人教新课标版数学高一-必修一练习方程的根与函数的零点
人教版数学高一-必修一训练方程的根与函数的零点(教师版)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x －4x 的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析： 令f (x )＝0，即x －4x ＝0.∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个，选C.答案： C2．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析： 由根与系数的关系得－3＋x ＝－2aa ，∴x ＝1.即另一个零点是1，故选B.答案： B3．设函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析： 方法一：令f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (0)＝0－⎝⎛⎭⎫12－2＝－4<0，f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－2＝－1<0，f (2)＝23－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，f (3)＝27－⎝⎛⎭⎫121＝2612>0，f (4)＝43－⎝⎛⎭⎫122＝6334>0，∴f (1)·f (2)<0，故x 0所在的区间是(1,2)．方法二：数形结合法，如图所示．答案： B4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则() A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析： y ＝2x 在(1，＋∞)上是增函数y ＝11－x 在(1，＋∞)上是增函数∴f (x )＝2x ＋11－x 在(1，＋∞)上是增函数．∴y ＝f (x )只有x 0一个零点∴x 1<x 0时，f (x 1)<0x 2>x 0时，f (x 2)>0.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0零点的个数为________．解析： x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0解得x ＝－3x ＞0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增f (1)＝－2＜0，f (e 3)＝1＞0故在(0，＋∞)上有且只有一个零点．答案： 26．已知f(x)是R上的奇函数，函数g(x)＝f(x＋2)，若f(x)有三个零点，则g(x)的所有零点之和为________．解析：∵f(x)是R上的奇函数，图象关于原点对称，∴f(x)的三个零点中，一个是原点，另两个关于原点对称，不妨设为－x0，x0，即f(－x0)＝f(x0)＝f(0)＝0.∵g(x)＝f(x＋2)，设g(x)的零点为x1，∴g(x1)＝f(x1＋2)＝0.∴x1＋2＝－x0或x1＋2＝x0或x1＋2＝0.∴g(x)的所有零点之和为－x0－2－2＋x0－2＝－6.答案：－6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解析：方法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg 3－2>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数(图略)，故f(x)有且只有一个零点．方法二：在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．解析：设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．解析： (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0.又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0.∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根，∴f (x )必有两个零点．(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则 g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 1)－f (x 2)]， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12[f (x 2)－f (x 1)]． ∵g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2， 且f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)g (x 2)<0.∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根．。
人教新课标版数学高一-人教A必修一习题 方程的根与函数的零点
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f (x )＝x ＋1x的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0；当x <0时，f (x )<0，但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点，故选A.答案： A2．函数f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(1，e) 解析： 法一：因为x >0，所以A 错．又因为f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 在(1,2)，(1，e)上均有f (x )>0，故C 、D 错．法二：取x ＝1e∈(0,1)，因为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e －1<0，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为(0,1)．答案： B3．函数f (x )＝ln x －(x 2－4x ＋4)的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 函数f (x )＝ln x －(x 2－4x ＋4)的零点个数等价于g (x )＝x 2－4x ＋4与φ(x )＝ln x 的交点个数．作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数φ(x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．答案： C4．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析： 若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数，由f (1)·f (2)<0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若f (x )在(1,2)上有两个零点，则必有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故f (x )在(1,2)上有且仅有一个零点．答案： C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析： 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0， 故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)；因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0， 故h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b .答案： a <c <b6．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6， ∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点是－12，－13. 答案： －12，－137．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)上恰有一个零点，则a 的取值范围是________．解析： ∵f (x )＝0在(0,1)上恰有一个解，有下面两种情况：①f (0)·f (1)<0或②⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝0，且其解在(0,1)上， 由①得(－1)(2a －2)<0，∴a >1，由②得1＋8a ＝0，即a ＝－18， ∴方程－14x 2－x －1＝0， ∴x 2＋4x ＋4＝0，即x ＝－2∉(0,1)应舍去，综上得a >1.答案： a >1三、解答题(每小题10分，共20分)8．求下列函数的零点：(1)f (x )＝2x ＋b ；(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3；(3)f (x )＝log 3(x ＋2)；(4)f (x )＝2x －2.解析： (1)令2x ＋b ＝0，解得x ＝－b 2，即函数f (x )＝2x ＋b 的零点是x ＝－b 2. (2)令－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，即函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的零点是x 1＝－1，x 2＝3.(3)令log 3(x ＋2)＝0，解得x ＝－1，即函数f (x )＝log 3(x ＋2)的零点是x ＝－1.(4)令2x －2＝0，解得x ＝1，即函数f (x )＝2x －2的零点是x ＝1.9．已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．解析： (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m )>0，可解得m <43. 由Δ＝0，可解得m ＝43；由Δ<0，可解得m >43. 故当m <43时，函数有两个零点； 当m ＝43时，函数有一个零点； 当m >43时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.能力测评10．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析： 在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x 和函数y ＝1x －1的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x 和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1. 因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，所以由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0.答案： B11．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析： ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.答案： 3 012．已知函数f (x )＝2x －x 2，问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？解析： 因为f (－1)＝2－1－(－1)2＝－12<0，f (0)＝20－02＝1>0， 而函数f (x )＝2x －x 2的图象是连续曲线，所以f (x )在区间[－1，0]内有零点，即方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有解．13．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解， 求a 的取值范围．解析： (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. (2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴据此可作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，根据图象得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1).。
【成才之路】高中数学必修一新课标人教版 第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点
第三章
函数的应用
[证明]
假设f(x)＝0至少有两个不同的实根x1，x2，且
不妨设x1<x2，由题意得f(x1)＝0，f(x2)＝0.
∴f(x1)＝f(x2)①
∵f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增函数，由 x1<x2则 f(x1)<f(x2)② 因此①、②相矛盾．假设不成立，故f(x)＝0至多有一
3．函数f(x)＝ax2 －x－1仅有一个零点，求实数a的取 值范围．
第三章
函数的应用
[解析]
1.函数零点就是相应方程的实数根，可用求根
公式或分解因式求解． 3 3 ∴①由4x－3＝0得x＝4，零点是4. ②f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为1和2. ③∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1) 令f(x)＝0得x＝± 1，∴该函数零点为1和－1.
方法：只要判断区间[a，b]的端点函数值的乘积是否有 f(a)·f(b)<0.
