五年级奥数题：数列的求和(A)

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5年级奥数等差数列求和

高斯的故事
德国著名大科学家高斯(1777～ 1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是卡尔·弗里德里希·高斯用他的名字命名。数学家们则称呼他为 “数学王子”。
44 44 44 44 44 44 44 44 44 两数列之和=（6+38）×9
解：原数列之和=（6+38）×9÷2 =44×9÷2 =198
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
例：计算1 + 6+ 11 + 16 + 21+ 26 +......+ 276
分析：这是一个等差数列；首项=1，末项=276，公差=5
等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2 ？
等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
解：等差数列的项数：（276-1）÷5+1=56（项）
原数列之和=（1+276）×56÷2 = 277×28 =7756
练习
1、计算（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37 （2）7+11+15+19+......+403 （3）9+19+29+39+......+99 （4）1+3+5+7+......+99
练习
1、一串数：1、3、5、7、9、……49。（1）它的第 21项是多少?（2）这串数共有多少个？

五年级数学上册综合算式专项练习题数列求和

五年级数学上册综合算式专项练习题数列求和数列求和是五年级数学上册的重要内容之一。

通过综合算式专项练习题，学生可以更好地掌握数列求和的方法和技巧。

本文将针对五年级数学上册综合算式专项练习题中的数列求和问题进行详细阐述。

一、等差数列的求和问题在数列中，如果相邻两个数之间的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。

等差数列的求和问题常常出现在数学题中。

1. 求和公式对于等差数列，可以使用求和公式来快速计算其所有数的和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则该等差数列的和Sn可表示为：Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)其中n/2表示项数的一半，2a1表示两倍的首项，(n-1)d表示项数减1再乘以公差。

2. 示例题目现有一个等差数列，首项为3，公差为4，共有7项，求这7个数的和。

解析：根据求和公式，代入a1=3，d=4，n=7，得到：S7 = (7/2) * (2*3 + (7-1)*4)= (7/2) * (6 + 6*4)= (7/2) * (6 + 24)= (7/2) * 30= 7 * 15= 105所以，这7个数的和为105。

二、等比数列的求和问题在数列中，如果相邻两个数之间的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

等比数列的求和问题也常常出现在数学题中。

1. 求和公式对于等比数列，可以使用求和公式来计算其所有数的和。

设等比数列的首项为a1，公比为q（不等于0），项数为n，则该等比数列的和Sn可表示为：Sn = (a1 * (1 - q^n))/ (1 - q)其中q^n表示公比的n次方。

2. 示例题目现有一个等比数列，首项为2，公比为3，共有5项，求这5个数的和。

解析：根据求和公式，代入a1=2，q=3，n=5，得到：S5 = (2 * (1 - 3^5))/ (1 - 3)= (2 * (1 - 243))/ (-2)= (2 * (-242))/ (-2)= -242所以，这5个数的和为-242。

奥数题-等差数列求和及应用一

等差数列求和及应用一等差数列的定义：一列数，如果相邻两个数的差相等，我们就说这个数列叫做等差数列；相等的差叫做这列数的公差，这列数的个数叫做项数，最小的数叫做首项，最大的数叫做末项。

〔以下公式要求熟记〕基本公式：和=〔首项+末项〕×项数÷2 末项=首项+〔项数-1〕×公差项数=〔末项-首项〕÷公差+1 首项=末项-〔项数-1〕×公差公差=1--项数首项末项例1、计算：1+2+3+4+…+99+100=？例2、计算：1+3+5+7+…+1995+1997+1999=？例3、数列4，9，14，19，…的第80项是多少？例4、有一列数按如下规律排列：6，10，14，18，…这数列中前100个数的和是多少？例5、求100至200之间被7除余2的所有三位数的和是多少？例6、学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手要和其他选手赛一场，⑴如果一共有10外队员，一共要进行多少场比赛？⑵一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？例7、小红家在一条胡同里，这条胡同门牌号从1开始，挨着号码编下去。

如果除小红家外，其余各家的门牌号加起来，减去小红家的门牌号数，恰好等于100。

问小红家的门牌是几号？全胡同里共有几家？例8、假设干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有棋子，然后他外出了。

