第一章 简单应力状态下的弹塑性力学问题

当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。 可近似地认为体积是不可压的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 静水压力对屈服应力的影响也是不大的。
§1.3 应力-应变关系关系的简化模型
1．理想弹塑性模型
当 < σs时 ε = σ E ， σ ε 当 = σs时， = σ E + λsignε σ
σ
(5)
（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同） 假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）
类似地，上式也可用应变表示为： 类似地，上式也可用应变表示为：
当ε ≤εs时 σ = Eε , , 当ε > εs时 σ = [σs + E′( ε − εs )]signε.
基本方程: 基本方程: ①几何关系 ②守恒定律 ③本构方程
§1.2 材料在简单拉压时的实验结果
一、实验描述
A0 l0
A0
l0
材料： 材料：金属多晶材料 受力： 受力：单向拉伸或压缩实验 名义)应力： (名义)应力：σ=P/A0 名义)应变：ε=（ (名义)应变：ε=（ι-ι0）/ι0
二、实验曲线
σ
M M1 C C
σ
σS
O
A
上屈服点
M1
σS
M
下屈服点
N
ε
p
ε
e
ε
O
εS
ε
M′
A′
(a)
M ′′
(b) 图 2
实验曲线加载过程
线弹性阶段 非线性弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段
实验曲线卸载过程
σp
σ
σb
σe σs σb
M A
C
σS
O
N
ε
弹性阶段： 弹性阶段：卸载沿原路返回 塑性阶段：卸载沿直线返回， 塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性 阶段相同
类似地，上式也可用应变表示为： 类似地，上式也可用应变表示为：
σ
(4)
σS
当ε ≤ εs时， = Eε, σ σ 当ε > εs时， = σs signε
O εS
ε
图 3
适用：强化率较低的材料， 适用：强化率较低的材料，在应变不太大时可忽略强化效应
2．线性强化弹塑性模型
当 ≤ σS时 ε = σ σ , E, σ , 当 > σS时 ε = σ / E + (σ −σs )( 1 − 1 )signσ E′ E
随动强化模型
σ −ψ(ε p ) = σs ,
上式在线性强化情形下也可写为 σ
p （ψ(ε ) 是塑性应变ε p的单调递增函数） 的单调递增函数）
σ
M
A
C
S
σ − hε = σs ,
p
dψ （h = p 是一个常数 ） dε
A'
O
M'
N
ε
M ''
图2（a）
该模型对应图2 该模型对应图2（a）中的 NM和 NM''。
三、材料本身的失稳现象
例如，在低碳钢拉伸实验中由上屈服应力突然下降到下 例如， 屈服应力的现象，它与材料变形的内部微观机制的变化 屈服应力的现象， 有关。 有关。
塑性力学
第一章 简单应力状态下的 弹塑性力学问题
§ 1.1 § 1.2 § 1.3 § 1.4 § 1.5 § 1.6 § 1.7 § 1.8 § 1.9 §1.10 §1.11 引言 材料在简单拉压时的实验结果 应力应力-应变关系 简化模型 轴向拉伸时的塑性失稳 简单桁架的弹塑性分析 强化效应的影响 几何非线性的影响 弹性极限曲线 加载路径的影响 极限载荷曲线（ 极限载荷曲线（面） 安定问题
§1.1 引言
一、变形 弹性变形： 弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的 对应关系 非弹性变形： 非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系 塑性变形 （是指物体在除去外力后所残留下 非弹性变形
的永久变形） 的永久变形） 弛等） 弛等） 随时间而改变，如蠕变、 粘性变形 （随时间而改变，如蠕变、应力松
三、两种现象
σ
M
C
应变强化：
材料经过塑性变形得到强化
σS
A
O
包氏效应：
实验曲线反向加载： 实验曲线反向加载：
M A'
'
N
ε
M ''
图2（a）
单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a） 单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高( 中的M´´点 中的M´´点) 多晶体，其压缩屈服应力（ 多晶体，其压缩屈服应力（M´点）一般要低于一开始 就反向加载时的屈服应力（ ）。这种由于拉伸时强 就反向加载时的屈服应力（A´点）。这种由于拉伸时强 化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应 包氏效应（ 化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschinger effect）。 effect）。
σ =ψ(ξ), —— ξ 是刻画塑性变形历史的参数
例如：可取 ξ = 例如： 或
