求导法则

'
10’
二、函数的和、积、商的求导法则 （1）代数和的导数
(u v w)' u'v'w'
（2）乘积的导数
注：求导公式（1） 、 （2）可推广到有限 多个的情形。
(uv)' u' v uv'
特别： (cu)' cu'
(uvw)' u' vw uv' w uvw
y f ( x2 ) f ( x1 ) —— 函数 y 对自变量 x 在区间 [ x1 , x 2 ] 上的 x x2 x1
平均变化率； 它表示在这区间内自变量 x 每变化一个单位时函数的平均 变化量。
x 0
lim
f ( x2 ) f ( x1 ) y —— 函数 y 对自变量 x 在 x1 处的 lim x x x 2 1 x2 x1
练习 P68--9 通过练习加深学生 对概念的理解和掌 握
f ' ( x0 ) 、 y ' | x x0 、
dy df ( x ) | x x0 、 | x x0 。 dx dx
' x x0
另：若令 x x0 x ，则有 f ( x0 ) lim
f ( x) f ( x 0 ) 。 x x0
瞬时变化率。 二、导数的定义 （一）定义（见书 P36） 对 y f ( x), x0 , x0 x N ( x0 ) ，若
f ( x0 x) f ( x0 ) y lim x 0 x x 0 x lim
存在，则称 f ( x) 在点 x0 可导。记作：
重点
（3）正弦函数与余弦函数 y sin x ， y cos x ，
(sin x) ' cos x, (
d sin x cos x) dx d cos (cos x) ' sin x, ( sin x) dx
（4）对数函数 y loga x ，
d loga x 1 1 1 (loga x) loga e , ( ) x x ln a dx x ln a
三、复合函数求导法则
(csc x)' csc x cot x ，等等。
重点 难点
定理 对 y f [ ( x)] ， 分解为 y f (u ) ，u ( x) ， 若 u ' x 、y ' u 存在，则有
y' x f ' (u) ' ( x) y'u u' x 或
证明：略。 思路：由条件可得 lim
u 0
dy dy du dx du dx
y f ' (u ) 存在，再由极限与无穷小的关 理清思路， 讲解清楚 u
系可得 y f ' (u)u u （这里 0(u 0) ）对于任意增
y u u f ' (u ) ，由可导与连续的关系可 x x x u ' ( x) 知当 x 0 时， u 0 ，从而 0 ，又 lim x 0 x
注意： x0 的某邻域是指的实心邻域，即在 x0 点有定义。
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基 导数是平均变化率 本 内 容 教学方法手段 和时间分配
y 在 x 0 时的极限，因此也称之为函数 y x
对自变量 x 的瞬时变化率， 简称变化率。 它反映了因变量随自变量的变 化而变化的快慢程度。 （二）导数与导函数 导函数： f ' ( x) 、 y ' 、
可导 连续
导性。 四、函数的连续性与可导性间的关系 定理：若 y f ( x) 在点 x0 可导 f ( x) 在 x0 连续。 证明：略。 强调：反之不一定成立，即 f ( x) 在点 x0 连续不能推出 f ( x) 在点
x0 可导。
第二节 求导数的一般方法
一、常数和几个基本初等函数的导数 由例 2 及课堂练习知： （1）常函数 y c （ c 是常数） ，
1 ln x ； 1 ln x
2
（3） y ( x 3) tan x 利用求导法则，还可得下列常用导数公式：
(tan x)'
1 1 sec 2 x ； (cot x)' 2 csc 2 x 2 cos x sin x
(sec x)' sec x tan x ；
三、导数的物理意义和几何意义 例 3 自由落体运动的路程 s 与时间 t 之间的函数关系为：
10’ 通过实际中的问题， 讲解数学问题
s
1 2 gt ，则 s 对 t 的平均变化率： 2
2 g (t t ) 2 1 s 1 1 2 gt 2 gt gt t t 2
这实际上就是在 [t , t t ] 这段时间内自由落体的平均下落速度。 当 t 0 时， 即：
'
x x0 0
f ( x) f ( x 0 ) ； x x0 f ( x) f ( x0 ) 。 x x0
右导数 f ( x0 ) lim
'
x x0 0
定理：若 y f ( x) 在点 x0 可导 f ( x) 在 x0 处的左、右导数都 存在且相等。 （三）求导数的四步法则（见书 P43） ① 给自变量 x 以增量 x ，求： f ( x x) ； ② 求函数增量： y f ( x x) f ( x) ； 10’ 通过导数定义的学 习， 引导学生得到求 导的法则 重点
