高斯分布积分
正态分布积分公式
正态分布积分公式
正态分布又称高斯分布，是概率论中非常重要的一种分布。
在自然界中，许多现象都服从于正态分布，比如人类身高、体重等。
正态分布密度函数可表示成一个钟型曲线，其峰值在分布的均值处。
该分布还具有一些特殊的性质，比如对称性和稳定性等。
在数学上，计算正态分布的一些概率事件时，需要用到正态分布的积分公式。
正态分布的积分公式可以表示为：P(x1<x<x2)=∫x1 x2 (1/√(2πσ²))exp(-(x-μ)²/2σ²)dx。
其中μ是该分布的均值，σ是标准差。
该公式可以用于求解正态分布的一些概率事件，例如求解某个值落在某一区间内的概率等。
正态分布的积分公式在统计学、经济学和工程学等领域都有着广泛的应用。
例如，在金融学中，利用正态分布的积分公式可以对股市的波动进行研究，预测未来股市的走势。
同时，在工程学中，该公式还可以用于计算质量控制、数据分析等问题。
总之，正态分布是一个应用广泛、重要性显著的分布，在许多领域都有着广泛的应用。
正态分布的积分公式在计算正态分布的概率事件时也起着重要的作用。
通过深入了解和学习正态分布以及其积分公式，可以更好地理解和应用这一分布。
高斯分布积分
高斯分布积分高斯分布积分是一种重要的数学运算，它可以用来计算多维空间中一些曲面下基函数的近似值。
它的重要性在于可以用它来计算一些曲面的面积，也可以用来计算某些运动轨迹下的位置，以及一些抽象的概念。
高斯积分的历史源远流长，其最早可以追溯到18世纪拉格朗日，他将高斯积分首次应用到圆柱对称变换中，这对后来的研究有很大的影响。
高斯积分有三种不同的应用方式：第一种是定积分，也就是求函数的积分；第二种是自变量，也就是求待定参数的函数的极值；第三种是积分变量，也就是求函数的积分变量。
高斯分布积分的计算一般用到的工具有拉格朗日定理、拉格朗日多项式和埃尔米特多项式。
拉格朗日定理是一个关于多项式函数的定理，它指出，一定范围之内，任意复杂函数都可以用某种合适的多项式来近似。
拉格朗日多项式可以用来提供这种多项式表达式，而埃尔米特多项式可以用来提供多项式函数的比较准确的解。
由于高斯积分涉及到求解多项式函数，所以它的计算量非常大。
一些现代的计算机软件也能够提供这项计算的支持，例如Mathematica，MatLab，Maple等。
它们都提供一些特殊的高斯积分函数，只要输入指定的参数，就可以自动计算出相应的结果。
此外，还有许多高斯积分的几何解法，它们可以运用于求解一些复杂的几何形状中的面积。
例如，可以用蒙特卡洛模拟积分法来求解多边形的面积；可以利用几何解法来求解椭圆面积；可以利用连续变换来求解多维空间中的面积，等等。
总的来说，高斯分布积分是一种重要的数学应用，它可以帮助我们估计出一些复杂的曲面的面积，以及某些抽象的概念。
它有着悠久的历史，并且被广泛应用于现代计算机上，以及几何解法上，可以有效地求解复杂的几何形状中的面积。
高斯积分法讲义
多维高斯积分的误差分析
误差来源
误差估计
多维高斯积分的误差主要来源于 数值计算过程中的舍入误差、截 断误差以及算法本身的近似误差。
可以采用误差估计方法对多维高 斯积分的计算结果进行可靠性评 估。常用的误差估计方法包括残 差法、复化法、外推法等。
精度提高
为了提高多维高斯积分的计算精 度，可以采用更高阶的高斯积分 公式、增加随机样本数量、改进 网格划分等方法。同时，针对具 体问题选择合适的算法和参数设 置也是提高精度的关键。
金融学
高斯积分法在金融领域也有 广泛应用，如期权定价、风 险管理、投资组合优化等， 为金融决策提供科学依据。
02
高斯积分法的基本原理
高斯点的选取与性质
高斯点定义
高斯点是在积分区间内选取的一 组离散点，用于近似计算定积分。
高斯点性质
高斯点具有正交性和对称性，使得 在高斯积分法中能够高效地逼近被 积函数。
数值稳定性
在实现过程中，需要注意数值稳定性 问题。由于高斯积分涉及到浮点数运 算，可能会产生舍入误差。因此，在 实现时应选择合适的数值精度，并进 行误差控制。
一维高斯积分的误差分析
误差来源
一维高斯积分的误差主要来源于两个方面：一是由于数值计算引入的舍入误差；二是由于高斯点和权重的选择引 入的截断误差。
权函数的计算通常涉及到正交多项式和递推关系式，需要一定
的数学基础和编程技巧。
高斯积分法的精度与收敛性
01
精度分析
高斯积分法具有高精度逼近被积 函数的能力，其误差随着高斯点 数量的增加而减小。
收敛性分析
02
03
稳定性分析
高斯积分法具有指数级收敛速度， 即当高斯点数量增加时，误差呈 指数级下降。
常用高斯积分公式
常用高斯积分公式高斯积分公式在数学领域中可是个相当重要的“宝贝”！咱先来说说高斯积分公式到底是啥。
简单来讲，高斯积分公式就是用来计算一些复杂积分的神奇工具。
