中考数学旋转与相似的典型类型总结解析

旋转与全等、相似的典型类型总结

25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角

（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .

（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；

（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并

证明你的结论；

（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =1

3

ABC S ∆

时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.

如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 中作内接矩形AMPN ．令AM=x ．

（1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在点M 的运动过程中，设△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

．

B （第24题）

B （第24题）

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF ＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．

(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．

(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证

明．

(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证

明．

第25题图

图1

E

D

C

B

A

图2

C

B

A

F

图3

E

D C

B

A

在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ， 将线段AD 绕点A 逆时针旋转90 º得到AE ，连结EC ．

（1）如果AB =AC ，∠BAC =90º．

①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图1，请你判断线段CE 、BD 之间的位置和数量关系（直接写出结论）；

②当点D 在线段BC 的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；

（2）如图3，当点D 在线段BC 上运动时，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB =45 º ， AC

＝CF

长的最大值．

已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ． 如图甲，当AC=BC ，且CE=EA 时，则有EF=EG ；

（1）如图乙①，当AC=2BC ，且CE=EA 时，则线段EF 与EG 的数量关系是：EF EG ；

（2）如图乙②，当AC=2BC ，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论；

（3）当AC=mBC ，且CE=nEA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，直接写出你的结论（不必证明

图乙②

图乙①

图甲

（第25题）

已知正方形ABCD ，边长为3，对角线AC ，BD 交点O ,直角MPN 绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段AB ,AD 交于点M ，N （不与点B ，A ，D 重合）． 设DN =x ，四边形AMPN 的面积为y ．在下面情况下，y 随x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积y 的值；若变化，请求出y 与x 的关系式． （1）如图1，点P 与点O 重合；

（2）如图2，点P 在正方形的对角线AC 上，且AP =2PC ； （3）如图3，点P 在正方形的对角线BD 上，且DP =2PB ．

25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =

1

2

. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．

求证：BE -DE =2CF ；

（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大

值．

图1（P ）N D

M O

C B A 图2P

A B C O M

D N 图3P A B C O

M D N B C

A

D

E F

B D

E

A F

C

B

A

C

1

图2

图备图

东城

24. 等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . （1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；

（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，

并写出自变量x 的取值范围；

（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.

图1 图2 图3

已知：如图，正方形ABCD 中，,AC BD 为对角线，将BAC ∠绕顶点A 逆时针旋转α°（045α<<），旋转后角的

两边分别交BD 于点P 、点Q ，交,BC CD 于点E 、点F ，联结,EF EQ ．

（1）在BAC ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接

在答题卡上写出结果，不必证明）；

（2）探究△APQ 与△AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

Q

P F

E

D

C B

A

24． 解：（1）不变； ……………………………………………………………………1分

45°；………………………………………………………………………2分

（2）结论：S △AEF =2 S △APQ ………………………………………………………………3分 证明：

∵AEQ ∠=45°，45EAF ∠=︒

∴90EQA ∠=︒ …………………… ∴2AE AQ =

…………………… ………4分

同理2AF AP = …………………… ………5分 过点P 作PH AF ⊥于H …………… ………6分

∴S △AEF 11222AF EQ AP AQ =⋅=⨯⋅

222

AP AQ PH AQ S =⋅=⋅=△APQ …………………………………7分 H

Q P F

E D

C B A