通过迭代计算产生序列:
x0 x1 ( x0 ) L xn ( xn1 ) L
lim
n
xn
x*
二分法:
xn
( xn1 )
0.5( xn1 0.5( xn1
an1 ), bn1 ),
如果f 如果f
( xn-1 ( xn1
) )
f f
(an-1 ) 0 (bn1 ) 0
| xn x* | Ln | x0 x* |
lim
n
|
xn
x*
|
lim
n
Ln
|
x0
x*
|
0
( 0<L<1 )
所以
lim
n
xn
x*
故迭代格式收敛
| xn x* || xn xn1 xn1 x* |
04:37
11/25
04:37
12/25
如果 ( x) 有两个不同的不动点
x1*
x
* 2
则有
x1* ( x1* ) x2* ( x2* )
两式相减得
x1* x2* ( x1* ) ( x2* )
由拉格朗日中值定理知, 存在
介于
x1*和
x
* 2
之间
x1* x2* ( x1* ) ( x2* ) ( )( x1* x2* )
3 2 1.7321 1.6529 1.6288 1.6213 1.6191 1.6184 1.6181 1.6181 1.6180 1.6180 1.6180
4/25
Matlab中等号是赋值算子。即计算等式右边的 值并将值存储到左边的变量。命令计算(1+x)1/2并 用最新的结果替代以前的结果。重复上述过程得 到如下最后结果为1.6180(黄金比例 )。
不动点迭代总结
一 算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。
2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=， ，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈， ，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥ 如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。
6 T 称为中间意义的渐进非扩张的，如果,()limsup{sup ()}0n n n x y D T T x T y x y →∞∈---≤ 7 T 称为一致L -Lipschitz 的，如果存在常数1L ≥，使得,,(),1n n T x T y L x y x y D T n -≤-∀∈≥:T K K →8 T 称为强伪压缩的，如果对,x y K ∀∈，存在()()j x y J x y -∈-和常数(0,1)k ∈，满足 2,()Tx Ty j x y k x y <-->≤-9 T 称为 ϕ-强伪压缩的，如果对,x y K ∀∈，存在()()j x y J x y -∈-和一个严格增的函数:[0,)[0,)ϕ+∞→+∞，满足(0)0ϕ=使得2,()().Tx Ty j x y x y x y x y ϕ<-->≤----10 T 称为Φ-伪压缩的，如果对,x y K ∀∈，存在()()j x y J x y -∈-和一个增的函数:[0,)[0,)Φ+∞→+∞，满足(0)0Φ=使得2,()()Tx Ty j x y x y x y <-->≤--Φ- 11 T 称为拟Φ-伪压缩的，如果对,x y K ∀∈，()q F T ∈存在()()j x y J x y -∈-和一个样增的函数:[0,)[0,)Φ+∞→+∞，满足(0)0Φ=使得2,()()Tx q j x q x q x q <-->≤--Φ- Let :B K H → be a mapping. Then B is called12 monotone if,0,,Bx By x y x y E <-->≥∀∈13 v -strongly monotone if there exists a positive real number v such that2,,,Bx By x y v x y x y E <-->≥-∀∈ for constant 0v > . This implies thatBx By v x y -≥-,that is, B is v -expansive and when 1v = , it is expansive. 14 ξ- Lipschitz continuous if there exists a positive real number ξsuch that,,Bx By x y x y E ξ-≤-∀∈15 m -cocoercive, if there exists a positive real number m such that2,,,Bx By x y m Bx By x y E <-->≥-∀∈ clearly, every m - cocoercive mapA is 1m Lipschitzcontinuous. 