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第三章
函数的应用
若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲
线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根0，则f(－ 1)·f(1)的值 ( A．大于0 B．小于0 )
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元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般地由判别式 Δ>0、Δ＝0、Δ<0完成．对于二次函数在某个定义区间上的 零点个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点，则要结 合二次函数的图象进行．
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第三章
函数的应用
(1)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函
必修一高中数学人教版A版必修一第三单元3.1.1方程的根与函数的零点
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§3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
学习目标 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重 点).2.掌握函数零点的判定方法(重、难点).3.了解函数的零点与 方程的根的联系(重点)．
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预习教材 P86－P88，完成下面问题： 知识点 1 函数的零点
课前预习
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课堂小结
1．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续 的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．
2．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标， 也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函 数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题， 这正是函数与方程思想的基础．
答案 C
课前预习
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题型三 判断函数零点所在的区间
【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间
是( )
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
是 0，－12. 答案 0，－12
课前预习
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题型二 确定函数零点的个数
【例 2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－34x＋58； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由 f(x)＝0，即 x2－34x＋58＝0，得 Δ＝－342－4×58＝ －3116<0， 所以方程 x2－34x＋58＝0 没有实数根，即 f(x)零点的个数为 0.
高中数学必修一方程的根与函数的零点(一)
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定；
课堂小结
1. 知识方面：
零点的概念、求法、判定； 2. 数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想.
课后作业
1. 阅读教材P.86~ P.88. 2. 《习案》3.1第一课时.
播放几何画板
思考题 若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是 2和3，求loga25＋b2.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 ＝0 ＜0
探究3 二次函数的零点如何判定? 对于ห้องสมุดไป่ตู้次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
方程 函数 判别式 ax2＋bx＋c＝0 y＝ax2＋bx＋c 的根 的零点 ＞0 两不相等实根 ＝0 ＜0
y
4 2
的零点，并画出它的图象.
-2
B O
2
x
零点为－1，1，2.
-2
-4
拓展
考察函数 ①y＝lgx ②y＝log2(x＋1)
③y＝2x
的零点.
④y＝2x－2
探究4
观察二次函数 f(x)＝x ―2x―3 的图象， 2 如右图，我们发现函数 f(x)＝x ―2x―3 在 y 区间[―2, 1]上有零点. 计算 f(―2)f(1)的乘积， 你能发现这个乘积有什么 特点？在区间[2, 4]上是否 x 也具有这种特点呢？ O
3.1.1方程的根与 函数的零点（一）
复习引入
观察下列三组方程与相应的二次函数 方 程 x2－2x－3＝0 x2－2x＋1＝0 x2－2x＋3＝0 函 数 y＝x2－2x－3 y＝x2－2x＋1 y＝x2－2x＋3
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
新人教A版必修1 3.1.1 方程的根与函数的零点
)
解析：易知 f(x)在其定义域上为增函数． 3 ∵f(6)＝lg 6－ <0， 2 9 f(7)＝lg 7－ <0， 7 9 f(8)＝lg 8－ <0， 8 f(9)＝lg 9－1<0， 9 f(10)＝lg 10－ >0， 10 ∴f(9)· f(10)<0，∴零点在区间(9,10)内．
答案：D
＋1＝0 －2x＋1
Δ＝ 0
(1,0)
x2＝1
方程
对应 判别 方程 函数 式 的根
函数的图象
图象与x轴 交点坐标 无交点
x2－ f(x)＝
2x＋
x2－
Δ＝ 无实
3＝0 2x＋3 2x－4 f(x)＝
－8
数根
x＝ 2
(2,0)
＝0
2x－4
问题2：方程的根与对应函数的图象有何关系？ 提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值， 也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的 f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 一条曲线，并且有 f(a)·
(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值 时，其函数值等于零． 2．根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零
[精解详析]
(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
新人教A版必修1高中数学3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案
高中数学 3.1.1-2方程的根与函数的零点导学案新人教A 版必修1学习目标：1、理解函数零点存在性定理2、能应用零点存在性定理解决问题 学习重点：零点存在性定理的应用 学习过程：一、 观察分析、探究学习1、 判断函数183)(2--=x x x f 在[]8,1∈x 是否存在零点 法Ⅰ：法Ⅱ：2、 根据法Ⅱ总结零点存在定理___________________________________________ 3、 应用1：判断下列函数在给定区间上是否存在零点 （1）1)(3--=x x x f []2,1-∈x（2）x x x f -+=)2(log )(2 []3,1∈x应用2：若)(x f y =的最小值为2，则1)(-=x f y 的零点个数为______个应用3：若函数)0(12)(≠++=k k kx x f 在[]1,1-上存在一个零点，求k 的取值范围应用4：若函数m x m x x f 2)1(-)(2+-=在()1,0上有且只有一个零点，求m 的取值范围二、 数形结合、深化研究1、研究下列函数零点的个数 （1）32)(+-=-x e x f x（2）xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=213log )(22、单调性、奇偶性与零点（1）若奇函数)(x f 的定义域为R ，在()∞+，0上是单调递增函数，0)1(=f ，求)(x f 在()2,2-内的零点个数（2）求函数24)(x x x f -=的所有零点之和三、课后感悟1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.12、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 D.(1,2) 3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 . B ．⎪⎭⎫⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） A ．（0，1）. B ．（1，1.25）C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2）6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()1,2-- B ．()0,1- C ．()1,0 D ．()2,1 7．（10天津文）函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．（10浙江理）设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9．（10浙江文）已知0x 是函数()xx f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f 10．（07湖南文理）函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．（09福建文）若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ） A.()41f x x =- B.()2(1)f x x =-C.()1x f x e =-D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
新课标人教A版数学必修一第三章3.1.1方程的根与函数的零点
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
y
40
.
20
. . －4 －2
－5
－3 －1 0
. .
1 2 34 5
x
－20
.－40
.
.
.－60 .
. －80
它与x轴没有交点，所以方程 2x(x－2)＝－3无实数根。
y
.. 5
3. 4 .
2 1
.
－1 0 1 2 3 x
1(3) x2 ＝4x－4
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x ＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出 函数f(x)的图象，如下：
它与x轴只有一个交点，所以 方程x2 ＝4x－4有两个相等的实 数根。
(0,+∞)内是增函数，所以
2 0
它仅有一个零点。
－2
－4
. . . . x1
x2 x3
.a
bc
..
. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
.
x4 x de
－6
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根： （1）－x2＋3x＋5＝0； 有 没有
（2）2x(x－2)＝－3； 有 没有
. －1
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
－2
＋∞）上的增函数，所以在
.－3
－4
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
3 4x
2021届高中数学新人教版高中数学第一册方程的根与函数的零点含解析
3.1.1方程的根与函数的零点课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数零点的概念a b2.f(x)＝0有实根与y＝f(x)有零点的关系b c3.函数零点的判定b c知识导图学法指导1.会用因式分解、公式法等求一元二次方程的根，并明白与相应二次函数图象间的关系．2．熟悉基本函数(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数)的图象与性质，能根据图象判断零点的情况.知识点一函数的零点1．零点的定义对于函数y＝f(x)，把f(x)＝0的实数x，叫做函数y＝f(x)的零点．函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．2．方程的根与函数零点的关系知识点二函数零点的判定函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，．(3,4)(2)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．①f(x)＝－x2－4x－4；②f(x)＝4x＋5；③f(x)＝log3(x＋1)．＝f(x)的图象，图见解析方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数思路二：画出函数图象，依据图象与x上是一条连续不断的)内至少有一个零解析：方法一 方程x ＋2＝0(x <0)的根为x ＝－2，方程x 2－1＝0(x >0)的根为x ＝1，所以函数f (x )有2个零点－2与1.方法二 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的图象，如图所示，观察图象可知，f (x )的图象与x 轴有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．答案：C解决分段函数的零点个数问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量的取值范围，代入相应的解析式求解零点，注意自变量的取值范围．类型三 判断函数的零点所在的大致区间例3 设x 0是函数f (x )＝ln x ＋x －4的零点，则x 0所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 因为f (2)＝ln 2＋2－4＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3－1>ln e －1＝0，f (2)·f (3)<0.由零点存在性定理，得x 0所在的区间为(2,3)．【答案】 C根据零点存在性定理，对照选项，只需验证区间端点函数值的符号，或可借助于图象分析．方法归纳判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．跟踪训练3 函数f (x )＝2x －1＋x －5的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：f (2)＝22－1＋2－5<0，f (3)＝23－1＋3－5>0，故f (2)·f (3)<0，又f (x )在定义域内是增函数，则函数f (x )＝2x －1＋x －5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．答案：C利用f(a)·f(b)<0求零点区间.[能力提升](20分钟，40分)11．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4y 6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A12．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数是________．解析：方法一函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．方法二因为f(1)＝－2，f(2)＝ln 2＋1>0.所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．答案：113．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．解析：由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y ＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．。
人教A版数学必修一第三章3.1.1《方程的根与函数的零点》讲解与例题
3.1.1 方程的根与函数的零点1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．比如，由于方程f(x)＝lg x＝0的解是x＝1，所以函数f(x)＝lg x的零点是1．辨误区函数的零点不是点我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．例如，函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时仅有一个实根x＝－1，因此函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．【例1】函数f(x)＝x2－1的零点是( )A．(±1,0) B．(1,0)C．0 D．±1解析：解方程f(x)＝x2－1＝0，得x＝±1，因此函数f(x)＝x2－1的零点是±1．答案：D2函数零点(或零点个数)正比例函数y＝kx(k≠0)一个零点0反比例函数kyx=(k≠0)无零点一次函数y＝kx＋b(k≠0)一个零点b k -二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0Δ＞0两个零点－b±Δ2aΔ＝0一个零点－b2aΔ＜0无零点指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)无零点对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)一个零点1幂函数y＝xαα＞0一个零点0α≤0无零点【例2( )A．0 B．1 C．2 D．1或2解析：∵b2＝ac，∴方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2．又∵abc≠0，∴b≠0．因此Δ＜0．故函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点个数为0．答案：A3．函数的零点与对应方程的关系(1)方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．【例3－1】若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a，b的值．解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点就是方程x2＋ax＋b＝0的根，故方程x2＋ax ＋b＝0的根是2和－4，可由根与系数的关系求a，b的值．解：由题意，得方程x2＋ax＋b＝0的根是2和－4，由根与系数的关系，得2(4), 2(4),ab+-=-⎧⎨⨯-=⎩即2,8.a b =⎧⎨=-⎩(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)与二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象联 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 f (x )＝ax 2＋ bx ＋c (a ＞0) 的图象图象与x 轴交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 0,0) 无交点方程f (x )＝0的根 x ＝x 1，x ＝x 2 x ＝x 0 无实数根函数y ＝f (x )的零点x 1，x 2 x 0 无零点式即可．从形的角度沟通函数零点与方程的根的关系．【例3－2】函数y ＝f (x )的图象如图所示，则方程f (x )＝0的实数根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：观察函数y ＝f (x )的图象，知函数的图象与x 轴有3个交点，则方程f (x )＝0的实数根有3个．答案：D点技巧 借助图象判断方程实数根的个数 由于“方程f (x )＝0的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标”，因此，对于不能直接求出根的方程来说，我们要判断它在某个区间内是否有实数根，只需判断它的图象在该区间内与x 轴是否有交点即可．4．判断(或求)函数的零点(1)方程法：根据函数零点的定义可知：函数f (x )的零点，就是方程f (x )＝0的根，因此，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实数根，有几个实数根．例如，判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f (x )＝x ＋3x；(2)f (x )＝1－log 3x ．解：(1)令x ＋3x＝0，解得x ＝－3．故函数f (x )＝x ＋3x的零点是－3； (2)令1－log 3x ＝0，即log 3x ＝1，解得x ＝3． 故函数f (x )＝1－log 3x 的零点是3．(2)图象法：对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图象求解．我们知道，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程F(x)＝0即方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图象的交点问题，作出两个函数的图象，就可以判断其零点个数．