小光从每个有棋子的盒子里各拿出一个其中放在空盒里，再把盒子重新排列了一下，小明回来查看一番，没发现有人动过。

问：共有多少个盒子？家庭作业：【1】计算 ⑴ 2+4+6+8…+198+200 ⑵ 3+10+17+24+31+…+94 ⑶ 77+74+71+……+11+8+5【2】已知等差数列3，7，11，15，…，195，问这个数列共有多少项？【3】已知等差数列2，7，12，17，……它的第25项是多少？第36项是多少？【4】一个有30项的等差数列，公差是5，末项为154，这个数的首项是多少？【5】一个等差数列，首项是4，末项是88，公差是6，这列数的总和是多少？【6】有一列数，已知第一个数是9，从第二个数起，每个数都比前一个数多4，这列数的前50个数的和是多少？【7】学校举行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行91场比赛，有多少人参加了选拔赛？【8】一个物体从空中降落，第一秒落下9米，以后每秒都比前一秒多落下9米，经过10秒到达地面，这个场体原来离地面的高是多少米？【9】上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于72。

小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)

小学五年级数学奥数题100道及答案(完整版)题目1：计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …+ 99 + 100答案：5050解析：这是一个等差数列求和，公式为（首项+ 末项）×项数÷ 2 ，即（1 + 100）×100 ÷2 = 5050题目2：有三个连续自然数，它们的乘积是60，求这三个数。

答案：3、4、5解析：将60 分解质因数60 = 2×2×3×5 = 3×4×5题目3：一个数除以5 余3，除以6 余4，除以7 余5，这个数最小是多少？答案：208解析：这个数加上 2 就能被5、6、7 整除，5、6、7 的最小公倍数是210，所以这个数是210 - 2 = 208题目4：甲、乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距A 地60 千米处第一次相遇。

各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40 千米处相遇。

A、B 两地相距多少千米？答案：110 千米解析：第一次相遇时，两车共行了一个全程，甲行了60 千米。

第二次相遇时，两车共行了三个全程，甲行了60×3 = 180 千米。

此时甲距离 A 地40 千米，所以两个全程是180 + 40 = 220 千米，全程为110 千米。

题目5：鸡兔同笼，共有头48 个，脚132 只，鸡和兔各有多少只？答案：鸡30 只，兔18 只解析：假设全是鸡，有脚48×2 = 96 只，少了132 - 96 = 36 只脚。

每把一只鸡换成一只兔，脚多4 - 2 = 2 只，所以兔有36÷2 = 18 只，鸡有48 - 18 = 30 只。

题目6：小明从一楼到三楼用了18 秒，照这样计算，他从一楼到六楼需要多少秒？答案：45 秒解析：一楼到三楼走了 2 层楼梯，每层用时18÷2 = 9 秒。

一楼到六楼走5 层楼梯，用时5×9 = 45 秒。

小学奥数简单数列求和

思考：高斯是怎么算出来的呢？
公式推导
我们先来看看当时的高斯是怎么回答的。高斯说：“老师， 1加至 100 可以排两行，第一行顺着排，第二行倒过来排。”我们来看一下
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +……+ 97 + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + 97 + 96 +……+ 4 + 3 + 2 + 1
例题精讲
例3 求等差数列3，8，13，18……的第30项是多少？
【随堂练习】
3．求等差数列1，9，17，25，…的第25项是多少？
例题精讲
例4 在数列：1，3，5，7，……59中一共有几项？
【随堂练习】
4．已知等差数列6，11，16，……，求这个数列的第15项是什么？
例题精讲
例5 已知等差数列的第一项是12，第六项是27，求公差是多少？第25项是多少？
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
1．找出规律后填出下面数列中括号里的数，并在等差数列的题号前打“√”
（1）1，2，4，5，7，8，（），（）…… （2）1，3，6，10，15，（），28，（）…… （3）90，79，68，57，（），35，（）， 13…… （4）1，3，4，7，11，18，（），（）……
例题精讲
解：原式=7×（1+2+3+……+500） =7×[（1+500）×500÷2] =876750
小课堂
话说唐僧师徒四人还在去西天取经的路上。一天猪八戒又偷懒了。孙悟空为了教训一下猪八戒，变出许多金箍棒压在猪八戒身上。猪八戒直嚷：“猴哥，你饶了我吧，下次我再也不敢了。”孙悟空笑着说：“只要你算出压在你身上的金箍棒一共有多少根，我就放了你。”这下猪八戒可傻眼了：他最怕做算术题了。压在猪八戒身上的金箍棒如图所示，你能帮帮猪八戒吗？