比如说，对于形如∫e^(-x^2)dx 这样的积分，用普通方法可能会让你头疼不已，但高斯积分公式就能轻松搞定。
还记得我当年读书的时候，有一次做数学作业，遇到了一个特别复杂的积分题。
我盯着那道题，抓耳挠腮了半天，感觉头发都要被我薅掉了一大把。
各种常规方法都试了个遍，可就是算不出来。
就在我几乎要放弃的时候，突然想到了老师讲过的高斯积分公式。
我赶紧把相关的知识点在脑海里过了一遍，然后小心翼翼地按照公式一步一步地推导计算。
那过程可真是紧张又刺激，每一步我都提心吊胆，生怕出错。
当我终于算出答案的时候，那种成就感简直爆棚！就好像在黑暗中摸索了好久，突然看到了一束亮光。
在数学的世界里，高斯积分公式就像是一把万能钥匙，能打开很多看似紧闭的知识大门。
它在概率论、数理统计、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
比如说在概率论中，计算正态分布的概率密度函数的积分时，高斯积分公式就能大显身手。
正态分布在我们的生活中可是无处不在的，像学生的考试成绩分布、人的身高体重分布等等，很多都近似于正态分布。
在物理学中，求解一些电场、磁场相关的积分问题时，高斯积分公式也能发挥重要作用。
想象一下，科学家们在研究微观粒子的运动时，通过高斯积分公式就能更准确地描述和预测粒子的行为，这多厉害呀！再说说高斯积分公式的推导过程。
这可不是一件轻松的事儿，需要用到不少高深的数学知识和巧妙的方法。
但正是因为它的推导不容易，才更显得它的珍贵和神奇。
对于咱们学习数学的人来说，掌握高斯积分公式不仅能帮助我们解决难题，还能让我们感受到数学的魅力和力量。
总之，高斯积分公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，去运用，就能发现它的妙处，让它成为我们探索数学世界的有力武器！就像我当年攻克那道难题一样，只要不放弃，高斯积分公式总会给我们带来惊喜。
凑正态分布处理求积分
凑正态分布处理求积分引言正态分布（也称为高斯分布）是概率论和统计学中最重要的分布之一，在各个领域有广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对正态分布进行处理，其中求解正态分布的积分是一个常见的问题。
本文将详细探讨如何通过凑正态分布的方法来求解正态分布的积分。
凑正态分布的思想凑正态分布的思想是通过变量的线性变换，将给定的任意分布近似为正态分布。
这样可以使得原来的积分问题转化为求解正态分布的积分问题，从而简化计算过程。
凑正态分布的思想可以通过以下步骤来实现： 1. 归一化：对于给定的分布，首先进行归一化处理，保证其概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。
2. 标准化：将归一化后的分布进行标准化处理，即使其均值为0，方差为1。
3. 变换：通过线性变换将标准化后的分布变换为正态分布。
4. 求解：对转化后的正态分布进行积分求解。
下面将详细介绍每个步骤的具体过程。
归一化处理对于给定的分布，我们首先需要将其概率密度函数进行归一化处理，保证其在整个定义域上的积分等于1。
归一化的目的是为了使得概率密度函数满足概率的性质，即所有可能事件发生的总概率为1。
归一化处理的一般步骤如下： 1. 计算分布的积分，即求解概率密度函数在整个定义域上的积分。
这一步可以使用数值积分的方法进行计算。
2. 将概率密度函数除以积分值，得到归一化后的概率密度函数。
通过归一化处理，我们可以得到一个概率密度函数，该函数在整个定义域上的积分等于1。
标准化处理在归一化处理的基础上，我们需要进一步进行标准化处理，使得分布的均值为0，方差为1。
标准化处理的目的是为了方便后续的线性变换，使得变换后的分布可以更接近正态分布。
标准化处理的一般步骤如下： 1. 计算归一化后的分布的均值和方差。
2. 对归一化后的分布进行线性变换，使得均值为0，方差为1。
对于连续分布，可以通过对变量进行线性变换来实现标准化。
对于离散分布，可以通过对变量进行变换和归一化来实现标准化。
高斯定理 面积分 体积分
高斯定理面积分体积分高斯定理是电磁学和物理学中的基本定理之一，它描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的通量与该曲面内部源的关系。
此定理也可用于热传导、流体力学等领域。
与高斯定理相关的概念还包括面积分和体积分，它们用于计算电场或磁场通过曲面或立体的总量。
一、高斯定理的表述和应用高斯定理是由德国数学家高斯在19世纪初提出的，它描述了一个封闭曲面上电场（或磁场）的通量与该曲面内部电荷量（或磁荷量）的关系。
在电磁学中，高斯定理可以表示为：∮S E·dS = Q/ε0 （1）其中，∮S表示对曲面S进行积分，E表示电场矢量，dS表示曲面上的微元面积，Q表示S内的总电荷量，ε0为真空介电常数。