【例4－1】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x2＋7x＋6；(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；(3)f(x)＝2x－1－3；(4)f(x)＝24122x xx+--．解析：分别解方程f(x)＝0得函数的零点．解：(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或－6．故函数的零点是－1，－6．(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1．故函数的零点是－1．(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26．故函数的零点是log26．(4)解方程f(x)＝24122x xx+--＝0，得x＝－6．故函数的零点为－6．辨误区忽略验根出现错误本题(4)中解方程后容易错写成函数的零点是－6，2，其原因是没有验根，避免出现此类错误的方法是解分式方程、对数方程等要验根，保证方程有意义．【例4－2】函数f(x)＝ln x－11x-的零点的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：在同一坐标系中画出函数y＝ln x与11yx=-的图象如图所示，因为函数y＝ln x与11yx=-的图象有两个交点，所以函数f(x)＝ln x－11x-的零点个数为2．答案：C,5．判断零点所在的区间零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．但需注意以下几点：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0．则可判定函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(2)当函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上是连续的曲线，但是不满足f (a )·f (b )＜0时，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可能存在零点，也可能不存在零点．例如函数f (x )＝x 2在区间[－1,1]上有f (－1)·f (1)＞0，但是它在区间(－1,1)上存在零点0．(3)函数在区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，且在区间(a ，b )上单调，若满足f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有且只有一个零点．,【例5－1】求函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数． 错解 错解一：由题意，得f (1)＝2＞0，f (4)＝2＞0，因此函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上没有零点，即零点个数为0．错解二：∵f (1)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(1，2.5)内有一个零点；又∵f (4)＝2＞0，f (2.5)＝－0.25＜0，∴函数在区间(2.5,4)内有一个零点．∴函数在区间[1,4]内有两个零点． 错因分析对于错解一，是错误地类比了零点存在性定理，注意当f (a )·f (b )＞0时，区间(a ，b )内的零点个数是不确定的；对于错解二，注意当f (a )·f (b )＜0时，区间(a ，b )内存在零点，但个数是不确定的．正解由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，所以函数f (x )＝x 2－5x ＋6在区间[1,4]上的零点个数是2．【例5－2】函数f (x )＝lg x －x的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9) D ．(9,10)解析：∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0， f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0，∴f (9)·f (10)＜0． ∴函数f (x )＝lg x －9x的零点所在的大致区间为(9,10)． 答案：D6．一元二次方程的根的分布(1)一元二次方程的根的零分布所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系．设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根为x 1，x 2且x 1≤x 2①x 1＞0，x 2＞0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=->⎨⎪⎪⋅=>⎪⎩②x 1＜0，x 2＜0⇔2121240,0,0.b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩③x 1＜0＜x 2⇔ca＜0．④x 1＝0，x 2＞0⇔c ＝0，且b a ＜0；x 1＜0，x 2＝0⇔c ＝0，且ba＞0．(2)一元二次方程的根的k 分布研究一元二次方程的根的k 分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式．②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴2bx a=-与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，则一元二次方程x 1，x 2中有且仅有一个在区间 (k 1，k 2)内f (k 1)·f (k 2)＜0或f (k 1)＝0，k 1＜12<22k k b a +-或f (k 2)＝0，12<22k k b a+-＜k 2．__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________【例6－1】已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的零点至少有一个在原点右侧，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，直线与x 轴的交点为1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数的零点为13，在原点右侧，符合题意．(2)当m ≠0时，∵f (0)＝1，∴抛物线过点(0,1)． 若m ＜0，函数f (x )图象的开口向下，如图①所示．二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．若m ＞0，函数f (x )图象的开口向上，如图②所示，要使函数的零点在原点右侧，当且仅当2(3)40,30,20m m mm m ⎧∆=--≥⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒21090,03,0m m m m ⎧-+≥⎪<<⎨⎪>⎩⇒19,03m m m ≤≥⎧⎨<<⎩或⇒0＜m ≤1．综上所述，所求m 的取值范围是(－∞，1]．点技巧 研究函数图象性质有技巧 对于函数图象性质的研究，一是要注意特殊点，如本题中有f (0)＝1，即图象过点(0,1)；二是要根据题意，画出示意图，再根据图象的特征解决问题．【例6－2】关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，求a 为何值时， (1)方程有一根； (2)两根都大于1；(2)方程一根大于1，一根小于1；(3)方程一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．解：(1)当a ＝0时，方程变为－2x －1＝0，即12x =-符合题意； 当a ≠0时，方程为二次方程，因为方程有一根，所以Δ＝12a ＋4＝0，解得13a =-． 综上可知，当a ＝0或13a =-时，关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有一根．(2)方程两根都大于1，图象大致如下图，所以必须满足：0,0,11,(1)0,a a a f >⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪>⎪⎩或0,0,11,(1)0,a a a f <⎧⎪∆>⎪⎪+⎨>⎪⎪<⎪⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程两根都大于1． (3)因为方程有一根大于1，一根小于1，图象大致如下图，所以必须满足0,(1)0,a f >⎧⎨<⎩或0,(1)0,a f <⎧⎨>⎩解得a ＞0．(4)因为方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，图象大致如下图，所以必须满足(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f ->⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或(1)0,(0)0,(1)0,(2)0,f f f f -<⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩解得a ∈∅．因此不存在实数a ，使方程有一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内．。
方程的根与函数的零点
答案：A
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4．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________． 解析：令f(x)＝0，即x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，即为 函数的零点． 答案：4，－1
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解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得 x＝－2，所以函数的零点为－2. (x－1)(x2－4x＋3) (2)令 ＝0，解得 x＝1，所以函数的零点为 1. x－3 (3)令 4x＋5＝0，则 4x＝－5<0，即方程 4x＋5＝0 无实数根，所以 函数不存在零点． (4)令 log3(x＋1)＝0，解得 x＝0，所以函数的零点为 0.