奥数秘籍数列与等差数列求和

奥数秘籍数列与等差数列求和在数学中，奥数是指奥林匹克数学竞赛的简称。

作为一种高难度的数学考试，奥数要求学生具备扎实的数学基础和高超的解题能力。

在奥数中，数列与等差数列求和问题是一个常见而重要的内容。

本文将介绍奥数秘籍数列与等差数列求和的方法，帮助读者更好地应对这一题型。

数列是数学中常见的一种数值排列形式，其中每一个数都按照一定的规律进行排列。

而等差数列是最常见的一种数列类型，其中每一项与前一项之间的差值都保持相等。

等差数列可以用以下公式表示：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

在解决数列问题时，首先要确定数列的类型。

如果题目明确给出数列的类型，那么我们就可以直接应用相应的公式进行求解。

例如，如果题目说给定的数列是等差数列，那么我们就可以使用等差数列的求和公式进行计算。

等差数列的求和公式如下：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项的和。

在这个公式中，我们首先要确定首项a1和末项an，同时也需要知道项数n。

通过代入这些已知条件，我们就可以得出数列的和。

当我们遇到数列问题时，往往需要通过观察数列的特点来解决。

对于等差数列来说，我们要注意数列的首项和公差之间的关系，以及数列的前n项和与项数之间的关系。

除了等差数列的求和问题，我们还经常遇到其他类型的数列求和问题。

例如，等比数列的求和问题、斐波那契数列的求和问题等等。

对于这些问题，我们可以应用相应的数列求和公式进行计算。

总结来说，奥数秘籍数列与等差数列求和的核心是观察数列的规律以及运用相应的公式进行计算。

通过练习和实际应用，我们可以逐渐掌握不同类型数列的求和方法，并在奥数竞赛中取得好成绩。

希望本文能为读者解决奥数秘籍数列与等差数列求和问题提供一些帮助。

通过理解数列的规律和应用相应的公式，我们可以更好地解决数学问题，并在数学学习中取得更好的成绩。

最后，祝愿大家在奥数竞赛中取得优异的成绩！。

求数列求和的方法

求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。

在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。

二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。

算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。

四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。

几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。

五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。

六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。

费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。

七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。

数列求和掌握小学生数列求和的技巧

数列求和掌握小学生数列求和的技巧数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列求和是常见的数学问题，对于小学生来说，掌握数列求和的技巧可以帮助他们更好地理解数学知识。

本文将介绍几种应用于小学生数列求和的方法，并帮助他们加深对数列求和的理解。

一、等差数列求和等差数列是一种常见的数列形式，它的特点是相邻两项之间的差值是一个固定的常数。

为了求解等差数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = (a1 + an) × n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示第一项的值，an表示第n项的值，n表示项数。

例如，求解1，4，7，10，13……的前10项和，我们可以进行如下步骤：1. 确定a1=1，an=?，n=10；2. 通过计算，我们可以得到an = a1 + (n-1)×d = 1 + (10-1)×3 = 28；3. 将a1，an，n带入公式Sn = (a1 + an) × n / 2，即可得到Sn = (1 +28) × 10 / 2 = 145。

二、等比数列求和等比数列是一种常见的数列形式，它的特点是相邻两项之间的比值是一个固定的常数。

为了求解等比数列的和，我们可以使用以下公式：S = a（q^n-1）/ (q - 1)其中，S表示等比数列的前n项和，a表示第一项的值，q表示公比，n表示项数。

例如，求解2，6，18，54……的前5项和，我们可以进行如下步骤：1. 确定a=2，q=?，n=5；2. 通过计算，我们可以得到q = a2 / a1 = 6 / 2 = 3；3. 将a，q，n带入公式S = a（q^n-1）/ (q - 1)，即可得到S = 2（3^5-1）/ (3 - 1) = 242。

三、奇数数列求和奇数数列是一种特殊的数列形式，它的特点是每一项都是连续的奇数。

为了求解奇数数列的和，我们可以使用以下公式：Sn = n^2其中，Sn表示奇数数列的前n项和，n表示项数。

五年级数学下册综合算式专项练习题数列求和

五年级数学下册综合算式专项练习题数列求和在五年级数学下册中，综合算式是一个非常重要的知识点。

其中，数列求和是我们需要掌握的一个重要技巧。

在本篇文章中，我们将通过综合算式专项练习题来学习数列求和的方法和技巧。

1. 问题一：求以下数列的前n项和数列：1, 2, 3, 4, ...解析：这是一个等差数列，公差为1。

我们可以使用数列求和公式来求解。

数列求和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn 表示数列的前n项和，a1 表示数列的首项，an 表示数列的末项，n 表示项数。

对于本题，首项 a1 = 1，末项 an = n，代入公式，得到 Sn = (1 + n) * n / 22. 问题二：求以下数列的前n项和数列：2, 4, 6, 8, ...解析：这也是一个等差数列，公差为2。

同样使用数列求和公式，得到 Sn = (a1 + an) * n / 2首项 a1 = 2，末项 an = 2n，代入公式，得到 Sn = (2 + 2n) * n / 23. 问题三：求以下数列的前n项和数列：3, 6, 9, 12, ...解析：这是一个等差数列，公差为3。