量 x （ x 0 ）有 则对上式两边求极限可得结论。 因此， 复合函数 y f [ ( x)] 的导数等于该函数 y 对中间变量 u 的 此时把
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基 本 内 容 教学方法手段 和时间分配 导数乘以中间变量 u 对自变量 x 的导数。 进一步，此法则公式可以推广到多个中间变量的情形，如：
切线垂直与 x 轴） 。
例 5 求 y x 2 在 M ( , ) 处的切线方程。
3 9 2 4
例 6 讨论函数 f ( x)
1 x sin , x 0 在 x 0 处的连续性和可 x x0 0
5’ 难点 分析讨论引入连续 与可导间的关系 引导学生归纳总结 出：
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第 3 次课 课程名称 专业层次 授课时间 2016 年 11 月 4 日 第 1～3 节课 高等数学 药学四年制本科 年 级 教 员 2016 授课方式 教案完成时间 2016 年 10 月 26 日 职 称 讲授 副教授 学时 3
授课题目（章，节）
第二章 导数与微分 §1.导数 §2.求导的一般方法 基本教材： 《高等数学》 ，顾作林主编，人民卫生出版社， 2011 年，第五版 参考书： 《医科高等数学》 ，张选群主编，高教出版社，2009 年， 第二版
10’ 通过学生的自行学 习得到简单函数的 求导公式
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基 本 内 容 教学方法手段 和时间分配
c ' 0, (
dc 0) dx
特别：
（2）幂函数 y x n ，
(ln x ) '
( x ) nx
n '
n 1
dxn , ( nxn1 ) dx
1 x
f ' ( x0 ) 存 在 ， 则 曲 线 在 点 M ( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 方 程 为 ：
若曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 的导数 y y0 f ' ( x0 )(x x0 ) ；
f ' ( x0 ) 为 ，则曲线在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为：x x0（即
y f ( x x) f ( x) ； x x y f ( x x) f ( x) lim ④ 求极限： lim 。 x 0 x x 0 x
③ 算比值：
例 1 函数 f ( x)
x ，求 f (9), f ( x0 ) 。
例 2 求下列函数函数的导数 f ( x) 。
签名：
年 月 日
签名：
年 月 日
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基 本 内 容 教学方法手段 和时间分配
第二章 导数与微分 （Derivative and Differential）
微分学是微积分的重要组成部分， 是从数量关系上描述物质运动的 数学工具，它的基本概念是导数与极限概念，回忆 x, y 的意义，由此引入 10’
例 4 曲线上某一点的切线斜率。 （见书 P37）
Y
y f ( x)
Q
y
P
T 图形生动直观 多媒体与板书结合

O

x0
x
R
x 0 x
X
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基 本 内 容 教学方法手段 和时间分配 导数的几何意义：对曲线 y f ( x) 而言，函数 y 对自变量 x0 的导 数 f ' ( x0 ) 就是曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率。 导数几何意义的应用： 当曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 的导数
教学重点与难点： 重点：导数的定义；函数和、积、商的求导法则，复合函数 、隐函数、反函数以及参 数方程的求导法则 难点：连续与可导的关系，隐函数、反函数以及参数方程的求导法则和对数求导法则 教学方法与手段： 教学方法：讲授式与启发式为主，讨论与练习穿插其中。 教学手段： （1）板书与多媒体相结合，信息量大同时又直观； （2）通过图形强调导数概念 “瞬时变化率” ； （3）为了帮助学员对概念的理解，适当利用一些生活中简单的实例。 （4）以有代表性的实例说明本课程的重要性，让学生逐步进入大学的学习。 教学组长审阅意见： 教研室主任审阅意见：