16 Relaxed m -cocoercive, if there exists a positive real number m such that2,,,Bx By x y m Bx By x y E <-->≥--∀∈ 17 Relaxed(,)m v cocoercive , if there exists a positive real number ,m v such that22,,,Bx By x y m Bx By v x y x y E <-->≥--+-∀∈for 0m = , B is v - strongly monotone. This class of maps is more general that the class of strongly monotone maps. It is easy to see that we have the following implication: v - strongly monotonicity implying relaxed(,)m v cocoercivity.二 算法1 Man 迭代序列(1) Man 迭代序列1(1)n n n n n x x Tx αα+=-+ (2) 修正的Man 迭代序列1(1)n n n n n n x x T x αα+=-+(3) 带平均误差的修正的Man 迭代序列 1(1)nn n n n n n n n x x T x u αγαγ+=--++2 Ishikawa 迭代序列(1) Ishikawa 迭代序列1(1)(1)n n n n nn n n n nx x Ty y x Tx ααββ+=-+⎧⎨=-+⎩(2) 修正的Ishikawa 迭代序列1(1)(1)nn n n n nn n n n n nx x T y y x T x ααββ+⎧=-+⎨=-+⎩(3) 带平均误差的修正的Ishikawa 迭代序列 1(1)(1)nn n n n n n n nnn n n n n n n nx x T y u y x T x v αγαγβδβδ+⎧=--++⎨=--++⎩3 Happern 迭代10(1)n n n n x x Tx αα+=-+4 粘性迭代01()(1)n n n n nx Cx f x Tx αα+∈⎧⎨=+-⎩5修正的Reich-Takahashi 型迭代序列如果 T 是具有序列 {}[0,),1n n k k ⊂∞→ 的渐进非扩张映象，则由下式定义的序列 {}n x D ⊂0100,1(1),11(1),1n j n n n n n n n n j n j n n n n n n n n j x D x T y x u n y T x x v n αγαγβδβδ+==⎧⎪∈⎪⎪⎪=--++⎨+⎪⎪=--++⎪+⎪⎩∑∑ 称为修正的Reich-Takahashi 型迭代序列， 其中 {},{},{},{}n n n n αβγδ 是区间 [0,1] 中满足某些限制的实数序列， {},{}n n u v 是 D 中的有界序列。
不动点迭代法收敛速度判断准则
一、概述不动点迭代法是数值分析中常用的一种数值求解方法，广泛应用于求解方程及优化问题。
而判断不动点迭代法的收敛速度，对于有效地应用该方法具有重要意义。
本文将针对不动点迭代法的收敛速度判断准则展开讨论，以期为相关领域的研究和应用提供一定的参考。
二、不动点迭代法概述不动点迭代法（Fixed-Point Iteration Method）是一种通过不断迭代逼近解的常见求解方法。
其基本思想是利用迭代公式不断更新初始值，直至满足一定的条件为止。
其迭代公式通常具有如下形式：xn+1 = g(xn)其中，xn为第n次迭代的近似解，xn+1为第n+1次迭代的近似解，g(x)为迭代函数。
不动点迭代法的核心在于选择合适的迭代函数g(x)，并通过迭代逼近不动点，即满足x = g(x)的点，从而得到近似解。
三、不动点迭代法的收敛速度不动点迭代法的收敛速度是指在迭代过程中，解逼近真实解的速度。
通常情况下，我们希望迭代能够快速收敛，即在迭代次数较少的情况下就能得到满足精度要求的近似解。
判断不动点迭代法的收敛速度是一个至关重要的问题。
四、判断不动点迭代法收敛速度的准则判断不动点迭代法收敛速度的准则有多种，下面将介绍几种常用且较为实用的方法：1. 利普希茨常数条件利普希茨常数条件是判断不动点迭代法收敛速度的重要准则之一。
对于迭代函数g(x)，如果存在一个常数L，满足对于任意x1和x2有： |g(x1) - g(x2)| <= L|x1 - x2|则称L为迭代函数g(x)的利普希茨常数。
此时，如果L < 1，则不动点迭代法收敛速度较快，反之则收敛速度较慢。
2. 收敛域分析收敛域分析是判断不动点迭代法收敛速度的另一种常用准则。
通过对迭代函数的性质进行分析，可以确定不动点迭代法的收敛速度。
对于某些特定的函数形式，可以利用收敛域的性质来判断不动点迭代法的收敛速度。