该定理的应用很广泛。
例如，在计算电场强度时，可以通过高斯定理将复杂的积分计算简化为对封闭曲面上电场的积分。
在计算电场线密度时，也可以利用高斯定理将电场通过曲面的总量与曲面上的电场线密度相联系。
二、面积分和体积分的定义面积分和体积分是对高斯定理的具体应用。
在物理学中，面积分用于计算电场或磁场通过一个曲面的总量，而体积分用于计算电场或磁场通过一个立体的总量。
面积分的定义如下：∮S F·d S = ∫∫S F·n dS （2）其中，∮S表示对曲面S进行积分，F表示场量（如电场或磁场）的矢量，dS表示曲面上的微元面积，n表示曲面上某一点的单位法向矢量。
体积分的定义如下：∫∫∫V F dV （3）其中，∫∫∫V表示对立体V进行积分，F表示场量的矢量，dV表示立体上的微元体积。
三、面积分和体积分的计算方法计算面积分和体积分的方法基本上与计算一元函数的积分类似。
可以利用高斯定理将面积分或体积分转化为对场量的积分。
具体的计算步骤如下：1. 根据给定的场量和曲面，选择合适的坐标系，并确定曲面的参数方程。
2. 计算场量在曲面上的法向量F·n。
3. 利用参数方程计算微元面积dS或微元体积dV。
4. 将F·n和dS（或dV）代入面积分或体积分的定义式，进行积分计算得到结果。
高斯分布的积分
高斯分布的积分高斯分布是概率统计学中非常重要的一个分布。
同时它也是自然界、社会问题、和自然科学中常见的统计分布。
高斯分布被广泛应用于物理学、统计学、传感器网络、人工神经网络、信息论等众多领域。
高斯分布，又叫正态分布，是由德国数学家高斯在1809年首先提出的。
高斯分布的特点是在数轴上以概率密度曲线呈钟形分布，主要是由中心极限定理所引申出来的理论分布。
其数学表达式为：$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} $其中，μ是期望值，又叫均值；σ是标准差，决定了高斯分布曲线的宽度和位置。
学习高斯分布的积分公式是非常关键的，它可以用于计算统计问题中的均值、方差等重要参数。
高斯分布的积分公式是：$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x =\sqrt{2 \pi} $这个公式是由高斯本人通过求和得出的，我们也可以通过其他方法进行求解。
其中，高斯积分就是通过微积分的方法得出的。
高斯积分是指下面这个积分：$\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}} d x$这个积分是没有解析解的，需要通过微积分技巧进行求解。
利用高斯积分的结果可以得出高斯分布的积分公式。
具体的求解方法如下：1. 首先，我们将积分式的区间从（0,∞）拓展到（−∞,∞），即$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x$2. 我们可以计算它的平方，即 $\left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}} d x\right]^{2}=\iint_{R^{2}} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y$3. 利用极坐标变换，令$x=r \cos \theta$，$y=r \sin \theta$，则上面的式子可以化为 $\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}} r d r d \theta$4. 利用微积分技巧可以将上式化为高斯积分的形式。
高斯积分
所以，应取
H1 H 2 1.000,000,000,0
高斯积分法
n个插值结点非等距分布
结点和积分权系数可以查表
1
1
f ( )d Ai f (i )
i 1
n
高斯积分法
二维积分的高斯公式
以一维高斯积分公式为基础，导出二维及三维公式。求二维 重积分 1 1 f ( , )dd
n点高斯积分
若构造的n+1个节点的插值求积公式，则可将 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入求积公式可求解，
b a 1dx c0 c1＋＋cn b 不是线性方程组， xdx c0 x0 c1 x1＋＋cn xn a 不易求解。 b 2 n 1 2 n 1 x 2 n 1dx c0 x0 c1 x12 n 1＋＋cn xn a
高斯积分法
例如，n=1时 不论f(ξ )的次数是0还是1，只需取H１=2， ξ 1＝０，上式均是精确成立的。因为
I f ( )d H1 f (1 )
1 1
f ( ) C0 C1
I f ( )d 2C0 2 f (0)
1
1