同样使用数列求和公式，得到 Sn = (a1 + an) * n / 2首项 a1 = 3，末项 an = 3n，代入公式，得到 Sn = (3 + 3n) * n / 24. 问题四：求以下数列的前n项和数列：1, 4, 7, 10, ...解析：这个数列的公差为3，但是首项并不是1。

我们需要将数列进行变换，使得首项为1的等差数列。

让每一项减去3，得到新的数列：-2, 1, 4, 7, ...这个数列的首项为-2，公差为3。

同样使用数列求和公式，得到Sn = (a1 + an) * n / 2首项 a1 = -2，末项 an = -2 + 3n，代入公式，得到 Sn = (-2 + (-2 +3n)) * n / 2通过以上四个问题的练习，我们可以发现，在求解数列求和题目时，我们需要注意以下几点：1. 判断数列类型：等差数列还是等比数列，公差/公比是多少。

奥数数列求和

五年级奥数专题数列求和【同学们一定都很熟悉德国著名学家高斯的故事，他幼年时，就能快速计算出1+2+3+4+5+...+99+100的结果，令老师和同学大吃一惊。

这种按顺序排列的数就叫做数列。

现在让我们来一起学习吧】例1：你能计算出1+2+3+4+...+ 99 + 100的结果吗?【举一反三】：你知道23+ 24+ 25 +...+ 65 + 66 + 67的和是多少吗?例2：计算:1 +3+5+7+...+ 97+99【举一反三】计算:2+8+11+...+101例3：求50以内所有被5除余1的自然数的和。

【举一反三】：求100以内所有被4除余2的自然数的和。

例4：明明寒假在家读《草房子》，他第一天读了20页，由于故事情节精彩，他决定从第二天起，每天都要比前一天多读3页，最后一天读了35页正好把书读完。

这本书共有多少页?【举一反三】：王师傅做一批零件，第一天做了20个，为了提前完成任务，他以后每天都比前一天多做2个，最后一天做了48个，正好做完。

这批零件共有多少个?例5：星星电影院1号厅共有630个座位。

已知第一排有18个座位，最后一排有52个座位，而且相邻两排相差的座位数相等。

相邻的两排相差多少个座位?【举一反三】：新星幼儿园的304个小朋友围成若干个圈( 一圈套一圈)做游戏。

已知内圈有24人，外圈有52人，而且相邻两圈相差的人数相等。

相邻的两圈相差多少人?《巩固练习》【限时15分钟，是时候展现你们真正的技术了】1.计算:1+2+3+4+..+99+100+99+...+4+3+2+12.计算:1+2-3+4+5-6+7+8-9+..+58+59-603.求从16开始，连续99个自然数的和。