3. 收敛速度估计收敛速度估计是通过对迭代过程中的误差进行分析，从而估计不动点迭代法的收敛速度。
(精品word)不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解
《MATLAB 程序设计实践》课程考核１、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之.（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解”(1).不动点迭代法非线性方程组求解（a）.算法说明：设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组记为:F(x）=0，然后把上述方程组改为便于迭代的等价形式：x=φ（x）,由此就可以构造不动点迭代法的迭代公式：｝满足，则就是φ的不动点,这样就可以求出非线性方程组的解.如果得到的序列{xk在MATLAB中编程实现的非线性方程组的不动点迭代法的函数为:mulStablePoint。
功能:用不动点迭代法求非线性方程组的一个解。
调用格式：[r，n］=mulStablePoint（x0，eps）.其中，x0为初始迭代向量；eps为迭代精度;r为求出的解向量；n为迭代步数。
（b）。
流程图：(c).源程序代码：function [r,n]=mulStablePoint(x0，eps) %不动点迭代法求非线性方程组的一个解%初始迭代向量：x0%迭代精度：eps%解向量：r％迭代步数：nif nargin==1eps=1。
0e-4；endr=myf(x0)；n=1；tol=1；while tol>epsx0=r;r=myf（x0）；％迭代公式tol=norm（r-x0)；％注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;if（n〉100000) ％迭代步数控制disp（’迭代步数太多，可能不收敛!’)；return；endend举例说明：解:首先建立myf.m函数文件，输入以下内容：function f=myf（x）f(1）=0.5*sin(x(1)）+0。
1＊cos（x（2）*x(1))-x（1);f（2）=0.5*cos（x(1))-0.1＊sin(x（2）)—x(2)；在MATLAB命令窗口中输入：(2)。
不动点迭代和牛顿迭代的关系_解释说明
不动点迭代和牛顿迭代的关系解释说明1. 引言1.1 概述不动点迭代和牛顿迭代是数值计算中常用的迭代方法，用于求解方程的根或者方程组的解。
它们都基于迭代的思想，通过不断逼近目标解来达到精确求解的目的。
本文将探讨不动点迭代和牛顿迭代之间的关系，并分析它们在数值计算领域中的应用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、不动点迭代概述、牛顿迭代概述、不动点迭代与牛顿迭代的关系以及结论。
在引言部分，我们将对不动点迭代和牛顿迭代进行概述，并指出本文研究的目标。
接下来，在不动点迭代概述和牛顿迭代概述部分，将具体介绍它们各自的定义、原理、收敛性等特点。
随后，在不动点迭代与牛顿迭代的关系部分，将讨论它们之间数学联系以及相似性，并比较其区别和适用条件。
最后，在结论部分，我们将总结文章要点并展望未来研究方向。
1.3 目的本文旨在深入探讨和解释不动点迭代和牛顿迭代之间的关系，通过比较它们的数学联系和应用场景，分析它们各自的优缺点。
同时，本文也旨在展望不动点迭代和牛顿迭代在未来数值计算领域中可能发展的方向，并提出一些潜在的问题供进一步研究。
通过对这两种迭代方法的全面了解，读者将能够更好地理解并灵活运用它们以求得更准确的数值解。
2. 不动点迭代概述：2.1 定义和基本原理：不动点迭代是一种数值计算方法，用于寻找一个函数的不动点。
一个函数的不动点是指满足f(x) = x 的解，即在该点上函数与自身的值相等。
通过不断迭代逼近，我们可以找到函数的不动点。
该方法的基本原理是选择一个初始值x0，并通过反复应用函数f(x) 来更新x 的值，直至收敛到一个稳定的解为止。
具体来说，每次迭代时我们都使用下式更新x：x(n+1) = f(x(n))2.2 不动点定理：不动点定理包括泛函型不动点定理和压缩映射原理两部分。
泛函型不动点定理指出，在某些条件下，如果一个映射将某个完备度量空间的子空间映射到自身，那么该映射必定有固定点。
压缩映射原理则更加具体地描述了不动点迭代法的可行性。
科学计算方法3(不动点迭代)
Brouwer’s Fixed Point Theorem says precisely “every continuous function from a compact subset in n-dimensional Euclidean space to the same subset has a fixed point”.
