第24章解直角三角形教案
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》教学案例_21
24.4解直角三角形（第一课时）一、教学目标知识与技能：1、理解解直角三角形的意义，能运用直角三角形的三种关系式解直角三角形。
2、能从从具体问题中化归出直角三角形，并解直角三角形。
过程与方法：让学生在探究并解决解直角三角形的过程中，体验实际问题化归为数学问题的过程，并初步形成数学化归、建模思想。
情感、态度与价值观：通过实际问题，让学生体验运用数学知识解决实际问题的乐趣，体验数学源于生活又用于生活的美好感受。
二、教学重难点重点：运用直角三角形的边角关系解直角三角形中的未知元素。
难点：1、将实际问题化归成解直角三角形的问题；2、解决问题时边角关系的选择。
三、教学过程： （一）复习1．直角三角形有几条边？几个角？点出：直角三角形的角和边称之谓“元素”。
2．直角三角形的5个不确定元素之间满足哪些关系式？（二）探究1．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，（1）如果∠A=30°，则∠B= 度。
（提问：能求出边的长度吗？）（2）如果a =1，b = 1，则 c = 。
（提问：能求出角的度数吗？）（3）如果∠A=30°，a =1，你能求出三角形哪些角，那些边？2.解直角三角形的定义：已知 求 未知解直角三角形两种类型：类型一、已知两边 类型二、已知一边一角练习：（1）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, AC= ，AB=4，则：BC= , ∠A= 度，∠B= 度。
（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A=450,AB=8,则：∠B= 度，AC= , BC= 。
（三）应用例1、如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面3米折断倒下，树顶在离树根4米处，大树在折断之前高多少？ （教师示例）例2、一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东400，距离70海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘轮船的速度。
（参考数据sin50°≈0.77 ，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，精确到1海里/时）（教师点拨、学生练习）思考、小明（点B ）在平地上放风筝（点A ），小明发现风筝在他上方的450方向，风筝线AC=米；小明的妈妈（点C ）与他同样高，妈妈发现风筝在她上方的300方向.你知道小明和妈妈相距多远吗？（结果保留根号）（教师点拨、学生练习）（四）小结让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》公开课教案_19
24.4.1 解直角三角形(1)第一课时学习目标设计依据一课程标准的相关要求：理解解直角三角形的含义，知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形二教材分析：本节课是在掌握了直角三角形的有关性质以及边角之间的各种关系的基础上解决实际问题。
三中招考点：1 会利用直角三角形的边角关系解直角三角形；2 会利用直角三角形的边角关系解决实际问题。
四学情分析：本节课是对于解直角三角形概念的理解，内容比较简单，绝大多数学生应该能够理解和接受，但对于数值的计算容易出错。
学习目标：1 体会解直角三角形的含义。
2 知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
3 重、难点：重点：知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
难点：会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
评价任务1 理解解直角三角形的含义；2 会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
教学过程：学习目标一理解解直角三角形的含义自学指导一内容：课本p111-例2以上时间：3分钟要求：认真阅读课本，判断什么是解直角三角形？完成自学检测一。
自学检测一1.结合课本p111-例2以上页内容，思考以下问题并和组内同学交流：（1）三角形有几个元素？（2）解直角三角形的概念是：（3）在例1中你能求出另外两个锐角是（可以用计算器）.2解决练习第一题？学生能理解解直角三角形的概念要求学生能够说出怎样使用计算归纳总结：三角形的每一个内角；每一条边都叫做一个元素器。
教学环节教学活动评价要点两类结构学习目标二：知道解直角三角形的常见类型，会利用直角三角形的边角关系解直角三角形。
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自学指导二内容：课本p112-113时间：5分钟要求：认真阅读课本，了解解直角三角形的类型，完成自学检测二。
自学检测练二：1、P113习题第2题（2）在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？要求90%以上学生能够熟练掌握归纳总结：已只一边和一角时应选择适当的边角关系计算时采用宁乘勿除的原则归纳总结：解直角三角形，只有下面两中情况：（1)已知两条边;(2)已只一边和一锐角课堂小结我的收获：我的疑惑：作业布置：习题24.4的第1、2、题课后反思：。
初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第24章 解直角三角形解直角三角形教案
解直角三角形(一）教学设计一、教学目标[情感态度价值观]通过有趣的课堂，渗透数形结合的思想，激发学生的学习兴趣，培养勇于探索的精神。
[过程与方法]通过自学、合作、展示等方法让学生能运用直角三角形的相关知识解直角三角形，培养学生分析问题、解决问题的能力。
[知识与能力]知道解直角三角形的概念，能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形。
二、教学重难点[教学重点]掌握利用直角三角形边角关系解直角三角形。
[教学难点]选用边角关系正确、迅速地解直角三角形。
三、教学过程（一）设疑导入（1分钟）出示幻灯片，提问：请问你知道怎么测量高塔的高度和过不去的河的宽度吗？学生们举手发言。
老师总结：让我们一起走进有趣的数学世界吧！通过今天的学习，我们就知道怎样测量了。
（二）知识回顾（3分钟）一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？有三条边和三个角，其中有一个角为直角。
三边之间的关系:a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； 锐角之间的关系:∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º； 边角之间的关系:锐角三角函数sinA ＝ cosA= tanA= cotA=特殊角的三角函数值： （三）自读感悟（11分钟） 1、阅读课本P112——P113的内容，完成以下问题。
（1）、在直角三角形中,由 元素求 的过程, 叫（2）、在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道 个元素(其中至少有一个是 ), 就可以求出其余 个元素.（3）、解直角三解形只有两种情况：（1） （2） 。
此时老师四处巡视，对有问题的学生适当引导。
2、请学生发表对例1的思路，并强调：本题是已知两直角边，求斜边。
3、请学生发表对例2的思路，并强调：本题是已知一边、一锐角，求其他两边。
4、抽生核对自读感悟的答案。
并设疑：为什么解直角三角形只有两种情况？请学生回答，再引导得出正确答案。
（四）【实战演练】（5分钟）例1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3，b=3，解这个三角形．抽两学生板演，待学生完成后，大家一起核对，强调注意事项。
第24章解直角三角形教案
第24章解直角三角形24.1 测量教学目标1、在探索基础上掌握测量。
2、掌握利用相似三角形的知识教学重难点重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
教学过程当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图24.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图24.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）（第3题）2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．小结与作业:利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边作业:1.习题24.1； 2.练习册同步教后反思:24.2直角三角形的性质教学目标：1.复习“直角三角形的两个锐角互余”定理和“勾股定理”。
(华东师大新版) 数学第24章 解直角三角形 导学案
第24章《解直角三角形》单元导学计划一、课标要求：1.经历由情境引出问题，探索掌握有关的数学知识内容，再运用于实践的过程，培养学数学，用数学的意识与能力。
2.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA, cosA 、tanA、 cotA)；知道30°，45°，60°角的三角函数;会用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应角的锐角。
3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
4.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。
二、教学目标1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．三、教学重点及难点1．重点：直角三角形的概念和直角三角形的解法。
2．难点：锐角三角函数的概念及解直角三角形中的灵活运用。
3. 疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。
四、教学用具准备三角尺、多媒体设备.24.1测量总课时第一课时导学目标：1.知识与技能目标：利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系。
2.过程与方法目标：通过测量，找出解决问题的方案。
3.情感态度与价值观：通过测量计算，体会学习数学的趣。
导学核心点：1．导学重点：借助相似三角形进行计算。
2．导学难点：设计测量方案。
3．导学关键：利用相似三角形的性质。
4．导学方法(用具)：三角板，标杆直尺导学课时：1课时24.2直角三角形的性质（一）总课时第二课时导学目标：1.知识与技能目标：1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。
2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。
2.过程与方法目标：观察、比较、合作、交流、探索.找出解决问题的方案。
华师大版数学九年级上册24.4 解直角三角形 教案1