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3 方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________． 解析：分别作出函数f(x)＝3－2－x与函数g(x)＝x2的图象，如下 图所示．
∵f(0)＝2，g(0)＝0， ∴从图象上可以看出它们有2个交点，从而方程2 －x＋x2＝3有2 个实数解． 答案：2
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类型二 【例 2】 函数零点的存在性问题 1 设函数 f(x)＝ x－lnx(x>0)，则 y＝f(x)( 3 )
1 A．在区间( ，1)，(1，e)内均有零点 e 1 B．在区间( ，1)(1，e)内均无零点 e 1 C．在区间( ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 e 1 D．在区间( ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点 e
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人教A版数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点
小结
函数的零点定义
三个等价关系
函数零点存在性原理
数学思想方法
函
数
化
数
形
归
结
与
方
合
转
程
思
化
思
想
思
想
想
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图像连续方可行 。
注意：零点指的是一个实数，而不是一个点！
方程f(x)=0的实数根
函数y=f(x)的零点
数
函数y=f(x) 的图 象与x轴交点的 横坐标
形
例1、求下列函数的零点：（注意格式）
(1) y x2 x; (2) y log2 x; (3) y 3x 1;
解： (1)令y=0,即x2-x=0； 解得x1=0，x2=1
∴所求函数的零点是0和1 (2) 1 (3) 0
例2：已知函数 f (x) 是定义域为Ｒ的奇函数，且 f (x)
在(0, )上有一个零点，则f (x) 的零点个数为(A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
提升：这三个零点的和是多少？
思考
方程 ln x 2x 6 0 是否有实根？有几个实根
合作探究二
某地0--12时气温变化如图，中间一部分看不清 楚，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完 整的函数图像，这段时间内，是否一定有某时刻 的气温为0°C?为什么？
气温
8
0
12 时间
-4
判断二次函数 f (x) x2 2x 2 在区间 (2,3) 上是否存在零点.
数的角度— 求根法 形的角度— 你会从数来刻画这一图形特征吗？ y
高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A版必修1-新人教A版高一
第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点习题 新人教A 版必修1一、选择题1．下列图象表示的函数中没有零点的是导学号 22840944( )[答案] A[解析] 没有零点就是函数图象与x 轴没有交点，故选A. 2．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是导学号 22840945( ) A ．－12，－1 B.12，1C.12，－1 D ．－12，1[答案] B[解析] 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1.3．方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为导学号 22840946( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) [答案] C[解析] 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，所以方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)，故选C.4．函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是导学号 22840947( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 如答图所示，易知y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点．5．已知曲线y ＝(110)x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值X 围是导学号 22840948( )A ．(0，12)B ．(12，2)C ．(12，1)D ．(1,2)[答案] A[解析] 设f (x )＝(110)x－x ，则f (0)＝1>0，f (12)＝(110)12 －12＝0.1－0.25<0， f (1)＝110－1<0，f (2)＝(110)2－2<0，显然只有f (0)·f (12)<0，选A.6．下列函数中，在[1,2]上有零点的是导学号 22840949( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x＋3x －6[答案] D[解析] A ：3x 2－4x ＋5＝0的判别式Δ<0，∴此方程无实数根，∴f (x )＝3x 2－4x ＋5在[1,2]上无零点． B ：由f (x )＝x 3－5x －5＝0得x 3＝5x ＋5.在同一坐标系中画出y ＝x 3，x ∈[1,2]与y ＝5x ＋5，x ∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．∴f (x )＝0在[1,2]上无零点．C ：由f (x )＝0得ln x ＝3x －6，在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝3x －6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f (x )＝0在[1,2]内没有零点．D ：∵f (1)＝e ＋3×1－6＝e －3<0，f (2)＝e 2>0， ∴f (1)·f (2)<0. ∴f (x )在[1,2]内有零点． 二、填空题7．函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为________.导学号 22840950[答案] 0[解析]∵y ＝f (x )为偶数，∴f (－x )＝f (x )，∴四个根之和为0.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x－4，x ＞0的零点的个数为________.导学号 22840951[答案] 2[解析] 当x ≤0时，令2x 2－x －1＝0，解得x ＝－12(x ＝1舍去)；当x ＞0时，令3x－4＝0，解得x ＝log 34，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x －1，x ≤0，3x－4，x ＞0有2个零点．三、解答题9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.导学号 22840952 (1)f (x )＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f (x )＝x 2＋x ＋2；(3)f (x )＝x 2＋4x －12x －2；(4)f (x )＝3x ＋1－7；(5)f (x )＝log 5(2x －3)．[解析] (1)因为f (x )＝－8x 2＋7x ＋1＝－(8x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，解得x ＝－18或x ＝1，所以函数的零点为－18和1.(2)令x 2＋x ＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f (x )＝x 2＋x ＋2不存在零点．(3)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝x ＋6x －2x －2，令x ＋6x －2x －2＝0，解得x ＝－6，所以函数的零点为－6.(4)令3x ＋1－7＝0，解得x ＝log 373，所以函数的零点为log 373.(5)令log 5(2x －3)＝0，解得x ＝2，所以函数的零点为2.10．已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)有两个零点，一个大于1，一个小于1，某某数m 的取值X 围.导学号 22840953[解析] 设f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)，如图，有两种情况．第一种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＞0，f 1＜0，解得－2＜m ＜－12.第二种情况，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜0，f1＞0，此不等式组无解．综上，m 的取值X 围是－2＜m ＜－12.一、选择题1．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为导学号 22840954( )A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有[答案] C[解析]若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有导学号 22840955( )A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] B3．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为导学号 22840956( )A．1003 B．1004C．2006 D．2007[答案] D[解析]由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，＋∞)内的零点有1003个，所以它在(－∞，0)内的零点也有1003个，又f(x)的定义域为R，所以f(0)＝0.即0也是它的零点，故f(x)的零点共有2007个．4．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)·(x－a)的两个零点分别位于区间导学号 22840957( )A．