而数学中等号的意思有所不同。方程
x 1 x
的根称为函数 f(x)=(1+x)1/2的不动点。函数f(x) 有一个不动点(1+(5)1/2)/2。
启示: 两种不同的思路计算方程的根: 1) 寻 找根的显式计算公式; 2)通过重复简单的不 动点计算并赋值来逐步逼近方程的解。
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不动点迭代(Fixed Point Iteration)
(3) 收敛阶p =2 时, 称为平方收敛。
序列的收敛阶数越高, 则收敛速度越快。
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Taylor’s Theorem
—数值分析的基石
f (x)
f (a)
f (a)( x a)
f
( 2
a
)
(
x
a
)2
( x a) f ( p1) (a)
p1
( p1)!
f
(
p) (
p!
)
(
x
a)
p
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xn1
x*
(
xn )
( x*)
( x*)( xn
x*)
( x*)
2
( xn
x*)2
+
( p1) ( x*)
( p 1)!
(
xn
x*) p1
3.3不动点迭代(0)
g ( x ) x g ( x ) g ( x ) g ( )( x x ) L x x
即对 x N ( x )
x g( x ) x
则由定理3.3.1，迭代法(*)对 x0 N ( x ) 收敛，即局部收 敛. g( x ) L 1 g( x ) g( x ) g( x ) g( x ) L 1 注
p1
x
x1 x0 x*
x1
例2： 已知方程 x 3 4 x 2 10 0在[1, 2]上有一个根（正根） 下面选取5种迭代格式：
1、x
x x 4 x 10
3 2
即
g( x ) x x3 4 x 2 10
2、 x 4
2
2
10 x
3
1 1 1 1 3 2 g x 10 x 3 2 x 10 x 即 2 2
g 定理3.3.2 设 x 为 g 的不动点， x 在 x 的某邻域连续， 且 g x L 1 ，则迭代法(*)局部收敛。 证明： 因为 g x 在 x 的某邻域连续， 存在邻域 N ( x ) [ x , x ]
g ( x ) L 1 ( g ( x ) L 1)
x3 1.365230014 x11 1.365137821 x4 1.365230013 x29 1.365230013
定理3.3.1（收敛性基本定理）
考虑方程 x = g(x), 若
( I ) 当 x[a, b] 时， g(x)[a, b]； ( II ) 0 L < 1 使得
取 x0 1.5 计算结果如下：
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x*称为不
等价变换
动点
f (x*) 0
x* ( x*)
xn ( xn1 )
f (x) 的根
(x) 的不动点
对于f(x)=0, 不动点可以构造为:
(x) x f (x) (x) x (x) f (x)
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不动点迭代(Fixed Point Iteration)
选择适当的初始值x0,按照如下的迭代格式计算:
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10/25
如果 ( x) 有两个不同的不动点 x1* x2* 则有
x1* ( x1* )
x2*
(
x
* 2
)
两式相减得
x1* x2* ( x1* ) ( x2* )
由拉格朗日中值定理知, 存在
介于
x1*和
x
* 2
之间
x1* x2* ( x1* ) ( x2* ) ( )( x1* x2* )
证明 : 由连续函数的局部保号性, 存在x*的某个邻域
R : |x-x*|< ,使对于任意x R满足|( x)| L 1。
(局部保号性) 若函数f 在点x*连续且f (x* )>0, 则对任何
正数r f ( x* ),存在某个邻域R :| x - x* | , 使得对一切
x R有f ( x) r。
{ xn }收敛到不动点x*。
证 xn ( xn1 )
x*
( x* )
| xn x* | | (xn1) (x*) |
| ( ) | | xn1 x* |
L | xn1 x* |
压缩映像
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| xn x* | Ln | x0 x* |
lim
n
|
xn
x*
|
limnLn| Nhomakorabeax0
证 若(a) a 或(b) b ,显然 ( x) 有不动点 设 (a) a , (b) b 则有(a) a, (b) b
记 ( x) ( x) x 则有 (a) (b) 0
所以, 存在 x*使得 ( x*) 0 即 x* ( x* ), 故 x* 是 ( x)的不动点。
x*
|
0
( 0<L<1 )
所以 迭代格式收敛
lim
n
xn
x*