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式 的最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
1
1
1
1 1 1
f ( ,, )ddd
其中被积分函数f(ξ ，η ，ζ )一般是很 复杂的，即使能够得出它的显式，其积分也 是很繁的。因此，一般用数值积分来代替函 数的定积分。
高斯积分法
数值积分：在积分区域内按一定规则选出 一些点，称为积分点，算出被积函数f(ξ ， η ，ζ )在这些积分点处的值，然后再乘以相 应的加权系数并求和，作为近似的积分值。
高斯以及GV基本操作
GV方法需要较严格的理论假设和计算 条件，对于某些复杂分子体系可能存 在局限性。
03
CHAPTER
高斯与GV关系
高斯积分与GV关系
高斯积分
高斯积分是数值积分的一种方法，它利用高斯分布的性质，通过选取适当的权重和节点，将积分转化为一系列的 加权求和，从而得到积分的近似值。
GV关系
在高斯积分中，高斯点（即节点）和权重的选择与高斯分布密切相关。这些高斯点通常来自于高斯分布的累积分 布函数，而权重则与高斯分布的概率密度函数有关。因此，高斯积分与GV（高斯分布）之间存在密切的关系。
应用
高斯积分在高数、物理、工程等领域有着广泛的应用，例如计算概率密度函数、求解微 分方程等。
高斯分布
01
定义
高斯分布又称正态分布，是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形
曲线。
02
特征
高斯分布具有三个参数，即均值、方差和标准差，其中均值决定了分布
的中心位置，方差决定了分布的宽度，标准差是方差的算术平方根。
02
库和框架
03
代码优化
GV编程可以利用各种库和框架，如 NumPy、SciPy、TensorFlow等，这 些库和框架提供了丰富的函数和工具 ，方便进行GV计算和编程。
为了提高GV程序的效率和性能，需要 进行代码优化，包括算法优化、数据 结构优化、并行化等。
GV优化
算法优化
01
通过改进算法来提高GV计算的效率和精度。
VS
优化高斯积分的精度
通过选择合适的高斯点，可以优化高斯积 分的精度，提高计算结果的准确性。
GV在高斯分布中的应用
生成高斯随机数
GV可以用于生成符合高斯分布的随机数，通过利用高斯分布 的特性，生成具有指定均值和方差的随机数。
高斯分布的积分
高斯分布的积分引言高斯分布，也被称为正态分布，是统计学中最常用的概率分布之一。
它在各个领域都有广泛的应用，尤其在自然科学和工程学中。
在分析和描述实际数据时，高斯分布经常可以很好地拟合数据，因此对于理解和预测现象具有重要意义。
本文将介绍高斯分布的重要性质之一——高斯分布的积分。
我们将首先回顾高斯分布的定义，然后探讨如何求解高斯分布的积分以及积分的意义。
高斯分布的定义高斯分布由其均值μ 和标准差σ 确定。
其概率密度函数（Probability Density Function, PDF）表示为：\[ f(x) = \frac{1}{{\sigma\sqrt{2\pi}}} e{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})2} \]其中，e 为自然对数的底数。
高斯分布的特点是呈钟形曲线，其均值μ 对应于曲线的中心，标准差σ 决定了曲线的宽度。
高斯分布的积分是研究高斯分布的重要工具之一。
高斯分布的积分在统计学中，高斯分布的积分被广泛应用于求解概率问题、计算期望值和方差等。
高斯分布的积分可以通过多种方法进行求解，包括直接计算、数值积分和泰勒展开等。
直接计算高斯分布的积分可以通过直接计算概率密度函数的积分来求解。
根据积分的定义，高斯分布的积分可以表示为：\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \]根据高斯分布的概率密度函数，我们可以将积分分解为两个部分：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{{\sigma\sqrt{2\pi}}} e{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu}{\sigma})2} dx \]由于该积分无法直接求解，我们可以采用数值方法进行近似计算。
数值积分数值积分是一种常用的计算高斯分布积分的方法。
其中，较为简单直接的方法是采用数值积分的近似算法，例如梯形法则或辛普森法则。
梯形法则是将积分区间分成多个小区间，在每个小区间内用梯形的面积近似代替曲线下的面积，然后将各个小区间的面积相加。
物理学中常用的高斯与类高斯型积分