4.胡阿姨读一本名著，她第一天读了30页，从第二天起，每天都比前一天多读5页，最后一天读了50页，恰好读完。

这本书共有多少页?5.崇川学校的36名学生在儿童节表演了精彩的舞蹈。

其中有个造型是扇形，最内层有1人，最外层有8人，而且相邻两层相差的人数相等。

小学奥数等差数列求和习题及答案

等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前〃项的和为这个数列的和.二、表达方式：常用S.来表示.三：求和公式：和=(首项+末项)X项数+2, = (%+%)x/? + 2.对于这个公式的得到可以从两个方而入手：(思路1) 1 + 2+3 +…+98 + 99 + 100= (14-100)+(2 + 99)+(3 + 98) + ... + (50 + 51) =101x50 = 5050共50个1.1(思路2)这道题目,还可以这样理解：和=1 + 2 + 3 + 4 +・・・+ 98 + 99 +100+ 和=ioo+ 99 + 98 + 97+…+ 3 + 2+12 倍和= 101+ 101+ 101+ 101+…+ 101+ 101+ 101即,和=(100 + 1)x100 + 2=101x50=5050.四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项与末项和的一半：或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数.譬如：① 4+8 + 12+…+ 32 + 36 = (4 + 36)x9 + 2 = 20x9 = 1800,题中的等差数列有9项,中间一项即第5项的值是20,而和恰等于20x9；②65 + 63 + 61+…+5 + 3 + 1 = (1 + 65)x33 + 2 = 33x33=1089,题中的等差数列有33项,中间一项即第17项的值是33,而和恰等于33x33 o例题精讲：例1:求和：(1) 1+2+3+4+5+6 = (2) 1+4+7+11+13=(3) 1+4+7+11+13+-+85=分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和.例如(3)式项数二(85-1) 4-3+1=29和二(1+85) X294-2=1247答案：(1) 21 (2) 36 (3) 1247例2：求以下各等差数列的和.(1)1+2+3+4+…+199(2)2+4+6+…+78(3)3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和.例如⑴式二(1+199) X 1994-2=19900答案：(1) 19900 (2) 1160 (3) 5355例3: 一个等差数列2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有7项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：8x7 = 56答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少.分析：这个数列的首项是1,末项是401,项数是(401-1) =4+1=101,所以根据求和公式, 可有：和二(1+401) X101-？ 2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……,问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2,公差是3,项数是61的等差数列的和,根据末项公式:末项=2+ (61-1) X3=182根据求和公式:和二(2+182) X614-2=5612例6：把自然数依次排成“三角形阵",如图.第一排1个数；第二排3个数：第三排5个数：…求：1(1)第十二排第一个数是几？最后一个数是几？ 2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16(2) 207排在第几排第几个数？...................(3)第13排各数的和是多少?分析：整体看就是自然数列,每排的个数的规律是1,3, 5, 7...即为奇数数列假设排数为n(n>2de自然数),那么这排之前的数共有(n-1) (n-1)个.(1)第十二排共有23个数.前而共有(1+21) Xll+2=121个数,所以第十二排的第一个数为122,最后一个数为122+ (23-1) X 1=144(2)前十四排共有196个数,前十五排共有225个数,所以207在第十五排,第十五排的第一个数是197,所以207是第(207-197=10)个数(3)前十二排共有144个数,所以第十三排的第一个数是145,而第十三排共有25 个数,所以最后一个数是145+ (25-1) X 1=169,所以和二(145+169) X25^-2=3925答案：(1) 122； 144 (2)第十五排第10个数(3) 3925例7: 15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理,中间的数即第8个数为：1995 - 15 = 133,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：133 + 2x(15-8) = 147 0答案：147.例8:把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列,那么中间一个数为210 + 7=30,所以, 这7 个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15,第6个数是40.答案：第1个数：15：第6个数：40.例9:等差数列15, 19, 23,……443,求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差二19T5=4项数二(443-15) 4-4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为:15, 23, 31……439,公差为8,和为(15+439) X 544-2=12258 偶数项组成的数列为：19, 27, 35……443,公差为8,和为(19+443) X544-2=12474 差为12474-12258=216答案：216例10：在1〜100这一百个自然数中,所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数,在1〜100中,我们很容易知道能被9整除的最小的数是9 = 9x1,最大的数是99 = 9x11,这些数构成公差为9的等差数列,这个数列一共有：11 — 1 + 1 = 11 项,所以,所求数的和是：9 + 18 + 27 +…+99 = (9 +99)x11+2 = 594. 也可以从找规律角度分析.答案：594例11: 一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起,前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律,但是如果3个一组,会发现这样一个数列：6, 9,12, 15 ............即求首项是6,公差是3,项数是105+3=35的和末项末+3* (35-1) =108和二(6+108) *35+2=1995例12：在下而12个方框中各填入一个数,使这12个数从左到右构成等差数列,其中10、16 已经填好,这12个数的和为.□ □□ □□画□□画□□□分析：由题意知：这个数列是一个等差数列,又由题目给出的两个数10和16知：公差为2, 那么第一个方格填26 ,最后一个方格是4 ,由等差数列求和公式知和为：(4 + 26)x12 + 2 = 180.答案：180.本讲小结：L 一个数列的前〃项的和为这个数列的和,我们称为.2.求和公式：和=(首项+末项)x项数+2 , = (% + %)x〃 +2.3.对于任意一个奇数项的等差数列,各项和等于中间项乘以项数.练习：1.求和：(1) 1+3+5+7+9= (2) 1+2+3+4+・・・+21 二(3) 1+3+5+7+94-- + 39=分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和. 答案：(1) 25 (2) 231 (3) 4002.求以下各等差数列的和.(1)1+2+3+…+100(2)3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项,末项和公差,从而先根据项数公式求项数,再根据求和公式求和. 答案：(1) 5050 (2) 2733. 一个等差数列4, 8, 12,16, 20, 24, 28, 32, 36这个数列的和是多少？分析：根据中项定理,这个数列一共有9项,各项的和等于中间项乘以项数,即为：20X9=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11,末项是99的奇数数列的和为多少.和二(11+99) X 45+2=2475答案：24755.数列1、5、9、13、……,这串数列中,前91个数和是多少?分析：首项是1,公差是4,项数是91,根据重要公式,可得：末项= 1+ (91-1) X4=361和二(1+361) X914-2=16471答案：164716.如图,把边长为1的小正方形叠成“金字塔形〞图,其中黑白相间染色,如果最底层有15个正方形,问：“金字塔〞中有多少个染白色的正方形,有多少个染黑色的正方于分析：由题意可知,从上到下每层的正方形个数组成等差数列, 厂其中4=1, 〞 = 2,?=15,所以〃 = (15-D+2 + l=8,所以,白色方格数是：1 + 2 + 3 +…+ 8=(l + 8)x8 + 2 = 36黑色方格数是：1 + 2 + 3 +…+7=(l + 7)x7 + 2 = 28.答案：287. (2005 + 2006 + 2007 + 2021 + 2021 + 2021 + 2021^ 2021 =.分析：根据中项定理知：2005 + 2006 + 2007 + 2021 + 2021 + 2021 + 2021=2021 x 7,所以原式= 2021x7^2021 = 7 o答案：7.8.把248分成8个连续偶数的和,其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列.平均数：248 ・ 8=31,第4 个数：31-1=30：首项：30-6=24：末项：24+ (8-1) X2=38O即：最大的数为38.答案：389.求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差.分析：解法1：可以看出,2, 4, 6, 2000是一个公差为2的等差数列,1, 3, 5,…,1999也是一个公差为2的等差数列,且项数均为1000.所以：原式二(2+2000)X10004-2- (1+1999) X1000-？2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等,公差相等,且对应项差1,所以1000项就差了1000个1,即原式二1000X1=100010.在1~ 100这一百个自然数中,所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1~ 100的自然数和,再减去能被9整除的自然数和,就是所有不能被9整除的自然数和了^ 1 + 2 +…+100 = (1 + 100)x100 +2 = 5050 ,9 + 18 + 27 +…+99 = (9 + 99)x11+2 = 594 ,所有不能被9整除的自然数和：5050-594 = 4456.如果直接计算不能被9整除的自然数和,是很麻烦的,所以先计算所有1~100的自然数和,再排除掉能被9整除的自然数和,这样计算过程变得简便多了.答案：59411.一个建筑工地旁,堆着一些钢管(如图),聪明的小朋友,你能算出这堆钢管一共有多少根吗？分析：观察发现,这堆钢管的排列就是一个等差数列：首项是3,公差是1 ,末项是10, 项数是8根据求和公式,和二(3+10)根+2=52 (根)所以这堆钢管共有52根.答案：52根.12.求100以内除以3余2的所有数的和.解析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列,首先求出一共有多少项,(98-2)+3+1 = 33 ,再利用公式求和(2+98)x 33 + 2 = 1650 0。

