为“三垂线定理及其逆定理”证明
三垂线定理及逆定理
小结：
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
线射垂直
定 理 逆 定 理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
练习 判断下列说法是否正确
（1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 （2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 （3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （ ×） （4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （ ×） （ ×） （×）
三垂线定理
变式：正方体ABCD-A’B’C’D’ 中， E,F分别是AA’,AB上的 A’ 点,EC’⊥EF E
求证:EF⊥EB’
A
D’
C’
B’
D F B
C
思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则 A在底面BCD上的射影是底面BCD的 垂 心。 （2）在四面体ABCD中，AB、ＡＣ、 ＡＤ互相垂直，则A在底面BCD上的射 影是底面BCD的 垂 心
斜线的射影
l
P O
直线OQ称为 斜线l在平面α 内的射影
斜线上任意一点 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。
α
Q
线段OQ称为斜线段PO在 平面α内的射影
A
B
N
M
O
从平面内一点发 出的斜线段，斜线段 长度相等，射影一定 相等吗？
从平面内一点发出的斜线段，射影长 度相等，斜线段一定相等吗？ 思考：直线在平面内的射影一定是直线吗？
三垂线定理及逆定理
(07高考复习)
复习目标：
三垂线定理是反映三种垂直之间关系 定理，要求熟练掌握三垂线定理及逆 定理，并据此能够进行推理、论证和 解决有关问题。
一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC， ∠ABC=90°，求证：BC⊥PB。
证明：∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC 内，∴ PA⊥BC，又∠ ABC=90°， ∴BC⊥AB，∴BC⊥平面 PAB ， PB 在 平面PAB内，∴BC⊥PB
PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
D
C
A
B
（用
E
D C
B
cos
ABC
S ADE
）
小结：求二面角往往是作出二面角的平面角， 先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在二 面角的二个半平面上做棱的两条垂线以找到 平面角，从而转化为平面问题来解决。作二 面角的平面角的方法有（1）定义法，（2） 三垂线定理法，（3）作垂面法。此外射影面 积定理也是求二面角大小的一种常用方法。 (学习空间向量之后,我们还有另外的方法来 求二面角,例如法向量法等.)
（A）垂直
（B）异面
（C）相交
（D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它 的另外三个面（ C ） （A）至多只能有一个直角三角形 （B）至多只能有两个直角三角形
三垂线定理及其逆定理课件
三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理知识点：1.三垂线定理；；2.三垂线定理逆定理；3.综合应用； 教学过程：1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面一条斜线在平面内射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；已知：,PA PO 分别是平面α垂线和斜线，AO 是PO 在平面α射影,,a α⊂a AO ⊥。
求证：a PO ⊥； 证明： 说明：（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；（2）证明线线垂直方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间垂直关系。
（4）直线a 及PO 可以相交，也可以异面。
（5）三垂线定理实质是平面一条斜线和平面内一条直线垂直判定定理。
例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。
求证：PC BC ⊥。
例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 中点。
求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。
PBB例4.在正方体1AC 中，求证：11111,AC B D AC BC ⊥⊥；2．写出三垂线定理逆命题，并证明它正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明：例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。