第４０卷第５期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１年５月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＭａｙ２０２１ 收稿日期：２０２０－０６－２３；修回日期：２０１４－０２－１４ 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金项目（ＧＫ２０１９０３０２２） 作者简介：王蒙（１９９７—），男，河南焦作人，陕西师范大学物理学与信息技术学院２０１９级研究生，主要从事粒子物理与场论方向的研究． 通信作者：郑华，ｚｈｅｎｇｈ＠ｓｎｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ物理学中常用的高斯与类高斯型积分王 蒙，陶俊琦，程剑剑，郑 华（陕西师范大学物理学与信息技术学院，陕西西安 ７１０１１９）摘要：本文展示了基于大学数学基础对不同积分限的高斯与类高斯型积分的求解方法，并列举了高斯与类高斯型积分在“热力学与统计物理”、“光学”、“量子力学”、“量子光学”等物理学科中的若干应用实例．关键词：高斯分布；高斯型积分；Γ函数中图分类号：Ｏ４－１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０５ ００１３ ０７【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００２６８高斯分布是一个在物理、数学及工程等领域都非常常见且重要的概率分布．因此，在涉及高斯分布的量的计算过程中都会用到高斯型的积分［１ ６］．比如，在“热力学与统计物理”中，麦克斯韦速率分布就是高斯分布．计算物理量平均速率ｖ与方均根速率ｖ２槡时，需要用到积分限从０到正无穷的高斯型积分．在“量子力学”中，一维谐振子在坐标表象中的基态波函数为高斯函数，验证海森堡测不准关系时，需要用到积分限从负无穷到正无穷的高斯型积分．类高斯型积分在物理学中也比较常见．比如，在“量子力学”中，利用傅里叶变换从一维谐振子在坐标表象中的基态波函数计算其在动量表象中的波函数和利用费曼路径积分计算一维自由粒子传播子时，需要用到积分限从负无穷到正无穷的类高斯型积分．“光学”中常用的菲涅耳积分可以利用类高斯型积分得到．“量子光学”中，在原子能级自发衰变中考虑原子之间弹性碰撞的贡献时，也会用到类高斯型积分．本文旨在基于大学数学基础对常用的高斯及类高斯型积分做系统的阐述，给出相应的求解方法和通用积分结果．以期助力学生学习与教职人员教授相关内容．１ 高斯与类高斯型积分本节中，我们将对不同的高斯与类高斯型积分进行计算与讨论，遵循由简到难、由特殊到一般的逻辑．１．１ 高斯型积分Ｉ＝∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ，（α＞０，α∈Ｒ）在高斯与类高斯型积分中，非常重要的一个积分是Ｉ＝∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ（１）考虑α为实数的情况．为保证式（１）积分收敛，要求α＞０．式（１）无法利用牛顿莱布尼兹公式求出原函数对积分进行计算．但可以通过构造的方法，建立式（１）与二维积分的联系，然后利用常用积分就可以计算了．具体过程如下Ｉ２＝∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ∫∞－∞ｅ－αｙ２ｄｙ＝∫２π０ｄθ∫∞０ｅ－αｒ２ｒｄｒ＝πα（２）对式（２）中ｒ的积分进行变量代换，容易看出是一个指数函数积分．因此Ｉ＝∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝πα槡（３）此积分过程中体现了一个重要的思想，在当前维度下如果解决不了问题时，可以发散性的将问题向高维转化．某些特殊函数的生成函数，也应用了这一思想，在此我们不做详细论述［７］．下面讨论３个常用的高斯型积分．（ａ）当α＝１时，由式（３）可得∫∞－∞ｅ－ｘ２ｄｘ＝槡π（４）１４ 大 学 物 理 第４０卷（ｂ）将式（３）的积分限变成０到正无穷，由式（３）的积分函数是偶函数可得∫∞０ｅ－αｘ２ｄｘ＝１２πα槡（５）（ｃ）将式（３）的积分限变成０到正无穷且α＝１∫∞０ｅ－ｘ２ｄｘ＝１２槡π（６）１．２ Γ函数与高斯型积分Γ函数与高斯型积分具有直接的联系［８ １０］．在实变函数中，Γ函数的通常定义如下Γ（ｘ）≡∫∞０ｅ－ｔｔｘ－１ｄｔ（ｘ＞０，ｘ∈Ｒ）（７）Γ函数具有如下性质Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）（８）将Γ函数式（７）的积分变量ｔ作积分变量代换，令ｔ＝ｕ２．