经济数学课件 6.2 随机事件的概率

设A1，A2，, Am为有限个两两互斥事件，则
P( A1 A2 Am ) P( A1) P( A2 ) P( Am ).
证 A1 A2 Am A1 A2 Am +
++ + ···, P( A1 A2 Am ) P( A1 A2 Am + + ···) P( A1) P( A2 ) P( Am ) P()+ P()+ P( A1) P( A2 ) P( Am ). ···
P( A B) P( A) P(B) P( AB).
证 由图可得, A B A (B AB),
A AB B
故 P( A B) P( A) P(B AB).
又由性质（4） 得
P(B AB) P(B) P( AB),
因此得 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
(2) P() 1, P() 0;
(3) 对于可列多个两两互斥的事件A1, A2, ,
P( A1 A2 Am＋ ) P( A1 ) P( A2 ) P( Am ) .
五、概率的公理化定义
1933年 , 苏联数学家柯 尔莫哥洛夫(1903-1987 ) 提出了概率论的公理化结 构，给出了概率的严格定 义，使概率论有了迅速的 发展.
P( A1 A2 Am ) P( A1) P( A2 ) P( Am ) .
则称P(A)为事件A的概率.
2. 性质1.4 (公理化概率定义的性质）
(1) P()=0 证 = + + + ···,
P()=P()+P()+P()+ ···, P()=1 , P()=0.
(2) 有限可加性:
2. 性质1.1 (概率统计定义的性质)
(1) 对任一事件A ,有 0 P( A) 1;
(2) P() 1, P() 0;
(3) 对于两两互斥的有限多个事件A1, A2, , Am , P( A1 A2 Am ) P( A1 ) P( A2 ) P( Am ). 证 (1) 显然成立;
(2) 由于Ω是必然事件, 每次试验均发生, 则其频
率恒等于1, 自然p=1;
对于， 由于它是不可能事件，每次试验 均
不可能发生，则其频率恒等于0，p 0;
(3) 由于A1, A2, , Am两两互斥，所以A A1 A2
Am的频率
r n
与A1,
A2 ,
,
Am的频率
r1 n
,
r2 n
,
, rm n
(3) 逆事件的概率: 对于任意事件A，有 P( A) 1 P( A).
证
A A ,
P( A) P( A) P( A A) P(Ω) 1, 即 P( A) 1 P( A).
(4) 若A B，则 P( A B) P( A) P(B).
证 B A, A A B B ( A B).
满足等式
r r1 r2 nnn
根据定义1.2知
rm , n
P( A1 Am ) P( A1) P( Am ).
注 1 概率的统计定义直观地描述了事件发生
的可能性大小，反映了概率的本质内容。
2
fn( A)nA nFra bibliotek与P(A)的区别
fn( A)
nA n
是一个随机数,
是变数,
它与
随机试验有关; 而 P(A) 是一个确定的数!
1, 2, , n发生的可能性相等.
则称E所描述的概率模型为古典概型.
2. 古典概型中事件概率的计 算公式
定义1.3 设试验 E 的样本空间由n 个样本点
构成 , A 为 E 的任意一个事件, 且包含 m 个样本点 ,
则事件 A 出现的概率记为:
P( A)
m n
A 所包含样本点的个数 样本空间Ω所含样本点的总数
.
称此为古典概型的概率定义.
例1: 某宾馆共有职工200人，其中女性有160
人. 现从所有职工任选一人，选得男性的概率是 多少？
解 样本点总数：n = 200(人) 事件A =“选得男性” A所包含的样本点数(即男性职工数)为： m = 200-160=40(人)
P( A) m 40 1 0.2. n 200 5
E为几何概型随机试验.
2.定义1.5(几何概率的定义)
对于随机试验E，以m(A)表示事件A的 几何度量，为样本空间. 若 0< m()<+, 则 对于任一事件A，定义其概率为
P( A) m( A) . m(Ω)
3.性质1.3(几何概型的概率性质)
(1) 对任一事件A ,有 0 p( A) 1;
(1) 0 P(A) 1, P() 1, P() 0;
(2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
1.定义1.7 设E是随机试验，是它的样本空间， 对于E的每一事件A赋予一个实数，记作P(A)， 若P(A)满足下列三条公理：
(1) 非负性：对于每一事件A，有 P(A)≥0; (2) 规范性：P()=1; (3) 可列可加性：对于两两互斥的事件A1，A2，,
即i j时，Ai Aj ( i, j =1,2, …), 则有
结论: 频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐
增大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反 映了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事 件的概率.
二、概率的定义与性质
1.定义1.2 在随机试验中,若事件A出现的频率
nA n
随
着试验次数n的增加,趋于某一常数p ,0 p 1,
则定义事件A的概率为p ,记作P(A)=p .
一般地，对于任意n个事件A1，A2，，An, 有
P(
n
Ai )
n
P( Ai
)
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) … (1)n1 P( A1A2 An ).
1i jkn
例: 从5双不同的鞋子中任取4只,求4只鞋子中至
少有2只鞋子配成一双的概率是多少?
解法1 设A 4只鞋子中至少有两只配成一双,
(3) 若 A1, A2, , Am 是两两互不相容的事件,则
f ( A1 A2
Am ) fn( A1) fn( A2 ) fn( Am ).
实验者
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
m 2,
P(C
)
Cnm
(
N Nn
1)nm
C320 (364)28 36530
.
(4) 设 D=“至少有两人的生日在10月1日”,
D1=“恰有一人的生日在10月1日”, D2=“无一人的生日在10月1日”, 则 D1与D2互斥，且 D D1 D2,
P(D)
P( D1 )
P( D2 )
C310 (364)29 36530
f (H ) n的增大 1 . 2
从上述数据可得 (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同; (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性. 即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.
第六章 随机事件与概率
第二节 随机事件的概率
就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些事件 是不够的，更重要的是对事件发生的可能性做出定 量的描述.这就涉及到一个概念——事件的概率 (Probability). 直观地说，一个事件的概率（记为） 就是能刻画该事件发生的可能性大小的一个数值.因 此，凭直觉我们可以说，在掷一枚硬币的试验中 “出现数字面”的概率为，而在掷一颗骰子的试验 中“出现‘1’点”的概率为. 但是，对一般的事件而 言，单凭直觉来确定其发生的概率显然是行不通的， 必须从客观的本质特征上寻求概率的界定方法. 那么， 概率有客观性吗？数学上如何定义呢？下面，我们 将逐步明确这些问题.
3 当试验次数n很大时，有
P( A)
fn( A)
nA . n
4 概率统计定义的缺陷
(1) 不便于理论研究.
需要作大量的试验,
才能观察出
fn( A)
nA n
的稳定值, 即无法根据此定义计算某事件的
概率.
(2) 在数学上不够严谨.
三、古典概型
1.古典概型定义 若随机试验 E 具有下列两个特征： 1) 有限性 样本空间中，只有有限个样本点：1,2, ,n 即 Ω {1, 2, , n}. 2) 等可能性
一、频率与概率
1. 定义
在相同的条件下 , 进行了 n 次试验 ,在这 n
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发
生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记 n
成 fn ( A).
2. 性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 fn( A) 1;
(2) f (Ω) 1, f () 0;
推论2 P( A B) P( A) P(B).
n
n
一般地， P( Ai ) P( Ai ).
i 1
i 1
推论3 设 A1, A2, A3 是任意三个事件，则
P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A2 A3 )