(b，c)和(c，＋∞)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(a，b)和(b，c)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[答案] C[解析] 由于a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －a )(b －c )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选C.二、填空题5．m 的取值X 围为________时，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1.导学号 22840958[答案]－23<m <2 3[解析] 用数形结合的方法解题．设f (x )＝x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ，则它的开口向上，由图象可得，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1的充要条件为f (1)＝1－(m ＋13)＋m 2＋m ＝m 2－12<0.解得－23<m <2 3.6．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2)*(x－1)，x ∈R ，若方程f (x )＝c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值X 围是________.导学号 22840959[答案] (－2，－1]∪(1,2][解析] 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2－1≤x ≤2，x －1x ＜－1或x ＞2.画出f (x )的图象，数形结合可得实数c 的取值X 围是(－2，－1]∪(1,2]．三、解答题7．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0＜a ＜1).导学号 22840960 (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．[解析] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3＜x ＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)， 由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1，即x 2＋2x －2＝0，x ＝－1± 3.∵－1±3∈(－3,1)，∴f(x)的零点是－1± 3.8．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1,4].导学号 22840961(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点？[解析](1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1,4]，其图象如图所示．(2)∵函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点，∴方程f(x)＝－m在x∈[－1,4]上有两个相异的实数根，即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m≤0，∴0≤m＜4.∴当0≤m＜4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m＜4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1,4]上有两个零点．。
高一数学方程的根与函数的零点练习题(附答案)
高一数学方程的根与函数的零点练习题（附答案）数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。
以下是查字典数学网为大家整理的高一数学方程的根与函数的零点练习题，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。
一、选择题1.已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)0则方程f(x)=0在区间[a，b]上()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根[答案] D2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123456f(x)123.5621.45-7.8211.57-53.76-126.49函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个[答案] B3.(2019～2019山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)0，f(b)0，则f(x)在(a，b)上()A.一定有零点B.可能有两个零点C.一定有没有零点D.至少有一个零点[答案] B[解析] 若f(x)的图象如图所示否定C、D若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)0，f(b)0，则否定A，故选B.4.下列函数中，在[1,2]上有零点的是()A.f(x)=3x2-4x+5B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6D.f(x)=ex+3x-6[答案] D[解析] A：3x2-4x+5=0的判别式0，此方程无实数根，f(x)=3x2-4x+5在[1,2]上无零点.B：由f(x)=x3-5x-5=0得x3=5x+5.在同一坐标系中画出y=x3，x[1,2]与y=5x+5，x[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点.f(x)=0在[1,2]上无零点.C：由f(x)=0得lnx=3x-6，在同一坐标系中画出y=lnx与y=3x-6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)=0在[1,2]内没有零点.D：∵f(1)=e+31-6=e-30，f(2)=e20，f(1)f(2)0.f(x)在[1,2]内有零点.5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是()A.-1和16B.1和-16C.12和13D.-12和-13[答案] B[解析] 由于f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3，a=5，b=6.g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16.6.(2019福建理，4)函数f(x)=x2+2x-3，x0-2+lnx，x0的零点个数为()A.0B.1C.2D.3[答案] C[解析] 令x2+2x-3=0，x=-3或1;∵x0，x=-3;令-2+lnx=0，lnx=2，x=e20，故函数f(x)有两个零点.二、填空题7.已知函数f(x)=x+m的零点是2，则2m=________.[答案] 14[解析] ∵f(x)的零点是2，f(2)=0.2+m=0，解得m=-2.2m=2-2=14.8.函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0的零点的个数为________. [答案] 2[解析] 当x0时，令2x2-x-1=0，解得x=-12(x=1舍去);当x0时，令3x-4=0，解得x=log34，所以函数f(x)=2x2-x-1，x0，3x-4，x0有2个零点.9.对于方程x3+x2-2x-1=0，有下列判断：①在(-2，-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-，+)内没有实数根.其中正确的有________.(填序号)[答案] ①②③[解析] 设f(x)=x3+x2-2x-1，则f(-2)=-10，f(-1)=10，f(0)=-10，f(1)=-10，f(2)=70，则f(x)在(-2，-1)，(-1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确. 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
人教新课标版数学高一-数学必修1训练 方程的根与函数的零点
数学·必修1(人教A版)函数的应用本章概述学习内容1.函数与方程(1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．(2)根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．2.函数模型及其应用(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识结构3．1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点►基础达标1．设函数f(x)＝x3＋ax＋b是定义域[－2,2]上的增函数，且f(－1)f(1)＜0，则方程f(x)＝0在[－2，2]内()A．可能有三个实数根B．可能有两个实数根C．有唯一的实数根D．没有实数根解析：∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且f(－1)f(1)＜0，∴f(x)在[－1,1]上有唯一的实根，故在[－2,2]上也只有唯一实根．答案：C2．方程lg x＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解() A．[－10，－0.1]B．[0.1,1]C．[1,10] D．(－∞，0]解析：记f(x)＝lg x＋x，∵f(0.1)·f(1)＝(lg 0.1＋0.1)(lg 1＋1)＝－0.9×1＜0，∴在[0.1,1]内有解．答案：B3．对于函数f(x)，若f(－1)f(3)＜0，则下列判断中正确的是() A．方程f(x)＝0一定有根B．方程f(x)＝0一定无根C．方程f(x)＝0一定有两根D．方程f(x)＝0可能无根解析：∵题中没说f(x)的图象是连续不断的一条曲线．答案：D4．函数y＝x2－64x的零点的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C5．函数y＝ln x＋2x－6的零点，必定位于下列哪一个区间() A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)解析：记f(x)＝ln x＋2x－6.∵f(2)·f(3)＝(ln 2－2)(ln 3)＜0.答案：B6．若函数f(x)＝2(m＋1)x2＋4mx＋2m－1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围为________．解析：∵当m＋1＝0时，f(x)＝－4x－3是一次函数，不可能满足题意，∴m≠－1.当m＋1≠0时，只需Δ＝16m2－4×2(m＋1)(2m－1)＞0，解得m＜1且m≠－1.答案：m＜1且m≠－1►巩固提高7．方程|x＋1|＝2x根的个数为()A．0 个B．1个C．2 个D．3个解析：∵|x＋1|＝2x根的个数就是函数y＝|x＋1|与函数y＝2x的图象交点的个数．故有3个交点．答案：D8．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a的取值范围是____________．9．已知函数f(x)＝3ax＋1－2a在[－1,1]上存在零点x0，且x0≠±1，求实数a的取值范围．10．若关于x的方程4x＋2x a＋a＋1＝0有实数根，求实数a的取值范围．1．学习函数零点的概念要注意联系函数、方程、不等式内容以及数形结合，理解其本质．2．零点不是点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，是一个实数．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．应用以前已学习过知识解决函数零点问题，如二次方程判别式、求根公式、根与系数的关系等．。
