常用拉普拉斯变换和傅里叶变换及性质

F (ω ) = 2
1 + πδ (ω ) jω
sin aω
ω
uni( x ) ↔
e − a |x| ,
(a > 0)
1
↔ ↔ e
−
2a a + ω2
2
− x2 1 2 e 2σ 2π σ
σ2
2
ω2
1 , ( a > 0) ↔ a2 + x2
π
a
e −a|ω|
Laplace 变换
f = f (t)
↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
1 1 p p , p + k2 k , 2 p + k2 p ,ຫໍສະໝຸດ Baidu2 p − k2 k , 2 p − k2 1 , p−a
2
( m ≥ 0 为整数 ) ( m > − 1) ↔
m! , p m +1 Γ ( m + 1) , p m +1 ↔ a p a+ p 1 −a e p
( − jx ) n f ( x ) ↔ F ( n ) (ω )
∫
x
−∞
f (ξ )dξ ↔
F (ω ) jω
( − jx ) f ( x ) ↔ F ' (ω )
1 ω f ( ax) ↔ F ( ) a a
−
ω f ( x) ↔ ∫ F (ξ )dξ −∞ jx
f1 = f1 ( x ) f 2 = f 2 ( x) ⇒ f1 ⊗ f 2 f1 f 2
δ ( x)
xn 2
xδ ( x ) = 0
高斯误差函数：
erf (t ) =
π
∫e
0
t
−s2
ds
erfc (t ) = 1 − erf (t )
* Fourier 积分变换 *
u ( x ) ↔ U (ω )
U (ω ) = u(x) =
以下假设:
∫
+∞ -∞
u ( x )e −
jω x
dx
jω x
∫
t
0
f ( s )ds ↔
1 L( p ) p
f (t − a) ↔ e− paL( p)
f1 = f1 ( t ) f 2 = f 2 (t ) ⇒ ↔ ↔ ↔ L1 = L1 ( p ) L2 = L2 ( p ) L1L2
e at f (t ) ↔ L( p − a )
1 f (t ) t ↔
约定
j =
−1
0, x ≤ 0 uni( x ) = 1, x > 0
δ ( x) =
+ ∞, x = 0 0, x ≠ 0
δ ' ( x) = −
δ ( x)
x
uni' ( x ) = δ ( x )
δ (ax ) =
1 δ ( x) |a |
δ ( n ) ( x ) = n! ( −1) n
↔ ↔ ↔ ↔
F1 = F1 (ω ) F2 = F2 (ω ) F1 F2 1 F1 ⊗ F2 2π
卷积： f 1 ⊗ f 2 ( x ) = ∫ f 1 ( s ) f 2 ( x − s ) ds
-∞ +∞
Fourier 常用变换表:
1 ↔ 2πδ (ω )
δ ( x) ↔ 1
sin x cos x
f ' (t ) ↔ pL( p ) − f (0)
f ' ' (t ) ↔ p 2 L( p ) − f (0) p − f ' (0)
t f (t ) ↔ − L ' ( p )
t n f (t ) ↔ ( −1) n L( n ) ( p )
f ( at ) ↔ 1 p L( ), ( a > 0) a a
0
R
(n) µm
R
x) J n (
µ k( n )
R
x ) dx
m≠k 0, 2 2 = R2 R R (n) 2 (n) 2 (n) 2 [ J n −1 ( µ m )] = [ J n +1 ( µ m )] = [ J 'n (µm )] , m = k 2 2 2
p
erf ( at ), ( a > 0 ) erfc ( a 2 t ), ( a ≥ 0 )
↔ ↔
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx
d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = 2n J n ( x) x
L( p ) = ∫
+∞
↔
L = L( p)
1 b + i∞ L ( p ) e pt d p ∫ 2π i b − i∞ (其中 b > 0固定 , b 足够大 ) f (t ) =
0
f ( t ) e dt
-pt
f (n) (t) ↔ pnL( p) −[ f (0) pn−1 + f ' (0) pn−2 + f (2) (0) pn−3 +L+ f (n−1) (0)]
′ ( x) J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n
J − n ( x ) = ( −1) n J n ( x )
函数系
Fm ( x ) = J n (
(n) µm
R
x ),
0≤ x≤R
m = 1,2,LL
∫ x F ( x ) F ( x ) dx
0 m k
R
= ∫ xJ n (
1 2π
∫
+∞ -∞
U (ω ) e
dω
f ( x ) ↔ F (ω )
f ( n ) (x) ↔ ( jω ) n F (ω )
f(x − a) ↔ F (ω )e− jω a
e axj f ( x ) ↔ F (ω − a )
f ′′( x ) ↔ −ω 2 F (ω )
f ′( x ) ↔ jωF (ω )
↔
jπ [δ (ω + 1) − δ (ω − 1)]
↔ π [δ (ω − 1) + δ (ω + 1)]
xn
1 xn
↔ 2π ( j ) n δ ( n ) (ω ) ( n为正整数)
↔ − jπ ( − jω ) n −1 sgn(ω ) ( n为正整数) ( n − 1)!
↔
截断函数( a > 0) 1, − a < x < a f ( x) = 0， 其他
∫
∞
p
L ( z ) dz
f1 ⊗ f 2
卷积：
t
(积分表示任意选择 一条从 p 到无穷远， 且落在 L 定义域内部 的直线，沿此直线作积分)
f 1 ⊗ f 2 ( t ) = ∫ f 1 ( s ) f 2 ( t − s ) ds
0
Laplace 变换常用表
δ (t )
uni ( t ) cos kt sin kt ch kt sh kt e at tm tm