可得Γ（ｘ）＝∫∞０ｅ－ｕ２ｕ２（ｘ－１）ｄｕ２＝２∫∞０ｅ－ｕ２ｕ２ｘ－１ｄｕ（９）为便于文章后面的讨论，将式（９）改写为１２Γｘ＋１２()＝∫∞０ｅ－ｕ２ｕｘｄｕ（１０）可见，当ｘ＝０时，式（１０）右边为高斯型积分式（６），故有Γ１２()＝槡π（１１）这是我们熟知的结果．１．３ 高斯型积分Ｉ（ｎ）＝∫ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ（α＞０，α∈Ｒ）下面将考虑几个不同积分限的高斯型积分．１．３．１ 高斯型积分Ｉｎ()＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ与高斯分布相关的物理量的计算中，很常用的一类积分为Ｉｎ()＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ（１２）当ｎ为奇数时，由于被积函数为奇函数，可得Ｉ（ｎ）＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ＝０（１３）当ｎ为偶数时，取ｎ＝２ｋ（ｋ为自然数），式（１２）变成Ｉ２ｋ()＝∫∞－∞ｘ２ｋｅ－αｘ２ｄｘ（１４）我们将以ｋ＝１为例，通过３种方法来计算Ｉ（２），然后给出积分式（１４）的通用公式．（ａ）计算积分Ｉ（２）常用的方法为分部积分法Ｉ（２）＝∫∞－∞ｘ２ｅ－αｘ２ｄｘ＝－１２α∫∞－∞ｘｄｅ－αｘ２＝－１２αｘｅ－αｘ２∞－∞－－１２α∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝１２α∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝１２απα槡（１５）已经利用了高斯型积分式（３）的结果．如果ｋ值取更大，用分部积分法计算式（１４）会比较繁琐．（ｂ）另一种方法计算积分Ｉ（２），可以将α看成变量Ｉ（２）＝∫∞－∞ｘ２ｅ－αｘ２ｄｘ＝－ｄｄα∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝－ｄｄαπα槡＝１２απα槡（１６）此方法比分部积分法简洁，更重要的是其可以很容易给出积分式（１４）的通用公式Ｉ（２ｋ）＝∫∞－∞ｘ２ｋｅ－αｘ２ｄｘ＝（－１）ｋｄｋｄαｋ∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝（－１）ｋｄｋｄαｋπα槡()＝（２ｋ－１）！！２ｋαｋπα槡（１７）双阶乘定义：（２ｎ－１）！！≡１·３……（２ｎ－３）（２ｎ－１）．（ｃ）更简洁的方法是将Ｉ（２）与Γ函数式（１０）联系，可得Ｉ（２）＝∫∞－∞ｘ２ｅ－αｘ２ｄｘ＝２槡αα∫∞０ｕ２ｅ－ｕ２ｄｕ＝１槡ααΓ３２()＝１２απα槡（１８）其中ｕ＝槡αｘ．同理可得Ｉ（２ｋ）的通用公式Ｉ（２ｋ）＝∫∞－∞ｘ２ｋｅ－αｘ２ｄｘ＝２αｋ槡α∫∞０ｕ２ｋｅ－ｕ２ｄｕ＝１αｋ槡αΓ２ｋ＋１２()＝（２ｋ－１）！！２ｋαｋπα槡（１９）最后的结果已经利用Γ函数的性质式（８）．此方法避免了（ｂ）中对α求导的过程．综上所述，式（１２）的积分结果为Ｉ（ｎ）＝∫∞－∞ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ＝０，ｎ＝２ｋ＋１（２ｋ－１）！！２ｋαｋπα槡，ｎ＝２ｋ{（２０）其中ｋ为自然数．１．３．２ 高斯型积分Ｉｎ()＝∫∞０ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ由上节可知，将高斯积分与Γ函数联系是很简第５期王 蒙，等：物理学中常用的高斯与类高斯型积分１５洁的方法．与式（２０）类似的过程可得Ｉ（ｎ）＝∫∞０ｘｎｅ－αｘ２ｄｘ＝ｋ！２αｋ＋１，ｎ＝２ｋ＋１（２ｋ－１）！！２ｋ＋１αｋπα槡，ｎ＝２ｋ（２１）其中ｋ为自然数．１．４ 类高斯型积分Ｉ＝∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ现在来计算类高斯型积分Ｉ＝∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ（２２）其中α与ｃ可以是复数，考虑到积分的收敛性，要求Ｒｅ（α）＞０．这与１．１与１．３中要求α为实数不一样，我们称之为类高斯型积分．由于类高斯型积分已经涉及到了复数，有些计算过程会用到“数学物理方法”中的留数定理［１１］．为使讨论更为清晰，我们分以下几种情况：（ａ）α与ｃ均为实数：这种情况与１．１的讨论很相似，唯一的差别是高斯函数的对称中心在ｘ＝－ｃ．可以通过积分变量代换将式（２２）变成式（３）∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄ（ｘ＋ｃ）＝∫∞－∞ｅ－αｕ２ｄｕ＝πα槡（２３）（ｂ）α为实数，ｃ为纯虚数：这种情况下需要用到留数定理．