求证：（1）AD BC ⊥；（2）点A 在底面BCD 上射影是BCD ∆垂心；PDAB C1A C例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面内射影在这个角平分线上 已知： 求证：说明：可以作为定理来用。
例5．已知：Rt ABC ∆中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 斜线，。
(1)求PA 及面ABC 所成角大小;(2)当PA 长度等于多少时候，点P 在平面ABC 内射影恰好落在边BC 上；B作业：1.正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别是1,A A AB 上点,1EC EF ⊥. 求证: 1EF EB ⊥。
亳州一中三垂线定理及逆定理
C
⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 b垂直 于a在平面α内的射影，则 a⊥b
已知：PA，PO分别是平 面 的垂线和斜线，AO 是PO在平面 的射影， P
l
a , a ⊥AO，
l 平行于 a 。 求证： l 垂直于PO
A
O
a
α
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P
A
O
a
？
α
P A
线斜垂直
O
a
三垂线定理基本图形的特点分析:
P
1:一面
2:四线 3:三垂直
P
O
a
A
a
线面垂直
线射垂直
线斜垂直
A
O
例1 :已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ， AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC
证明：∵ P 是平面ABC 外一点 P
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 A B
小结：
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
线射垂直
定 理 逆 定 理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
a
α
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
P
已知：PA，PO分
别是平面 的垂线和斜
线，AO是PO在平面
A
O a 的射影,a ,a ⊥PO
α
求证：a ⊥AO
线射垂直 定逆定理理线斜垂直
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理及其逆定理
P
A
2020/8/10
B C
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥ 平面AC,DD1为平面AC的垂线，BD1为平面AC的 斜线。
D1
思考：
A1
1、直线BD,AC和BD1之间有 怎样的位置关系？
D
2、总结：
A
C1 B1
C
B
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个
D1
C1
A1 D
A
B1
C FE
B
影，则 a⊥b
（× ）
⑶ 若a是平面α的斜线，直线b α
且b垂直于a在一平面β内的射
影则a⊥b
（× ） D
⑷ 若a是平面α的斜线,b∥α,直线
b垂直于a在平面α内的射影，
A
则 a⊥b
（√ ）
C1 B1
C B
例2 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
证明：作AO⊥平面BCD于点O，
连接BO，CO，DO，则BO，
A
CO，DO分别为AB，AC，
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
三垂线定理及三垂线逆定理
BC ⊥ PC
A O BPB=PC, M是BC的中点, 求证：BC⊥AM P
C A M
证明: PB=PC
B M= M C
BC ⊥ PM
B BC⊥AM
PA⊥平面PBC
我们要学会从纷繁的已知条件和各式各样的位置 图形中找出或者创造出符合三垂线定理的条件
P
解 题 回 顾
证明: 连结AC, CC1⊥平面ABCD BD⊥AC AC1⊥BD 同理AC1⊥A1B
D
D1 C A A1
B1
B
AC1⊥平面BA1D.
本节课到此结束，请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢！
作业：见题单
再见!
例 在空间四边形ABCD中,已知 CD ⊥ AB , BD ⊥ AC. 求证：BC ⊥ AD . 证明:
A
作AO⊥平面BCD于点O CD ⊥ AB
CD ⊥ BO
同理 BD ⊥ CO O是△BCD的垂心 BC ⊥ DO AO⊥平面BCD BC ⊥ AD.
B O D
C
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, C1 求证：AC1⊥平面BA1D.
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直.
线射垂直
定 理
逆 定 理
P
a
线斜垂直
A
O
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
α
A
O
a
P
α
P
A O
a
A
C
9.4.5三垂线定理及其逆定理
D
E
.
F1
C
A
P
B
三垂线定理