24.4 解直角三角形1. 解直角三角形【知识与技能】1.使学生理解解直角三角形的意义；2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【过程与方法】让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.【情感态度】通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模〞的思想.【教学重点】用直角三角形的三个关系式解直角三角形.【教学难点】用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.一、情境导入，初步认识前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.二、思考探究，获取新知把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.通过上面的例子，你们知道“解直角三角形〞的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形〞的含义：在直角三角形中，由元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素〞的内涵，至于“元素〞的定义不作深究.问：上面例子中，假设要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.【探索新知】问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离〔准确到1米〕.解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384〔米〕.∵ABAC=cos50°,∴AC=20005050ABcos cos=︒︒≈3111〔米〕.答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.问：AC还可以用哪种方法求？学生讨论得出各种解法，分析比拟，得出：使用题目中原有的条件，可使结果更准确.问：通过对上面两个例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？〔几个学生展示〕学生讨论分析，得出结论.问：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？学生交流讨论归纳：解直角三角形，只有下面两种情况：〔1〕两条边；〔2〕一条边和一个锐角.【教学说明】使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中2个元素〔至少有一个是边〕就可以求出其余的3个元素.〞三、运用新知，深化理解1.在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求灯塔Q到B处的距离.〔画出图形后计算，准确到0.1海里〕四、师生互动，课堂小结1.“解直角三角形〞是求出直角三角形的所有元素.2.解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即两边或一边和一锐角.3.解直角三角形的方法.【教学说明】让学生自己小结这节课的收获，教师补充、纠正.五、教学反思通过直角三角形边角之间关系的复习和例题的实践应用，归纳出“解直角三角形〞的含义和两种解题情况.通过讨论交流得出解直角三角形的方法，并学会把实际问题转化为直角三角形的问题.给出一定的情景内容，引导学生自主探究，通过例题的实践应用，提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高综合运用知识的能力.2. 解直角三角形——仰角、俯角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.〔准确到0.1米〕你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚刚的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3〔米〕.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.〔准确到0.1m〕解:过点D作DE⊥AB于点E，那么∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠×tan43°24′≈30.83〔m〕.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠×tan35°12′≈23.00〔m〕.∴≈7.8〔m〕答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？〔准确到0.01km/s〕2.如下图，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.〔结果准确到0.1米，参考数据：3≈1.73〕四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？五、教学反思本节课从学生承受知识的最近开展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进展解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.3. 解直角三角形——坡角、坡度问题【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度〔h〕和水平长度〔l〕的比叫做坡面坡度〔或坡比〕，记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.〔准确到0.1米〕例2学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3〔即CD与BC的长度之比〕.A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°,那么易求AC=6米，BC=63米.在Rt△BDC中，i=13 DCBC=.易得DC=1233BC=米.∴AD=AC-DC=〔6-23〕米.三、运用新知，深化理解1.一坡面的坡度i=1∶3,那么坡角α为〔〕A.15°B.20°C.30°D.45°∶3的坡面向上走50米，那么他离地面的高度为〔〕33米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，那么此处大坝的坡角和高分别是______米.4.如图，一束光线照在坡度为1∶3的斜坡上，被斜坡上的平面镜反射成与地面平行的光线，那么这束光线与坡面的夹角α是______.5.如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为45°，沿着坡角为30°的斜坡前进400m 到点D处，测得点A的仰角为60°，求AB的高度.°3 5.〔3〕m四、师生互动，课堂小结1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形的知识解决实际问题.2.本节学习的数学方法：数形结合的思想和数学建模的思想.五、教学反思本节课以实际情境，引导学生将实际问题抽象为数学问题，构造几何模型，应用三角函数的知识解决问题.在整体设计上，由易到难，难度层层推进，尽量满足不同层次学生的学习需要.在教学过程中，让学生经历知识的形成过程，体会数形结合的数学思想，进一步培养学生应用数学的意识.。
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24.4 解直角三角形（一）教学设计
内容：24.4.解直角三角形（一）
教学目标：
由于本课为第一课时，主要使学生理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形，同时解决与之相关的实际问题。
所以三维目标的知识与技能目标主要体现在：
1.知识与技能
（1）使学生理解解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形。
（2）会运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2.过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题，解决问题的能力。
3.情感态度与价值观
渗透数形结合的数学思考，培养学生综合运用知识的能力和良好的学习习惯
重点与难点
重点：直角三角形的解法。
难点：三角函数在直角三角形中的灵活运用。
华东师大初中数学九上《24 解直角三角形复习教案
解直角三角形【知识与技能】1.通过复习，使学生系统地掌握本章知识，熟练应用三角函数进行计算.2.了解仰角、俯角、坡度等相关概念，掌握直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，能应用这些关系解决相关问题.【过程与方法】应用锐角三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识解决问题的能力.【情感态度】通过解直角三角形的复习，体会数学在解决实际问题中的作用，激发学生学习数学的热情.【教学重点】解直角三角形及其应用.【教学难点】解直角三角形及其应用.一、知识结构框图，整体把握二、释疑解惑，加深理解1.直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°,a2+b2=c2，sinA=cosB=ac,cosA=sinB=bc,tanA=ab,tanB=ba.2.互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°,sinA=cosB，cosA=sinB,tanA·tanB=1,3.同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1.4.特殊角的三角函数5.解直角三角形的基本类型及其解法如下表：解直角三角形注意：（1）一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法求解.（2）解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切），宁乘毋除，取原避中”.其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据来求解时，则取原始数据，忌用中间数据.6.应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义.第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）.第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错.第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位. 三、典例精析，复习新知 例1（内蒙古呼和浩特中考）如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地经过C 地沿折线A →C →B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10千米，∠A=30°,∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（结果保留根号）例2（湖南娄底中考）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场救援，救援队利用生命探测仪在地面A 、B 两处探测到C 处有生命迹象.已知A 、B 两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°（如图），试确定生命所在点C 的深度.（精确到0.1米，参考数据：2≈1.414,3≈1.732）解：过点C 作CD ⊥AB 于点D.设CD=xm.在Rt △CBD 中，∵∠CBD=45°,∠D=90°,∴BD=CD=xm.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD 4CD x AD x ==+, ∵∠CAD=30°,∴334x x =+. 解得x=23+2≈5.5.答：生命所在点C 的深度约是5.5m.四、复习训练，巩固提高1.（江苏连云港中考）在Rt△ABC中，∠C=90°,若sinA=513，则cosA的值是（）A.5/12B.8/13C.2/3D.12/132.（广东深圳中考）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）第2题图第3题图3.（湖北荆门中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D是AB的中点，过D点作AB 的垂线交AC于点E，BC=6,sinA=3/5,则DE=_______.4.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD,小明在山坡的坡角A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶点C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶3，AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据: 2≈1.414, 3≈1.732）【答案】1.D 2.D 3.15/4 4.2.7米五、师生互动，课堂小结本节课你学到了哪些知识？还有哪些知识没有掌握？1.布置作业：从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课通过学习归纳本章内容，让学生系统掌握锐角三角函数的有关知识，熟练应用三角函数的有关知识解决实际问题，进一步培养学生应用知识的能力，在解决问题时，注意方程思想、构造直角三角形思想的应用.。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》教学案例_1
25.3解直角三角形第一课时解直角三角形﹙一﹚教学内容本节课主要学习在实际情境中应用勾股定理、锐角三角函数概念来解直角三角形。
教学目标1、知识与技能：能够把实际问题转化为数学问题，掌握解直角三角形应用问题的一般规律。
2、过程与方法：经历实际情境中锐角三角函数等有关概念的应用过程，掌握解直角三角形的应用方法。