五年级奥数等差数列求和二

五年级奥数等差数列求和二五年级奥数 - 等差数列求和二简介本文档将探讨五年级奥数中的等差数列求和问题。

我们将重点讨论如何计算等差数列的和。

等差数列等差数列是由一系列数字组成的序列，其中每个数字与前一个数字的差固定。

例如，2，4，6，8，10 是一个等差数列，每个数字之间的差为2。

等差数列求和公式求解等差数列的和可以使用等差数列求和公式。

对于等差数列a1, a2, a3, ..., an，它们的和 Sn 可以通过以下公式计算：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，a1 是等差数列的第一个数字，an 是等差数列的最后一个数字，n 是等差数列中数字的个数。

解题步骤使用等差数列求和公式求解等差数列的和的步骤如下：1. 确定等差数列的首项 a1 和公差 d（即等差数列中相邻两个数字的差）。

2. 确定等差数列的前 n 项和 Sn 的计算公式。

3. 将 a1、d 和 n 的值代入求和公式，计算得到 Sn。

例子假设有一个等差数列的首项为 a1 = 2，公差为 d = 3，要求计算该等差数列的前 5 项和 Sn。

根据求和公式，可以得到：Sn = (a1 + a5) * n / 2将 a1、d 和 n 的值代入公式，得到：Sn = (2 + (2 + (5-1)*3)) * 5 / 2计算结果为：Sn = (2 + 14) * 5 / 2 = 16 * 5 / 2 = 80 / 2 = 40所以，该等差数列的前 5 项和为 40。