例5、 设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA = 3，PB = 4， PA、PB、PC两两互相垂直 两两互相垂直， 3， 4， PC = 6，求点P到平面ABC的距离。 6，求点P到平面ABC的距离。 ABC的距离 P
解: 作PH⊥平面ABC， PH⊥平面ABC， 平面ABC 连AH交BC于E，连PE AH交BC于 ∵PA、PB、PC两两垂直 ∵PA、PB、PC两两垂直 ∴PA⊥平面PBC PA⊥平面 平面PBC ∴PA⊥BC
A
D
4
300 O 3 C
α
B
证：作CD ⊥AB BO⊥OC ⊥ CO ⊥面AOB AO ⊥面α 连结OD 由三垂线定理 ∴DO⊥AB ⊥
在Rt△COD中，CD= 15
在Rt△AOD中， OD=AOsin∠DOA= 2 3
例4：已知矩形 ：已知矩形ABCD中，AB= 3 3 ，BC=3，沿 中 ， 对角线BD将 折起， 移到C′点 对角线 将△BCD折起，使点 移到 点，且C′ 折起 使点C移到 点在平面ABD上的射影 恰在 上 求证（1） 上的射影O恰在 点在平面 上的射影 恰在AB上 求证（ ） BC′⊥平面 ⊥平面AD C′ （2） 求 ） 6 到平面B 点A到平面 C′D的距离 到平面 的距离 （3）求直线 ） AB与平面 C′D所成的角 与平面B 与平面 所成的角
B A C H E
AH为PA在平面ABC内的射影 AH为PA在平面ABC内的射影 在平面ABC ∴BC⊥AH，即BC⊥AE，又AE在平面PBC内的射 BC⊥AH， BC⊥AE， AE在平面PBC内的射 在平面PBC 影是PE PE， 影是PE， ∴BC ⊥PE 4×6 12 Rt△PBC中 在Rt△PBC中，PE= ------ = ---13 42+62 144 2 29 Rt△APE中 在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ --- = ---13 13
灵活活用三垂线定理及其逆定理解题
灵活活用三垂线定理及其逆定理解题三垂线定理及其逆定理揭示了平面内的直线与平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影这三线的垂直关系，简化了线面垂直，从而证明线与平面内直线垂直的过程大大被简化．下面举例说明如何灵活运用两定理解题．【例１】 已知a ，b 为异面直线，A 、C 两点在a 上， B 、D 两点在b 上，且AB ⊥CD ， AD ⊥BC ，如图1，求证：直线a ⊥直线b【分析】根据已知中的线线垂直，可选择平面BCD ，相对这个平面使用三垂线定理的逆定理，可证出A 点在平面BCD 内的射影为∆BCD 的垂心，再使用三垂线定理即可得证．【证明】过A 作AO ⊥平面BCD 于O ， 连结BO 、CO 、DO∵ AB ⊥CD ，∴AO ⊥平面BCD ∴由三垂线定理的逆定理：BO ⊥CD 同理，DO ⊥BC ，∴ O 为∆BCD 的垂心，∴BD ⊥CO由三垂线定理得，AC ⊥BD ，即直线a ⊥直线b【评注】此例证明中由已知线线垂直，选取平面BCD ，作出AO ⊥平面BCD 来使用三垂线定理及逆定理，是证明的关键．因此在解题、证题时，结合题设条件选择哪一个平面来使用三垂线定理及逆定理是十分重要的．【例2】如图2，平面α内有Rt ∆ABC ，∠C=900 ，P 是平面α外一点，且PA=PB=PC ， P 点到平面α的距离是40cm ，AC=18cm ，求点P 到BC 的距离．ACBDO图1ab【解析】∵PA=PB=PC ，作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，则AO=BO=CO ， ∴ O 点是∆ABC 的外心，又∵090=∠C ，∴O 点落在AB 边的中点上. 作OD ⊥BC,由三垂线定理知PD ⊥BC,∴PD 就是点P 到BC 边的距离. 且OD ∥AC,且OD=21AC ， ∴ OD ＝9(cm) , 在POD Rt ∆中,)(4122cm OD PO PD =+=,所以P 到BC 的距离为41 cm.．【评注】解答本题的关键是根据已知条件，利用三垂线定理寻找到点Ｐ到BC 的距离PD ．进而在POD Rt ∆中解出PD 的长度．例３ 已知Ｐ是正方形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ．过点Ａ作一平面与PC 垂直,且分别交PB 、PC 、PD 于E 、H 、F, 求证：Ｅ、Ｆ分别是Ａ点在直线PB 、PD 上的射影．分析：此题实质上是证明线线垂直，即证明AE ⊥PB, AF ⊥PD ．可考虑用三垂线定理或其逆定理．证明：如图3所示，∵ PA ⊥平面ABCD, ∴PA ⊥BC. ∵AB ⊥BC, ∴BC ⊥平面PA B. ∴PC 在平面PAB 上的射影为PB.∵PC ⊥平面AEHF,⊂AE 平面AEFHF, ∴ PC ⊥AE. 故PB ⊥AE (三垂线的逆定理), 即E 是A 点在直线PB 上的射影. 同理可证, F 是A 点在直线PD 上的射影.ABC OD Ｐ 图２Ｐ A BCDＥ图３ＦＨ评注:与线线垂直有关的问题,一般都能借助三垂线定理或其逆定理来解决.关于定理的应用，关键是找出平面的垂线，射影则是由垂足、斜足、来确定的，因而是第二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明“a ⊥b ”的一个程序：一垂、二射、三证，即：第一：找平面及平面的垂线．第二：找射影线，这时a 、b 便成为平面上的一条直线及一条斜线． 第三：证明射影线与直线a 垂直，从而得出a ⊥b ．。
直线与平面垂直的判定及三垂线定理及其逆定理
因为 A，O，B 三点不共线， 所以 A，O，B 三点确定平面． 所以 OP OA, OP OB.