3、情感、态度与价值观培养学生自主学习的习惯，首先让学生感受到数学来源于生活，又作用于生活;培养学生学习热情，激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：将实际问题转化为数学问题，掌握应用问题的研究方法，并总结一般规律。
教学难点：怎样把实际问题转化为数学问题，并利用方程的思想解决解直角三角形问题。
教具：三角尺，多媒体课件，有关本节课内的资料。
教学方法：讲授法，讨论法，演示法，练习法，探究法等。
教学过程：一、自主学习教师提问：前面我们学习了锐角三角函数中的哪四个三角函数概念？学生回答：正弦、余弦、正切。
教师：请同学们回答下面的问题1、在Rt∆ABC中，∠C＝90°，a=6，c=12则：b＝＿＿∠A ＝＿＿, ∠B ＝＿＿。
2、∆ABC中，∠C＝90°，∠A ＝60°，a ＝3 ，则∠B ＝＿＿，b ＝＿＿ c ＝＿＿。
学生活动：通过讨论和思考得出答案。
二、合作探究：１、星期天，小华去图书超市购书，因他所买书类在二楼，故他乘电梯上楼，已知电梯AB段的长度8 m，倾斜角为30°，则二楼的高度（相对于底楼）是______m学生活动：讨论和思考，得出答案。
老师归纳：解直角三角形就是求出这个直角三角形的未知边和角。
方法：勾股定理，锐角三角函数概念，直角三角形概念。
教师导语：在现实生活中航海航空，建桥修路，测量技术，气象预报，图案设计等都需要用到几何图形的属性来解决问题，处理这类问题的方法就是把具体问题抽象成几何模型，利用几何图形的性质来解决。
下面举例说明解直角三角形在实际生活中的应用。
华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》教案1
第24章解直角三角形课题测量【学习目标】1．复习巩固相似三角形知识，掌握测量方法；2．通过测量旗杆高度的活动，巩固相似三角形有关知识，累积数学活动经验，使学生初步学会数学建模的方法；3．通过运用相似以及已学过的知识探索解三角形的方法，体验教学研究和发现的过程，逐渐培养学生用数学说理的习惯，激起学生学习后续内容的积极性．【学习重点】掌握测量方法．【学习难点】理解并掌握测量方法．一、情景导入生成问题问题：1.复习相似三角形的主要性质．2．当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高？我们知道可以利用相似三角形的对应边，首先请同学量出太阳下自己的影子长度，旗杆的影子长度，再根据自己的身高，计算出旗杆的高度．如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二、自学互研生成能力知识模块测量物体的高度或宽度阅读教材P99～P101的内容．问题：如下图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A1B1C1，用刻度尺量出纸上B1C1的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴AC∶A1C1＝BC∶B1C1＝500∶1，∴只要用刻度尺量出纸上B1C1的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B1C1＝acm，则BC＝500acm＝5am.故旗杆高(1＋5a)m.范例：小兵身高160cm，他的影子长度是100cm，如果同时，他朋友的影子比他的影子短5cm，那么他的朋友有多高？解：设他朋友身高为xcm，则160100＝x100－5，解得：x＝152.答：他朋友身高为152cm.仿例1：小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．解：设旗杆的高度为xm，则x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗杆的高度为12m.仿例2：如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E，点C、E、A在同一条直线上，点B、D分别在点E、A的正下方，且点D、B、C在同一条直线上，点B、C相距20米，点D、C 相距40米，乙楼高BE为15米，求甲楼AD的高．(小明的身高忽略不计)解：由题意知BC＝20，CD＝40，△CBE∽△CDA.∴CBCD＝BEAD即2040＝15AD，∴AD＝30(米)．答：甲楼AD高30米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块测量物体的高度或宽度范例：(方法二)160x＝100100－5，解得x＝152四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________________2．存在困惑：_____________________________________________课题直角三角形的性质【学习目标】1．掌握直角三角形的性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明；2．经历“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充；3．通过“计算—探索—发现—猜想—证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心．【学习重点】掌握直角三角形性质，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．【学习难点】能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明．一、情景导入生成问题问题：1.什么是直角三角形？直角三角形中的两锐角有什么关系？两条直角边与斜边有什么关系？2．(1)在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数为__38°__．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝30°，那么∠A＝__60°__，∠B＝__30°__．(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余的角有__∠A，∠BCD__，与∠A相等的角有__∠BCD__，与∠B相等的角有__∠DCA__．(3)在直角三角形中，两条直角边分别为6，8，斜边的长为多少？解：斜边的长为10.二、自学互研生成能力知识模块一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半阅读教材P102～P103的内容．(1)画一个直角三角形；(2)量一量斜边AB的长度；(3)找到斜边的中点，用字母D表示；(4)画出斜边上的中线；(5)量一量斜边上的中线的长度．猜想：斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？经过画图和测量，我们知道：斜边上的中线等于斜边的一半．试用演绎推理证明你的猜想．已知，如图在直角三角形ABC中∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD＝12AB.证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连结AE、BE.∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝DB.又∵CD＝DE.∴四边形ACBE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB，∴CD＝12CE＝12AB.结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．知识模块二直角三角形性质的应用范例：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝12AB.证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝AD＝BD＝12AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)．∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形．∴BC＝BD＝12AB.结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．仿例：如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AB交AB于E，交BC于F.求证BF＝12FC.证明：连结AF.∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，又∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF.∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠FAC＝120°－∠BAF＝90°，在Rt△AFC中，∠C＝30°，∴AF＝1 2CF，∴BF＝12FC.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识模块二直角三角形性质的应用四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_____________________________________________________2．存在困惑：_________________________________________________课题锐角三角函数(1)【学习目标】1．知道锐角一定，它的三角函数值就随之确定；2．已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值；3．运用相似三角形的判定定理、性质定理理解锐角一定，它的三角函数值就随之确定；4．在学习合作交流中学会与人相处．【学习重点】已知直角三角形的两边(比)，会求出锐角的四种三角函数值．【学习难点】区分锐角的三种三角函数．一、情景导入生成问题问题：在直角三角形中1．三边的关系是什么？2．两锐角之间的关系是什么？二、自学互研生成能力知识模块锐角三角函数阅读教材P105～107的内容．1．在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝30°，如图1，a∶c＝__12__，b∶c＝__32__，a∶b＝__33__，b∶a＝__3__.当三角形的边变大或变小时，上述结论是否发生变化？2．如图2，在直角三角形ABC中，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，若∠A＝45°，a∶c＝__2 2__，b∶c＝__22__，a∶b＝__1__，b∶a＝__1__．当三角形的边发生变化时，上述比值是否发生变化？3．当∠A是任意给定的锐角，当三角形的边发生变化时，这些比值是否变化？归纳：∠A是任意给定的锐角，当三角形的边发生变化时，这些比值不会发生变化，根据是相似三角形的性质．因此，这几个比值都是∠A的函数，分别记做sinA、cosA、tanA，即在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab，分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．结论：1.锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1.2．根据三角函数定义可以推出：sin2A＋cos2A＝1.范例：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝8，试求出∠A的三个三角函数值．解：AB＝BC2＋AC2＝289＝17，sinA＝BCAB＝817，cosA＝ACAB＝1517，tanA＝BCAC＝815.仿例1：如图在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求sinB、cosC、tanB的值．解：过点A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝1 2BC＝6，在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝8，∴sinB＝ADAB＝810＝45，cosC＝CDAC＝610＝35，tanB＝AD BD＝86＝43.仿例2：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝1，sinB＝513，求菱形的周长．解：∵AE⊥BC，sinB＝513＝AEAB，∴设AE＝5x，AB＝13x，∴BE＝AB2－AE2＝12x.∵EC＝1，菱形ABCD，∴AB＝BC即12x＋1＝13x，∴x＝1，∴AB＝13，∴菱形的周长为52.