量子力学复习提纲

1.

粒子的双缝实验的结论是什么？ 答：粒子具有波动性

2.

在量子力学中，波函数的波动方程是什么？它是定态薛定谔方程吗？

答：量子力学中波函数的波动方程是

),()](2[),(2

2t r r V m

t r t i →→→+∇-=∂∂ψψ ，它不是定态薛定谔方程，定态薛定谔方程是假设势能V 不显含时间t ，其形

式是：)()](2[)(2

2→→→

+∇-=r r V m

r E ψψ

3.

波函数除了归一化要求之外的三个标准条件是什么？

答：单值、连续、有限。

4.

写出一维无限深方势阱的能量本征函数及能量本征值。

答：

5. 写出一维线性谐振子的能量本征函数及能量本征值。

2

,2a μ

答：

6.什么叫做粒子的共振穿透？请举例说明。

答：当粒子射入势阱时，将发生反射和折射，当粒子的能量满足一定的条件时会使透

射系数T=1，这种现象就叫做共振穿透。如上图所示，粒子在有限深势阱中，我们设

2

2

2

2

2

1

)

(

2

,

2

o

V

E

k

E

k

-

=

=

μ

μ

则透射系数

l

k

k

k

k

k

k

k

T

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

sin

)

(

4

4

-

+

=

当π

n

L

k=

2

即

2

2

)

(

2

V

L

n

E

n

+

=

π

μ

时，1

=

T，产生共振穿透。

7.什么叫做粒子的遂穿效应？请举例说明。

答：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为隧道效应。金属电子冷发射和ɑ衰变等现象等都是隧道效应产生的，还有基于两字隧道效应的扫描隧道显微镜。

8.粒子的共振穿透与粒子的遂穿效应有何区别？

答：共振穿透的物理意义是，入射粒子进入势阱后，碰到两侧阱壁时将发生反射和透射，如粒子能量合适，使它在阱内波长'λ满足a

n2

'=

λ（a为阱的宽度），则经过各次反射而透射出去的波的相位相同，因而彼此相干叠加，使透射波波幅大增，从而出现共振透射。而遂穿效应其实是粒子具有波动性的表现。

9.什么叫做厄米算符？它有什么性质？

答：如果算符

∧

F满足ˆˆ()

F dv F dv

ψϕψϕ

**

=

⎰⎰，则称算符∧F为厄米算符。厄米算符有三点性质，一是体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数；二是厄米算符的本征值必为实数；三是厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。

10.量子力学中两个基本力学量是什么？在坐标表象中，用什么算符表示？

{}

22

22

22

2

2

1

()

2

ˆ

,()()

()(),0,1,2,

ˆ1

1

(),0,1,2,

2

ˆ

22n n n

x

n n n

n

x

U x x

H x E x

x

P

H x

N H x e n

E n n

α

μω

ψ

μωψ

ψ

ω

μ

α-

=

=

==

=+

=

=

+

答： 量子力学中两个基本力学量是坐标→r 和动量→p ，在坐标表象中，坐标→r 用坐标算符∧

r

表示，动量用动量算符∇-=∧

2

p 表示。

11. 动量算符的本征函数和本征值是什么？其本征函数如何归一？

答：动量算符的本征函数是：)ex p(

)

2(1)(2

3r p i

r p ⋅=

πψ ，其本征值为p 。其只能归以为函数δ函数，即

)()()('*'

p p d r r p p

-=⎰∞

δτϕϕ。 12. 在三维直角坐标系中，角动量算符的表示式是什么？动量（矢量）算符的本征函数和

本征值是什么？

答：ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆx

z y y

x z z

y x L yp zp i y z z

y L zp xp i z x x

z L xp yp i x y y x ⎛⎫

∂∂=-=-- ⎪

∂∂⎝⎭∂∂⎛

⎫=-=-- ⎪∂∂⎝⎭⎛⎫

∂∂=-=-- ⎪

∂∂⎝

⎭

动量算符的本征函数和本征值如上。

13. 在球坐标系中，角动量平方算符的表示式又是什么？它的本征函数和本征值是什么？

其中什么是轨道角动量量子数（角量子数）？取值范围是哪些数值？

答2

22

1sin ˆsin D

θ

θθθ ∂⎡-⎢∂⎣∂⎛ ∂⎝(,)θϕl 表征轨道角动量的大小，称为轨道角动量角量子数，l ＝０，１，２，……