人教新课标版数学高一-必修一 方程的根与函数的零点(1)
数学人教A必修1第三章3．1.1 方程的根与函数的零点1．理解函数零点的定义，会求函数的零点．2．掌握函数零点的判定方法．3．理解函数的零点与方程的根的联系．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0____________【做一做1】已知二次函数y＝x2－x－1，则使y＝0成立的实数x有()．A．0个B．1个C．2个D．无数个2．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使______成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与________的交点的______就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有______⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______⇔函数y＝f(x)有______．并非所有的函数都有零点．例如，函数f(x)＝x2＋1，由于方程x2＋1＝0无实数根，故该函数无零点．【做一做2－1】已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是()．A ．f (0)＝0B ．方程f (x )＝0有实根C ．函数f (x )的图象与x 轴有交点D ．函数f (x )的零点是方程f (x )＝0的根 【做一做2－2】 函数f (x )＝x －1x的零点是( )． A ．(1,0) B ．0 C ．1 D ．0和1 3．函数零点的判定定理判断函数f (x )是否存在零点的方法有： (1)方程法：判断方程f (x )＝0是否有解．(2)图象法：判断函数y ＝f (x )的图象与x 轴是否有交点． (3)定理法：利用零点的判定定理来判断．【做一做3－1】 函数f (x )＝x 2＋x －b 2的零点个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．无数【做一做3－2】 函数f (x )＝kx －2x 在(0,1)上有零点，则实数k 的取值范围是__________．答案：1．2 1 0 2 1【做一做1】 C 判别式Δ＝1＋4＝5＞0，则方程x 2－x －1＝0有两个根，即使y ＝0成立的实数x 有2个．2．(1)f (x )＝0 (2)x 轴 横坐标 (3)实数根 交点 零点 【做一做2－1】 A【做一做2－2】 C 令x －1x ＝0，解得x ＝1，则函数f (x )的零点是1.3．(1)连续不断 (2)＜【做一做3－1】 C ∵一元二次方程x 2＋x －b 2＝0的根的判别式Δ＝1＋4b 2＞0，∴函数f(x)＝x2＋x－b2有2个零点．【做一做3－2】(2，＋∞)f(0)＝－1，f(1)＝k－2，由于f(0)·f(1)＜0，则－(k－2)＜0，故k＞2.1．对零点判定定理的理解剖析：(1)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在闭区间[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)＜0，则可以判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个零点．(2)当函数y＝f(x)的图象在闭区间[a，b]上不是连续曲线，或不满足f(a)·f(b)＜0时，函数y＝f(x)在区间[a，b]内可能存在零点，也可能不存在零点．例如：二次函数f(x)＝x2－2x－3在区间[3,4]上有f(3)＝0，f(4)＞0，所以f(3)·f(4)＝0，但x＝3是函数f(x)的一个零点．函数f(x)＝x2，在区间[－1,1]上，f(－1)·f(1)＝1＞0，但是它存在零点0.函数f(x)＝{x＋1，x>0，－2，x＝0，x－3，x<0在区间[－1,1]上，有f(－1)·f(1)＜0，但是由其图象知函数f(x)在区间(－1,1)内无零点．2．函数的零点不是点剖析：我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点，因此函数的零点不是点，是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的实根，方程f(x)＝0有几个实根，函数f(x)就有几个零点．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0成立时，x＝－1，所以函数f(x)＝x ＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．题型一求函数的零点【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝－8x 2＋7x ＋1； (2)f(x)＝1＋log 3x ； (3)f(x)＝4x－16； (4)f(x)＝x 2＋4x －12x －2.分析：可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．反思：(1)求函数的零点时，先考虑解方程f(x)＝0，方程f (x)＝0无实数根则函数无零点，方程f(x)＝0有实数根，则方程的实数根是函数的零点．(2)本题(4)中容易错写成函数的零点是x 1＝－6，x 2＝2，其原因是没有验根． 题型二 判断函数零点的个数【例2】 判断函数f(x)＝12log x －x 的零点个数．分析：转化为判断函数12log y x 与y ＝x 图象交点的个数．反思：当无法解方程f(x)＝0时，常用图象法判断函数f(x)的零点个数：对于函数f(x)，如果能化为f(x)＝g(x)－h(x)的形式，其中函数g(x)和h(x)的图象能够画出来，那么在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的图象，它们图象交点的个数就是函数f(x)的零点的个数．题型三 判断函数零点所在的大致区间【例3】 方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为( )． A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)反思：判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f(x)＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理来解决．题型四 易混易错题易错点 对函数零点的判定定理理解不透彻【例4】 已知函数y ＝f(x)的图象在闭区间[a ，b]上为一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＞0，则函数f(x)在(a ，b)内( )．A ．肯定没有零点B ．至多有一个零点C ．可能有两个零点D ．以上说法均不正确答案：【例1】 解：(1)令－8x 2＋7x ＋1＝0， 解得x ＝－18或x ＝1.所以函数的零点为x ＝－18和x ＝1.(2)令1＋log 3x ＝0，则log 3x ＝－1，解得x ＝13.所以函数的零点为x ＝13.(3)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得x ＝2. 所以函数的零点为x ＝2.(4)因为f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝(x ＋6)(x －2)x －2，令(x ＋6)(x －2)x －2＝0，解得x ＝－6.所以函数的零点为x ＝－6.【例2】解：设112log y x =，y 2＝x .在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，则函数112log y x =和y 2＝x 的图象仅有一个交点，所以函数f (x )＝12log x －x 有一个零点．【例3】 C 构造函数，转化为确定函数的零点所在的区间．令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (1)＝log 31＋1－3＝－2＜0，f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，f (4)＝log 34＋4－3＝log 312＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．【例4】 错解：根据函数零点的判定定理可知，选A.错因分析：当函数满足：函数在闭区间[a ，b ]上为一条连续的曲线，且f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内至少存在一个零点．但是若不满足上述条件中的任何一个，则函数未必不存在零点．正解：不妨设y ＝f (x )＝x 2－1，区间[a ，b ]为[－2,2]，则f (－2)·f (2)＞0，但是y ＝f (x )在区间(－2,2)内存在两个零点－1,1，则可以排除选项A ，B ，D ，故选C.1(2010·天津卷)函数f(x)＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )．A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) 2方程13x⎛⎫ ⎪⎝⎭－x ＝0的解有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 4 (2011·山东日照模拟)若函数f(x)＝1x x-，则函数g(x)＝f(4x)－x 的零点是__________． 