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块 锐角三角函数四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：_________________________________________________ 2．存在困惑：_____________________________________________课题 锐角三角函数(2)【学习目标】1．掌握特殊锐角的三角函数值；2．通过对特殊锐角三角函数值的探索，逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力； 3．通过对锐角三角函数的学习，提高学生对几何图形美的认识． 【学习重点】掌握特殊锐角三角函数值． 【学习难点】理解并掌握特殊锐角三角函数值的应用方法．一、情景导入 生成问题 问题：1.锐角三角函数的概念是什么？在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 sin A ＝__a c __ cos A ＝__b c __ tan A ＝__a b __ sin B ＝__b c __ cos B ＝__a c __ tan B ＝__ba __ 2．锐角三角函数之间的关系？0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 sin 2A ＋cos 2A ＝1二、自学互研 生成能力知识模块 特殊角的三角函数 阅读教材P 108～109的内容．做一做：如图，Rt △ABC ，∠A ＝30°，用直角三角形的性质求：sin 30°，cos 30°，tan 30°，sin 60°，cos 60°，tan 60°的值．解：如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则BC ＝12AB ，AC ＝32AB.从而可得：sin 30°＝BCAB＝12ABAB＝12，cos30°＝ACAB＝32ABAB＝32，tan30°＝BCAC＝12AB32AB＝33，同理可得：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝ 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，根据锐角三角函数的定义，求出∠A的三个三角函数值．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，根据勾股定理，我们知道三边之比为1∶1∶2，所以有：sin45°＝22，cos45°＝22，tan45°＝1.为了便于记忆，列表如下：αsinαcosαtanα30°12323345°2222160°3212 3范例：求值：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°.解：sin30°·tan30°＋cos60°·tan60°＝12×33＋12×3＝36＋32＝233.仿例1：计算cos230°＋34tan230°＋cos60°－sin245°＋tan245°.解：原式＝(32)2＋34×(33)2＋12－(22)2＋12＝34＋14＋12－12＋1＝2.仿例2：在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tan B－3|＋(2sin A－3)2＝0，试确定△ABC 的形状．解：由题意得|tan B－3|＝0，(2sin A－3)2＝0，∴tan B＝3，sin A＝32，∴∠B＝60°，∠A＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块特殊角的三角函数四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：____________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________。
华师版九年级数学上册教案：第24章 解直角三角形4 解直角三角形(3课时)
24.4解直角三角形第1课时解直角三角形一、基本目标理解直角三角形中五个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.二、重难点目标【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P111～P113的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．任何一个三角形都有__六__个元素,三条边、三个角,在直角三角形中,已知有一个角是直角,我们把利用已知的元素求出__未知__元素的过程,叫做解直角三角形．2．在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.(1)两锐角互余,即∠A＋∠B＝__90°__；(2)三边满足__勾股定理__,即a2＋b2＝c2；(3)边与角关系sin A＝cos B＝ac,cos A＝sin B＝bc,tan A＝ab,tan B＝ba.3．Rt△ABC中,若∠C＝90°,sin A＝45,AB＝10,那么BC＝__8__,tan B＝__34__.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且a＝20,∠B ＝35°,解这个三角形．(精确到0.1,参考数据：sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70)【互动探索】(引发学生思考)已知直角三角形中的两个元素,要求解直角三角形,一般从直角三角形的性质出发,结合勾股定理与锐角三角函数的定义进行解题．【解答】∵在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝35°,∴∠A＝55°.∵BC＝20,∠B＝35°,∴tan 35°＝AC20≈0.7,解得AC≈14.cos 35°＝BCAB＝20AB≈0.82,解得AB≈24.4.【互动总结】(学生总结,老师点评)在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,解直角三角形有以下基本类型：基本类型选择的关系式已知两边斜边和一直角边(c、a)b＝c2－a2；由sin A＝ac,求∠A；∠B＝90°－∠A 两直角边(a、b)c＝a2＋b2；由tan A＝ab,求∠A；∠B＝90°－∠A已知边和角斜边和一锐角(c、∠A)∠B＝90°－∠A；由sin A＝ac,求a＝c·sin A；由cos A＝bc,求b＝c·cos A一直角边和一锐角(a、∠A)∠B＝90°－∠A；由tan A＝ab,求b＝atan A；由sin A＝ac,求c＝asin A【例2】某数学兴趣小组想测量河流的宽度AB,河流两岸AC、BD互相平行,河流对岸有两棵树A和C,且A、C之间的距离是60米,他们在D处测得∠BDC＝36°,前行140米后测得∠BP A＝45°,请根据这些数据求出河流的宽度．(结果精确到0.1米,参考数据：tan 36°≈0.73,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81)【互动探索】(引发学生思考)已知一边与一角,求其他边→利用锐角三角函数的定义求解→需作辅助线,构造直角三角形．【解答】作CH⊥BD,则BH＝AC＝60米,设AB为x米,则CH为x米．在Rt△ABP中,tan 45°＝1,∴BP＝x米,∴HD ＝BP ＋PD －BH ＝x ＋140－60＝(x ＋80)(米)． 在Rt △CHD 中,∵tan ∠CDH ＝CH HD ,∴x ＋80＝xtan 36°,∴x ＝(x ＋80)tan 36°,∴x ≈216.3. 即河流的宽度约为216.3米．【互动总结】(学生总结,老师点评)解决此类题目一般是据题目已知特点选用适当锐角三角函数去解直角三角形,得到数学问题的答案,再转化得到实际问题的答案．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝15,sin A ＝13,则BC 等于( B )A ．45B ．5 C.15D ．1452．如图,AD ⊥CD ,∠ABD ＝60°,AB ＝4 m,∠ACB ＝45°,则AC ＝__26__m__.3．在△ABC 中,∠C ＝90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知c ＝10,∠B ＝30°,解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°.∵cos B ＝a c ,∴a ＝c ·cos B ＝10·cos 30°＝10×32＝5 3.∵sin B ＝b c ,∴b ＝c ·sin B ＝10·sin 30°＝10×12＝5.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图,在锐角△ABC 中,BC ＝a ,AC ＝b .探究a sin A 与bsin B之间的关系．【互动探索】观察几何图形→作垂线,构造直角三角形→表示出sin A 、sin B →转化形式得出结论．【解答】如图,过点C 作CH ⊥AB ,垂足为H .∴∠CHB ＝∠CHA ＝90°. 在Rt △BCH 中,sin A ＝CH AC ＝CH b ,∴CH ＝b ·sin A . 同理可得CH ＝a ·sin B . ∴b ·sin A ＝a ·sin B . 即a sin A ＝bsin B.【互动总结】(学生总结,老师点评)添加辅助线,构造两个直角三角形是解题的关键． 环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)解直角三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念理论依据⎩⎪⎨⎪⎧两锐角互余勾股定理锐角三角函数常见类型⎩⎪⎨⎪⎧已知两边已知一边和一角请完成本课时对应练习！第2课时 仰角与俯角一、基本目标1．理解仰角、俯角的含义,能准确运用这些概念来解决一些实际问题． 2．培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力． 二、重难点目标 【教学重点】理解仰角和俯角的概念． 【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P113～P114的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做__俯角__.2. 如图,下列角中为俯角的是(C)A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠43. 如图所示,在建筑物AB的底部a米远的C处,测得建筑物的顶端A点的仰角为α,则建筑物AB的高可表示为__a tan_α__米．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,两建筑物的水平距离为32.6 m,从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高．(精确到0.1 m)【互动探索】(引发学生思考)确定俯角α与∠ADE、俯角β与∠ACB的关系→解直角三角形．【解答】根据题意,得∠ACB＝β＝43°24′,∠ADE＝α＝35°12′,DE＝BC＝32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB＝AB BC,∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan 43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中,∵tan∠ADE＝AEDE,∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan 35°12′≈23.00(m)．∴DC ＝BE ＝AB －AE ＝30.83－23.00≈7.8(m)． 即两个建筑物的高分别约为30.8 m 、7.8 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)将题目中的两个俯角分别转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中,转化为解直角三角形问题是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角α＝75°,若AC ＝6米,则树高BC 为( D )A ．6sin 75°米B ．6cos 75°米C.6tan 75°米 D ．6tan 75°米2．某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动,他们要测量一幢建筑物AB 的高度．如图,他们先在点C 处测得建筑物AB 的顶点A 的仰角为30°,然后向建筑物AB 前进10 m 到达点D 处,又测得点A 的仰角为60°,那么建筑物AB 的高度是__53__m.3. 如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC .解：由题意,得α＝30°,β＝60°,AD ＝100米,∠ADC ＝∠ADB ＝90°.∴在Rt △ADB 中,α＝30°,AD ＝100米,∴tan α＝BD AD ＝BD 100＝33,∴BD ＝10033米．在Rt △ADC 中,β＝60°,AD ＝100米,∴tan β＝CD AD ＝CD 100＝3,∴CD ＝1003米．∴BC ＝BD ＋CD ＝10033＋1003＝40033(米),即这栋楼的高度BC 是40033米．活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,某大楼顶部有一旗杆AB ,甲乙两人分别在相距6米的C 、D 两处测得B 点和A 点的仰角分别是42°和65°,且C 、D 、E 在一条直线上．如果DE ＝15米,求旗杆AB 的长大约是多少米？(结果保留整数,参考数据：sin 42°≈0.67,tan 42°≈0.9,sin 65°≈0.91,tan65°≈ 2.1)【互动探索】分析法：要求AB ,先求出AE 与BE →解Rt △ADE 、Rt △BCE . 【解答】在Rt △ADE 中,∠ADE ＝65°,DE ＝15米, 则tan ∠ADE ＝AEDE ,即tan 65°＝AE15≈2.1,解得 AE ≈31.5米．在Rt △BCE 中,∠BCE ＝42°,CE ＝CD ＋DE ＝21米, 则tan ∠BCE ＝BE CE ,即tan 42°＝BE21≈0.9, 解得 BE ≈18.9米．则AB ＝AE －BE ＝31.5－18.9≈13(米)． 即旗杆AB 的长大约是13米．【互动总结】(学生总结,老师点评)首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形△ADE 、△CBE ,利用AB ＝AE －BE 可求出答案．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)仰角与俯角⎩⎨⎧仰角⎩⎪⎨⎪⎧ 概念应用俯角⎩⎪⎨⎪⎧概念应用请完成本课时对应练习！第3课时 坡度与坡角一、基本目标1．理解坡度与坡角的概念．2．会运用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角等有关的实际问题． 二、重难点目标【教学重点】解决有关坡度的实际问题．【教学难点】理解坡度的概念和有关术语．环节1自学提纲,生成问题【5 min阅读】阅读教材P115～P116的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．坡度通常写成1∶__m__的形式．2．一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为__1∶3__.3．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题,也就是建立适当的函数模型)；(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数,运用解直角三角形的有关性质,解直角三角形；(3)得到数学答案；(4)得到实际问题的答案．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,铁路路基的横断面是四边形ABCD,AD∥BC,路基顶宽BC＝9.8 m,路基高BE＝5.8 m,斜坡AB的坡度i＝1∶1.6,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)与斜坡的坡角α和β(精确到1°)的值．【互动探索】(引发学生思考)读懂题意→作垂线,构造直角三角形→解直角三角形,得出结论．【解答】过点C作CD⊥AD于点F,则CF＝BE,EF＝BC,∠A＝α,∠D＝β.∵BE＝5.8 m, i＝1∶1.6, i′＝1∶2.5,∴AE＝1.6×5.8＝9.28(m),DF＝2.5×5.8＝14.5(m)．∴AD＝AE＋FE＋DF＝9.28＋9.8＋14.5≈33.6(m)．由tan α＝i＝1∶1.6,tan β＝i′＝1∶2.5,得α≈32°,β≈22°.即铁路路基下底宽为33.6 m,斜坡的坡角分别为32°和22°.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用坡度与坡角解决实际问题的关键是将坡度与坡角放入可解的直角三角形中,没有直角三角形一般要添加辅助线(垂线)构造直角三角形．活动2巩固练习(学生独学)1．为抗洪需修筑一坡度为3∶4的大坝,如果此大坝斜坡的坡角为α,那么α的正切值__0.75__.2．如图,防洪大坝的横断面是梯形,坝高AC为6米,背水坡AB的坡度i＝1∶2,则斜坡AB 的长为__65__米.3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10 m,此时他与出发地的垂直距离为6 m,则这个坡面的坡度为__3∶4__.4. 如图是一座人行天桥,天桥的高12米,坡面的坡比为＝1∶1,为了方便行人推车过天桥,市政府决定降低坡度,使新的斜坡的坡角为30°,问离原坡底8米处的大型广告墙M要不要拆除？解：广告牌M要拆除．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,小明于堤边A处垂钓,河堤AB的坡比为1∶3,坡长为3米,钓竿AC的倾斜角是60°,其长为6米,若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角为60°,求浮漂D与河堤下端B之间的距离．【互动探索】实际问题,转化为几何问题→作辅助线,构造直角三角形→延长CA交DB 延长线于点E,过点A作AF⊥EB→解直角三角形得AE长→利用三角形性质得出结论．【解答】如图,延长CA交DB延长线与点E,过点A作AF⊥EB,交EB于点F.则∠CED＝60°.∵AB 的坡比为1∶3, ∴∠ABE ＝30°, ∴∠BAE ＝90°. ∵AB ＝3米,∴AE ＝AB tan ∠ABE ＝3×33＝3米,BE ＝2AE ＝23米． ∵∠C ＝∠CED ＝60°, ∴△CDE 是等边三角形． ∵AC ＝6米,∴DE ＝CE ＝AC ＋AE ＝(6＋3)米,则BD ＝DE －BE ＝6＋3－23＝(6－3)(米), 即浮漂D 与河堤下端B 之间的距离为(6－3)米．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题既考查了解直角三角形,也考查了等边三角形的性质,根据题目的已知条件构造出直角三角形及等边三角形是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)坡度与坡角⎩⎪⎨⎪⎧坡度的概念—通常写成比的形式坡角的概念—坡角越大，坡面就越陡坡度与坡角在解直角三角形中的应用请完成本课时对应练习！。
九年级数学上册第24章解直角三角形24.4解直角三角形2用解直角三角形解视角问题教案新版华东师大版
用解直角三角形解视角问题【知识与技能】1.理解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.【过程与方法】通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.【情感态度】在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.【教学重点】理解仰角和俯角的概念.【教学难点】能解与直角三角形有关的实际问题.一、情境导入，初步认识如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）你知道小明是怎样算出的吗？二、思考探究，获取新知想要解决刚才的问题，我们先来了解仰角、俯角的概念.【教学说明】学生观察、分析、归纳仰角、俯角的概念.现在我们可以来看一看小明是怎样算出来的.【分析】在Rt△CDE中，已知一角和一边，利用解直角三角形的知识即可求出CE的长，从而求出CB的长.解：在Rt△CDE中，∵CE=DE·tanα=AB·tanα=10×tan52°≈12.80，∴BC=BE+CE=DA+CE≈12.80+1.50=14.3（米）.答：旗杆的高度约为14.3米.例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）解:过点D作DE⊥AB于点E，则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=35°12′,DE=BC=32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=ABBC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=AEDE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.【教学说明】关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化为几何问题解决.三、运用新知，深化理解1.如图，一只运载从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后到达B点，此时测得BR的距离是 6.13km，仰角为45.54°，这个从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）2.如图所示，当小华站在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为45°；如果小华向后退0.5米到B处，这时他看到自己的脚在镜中的像的俯角为30°.求小华的眼睛到地面的距离.（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）【答案】1.0.28km/s 2.1.4米四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？你有何体会？2.这节课你还存在什么问题？1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.4”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本节课从学生接受知识的最近发展区出发，创设了学生最熟悉的旗杆问题情境，引导学生发现问题、分析问题.在探索活动中，学生自主探索知识，逐步把生活实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的学习方法，养成交流与合作的良好习惯.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦，产生后继学习的激情，增强学数学的信心.。
华东师大版)九年级数学上册《24.4解直角三角形》教学设计
2.提问：“我们已经学习了勾股定理，那么如何利用勾股定理来解决直角三角形中的未知问题呢？”通过这个问题，引发学生对解直角三角形方法的思考。
3.引导学生回顾Βιβλιοθήκη 股定理的内容，为新课的学习做好知识铺垫。
c.正切函数：在直角三角形中，对于角A，正切函数定义为对边与邻边的比值，即tanA =对边/邻边。
2.通过具体实例，讲解如何运用三角函数解决直角三角形中的未知问题，如求角度和边长。
3.结合计算器，让学生学会计算三角函数的值，并解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，每组讨论以下问题：
a.如何利用三角函数解决实际问题？
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角函数的定义和性质，特别是正弦、余弦、正切函数在实际问题中的应用。
2.能够运用勾股定理和三角函数解决直角三角形中的未知角度和边长问题，以及解决一些实际问题。
3.培养学生运用数形结合、分类讨论等数学思想方法分析和解决问题的能力。
（二）教学设想
1.教学导入：通过生活中的实例，如测量旗杆高度、楼间距等，引出解直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣，使其认识到数学与现实生活的紧密联系。
4.教学策略：
a.分层教学：针对学生的不同水平，设计不同难度的练习题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.适时反馈：在教学过程中，及时关注学生的学习情况，给予针对性的指导和鼓励，提高学生的学习信心。
5.教学评价：
a.过程性评价：关注学生在课堂讨论、实践操作等方面的表现，鼓励学生积极参与，培养其探究精神和创新能力。
2024-2025学年华师版初中数学九年级(上)教案第24章解直角三角形24.1测量