不失一般性的可以令ｃ＝ｉｂ，ｂ为正实数．在复平面上选择积分路径如图１所示．图１ 复平面积分路径被积函数ｆ（ｚ）＝ｅ－αｚ２在积分区域内是解析的．由留数定理可得∮ｅ－αｚ２ｄｚ＝０（２４）可将积分式（２４）沿长方形闭合区域写成４部分之和∫Ｒ－Ｒｅ－αｘ２ｄｘ＋∫ｂ０ｅ－α（Ｒ＋ｉｙ）２ｉｄｙ＋ ∫－ＲＲｅ－α（ｘ＋ｉｂ）２ｄｘ＋∫０ｂｅ－α（－Ｒ＋ｉｙ）２ｉｄｙ＝０（２５）在Ｒ→∞，第三项与待求积分有简单的关系：∫－ＲＲｅ－α（ｘ＋ｉｂ）２ｄｘ＝－Ｉ（２６）由式（３）知第一项等于πα槡；第二项的模为ｌｉｍＲ→∞∫ｂ０ｅ－α（Ｒ＋ｉｙ）２ｉｄｙ≤ｌｉｍＲ→∞ｅ－αＲ２∫ｂ０ｅαｙ２ｄｙ＝０，因此第二项为０；同理可得第四项为０．由式（２５）与式（２６）可得∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｉｂ）２ｄｘ＝πα槡（２７）当ｂ为负实数时，在复平面上将积分路径选在下半平面，其余过程与ｂ为正实数类似，可以得到同样的积分结果．（ｃ）α为复数，ｃ为实数：α为复数时，与１．１中α为实数时类似，可以得到∫∞－∞ｅ－αｘ２ｄｘ＝πα槡（２８）由于此处α为复数，槡α是多值函数．为保证积分值的单一性，我们限定α的辐角在－π２，π２()．利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可得到∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝πα槡（２９）（ｄ）α为复数，ｃ为纯虚数：与１．４（ｂ）中计算过程类似并利用１．４（ｃ）的积分结果，可得∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝πα槡（３０）同１．４（ｃ）一样，限定α的辐角在－π２，π２()．（ｅ）α与ｃ均为复数：此种情况是最一般的情况．利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可以将复数ｃ的实部消除，这时积分就变成了１．４（ｄ）中的积分．因此，积分结果为∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝πα槡（３１）同１．４（ｃ）一样，限定α的辐角在－π２，π２()．讨论延拓：在１．４中讨论的积分基础上，利用积分变量代换与留数定理，我们可以计算积分Ｉｎ()＝∫∞－∞ｘｎｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ，其中α与ｃ是复数，要求Ｒｅ（α）＞０．但计算结果开始变得复杂．由于篇幅有限，在此我１６ 大 学 物 理 第４０卷们不做具体计算．１．５ 类高斯型积分Ｉ＝∫∞－∞ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２ｄｘ在１．４所有的讨论中，要求Ｒｅ（α）＞０．本节将讨论另外一种情况，即Ｉ＝∫∞－∞ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２ｄｘ其中ｍ为实数，ｃ可以为复数（只有ｃ为实数此积分才收敛）．与１．４的讨论类似，我们分以下几种情况．（ａ）ｃ为实数：利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可以将实数ｃ消除，积分Ｉ＝∫∞－∞ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２ｄｘ变为Ｉ＝∫∞－∞ｅｉｍｘ２ｄｘ＝２∫∞０ｅｉｍｘ２ｄｘ（３２）不失一般性的，先考虑ｍ为正实数．在复平面上ｅｉｍｚ２解析，利用留数定理可得∮ｅｉｍｚ２ｄｚ＝０（３３）可在复平面上选择如图２所示积分路径．图２ 复平面积分路径可将积分式（３３）写成三部分之和∫Ｒ０ｅｉｍｘ２ｄｘ＋∫Ｃ２ｅｉｍｚ２ｄｚ＋∫０Ｒｅｉｍ（ρｅｉπ／４）２ｄ（ρｅｉπ／４）＝０（３４）当Ｒ→∞时，式（３４）第一项为Ｉ／２，其中Ｉ为待求积分；第二项积分为０，计算如下∫Ｃ２ｅｉｍｚ２ｄｚ＝∫π／４０ｅｉｍ（Ｒｅｉθ）２Ｒｉｅｉθｄθ＝ Ｒ∫π／４０ｅ－ｍＲ２ｓｉｎ２θｄθ＝Ｒ２∫π／２０ｅ－ｍＲ２ｓｉｎｄ ≤ Ｒ２∫π／２０ｅ－２ｍＲ２πｄ＝π４ｍＲ（１－ｅ－ｍＲ２）＝０（３５）第三项积分为∫０∞ｅｉｍ（ρｅｉπ／４）２ｄ（ρｅｉπ／４）＝－ｅｉπ／４∫∞０ｅ－ｍρ２ｄρ＝－１２ｅｉπ／４πｍ槡（３６）由式（３４）可得Ｉ＝∫∞－∞ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝ｅｉπ／４πｍ槡＝π（－ｉ）ｍ槡（３７）只取ａｒｇ（－ｉ）＝－π２．当ｍ为负实数时，在复平面上将积分路径选在下半平面，其余过程与ｍ为正实数类似．