总结等差数列求和是五年级奥数中的一个重要概念，通过使用等差数列求和公式，可以快速计算等差数列的和。

以上是关于等差数列求和问题的简要介绍和解题方法。

如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时联系我。

五年级奥数数列求和

)9911()311()211(991)411()311()211(41)311()211(3121121+⨯⨯+⨯++++⨯+⨯+++⨯+++ 领先教育五年级奥数-数列的求和1. 计算: (3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15)÷13=______.2. 计算: ______19901990199031990219901=++++ . 3. 计算: (1+337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+337×11)=______. 4. 在1,4,7,10,13,…,100中,每个数的前面加上一个小数点以后的总和等于______. 5. 121,12239,,124,123,122 这239个数中所有不是整数的分数的和是______. 6. 计算: 15131131111191971751⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=______. 7. 计算: ______3012981131011071741411=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ . 8. 计算: ______99163135115131=++++. 9. 计算: 1+3______9011772115561134211130192017121561=+++++++. 10. 把1到100的一百个自然数全部写出来,所用到的所有数码字的和是____.11. 求: +⨯198719861986+⨯198819871986+⨯198919881986…+200019991986⨯. 12. 求: 98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++. 13. 求:14. 一个家具厂生产书桌的数目每个月增加10件,一年共生产了1920件,问这一年的12月份生产了多少件?———————————————答案——————————————————————答案:1. 解法一(3+4+5+6+…+14+15)÷13 =2153+×13÷13 =9×13÷13=9 2.19901+19902+19903+…+19901990 =19901×219901+×1990 =219913. (1+337)+(1+337×2)+(1+337×3)+…+(1+337×10)+(1+337×11) =(1+1+…+1)+337×(1+2+3+…+10+11) =11+337×112111⨯+ =11+337×6×11 =25.4. 这列数的各个数是1,4,7,10,13,17,…~3个数是一位数,每个数都缩小了10倍,第4个数到第33个数(10~97)是两位数,每个数都缩小了100倍,最后一个数100缩小了1000倍.先分别求出1,4,7的和以及第4个数到第33个数的和,再求出34个小数的和.0.1+0.4+0.7+0.10+0.13+…=(1+4+7)×101+(10+13+…+97)×1001 =1.2+(10+97)÷2×30×1001 =)1921(122392)2391(+++-⨯÷+ =19219112239120⨯+-⨯ =2390-190=2200.6. 15131131111191971751⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =)151131(21)9171(21)7151(21-⨯++-⨯+-⨯ =)15151(21-⨯ =15221⨯ =151 7. 仿上题,用裂项法解之.=)]30112981()10171()7141()411[(31-++-+-+-⨯ =)30111(31-⨯ =301100 8. 99163135115131++++ =1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =)]11191()9171()7151()5131()311[(21-+-+-+-+-⨯ =)1111(21-⨯ =1159. 1+361+52017121++9301+11421+13561+15721+17901 =(1+3+5+7+9+11+13+15+17)+(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯761651541431321871⨯+981⨯ +1091⨯ ) =)]10191()5141()4131()3121[(92171-++-+-+-+⨯+ =81+(10121-) =81+52 =8152 10. 把1到100的一百个自然数排成以下数阵1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 26 27 28 29……90 91 92 93 94 95 96 97 98 99100(1+2+3+…+8+9)×10×2+1 =291+×9×10×2+1 =90111. 和=1986×(19861-19871+19871-19881+…+19991-20001) =1986×(19861-20001) =1986×2000198619862000⨯- =10007. 12. 和=9011+9021+9031+…+9081 =901×(11+21+31+…+81) =901×28)8111(⨯+ =45184=4454. 13. 和=991003423991453423413423312321⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ =100992542432322⨯++⨯+⨯+⨯ =2)100991541431321(⨯++⨯+⨯+⨯⨯=2)1001991514141313121(-++-+-+-⨯ =2)100121(-⨯ =5049. 14. 设1月份生产了x 件,那么12月份生产了x +110件,一年共生产书桌 1920212)110(=⨯++x x , 化简得 2x +110=320;解得 x =105.所以12月份生产书桌105+110=215件.五年级奥数：数的整除性（A ）年级班姓名得分一、填空题1. 四位数“3AA 1”是9的倍数，那么A =_____.2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____.3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____.4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.6. 所有能被3整除的两位数的和是______.7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____.9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____.10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号.二、解答题11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13. ———————————————答案——————————————————————1. 7已知四位数3AA 1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A +A +1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.设3+A +A +1=9,则A =2.5,不合题意.再设3+A +A +1=18,则A =7,符合题意.事实上,3771÷9=419.2. 1这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除.偶数位上数字和是5+7=12,因而,奇数位上数字和2+□+9应等于12,□内应填12-2-9=1.3. 990要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.4. 99960解法一: 能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999□0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.解法二: 或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-70=99960.5. 3367先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.(1+2+3+...+100)-（3+6+9+12+ (99)=(1+100)÷2⨯100-(3+99)÷2⨯33=5050-1683=33676. 1665能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下:12,15,18,21,…，96，99这一列数共30个数，其和为12+15+18+…+96+99=(12+99)⨯30÷2=16657. 96910或46915 五位数B A 691BB =0时,6910A 能被11整除,所以(A +9+0)-(6+1)=A +2能被11整除,因此A =9；当B =5时,同样可求出A =4.所以,所求的五位数是96910或46915.8. 90因为105=3⨯5⨯7,根据数的整除性质,可知这个六位数能同时被3、5和7整除。