第24章解直角三角形24.1测量教学反思教学目标1.能够借助刻度尺等工具进行测量.2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度.3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.教学重难点重点：探索测量距离的几种方法.难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度.教学过程复习巩固直角三角形两锐角、三边之间的关系：如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°.角：∠A+ ∠B＝90°.边：AC2 + BC2 ＝AB2.导入新课【问题1】活动1（小组讨论，教师点评)思考：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？教师引出课题：第24章解直角三角形24.1测量探究新知探究点用不同的方案进行测量活动2（小组讨论，教师点评)要求：（1）画出测量图形；（2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量的数据)；（3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.一、影长法原理：在太阳光线下，同一时刻中，物高与影长成正比.得比例式：ABED＝BCDF.【总结】利用太阳光，量出竹竿在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度、竹竿的高度，便可构造出相似三角形，从而求出旗杆的高度.二、平面镜法原理：根据反射角等于入射角，再利用等角的余角相等，可得一组角相等，再根据物与地面垂直，得出一组直角，得两个三角形相似，列出比例式求解.得比例式：AB AE CD CE.三、标杆法教学反思原理：构造相似三角形.得比例式：HF GF AE GE=.AB＝AE+EB四、测倾器法方法：1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC＝34°；2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE＝l0米；3.量出测倾器的高度AD＝1.5米.现在若按1：500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A B C'''，可得△ABC∽△A B C'''，可得比例式：BC AC B C A C=''''.根据比例尺1∶500，可求得BC，得BE＝BC+CE.合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）典例讲解（师生互动）例如图，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m，求旗杆的高度.【探索思路】(引发学生思考)观察法：构建相似三角形模型→得出比例线段→代入数据求解.【解】∵ED⊥AD，BC⊥AC，∴ED∥BC，∴△AED∽△ABC，教学反思∴ED AD BC AC＝.∵AD＝8 m，AC＝AD+CD＝8+22＝30(m)，ED＝3.2 m，∴BC＝ED ACAD＝12 m，∴旗杆的高度为12 m.【题后总结】(学生总结，老师点评)已知两个直角三角形中某些边的数据，我们可以考虑运用直角三角形相似的知识来求未知边的长度.【即学即练】一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示.假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法.(要求：画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案)【探索思路】(引发学生思考)转化法：作辅助线，将测AB的长转化为在河岸同一侧测与AB相等线段的长，考虑利用三角形的全等来构建测量模型.【解】在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE＝BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长.【题后总结】(学生总结，老师点评)在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解.课堂练习1.如图，小华晚上由路灯A下的B处走到C时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于()A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米2.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度.3.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？教学反思参考答案1.B2.【解】∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴CGAH＝EGEH，即CD EFAH-＝EGFD BD+，∴3 1.6AH-＝2215+，解得AH＝11.9.∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5(m).故旗杆AB的高度为13.5 m.3.【解】如图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长.在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h+3，BC＝6.由勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，即(h+3)2＝h2+62，所以h2+6h+9＝h2+36，6h＝27，解得h＝4.5.即水深4.5尺.课堂小结(学生总结，老师点评)用不同的方案进行测量：（1）影长法；（2）平面镜法；（3）标杆法；（4）测倾器法.原理：1.利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例.2.利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理.3.构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等.布置作业教材第101页练习第1，2题，第101页习题24.1第1，2题.板书设计课题第24章解直角三角形24.1测量用不同的方案进行测量：例题（1）影长法；（2）平面镜法；（3）标杆法；（4）测倾器法.教学反思。
华师大数学九上24.4《解直角三角形》教学设计
24．4 解直角三角形【教学目标】一、知识目标1、巩固直角三角形中的三角函数定义。
2、选取多样性的问题，引导学生合理地选择关系式（可以用不同的三角函数关系解决问题）。
二、能力目标1.应尽量把解直角三角形与实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的习题，在解决实际问题时，应使学生养成“先画图，再求解”的习惯。
2.将解直角三角形的应用分为几种问题类型，注意问题选取的多样性，有时解决一个问题，往往可以用不同的三角函数关系式，这时应引导学生合理地选择关系式，培养学生合情推理、数学说理及转化思想。
三、情感态度目标经历观察、操作、归纳与猜想，体会科学发现这一重要方法。
【重点难点】重点：使学生养成“先画图，再求解”的习惯难点：灵活地运用有关知识在实际问题情境下解直角三角形。
疑点：一题多解时多种方法中的灵活选择与运用。
【教学设想】课型：新授课教学思路：观察操作-概括归纳-应用提高。
【课时安排】2课时。
【教学设计】第一课时【本课目标】1.巩固勾股定理，熟练运用勾股定理。
2.学会运用三角函数解直角三角形。
3.掌握解直角三角形的几种情况。
【教学过程】1.情境导入大屏幕展示课本第112页例1。
2、课前热身分组练习，互问互答巩固上节课的内容。
3、合作探究（1）整体感知从复习直角三角形的相关性质和锐角三角函数入手，让学生对解直角三角形的必备知识做一个必要的回顾；从例1的一棵大树的高度引出利用勾股定理解直角三角形；从战争的需要引出利用锐角三角函数解直角三角形；最后归纳总结解直角三角形的两种情况：已知两条边；已知一条边和一个锐角。
（2）四边互动互动1：师：展示如图19-4-1的所示的图形，根据图填空：sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= 。
∠A= － , =2c ＋生：独立思考，交流。
明确：sin A=斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦, cos A=斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦,tan A=的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切, cot A= 的对边的邻边A A ∠∠叫∠A 的余切一般地，在直角三角形ABC 中，当∠C=090时，sinA=c a ，c b A =cos ，tanA=ba ，cotA=a b。
华东师大版数学九年级上册24.4解直角三角形教学设计
4.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解题能力。
5.注重知识间的联系，引导学生将解直角三角形与勾股定理、相似三角形等知识进行整合，形成完整的知识体系。
（三）情பைடு நூலகம்态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣和热情，激发学生主动学习的欲望。
3.重点：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
难点：激发学生的创新思维，提高学生的应用意识和解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，创设与学生生活密切相关的问题情境，引导学生主动探究解直角三角形的原理和方法。
（2）运用问题驱动法，引导学生提出问题，通过合作、讨论、探究等方式解决问题，培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
2.教学内容：针对学生的个体差异，进行个性化辅导。
教学过程：关注学生的解题过程，针对不同学生的需求，给予个性化的辅导和指导。鼓励学生提问，解答学生的疑惑，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课的重点知识进行梳理和总结。
教学过程：教师带领学生回顾本节课所学的知识点，如解直角三角形的原理、三角函数的应用、计算器使用等。通过提问、解答等方式，强化学生对知识点的记忆。
（3）优秀学生：完成课本习题24.4第5题，并撰写解题报告，探讨解直角三角形在实际问题中的应用。
5.预习作业：布置下一节课的相关预习内容，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
作业要求：
1.学生在完成作业时，要认真审题，规范书写，确保解题过程的准确性。
2.鼓励学生在解题过程中相互讨论、交流，提高解题效率。
华东师大版九年级上册数学第24章《解直角三角形》教案2
课题解直角三角形及其简单应用【学习目标】1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力；3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．【学习重点】根据条件解直角三角形．【学习难点】从条件出发，正确选用适当的边角关系解题．一、情景导入生成问题问题：在直角三角形ABC中，∠C＝90°，a，b，c，∠A，∠B这五个元素间有哪些等量关系？1．边与边的关系：__a2＋b2＝c2__(勾股定理)．2．角与角的关系：__∠A＋∠B＝∠C__(两锐角互余)．3．边角关系：sinA＝__ac__，cosA＝__bc__，tanA＝__ab__，sinB＝__bc__，cosB＝__ac__，tanB＝__ba__(锐角三角函数)．二、自学互研生成能力知识模块解直角三角形阅读教材P111～113的内容．1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角边长分别为a，b，如何求斜边c和锐角∠A，∠B?2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角边a，锐角A，如何求b，c和∠B?范例：如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为52＋122＝13，13＋5＝18(米)答：大树在折断之前高18米．归纳：在直角三角形，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．典例：如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，BCAB＝tan∠CAB，∴BC＝AB·tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米)．∵ABAC＝cos50°，∴AC＝ABcos50°＝2000cos50°≈3111(米)．答：敌舰与A、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．