O A B
又因为 PO2 OA2 PA2 , PO2 OB2 PB2 又因为: OA OB O, 所以: OP . 因此，旗杆OP与地面垂直．
典型例题
例2 如图，已知 a // b, a ，求证
3、判断题：
(1) l l与相交
(2) m ,n , l m, l n l (3) l // m, m // n, l n
练习5
已知：平面 =AB，PC ，PD ，垂足分 别是C、D，CQ AB于Q。求证：DQ AB。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；
垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段 在这个平面上的射影。
A
B
C D
E
从平面外一点向这个 平面所引的垂线段和斜线 段AB、AC、AD、AE… 中，哪一条最短？
垂线段比任何一条斜线段都短
A
OB=OC AB=AC
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
例3、在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，取 DD1 的中 点E，AB和CD交于O点，求证： 1 平面EAC OB
D1 C1
A1 E
B1
D O A B
C
练习1
如图,在空间四边形ABCD中 , AB＝AD,CB＝CD,K是BD的中点。求证： B BD⊥平面ACK A
A
K
·
D
B
D
变式： C ⑴ 在空间四边形ABCD中，AB＝AD， CB＝CD，求证：BD⊥AC； ⑵ 在⑴中，若E、F分别是BC、CD 的中点，求证：EF⊥AC；
三垂线定理
即一垂二射三证
P a α A o
一、证明线线垂直 P是侧棱 1上的一点，CP=m. 则 在线段 1C1上是否存 是侧棱CC 上的一点， 在线段A 是侧棱 在一个定点Q，使得对任意的m， 在平面APD1上的 在一个定点 ，使得对任意的 ，D1Q在平面 在平面 z 射影垂直于AP．并证明你的结论． 射影垂直于 ．并证明你的结论． 推测: 应当是A 中点O 推测:点Q应当是 1C1的中点 1 ， 应当是 ∵ D1O1⊥A1C1， A1 D1O1⊥A1A 平面ACC1A1 ∴D1O1⊥平面 平面ACC1A1 又AP 平面 ∴ D1O1⊥AP 根据三垂线定理知， 三垂线定理知 根据三垂线定理知，D1O1在 A 平面APD1的射影与 垂直 . x 的射影与AP垂直 平面
C
B
α A
E
由CA＝30，CB＝40，所以 ＝50． ， ＝ ，所以AB＝ ． 由面积公式得 AB•CE＝AC•CB， ＝ ， 易求得CE=24，再由勾股定理可得 易求得 ，再由勾股定理可得DE=26． ．
三、证明线面垂直
例4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， ABCD连结BD 如图，已知正方体ABCD AC， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C 求证： 平面AB
D1 O1 B1 C1
的正方体AC 例2 (06湖北 )如图，在棱长为 的正方体 1中， 湖北 如图，在棱长为1的正方体
P
D B C
y
பைடு நூலகம்法二
若存在这样的点 Q ， 设此点的横坐标为 x， 则 Q ( x , 1 − x , 1 )， DQ = ( x,1− x,0) ， 1 对任意的m要使在平面上的射影垂直于 对任意的 要使在平面上的射影垂直于 AP ，
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
三垂线定理及其逆定理
C
A
B
线射垂直
三垂线定理：
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线的射影垂 直，那么，它就和这条斜线垂 直。
三垂线定理的逆定理 ：
在平面内的一条直线，如果和这 个平面的一条斜线垂直，那么， 它也和这条斜线的射影垂直。
线斜垂直
；https:/// 电子杂志制作 电子画册制作 HTML5电子杂志 企业期刊制作 企业内刊制作 ；
a
α
a ,a ⊥PO 求证：a ⊥AO
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边 距离相等，那么这一点在平面上的射影在这 个角的平分线上。 P
E A F C
B
O
已知：∠BAC在平面内，点P， PE⊥AB， PF⊥AC，PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF 求证：∠BAO=∠CAO
A
B O C
D
练
习
1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中 点，F在AB上，且C1E⊥EF，则EF与GD所成 的角的大小为（ D ） A 30° B 45° C 60° D 90° D1 A1 E D C1
B1
M
G
C
EB1是EC1在平面AB1 内的射影
A
F
B
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
例4 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，CD 平面BCD ∴BO⊥CD，同理CO⊥BD， 于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
三垂线逆定理
C1
H
A
B1
4.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面B A1 D
D1
C D
A1
B A定理来自逆定理线斜垂直线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO 分析： 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O
证明： ∵ PO ⊥ F ∴OE、OF是PE、PF在内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 同理可得OF⊥AC
三垂线逆理
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
？
α
P A
线斜垂直
三垂线的逆定理证明
三垂线的逆定理证明引言三垂线的逆定理是平面几何中的一个重要定理，它是三角形理论中的基础性结果。