小学五年级奥数题分类集锦及答案

二、解答题
1、173□是个四位数字 . 数学老师说：“我在这个□中先后填入 3 个数字 , 所得到的 3 个四位数 , 依次可被 9、11、6 整除. ”问：数学老师先后填入的 3 个数字的和是多少？
12、在 1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被 11 整除，这个七位数最小值是多少？
五年级奥数试题集锦
1
1.1 小的巧算（一）
年级
班
姓名
得分
一、填空题
1、计算 1.135+3.346+5.557+7.768+9.979=_____. 2、计算 1.996+19.97+199.8=_____. 3、计算 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8=_____. 4、计算 6.11+9.22+8.33+7.44+5.55+4.56+3.67+2.78 +1.89=_____. 5、计算
二、解答题
11、计算 172.4 6.2+2724 0.38
12、计算 0.00 , 0181 0.00 , 011
963
个 0 1028 个 0
13、计算 12.34+23.45+34.56+45.67+56.78+67.89+78.91+89.12+91.23
14、下面有两个小数 : a=0.00 , 0105
12、把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等 .
13、学生 1430 人参加团体操 , 分成人数相等的若干队 , 每队人数在 100 至 200 之间, 问哪几种分法 ?

五年级奥数：等差数列的前n项和

五年级奥数：等差数列的前n项和简介本文档旨在介绍五年级奥数中等差数列的前n项和的概念和计算方法。

等差数列是数学中常见的数列形式之一，在奥数竞赛中常常出现。

了解并掌握等差数列的前n项和的计算方法，将有助于学生在奥数竞赛中取得更好的成绩。

等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，字母d表示公差（即相邻两项之差），那么等差数列的通项可以表示为：an = a + (n-1)d，其中n表示项数。

前n项和的计算方法等差数列的前n项和指的是数列前n项的总和。

计算等差数列的前n项和有以下方法：公式法对于等差数列的前n项和，可以使用以下公式进行计算：Sn = (n / 2) * (2a + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和，a表示首项，d表示公差，n表示项数。

数列求和法另一种计算等差数列前n项和的方法是利用数列求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

示例假设有一个等差数列，首项为3，公差为2，求该数列的前5项和。

根据公式法计算：Sn = (5 / 2) * (2 * 3 + (5-1) * 2) = (5 / 2) * (6 + 8) = (5 / 2) * 14 =35根据数列求和法计算：Sn = (3 + (3 + (n-1) * 2)) * 5 / 2 = (3 + (3 + 4)) * 5 / 2 = (3 + 7) * 5 / 2 = 10 * 5 / 2 = 25因此，该等差数列的前5项和是35或25。

总结了解等差数列的前n项和的计算方法对于五年级奥数竞赛非常重要。

通过掌握公式法和数列求和法，学生可以更容易地计算等差数列的前n项和，提高解题能力和应试水平。

小学五年级奥数选讲1 等差数列求和(含答案分析)

选讲1 等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。

数列中的每一个数称为一项。

其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11, 16，21, 26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3, 7，11, 15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。

请求出这个数列所有项的和。

练习3：计算下面各题。

（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

练习4：计算下面各题。

（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。

（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈（一圈套一圈）做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？。

小学奥数等差数列求和习题及答案

等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。

二、表达方式：常用n S 来表示。

三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。

对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。

四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。

例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。

（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。

奥数专题：等差数列求和

等差数列求和（一）小朋友们，还记得我们第一讲的内容吗——数中的规律。

那么对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？上一讲我们利用配对求和的方法能够很快解决一部分求和的问题，但是，当算式再复杂点又该怎样来解决呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。

这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。

像这样的数列我们将它称之为等差数列。

我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。

如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1典型例题例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。

分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。

解S＝（a＋b）×n÷2＝（1＋1999）×1999÷2＝2000×1999÷2＝1000×1999＝1999000例【2】求111＋112＋113＋……＋288＋289的和。

分析首项a＝111，末项b＝289，公差d＝1，项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。

解S＝（a＋b）×n÷2＝（111＋289）×179÷2＝400×179÷2＝200×179＝35800例【3】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。

分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。

解S＝（a＋b）×n÷2＝（2＋198）×99÷2＝200×99÷2＝100×99＝9900例【4】求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

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