仿例：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠C＝45°，BC＝2，求AC的长．解：过B作BD⊥AC于D，∵∠C＝45°，BD⊥CD，∴tanC＝BDCD＝1，∴BD＝CD，又BD2＋CD2＝BC2＝(2)2，∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，∠A＝30°，∴AD＝BDtanA＝133＝3，∴AC＝AD＋CD＝3＋1.三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块解直角三角形仿例：(方法二)过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∠C＝45°，∴sinC＝BDBC＝BD2＝22，tanC＝BDCD＝1，∴BD＝CD＝1，在Rt△ABD中，∠A＝30°，∴AD＝BDtanA＝133＝3，∴AC＝AD＋CD＝3＋1.四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________课题仰角、俯角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解俯角和仰角的概念，并利用其解直角三角形；2．综合利用仰角和俯角以及解直角三角形的知识，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；3．经历数学知识的挖掘与欣赏过程，近一步感受教学知识在图案设计中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣．【学习重点】理解仰角和俯角的概念，并运用解直角三角形．【学习难点】把实际问题转化为直角三角形求解．一、情景导入生成问题问题：1.什么是解直角三角形？2．解直角三角形至少需要几个条件？二、自学互研生成能力知识模块仰角、俯角与解直角三角形阅读教材P113～114的内容．如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．范例：如图：为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA 测得旗杆顶端C的仰角α＝52°，求旗杆BC的高．(精确到0.1米)解：在Rt△CDE中．∵CE＝DE×tanα＝AB×tanα＝10×tan52°≈12.80，∴BC＝BE＋CE＝DA ＋CE≈1.50＋12.8＝14.3(米)答：旗杆BC的高度约为14.3米．仿例：如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度，已知在离地面1500m高的C处有一架飞机，飞机员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．(精确到1m)解：过C作CO⊥AB于O，则CO＝1500m，由题意知：∠CBO＝45°，∠CAO＝60°，在Rt△CBO中，OB＝COtan45°＝15001＝1500，OA＝COtan60°＝15003＝5003，∴AB＝OB－OA＝1500－5003≈634(m)，答：隧道AB的长约为634m.变例：如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶C处，DF＝4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观察F点的俯角为53°，老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)(1)猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米？(精确到0.1米)解：由题意得∠DFG＝37°.(1)在Rt△DFG中，DG＝DF·tan37°＝4×0.75＝3米＞2.7米，∴猫头鹰能看到这只老鼠．(2)AG＝AD＋DG＝2.7＋3＝5.7，在Rt△ACG中，CG＝AGsin37°＝9.5(米)．答：猫头鹰至少飞9.5米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块仰角、俯角与解直角三角形仿例：(方法二)过C作OC⊥AB于O，由题意知：∠BCO＝45°，∠ACO＝30°，在Rt△CBO 中，OB＝OC·tan45°＝1500，OA＝OC·tan30°＝5003，∴AB＝1500－5003≈634(m)．答：隧道AB长为634m.四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________课题坡度、坡角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题的能力；3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．【学习重点】理解坡角、坡度的概念，并运用解直角三角形．【学习难点】把实际问题转化为直角三角形求解．一、情景导入生成问题在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上要注明倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝h l.坡度通常写成1∶m的形式，如i＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i＝hl＝tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．二、自学互研生成能力知识模块坡比、坡角与解直角三角形阅读教材P115～116的内容．范例：如图，一段路基的横断面是梯形，高为 4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为点E、F.由题意可知：DE＝CF＝4.2，EF＝CD＝12.51，在Rt△ADE中，∵DEAE＝4.2AE＝tan32°，∴AE＝4.2tan32°≈6.72，在Rt△BCF中，同理可得BF＝4.2tan28°≈7.90，∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1(米)．答：路基下底的宽约为27.1米．归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．变例：如图，斜坡AC的坡度为1∶3，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米，试求旗杆BC的高度．解：延长BC交AD于E点．由题意知BE⊥AD，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝1∶3＝3 3，∴∠EAC＝30°，∴CE＝12AC＝12×10＝5，∴AE＝AC2－CE2＝53，在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴(53)2＋(BC＋5)2＝142，∴BC＝6.答：旗杆BC的高度是6米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块坡比、坡角与解直角三角形四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：___________________________________________________2．存在困惑：_______________________________________________第24章小结与复习【学习目标】1．进一步理解勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及三角函数的意义；2．培养学生综合、概括等逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．【学习重点】灵活运用解直角三角形知识解决问题．【学习难点】选择恰当知识解决具体问题．一、情景导入 生成问题一、直角三角形的性质1．直角三角形的两个锐角__互余__．2．直角三角形两直角边的平方和等于__斜边的平方__(勾股定理)． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 4．30°所对直角边等于斜边的一半． 二、锐角三角函数在直角三角形中的三个三角函数的求法：1．正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝ac .2．余弦：cosA ＝∠A 的邻边斜边＝bc .3．正切：tanA ＝∠A 的对边邻边＝ab .三、特殊角三角函数值①sin30°＝cos60°＝12； ②sin45°＝cos45°＝22； ③sin60°＝cos30°＝32； ④tan30°＝33； ⑤tan45°＝1; ⑥tan60°＝ 3. 四、仰角、俯角、坡度与解直角三角形1．仰角：从下向上看，视线与水平线的夹角． 2．俯角：从上往下向看，视线与水平线的夹角． 3．坡度i ＝hl ＝tanα.二、自学互研 生成能力知识模块一 直角三角形的性质典例1：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4cm ，∠BAD ＝45°，BD ⊥AC 于D ，则△ABC 的面积是__42cm 2__．(典例1)知识模块二 锐角三角函数典例2：如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝a ，且cosa ＝35，AB ＝4，则AD 的长为( B )(典例2)A ．3 B.163 C.203 D.165 知识模块三 特殊角三角函数值典例3：计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－1－12＋(π－3)0.解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝1＋3＋1＝5.知识模块四 仰角、俯角、坡度与解直角三角形典例4：如图，在数学活动中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆底端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的水平距离CD 为9m ，则旗杆的高度是多少？(结果保留根号)(典例4)解：在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝AD DC ＝AD 9＝33，∴AD ＝33，同理：BD ＝9，∴AB ＝AD ＋BD ＝(33＋9)m.答：旗杆的高度是(33＋9)m.三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 直角三角形的性质知识模块二锐角三角函数知识模块三特殊角三角函数值知识模块四仰角、俯角、坡度与解直角三角形四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：______________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 解直角三角形》教学案例_6
解直角三角形第一课时学习目标：1、能说出解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形；2、使学生能发现解直角三角形所需的最简条件，用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决；重点：直角三角形的解法。
难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
学习导航：一、课前预习完成以下题目1、在直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素之间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系： sinA=＿ cosA=＿ tanA= ＿cotA=__(2)三边之间关系：勾股定理_______ (3)锐角之间关系：________。
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12,求∠A的各个三角函数值。
3、自述30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切、余切值。
4、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知c=15,∠B=60°,求a.5、在Rt△ABC中，∠C=90°,已知∠A=45°,b=3，求c.你有哪些疑问？小组交流讨论。
师：你有什么看法？设计意图：数学知识是环环相扣的，课前预习能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。
带着他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。