5求下列函数的零点： (1)f(x)＝5x －3；(2)f(x)＝2(1)(43)3x x x x --+-；(3)f(x)＝x 7－2.答案：1． C 因为f (－2)＝e －2－2－2＝21e －4＜0，f (－1)＝e －1－1－2＝1e－3＜0，f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，f (2)＝e 2＋2－2＝e 2＞0，所以函数f (x )的零点在(0,1)内．2． B 设g (x )＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭，h (x )＝x ，在同一坐标系中，画出函数g (x )和h (x )的图象，如图所示，则g(x)和h(x)的图象仅有一个交点，则方程13x⎛⎫⎪⎝⎭－x＝0仅有一个解．3．C设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3＜0，f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，f(4)＝ln 4＞0，则x0(2,3)．4.12g(x)＝f(4x)－x＝414xx-－x.令414xx-－x＝0，解得x＝12，则函数g(x)的零点是12.5．解：(1)令5x－3＝0，∴5x＝3.∴x＝log53，即函数f(x)的零点是x＝log53.(2)令2(1)(43)3x x xx--+-＝0，解得x＝1，即函数的零点是x＝1. (3)令x7－2＝0，得x72，即函数f(x)的零点是x72.。
高一数学必修一中的函数零点与方程根的关系
高一数学必修一中的函数零点与方程根的关系在我们高一数学必修一的学习中，函数零点与方程根的关系是一个非常重要的知识点。
它不仅是数学理论的重要组成部分，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
接下来，让我们一起深入探讨一下这个有趣且实用的内容。
首先，我们要明确什么是函数的零点。
函数的零点，就是使得函数值等于零的自变量的值。
简单来说，如果函数\（f(x)＼）在\（x=a\）处的函数值\（f(a)＝0\），那么\（x=a\）就被称为函数\（f(x)＼）的零点。
而方程的根呢？对于方程\（f(x)＝0\），其实根就是能使这个方程成立的未知数的值。
那么函数零点和方程根之间到底有什么关系呢？其实，它们的关系非常紧密。
从直观上来看，如果函数\（y=f(x)＼）存在零点，那么这个零点对应的横坐标\（x\）就是方程\（f(x)＝0\）的根；反过来，如果方程\（f(x)＝0\）有根，那么这个根就是函数\（y=f(x)＼）的零点。
为了更深入地理解这种关系，我们来看一个具体的例子。
假设函数\（f(x)＝x^2 2x 3\），令\（f(x)＝0\），即\（x^2 2x 3 ＝ 0\），通过因式分解得到\（（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0\），解得\（x ＝ 3\）或\（x ＝－1\）。
这两个值就是方程\（x^2 2x 3 ＝ 0\）的根，同时也是函数\（f(x)＝x^2 2x 3\）的零点。
我们再从图像的角度来理解。
函数\（y=f(x)＼）的图像与\（x\）轴的交点的横坐标就是函数的零点。
如果函数的图像与\（x\）轴有交点，那么对应的方程就有根；如果函数的图像与\（x\）轴没有交点，那么对应的方程就没有实数根。
比如说，对于函数\（f(x)＝x^2 ＋ 1\），由于\（x^2\geqslant 0\），所以\（x^2 ＋ 1\geqslant 1\），函数值永远大于零，其图像在\（x\）轴上方，与\（x\）轴没有交点，所以方程\（x^2 ＋1 ＝0\）没有实数根。
新人教A版必修1：3[1].1.1_《方程的根与函数的零点》课件
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等价关系： 2． 等价关系： 方程 f ( x) = 0 有实数根 ⇔ 函数 y = f (x) 有零点． 的图象与 x 轴有交点 ⇔ 函数 y = f (x) 有零点．
新课讲解
练习2： 练习 ：观察图象 问题1：此图象是否能表示函数？ 问题 ：此图象是否能表示函数？ 是 问题2：你能从中分析函数有哪些零点吗？ 问题 ：你能从中分析函数有哪些零点吗？ -2，-1，2，3 ， ， ， 问题3：从函数图象的角度， 问题 ：从函数图象的角度，你能对函数的 零点换一种说法吗？ 零点换一种说法吗？ 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标． 问题4：所有的函数都有零点吗？ 问题 ：所有的函数都有零点吗？ 不是， 不是，只有当函数图象与x轴相交时才有
方程无实根
y=x2-2x+3
x 1 问题：通过观察， 问题：通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函 数的图象有什么关系吗？ 数的图象有什么关系吗？ ①三个一元二次方程的根就是与其相对应的二次函数与x轴交点的横坐标 ②一元二次方程有几个根，相应的一元二次函数与x轴就有几个交点 一元二次方程有几个根，相应的一元二次函数与 轴就有几个交点
解：用计算器或计算机作出 x 、 f ( x) 的对应值表和图象
x
f ( x)
y 5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
− 4 − 1 .3
1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2
由上表和右图可得， f (2) < 0 ， f (3) > 0 ，即
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1．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( )
A ．－12，－1 B.12
，1 C.12，－1 D ．－12
，1 解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12
，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12
，1. 答案：B
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
解析：函数没有零点⇔函数的图象与x 轴没有交点．
答案：D
3．函数f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为( )
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(1，e)
解析：法一：∵x >0，∴A 错.又因为f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数,f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 在(1,2),(1，e)上均有f (x )>0，故C 、D 不对．
法二：取x ＝1e ∈(0,1)，因为f (1e )＝1e
－1<0，f (1)＝1>0，所以f (x )＝x ＋ln x 的零点所在的区间为(0,1)．
答案：B
4．若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)上，那么下列命题中正确的是( )
A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点
B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)内无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
解析：由题意可知函数f(x)的零点必在区间(0,2)内．
答案：C
5．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝__________. 解析：令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0，
∴零点在(3,4)上，∴k＝3.
答案：3
6．函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
解析：f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
答案：4
7．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；
(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；
(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．
解：(1)法一：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，
∴f(1)·f(8)<0.故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
法二：令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或x＝6，
∴函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．
(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，
∴f(－1)·f(2)<0.
∴f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．
(3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0，
f(3)＝log2(3＋2)－3<log28－3＝0,
∴f(1)·f(3)<0.
故f (x )＝log 2(x ＋2)－x 在[1,3]上存在零点．
8．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两实根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．
解：由题意知，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分
别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图.
观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0.
解得－5
6<m <－1
2.
所以m 的取值范围是(－56，－1
2)．。