2017年南开大学数学分析考研真题(回忆版)【圣才出品】

2
2 ，其中 L 为星形线 x2/3＋y2/3＝1，方向为正向．
5．设
f （ x ） 在 （ 0,δ ） 上 可 导 ，
lim
源自文库x0
f
(x)
和
lim
x0
xf
(x)
都存在，求证
lim xf (x) 0
x0
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sin(x y)dxdy
D
3．设 f（x,y）在 R2 上可微．对任意实数 t，x 和 y 都有 f（tx,ty）＝t2f（x,y）．P0（1, －2,8）是曲面 z＝f（x,y）上一点，fy′（1,－2）＝－5．求曲面 z＝f（x,y）在点 P0 处的切 面方程．
ydx xdy
3x 4 y 4．计算曲线积分 L
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2017 年南开大学数学分析考研真题（回忆版）
说明：以下试题来源于网络，仅供参考！
1．已知 求 f′（x）．
1 x2 f (x) 1 x2 ,
(1 x2 )sin x ,
x0 x0
2．D＝{（x,y） |0≤x≤2π，0≤y≤2π}，计算二重积分


6．设级数
an 的部分和数列有界，级数
bn1 bn
收敛，且
lim
n0
bn
0 ．求
n1
n1

a b 证：对任意正整数 k，级数
n
k n
都收敛．
n1
x sin(n2x)
7．证明：函数级数
n1
n2
在（－∞,＋∞）内闭一致收敛但非一致收敛．
8．设 P 是实数，讨论广义积分
0
ln(1

1 x
)

4x2
P 7x
1dx
的收敛性．
9．设
xn

n k 1
k sin2 k n2 k sin2
k
,n
1, 2,
证明：数列{xn}收敛．
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