迭代什么时候终止呢？
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局部收敛定理
定理2.5 设x*为( x)的不动点, ( x)在x*的某邻域连 续且 ( x* ) 1, 则对任意x0属于此邻域,迭代格式 xn+1 ( xn )产生的序列{ xn }收敛到不动点x*。
而数学中等号的意思有所不同。方程
x 1 x
的根称为函数 f(x)=(1+x)1/2的不动点。函数f(x) 有一个不动点(1+(5)1/2)/2。
启示: 两种不同的思路计算方程的根: 1) 寻 找根的显式计算公式; 2)通过重复简单的不 动点计算并赋值来逐步逼近方程的解。
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不动点迭代(Fixed Point Iteration)
(c) ( x) x2 x 3
( x) 2 x 1, 则 ( x* ) 2 3 1 1
(d) ( x) 3 / x, 则( x* ) 1 16/25
xk
(a)
(b)
(c)
(d)
x0
2
2
2
2
x1
1.7500
1.7500
3
1.5000
x2
1.7344
1.7321
9
2
x3
1.7324
xn1 (xn )，x0 1.5 ( n = 0, 1, 2, ······)
(2) x 10/(x 4) (x) 10/(x 4)
xn1 (xn ), x0 1.5 ( n = 0, 1, 2, ······)
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xn1 10 / xn 4 xn
xn1
10 xn 4
n xn
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引子 Matlab中输入任意的数字x=your number。 Matlab 中 输 入 命 令 x=sqrt(1+x) 。 命 令 计 算 (1+x)1/2并用最新的结果替代以前的结果。重复上 述过程(up-arrow键)得到结果是什么？
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Matlab中等号是赋值算子。重复上述过程得到 如下最后结果为1.6180(黄金比例 )。
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迭代格式 xn1 ( xn )
收敛性
| ( x* ) | 1
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例2 用不同迭代格式求方程 x2-3=0的根。
(a)
(x)
x
1 4
(x2
3)
( x)
1
1 2
x,
则 ( x* ) 1
3 2
0.134 1
(b)
(x)
1 2
(
x
3 x
)
( x)
1 2
(1
3 x2
),
则 ( x* ) 0
x (x)
xn1 ( xn ), n=0,1,2,
基本思想是将非线性方程求解归结为一系 列显式的函数值计算。
如果数列{xn}满足 。
x*
lim n
x,n 则称迭代格式收敛
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例1 方程 x3 + 4x2 – 10 = 0 在 [1, 2] 上有一个根,
构造求根的不动点迭代格式。
(1) x 10 / x 4x ( x) 10 / x 4x
| x1* x2* || ( ) | | x1* x2* | L | x1* x2* |
与L<1 条件矛盾
故不动点唯一。
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定理2.3 如果( x)在[a, b]上具有连续的一阶导数, 满足 (1)a ( x) b和(2)对任意x (a, b)有 | ( x) | L 1。 则对任意的x0 [a, b], 迭代格式xn+1 ( xn )产生的序列
什么样的迭代格式收敛？
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中值定理: 若函数f(x) 满足: (1)在[a,b]连续; (2)在(a,b)可导; 则在 (a, b) 内至少存在一点 ,使得
f ( ) f (b) f (a)
ba
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引理2.1 如果( x)在[a, b]上具有连续的一阶导数, 满足 (1) a ( x) b 和 (2)对任意x (a, b)有 | ( x) | L 1 则 ( x)在[a, b]有唯一的不动点x*。
| xn – x* |
0 1.5000
1 0.8165 0.5487
2 2.9969 1.6317
3 (-8.65)1/2
n xn | xn - x* | 0 1.5000 1 1.3484 0.0168 2 1.3674 0.0022 3 1.3650 2.0e-04 4 1.3653 1.0e-04 5 1.3652 0 6 1.3652 0