σS
A
O
M A'
'
N
ε
dε P ∫
P P
ξ =W = ∫ ε σd
M ''
图2（a）
该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2 该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的NM 和NM'' 。
适用： 适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等 的。
2. σ与ε之间的线性关系 ε=σ/E+εp
（1） ）
有适用范围的。对于固定的内变量ε 有适用范围的。对于固定的内变量εP，σ或ε并不 σ 能随意取值。 能随意取值。
M
C
例如，对处于图2（a）中的M点，当加 中的M 例如，对处于图2 载时即应力（或应变）继续增长时， 载时即应力（或应变）继续增长时， 应力应变曲线将沿AMM 方向延伸， 应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公 当卸载时即应力（或应变） 当卸载时即应力（或应变）减小时应 力应变曲线才以（ 式的规律沿MN 力应变曲线才以（1）式的规律沿MN 向下降。 向下降。为了区分以上这种加载和卸 载所具有的不同规律， 载所具有的不同规律，就必须给出相 应的加卸载准则 加卸载准则。 应的加卸载准则。
适用： 适用：材料的强化率较高且在一定范围 内变化不大
σS
E′
O εS
E
ε
图 4
3．一般加载规律
对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系： 对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：
σ = φ(ε ) = Eε[1−ω(ε )]
其 中 0 ω(ε ) = [Eε - φ(ε )]/(Eε ) 当ε ≤ εs 当ε > εs
适用：考虑包氏效应， 适用：考虑包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力的代数 值之差，即弹性响应的范围始终是不变的。 值之差，即弹性响应的范围始终是不变的。
§1.4 轴向拉伸时的塑性失稳 σ
M
C
一、拉伸失稳的概念 1、拉伸失稳： （见图2） 拉伸失稳： 见图2
在最高点以后， 在最高点以后，增加应变时 应力反而下降， 应力反而下降，在通常意义 下称试件是不稳定的。 下称试件是不稳定的。
说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变， 说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式 0.7 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性， 中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在 数学表达式上也较为简单。 数学表达式上也较为简单。
σ
6. 等向强化模型及随动强化模型
M
C
等向强化模型
则在颈缩时真应力应满足条件
C′
O
1
~ ε
~ ~ ~ ~ dσ = ( dσ ⋅ dε )eε +σ ⋅ eε = σeε = σ ~ ~ ~ dε dε dε
~ ~ 拉伸σ - ε 曲线
结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。 结论：拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。
[2] 注意到
~ σ = σ (1+ ε ),
~ σ C ′′ C
~ ~ σ = σ (ε )
颈缩时的条件也可写为： 颈缩时的条件也可写为：
σ = σ (ε ) ε
~ ~ dσ = dσ (1+ε ) +σ = σ = σ , dε dε 1+ε
即
O
1
~ ~ = dσ (1+ ε). σ dε
(b)
~ 拉伸σ - ε曲线
σ
(6)
A
C
——表示图5（a）中的 AC/ AB 表示图5 表示图 线段比
O ε
p
B
ε
ε
(a)
4．幂次强化模型
σ = Bε signε, （8）
m
σ
σ0
1.0
（其中B>0，0<m<1）
注：这种模型在 ε =0处的斜率为 无穷大， 近似性较差， 无穷大 ， 近似性较差 ， 但在数学 上比较容易处理。 上比较容易处理。
二、塑性与脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 如果变形很小就破坏，便称是脆性 ——采用弹性理论分析 ——采用弹性理论分析 如果经受了很大的变形才破坏，材料具有较好的 如果经受了很大的变形才破坏， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强， 韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便 称是塑性 在这种情况下， 塑性。 称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 变形到最终破坏之间仍具有承载能力。 ——采用塑性力学分析 ——采用塑性力学分析