在本文中，我们将详细证明三垂线的逆定理，并探讨其重要性和应用。
三垂线的定义首先，让我们回顾一下三垂线的定义。
在一个三角形ABC中，我们可以从顶点A、B和C分别向对边BC、AC和AB引垂线。
这些垂线分别称为三角形ABC的高，它们的交点称为三角形ABC的垂心。
三垂线的逆定理三垂线的逆定理陈述如下：如果在一个三角形的内部选择一点P，并分别从P向三条边引垂线，垂线交三边于D、E和F，那么垂线AD、BE和CF交于一点，且这个点是三角形ABC的垂心。
证明过程为了证明三垂线的逆定理，我们将使用以下步骤：步骤1：证明垂心的存在性首先，我们需要证明三角形ABC的垂心存在。
为此，我们可以利用三角形的性质和垂线的定义。
根据垂线的定义，我们知道垂线AD与边BC垂直相交，即∠BAD = 90°。
同理，垂线BE与边AC垂直相交，即∠CBE = 90°。
最后，垂线CF与边AB垂直相交，即∠ACF = 90°。
由于三角形ABC的三个内角和为180°，我们可以得出∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
同时，根据直角三角形的性质，我们知道∠BAD + ∠CBE + ∠ACF = 180°。
将上述两个等式相加，我们可以得到：∠BAC + ∠ABC + ∠ACB + ∠BAD + ∠CBE + ∠ACF = 360°由于∠BAD = ∠CBE = ∠ACF = 90°，我们可以将上述等式简化为：∠BAC +∠ABC + ∠ACB + 90° + 90° + 90° = 360°∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 360° - 270° ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 90°根据三角形内角和的性质，我们知道∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
三垂线的逆定理证明
三垂线的逆定理是指：如果一个点在一个三角形的三条垂线上，那么这个点就在这个三角形的外接圆上。
证明如下：
设三角形ABC的三条垂线分别为AD、BE、CF，垂足分别为D、E、F，外接圆为O。
首先，我们需要证明点D、E、F在外接圆O上。
由于AD是BC的垂线，所以∠ADB = 90°，而∠ACB也是90°，所以四边形ADBC是一个圆周四边形，即点D在外接圆O上。
同理，可以证明点E、F也在外接圆O上。
接下来，我们需要证明如果一个点P在三垂线上，那么它也在外接圆O上。
假设点P在垂线AD上，即∠APD = 90°。
我们需要证明∠APB = ∠ACB。
由于∠APD = 90°，所以四边形APDB是一个圆周四边形，即∠APB = ∠ADB。
又因为∠ADB = ∠ACB，所以∠APB = ∠ACB。
同理，可以证明点P在垂线BE和CF上时，也有∠APB = ∠ACB。
因此，根据外接圆的定义，点P在外接圆O上。
综上所述，如果一个点在一个三角形的三条垂线上，那么这个点就在这个三角形的外接圆上。
高中数学-三垂线定理及其逆定理-人教版[原创]
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p Q O
自一点向平面引垂
线，垂足叫做这点在这 个平面上的射影；
这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平 面的垂线段。
A
B
C
一条直线和一个平面 相交，但不和这个平面垂 直，这条直线叫做这个平 面的斜线，斜线和平面的 交点叫做斜足。
斜斜线线上上一任点意与一斜点足间 的在线平段面叫上做的这射点影到，这一个平 面定的在斜斜线线段的。射影上。
三垂线定理： 在平面
内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线射垂直
定 理
逆 定 理
线斜垂直
例3 在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC
A
B
90°
C
45°
D
练习：
1.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
B 2.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 的平分线所在的直学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
P
解
A Oa
题α
回
顾 A1
C1 B1
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
怎么找？
解 题
一找直线和平面垂直
P
回 顾
二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直
α
A
Oa
三垂线定理及逆定理课件
O
B
C
P 例2 、PA⊥正方形ABCD所在 平面， O为对角线BD的中点， 求证：（1）PO⊥BD （2）PC⊥BD B A O
D C
证明（ : 1） ∵ABCD为正方形， O为BD的中点 ∴ AO⊥BD ∵ PA ⊥平面ABCD ∴ PO在ABCD上的射影是AO ∴ PO⊥BD
（2）同理可证PC⊥BD
三、探索与总结
如图， PA、PO分 别是平面的垂线、 斜线，AO是PO在平 面上的射影，a ，a⊥AO， 求证： a⊥PO
P
O
a
A
证明：
∵ PA⊥ a ∴ a ⊥ PA
∵ a ⊥ AO PA ∩ AO=A ∴ a⊥平面PAO ∵ PO平面PAO ∴ a⊥PO
P
O
a
A
总结 三垂线定理： 在平面内
各位同学 大家好
三垂线定理
第一课时
四川省苍溪县职业高级中学 李元祥
一、知识回顾
1、点在平面内的射影
2、点到平面的垂线段 3、平面的斜线、斜足、斜线段
4、斜线在平面上的射影 5、斜线段在平面上的射影
二、提出问题：
你知道吗？
根据直线和平面垂直的定义，我们知道 ，平面内的任意一条直线都和平面的垂 线垂直。我们想一想，平面内的任意一 条直线是否也都和平面的一条斜线垂直 呢？
P A
D C
B
2、如图所示，有一个长方体形的木块，在上底面 内有一点E，如果想在上底面上画一条经过点E的 线段l，使得l与C、E的连线垂直，应当怎样画？
D1
解析：
由图易知CE在平面A1C1上 的射影是C1E，故在平面 A1C1内过点E作C1E的垂线， 即位所求线段l。
A1