二、探究新知例1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：5已知a＝5， b＝3（1）题目中已知哪些条件，还要求哪些条件？（2）请同学们独立思考，自己解决。
（3）小组讨论一下各自的解题思路，在班内交流展示。
通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？学生讨论得出“解直角三角形”的含义（课件展示）：“在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。
”（学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，即条件。
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第24章解直角三角形24、1 测量教学目标使学生了解测量是现实生活中必不可少的，能利用图形的相似测量物体的高度，培养学生动手知识解决问题的能力和学习数学的兴趣。
教学过程一、引入新课测量在现实生活中随处可见，筑路、修桥等建设活动都需要测量。
当我们走进校园，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，我们也许会想，高高的旗杆到底有多高，能否运用我们所学的知识把旗杆的高度测量出来呢?二、新课1．根据同学们课前预习的，书上阐述的测量旗杆高度的方法有几种?你是如何理解的呢?(待同学们回答完毕后再阐述，这里重要的是让同学们画出示意图)课上阐述测量旗杆的方法。
第一种方法：选一个阳光明媚的日子，请你的同学量出你在太阳下的影子的长度和旗杆影子的长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度。
(如图所示)由于太阳光可以把它看成是平行的，所以有∠BAC＝∠B1A1C1，又因为旗杆和人都是垂直与地面的，所以∠ACB＝∠A1C1B1＝90°，所以，△ACB∽△A1C1 B1，因此，BCAC＝B1C1A1C1，则BC＝AC×B1C1A1C1，即可求得旗杆BC的高度。
如果遇到阴天，就你一个人，是否可以用其他方法测出旗杆的高度呢?第二种方法：如图所示，站在离旗杆的底部10米处的D点，用所制作的测角仪测出视线与水平线的夹角∠BAC=34°,并且已知目高AD为1米,现在请你按1:500(根据具体情况而定,选合适的即可)比例将△ABC画在纸上，并记作△A1B1C l，用刻度尺量出纸上B l C l 的长度,便可以计算旗杆的实际高度。
由画图可知:∵∠BAC＝∠B l A l C l＝34°，∠ABC＝∠A1B1C l＝90°∴△ABC∽△A l B1C l∴B l C1＝1500∴BC＝500B l C l，CE＝BC＋BE，即可求得旗杆的高度。
2．带领同学们到操场上分别用两种方法测得相应的数据，并做好记录。
(指导学生使用测角仪测出角度)三、小结本节课是用相似三角形的性质来测量旗杆的高度，同学们在学习中应掌握其原理，并学会应用知识解决问题的方法。
四、作业1．课本第99页习题24．1。
2．写出今天测量旗杆高度的步骤，画出图形，并根据测量数据计算旗杆的高度。
24、2 勾股定理第一课时勾股定理（一）教学目标用试验的方法使学生知道直角三角形的边与边的关系（勾股定理）增强学生对勾股定理的感性认识，并能用勾股定理解决一些简单的问题，渗透探索问题的思想与方法。
教学过程一、复习直角三角形是特殊的三角形，其中一个角是直角，两个锐角具有互余的关系。
那么，直角三角形的三边具有什么关系呢?本节课就是要研究直角三角形三边的关系。
二、新课1．等腰直角三角形边与边的关系。
如图，是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中的三个阴影的小正方形P、Q、R，它们的面积具有什么关系呢?显然可以看出：S阴R＝S阴P＋S阴Q即AB2＝BC2＋AC2，这说明，等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么，在一般的直角三角形中，是否也有两直角边的平方和等于斜边的平方呢?2．任意直角三角形三边的关系。
探索l，发给每位同学印有右图的纸片，让学生观察图形，而后回答以下问题。
如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积＝＿＿＿＿平方厘米；正方形Q的面积＝＿＿＿＿平方厘米；正方形R的面积＝＿＿＿＿平方厘米；(这里正方形只的面积相当难算，教师要给予点拨，要多花时间让学生思考才能得出。
)通过以上练习，同学们可以发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是＿＿＿。
探索2．在方格中，用三角尺画出两条直角边分别为5cm和12cm的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
由上述的练习我们可以得出直角三角形ABC的三边的长度之间的关系：AB2＝BC2＋AC2。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
3．勾股定理的简单应用。
例1．如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为 2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。
(精确到0.01米)例2．已知：直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝17。
求AB4．练习：课本第102页的练习题。
三、小结这节课我们通过具体的实例验证了直角三角形三边之间的关系，实际上，勾股定理在我国古代早已被发现和运用，今天我们只不过做了粗略的探讨。
通过本节课的学习，同学们一方面要掌握勾股定理的内容，另一方面要能运用它来计算直角三角形边的长度。
四、作业1．课本第104页习题24．2的第1、2小题。
2．课本第124页复习题的第1题。
第二课时勾股定理教学目标上节课学生感性认识了勾股定理，本节课通过给出一些证明勾股定理的方法，学生理性认识勾股定理，同时渗透方程思想，寓德于教，进一步运用勾股定理解决问题。
教学过程一、对勾股定理的回顾如图，△ABC是Rt△，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，那么a、b、c具有什么关系呢?(a2＋b2＝c2)，勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么，同学们是否能够想出证明这个定理的方法呢?1勾股定理的证明思路与方法。
发给每位同学与右图完全相同的四个直角三角形，然后将它们拼成如图所示的图形。
问：大正方形的面积可以表示为＿＿＿＿，又可以表示为＿＿＿＿。
对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论。
提问后再给出提示。
一方面，大正方形的面积可表示为；(a＋b)2;另一方面又可表示为：12ab×4＋c2＝2ab＋c2,所以(a＋b)2＝2ab＋c2即a2＋b2＝c2用四个完全相同的直角三角形，还可以拼成右图所示的图形。
与上面的方法类似，也可以证明勾股定理是正确的。
(请同学们模仿上面的证明方法，就右图给出勾股定理的证明)一方＋4×1 2面，大正方形的面积为c2，另一方面，大正方形的面积为(a－b)2ab，所以，a2＋b2＝c2。
2．进一步应用勾股定理解决问题。
例1．如图，为了求出湖两岸A、B的两点之间的距离，一个观测者在点设桩，使三角形恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米。
问从A点穿过湖到点B多远?练习：课本第104页第1、2题。
3．勾股定理史话，增强学生的民族自豪感。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
上面的图四称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。
在北京召开的2002国际数学家大会(TCM－2002)的会标，其图案正是“弦图”，它标致着中国古代的数学成就。
勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史。
远在公元前三千年的巴比伦人就知道和应用它了，我国古代也发现了这个定理。
据《周髀算经》记载，商高(公元前1120年)关于勾股定理已有明确的认识。
人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁先发现的。
国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派(公元前580一前500)首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理。
三、小结本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两种方法证明了这个定理，同学们；在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果；不是直角三角形应该构造直角三角形来解决。
四、作业课本第104页第1、2、3、4、5题。
24、3 锐角三角函数1．锐角三角函数第一课时锐角三角函数(一)教学目标使学生了解在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的；通过实例认识正弦、余弦、正切、余切四个三角函数的定义。
并能应用这些概念解决一些实际问题。
教学过程一、复习由上节课例题若加改变得，若AC＝160cm，∠C＝31°，那么，AB的长度为多少呢?同学们现在或许不能解决上述问题，但是通过这节课的学习，以上问题自然很容易得到解决。
二、新课1．明确直角三角形边角关系的名称。
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，我们已经知道∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示。
如右图，在Rt△EFG中，请同学们分别写出∠E、∠F的对边和邻边。
2．在直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
问题1如右图，△ABC和△A1B1C1中，若∠C＝∠C1＝∠90°，∠A＝∠A1，那么△ABC和△A1B1C1相似吗?与相等吗? BCAB和B1C1A1B1相等吗？显然△ABC∽△A1B l C l，BCAB＝B1C1A1B1，这说明在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变，那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与斜边的比值是一个固定值。
这说明，在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的。
3．锐角三角函数的概念。
Rt△ABC中(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sinA＝∠A的对边斜边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cosA＝∠A的邻边斜边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tanA＝∠A的对边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切，记作cota＝∠A的邻边∠A的对边同学们想一想，在Rt△ABC中，∠B的正弦、余弦、正切、余切是哪一边与那一边的比值。
问题2．锐角三角函数都是正实数吗?为什么?若∠A是锐角，0＜sinA＜l，0＜cosA＜l，tanAcotA＝1，为什么?4．例题讲解。
例1．求出右图所示的Rt△ABC中∠A的四个三角函数值。
例2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a:b＝3:2，c＝13，求∠A、∠B的四个三角函数值。
三、练习课本第109页练习的第1、2两题。
四、小结在直角三角形中，当锐角一定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值是固定的，这几个比值称为锐角的三角函数，它反映的是两条线段的比值，对于三角函数的概念，同学们必须深刻理解后再记忆，不要混淆。
五、作业课本第11l页习题24．3的第1、2题，课本第120页复习题的第8题。
第二课时 锐角三角函数(二)教学目标使学生进一步掌握三角函数的概念，并能熟练运用此概念探索30°、45°、60°等角度的三角函数值，培养学生运用知识解决问题的能力。
教学过程 一、引入新课如图，这是一块三角形草皮，∠A ＝60°，AB ＝2米，AC ＝ 1.8米，那么这块三角形的草皮面积为多少呢?让同学们思考并加以引导，过C 点作AB 的垂线CD ，垂足为D ，我们知道，CDAC＝sinA ，CD＝ACsin60°，AC 是已知的，假如sin60°能够知道，那么CD 就可求，那么这个问题就得到解决。