为方便，我们让ｍ＝－ｍ′（ｍ′＞０），可得Ｉ＝∫∞－∞ｅｉｍ（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝ｅ－ｉπ／４πｍ′槡＝πｉｍ′槡（３８）只取ａｒｇ（ｉ）＝π２．式（３７）与式（３８）可以写成通式Ｉ＝∫∞－∞ｅ－（ ｉｍ）（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝πｉｍ槡（ｍ＞０）（３９）只取ａｒｇ（±ｉ）＝±π２．（ｂ）ｃ为纯虚数：不失一般性的可以令ｃ＝ｉｂ，ｂ为正实数．在复平面上选择积分路径如图１所示，同１．４（ｂ）类似有 ∮ｅｉｍｚ２ｄｚ＝∫Ｒ－Ｒｅｉｍｘ２ｄｘ＋∫ｂ０ｅｉｍ（Ｒ＋ｉｙ）２ｉｄｙ＋ ∫－ＲＲｅｉｍ（ｘ＋ｉｂ）２ｄｘ＋∫０ｂｅｉｍ（－Ｒ＋ｉｙ）２ｉｄｙ＝０（４０）当Ｒ→∞时，式（４０）第一项可以利用１．５（ａ）的结果，第三项等于负的待求积分，考察第二项与第四项的模可以发现总有一项是发散的．因此，此种情况下待求积分是发散的．（ｃ）ｃ为复数：此种情况是最一般的情况．利用１．４（ａ）中的积分变量代换，可以将复数ｃ的实部消除，这时积分就变成了１．５（ｂ）中的积分．同样的道理，此时积分是发散的．１．６ 高斯与类高斯型积分的讨论通过观察式（３），式（３１）与式（３９）的积分结果，可以发现高斯与类高斯积分结果均可写成高斯积分结果的形式，只是需要限定α的辐角范围：（ａ）Ｒｅ（α）＞０，α∈Ｃ，ｃ∈ＣＩ＝∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝πα槡（４１）需要限定ａｒｇ（α）∈（－π／２，π／２），注意α为实数时其辐角为０．（ｂ）Ｒｅ（α）＝０，α∈Ｃ，ｃ∈ＲＩ＝∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ＝πα槡（４２）第５期 王 蒙，等：物理学中常用的高斯与类高斯型积分１７ 需要限定ａｒｇ（α）＝－π／２或ａｒｇ（α）＝π／２．２ 高斯与类高斯型积分在物理学中的应用为将上面讨论的高斯及类高斯型积分与物理学科中的实际问题联系起来，在此我们将选择不同物理学科中的几个具体问题，来展示不同形式的高斯及类高斯型积分的应用实例．所选问题的物理内涵及重要性，读者均可从相应的教科书中查阅．２．１ 热力学与统计物理［３］热力学与统计物理中，在讨论麦克斯韦速度分布律及能量均分定理时，需要计算分子速率的平均及分子速率平方的平均（见文献［３］中１９７－２００页）．为避免重复计算，我们可先得到速率ｎ次方的平均的通用式ｖｎ＝∫∞０ｖｎｆ（ｖ）ｄｖ＝４πｍ０２πｋＴ()３２∫∞０ｖｎ＋２ｅ－ｍ０ｖ２２ｋＴｄｖ＝４παπ()３２∫∞０ｖｎ＋２ｅ－αｖ２ｄｖ（４３）其中α＝ｍ０２ｋＴ．ｋ，ｍ０，Ｔ分别为玻尔兹曼常数，单个理想气体分子的质量与温度．式（４３）中的积分是１．３．２中讨论的高斯型积分，直接可以利用积分结果．因此粒子平均速率ｖ与方均根速率ｖ２槡，即对应ｎ＝１，２的情况，分别为（ａ）当ｎ＝１时，平均速率ｖ为ｖ＝４παπ()３２１２α２＝４απ槡＝８ｋＴπｍ０槡（４４）（ｂ）当ｎ＝２时，速率平方的平均ｖ２为ｖ２＝４παπ()３２３８α２πα槡＝３ｋＴｍ０（４５）因此方均根速率为ｖ２槡＝３ｋＴｍ０槡（４６）２．２ 量子力学［１，２，１２］在量子力学中，高斯与类高斯型积分有着广泛应用．（ａ）一维谐振子是量子力学中可以精确求解的少数几个问题之一，其在坐标表象中的基态波函数是高斯函数（见文献［１２］中卷一８６页）．在验证海森堡测不准关系时需要分别计算ｘ，ｘ２，ｐ，ｐ２．按照量子力学中力学量平均值的公式，可以得到１．３．１中讨论的高斯型积分．与２．１中的过程类似，直接利用积分结果．（ｂ）量子力学中，对同一个问题，可以选择在不同的表象中求解．一般情况下，解薛定谔方程是在坐标表象中进行的，但对有些问题在动量表象中求解更方便（见文献［１２］中卷一１０８－１１３页）．一维谐振子既可以在坐标表象也可以在动量表象中精确求解，且在坐标表象中得到的波函数与在动量表象中得到相应的波函数之间可以通过傅立叶变换联系．以一维谐振子在动量表象中的基态波函数与其在坐标表象中的基态波函数为例ｃ（ｐ）＝１２π槡 ∫∞－∞ψ（ｘ）ｅ－ｉ ｐｘｄｘ（４７）由于一维谐振子在坐标表象中基态波函数是高斯函数，傅立叶变换时会出现类高斯型积分ｃ（ｐ）＝１２π槡 α槡π槡∫∞－∞ｅ－α２ｘ２２ｅ－ｉ ｐｘｄｘ＝１２π槡 α槡π槡∫∞－∞ｅ－α２２ｘ２＋２ｉｐ α２ｘ＋ｉｐ α２()２[]ｅα２２ｉｐ α２()２ｄｘ＝１２π槡 α槡π槡ｅ－ｐ２２ ２α２∫∞－∞ｅ－α２２ｘ＋ｉｐ α２()２ｄｘ＝１２π槡 α槡π槡ｅ－ｐ２２ ２α２πα２２槡＝１ α槡槡πｅ－ｐ２２ ２α２（４８）其中α＝ｍω槡，计算过程中用到了１．４中讨论的类高斯积分结果．（ｃ）费曼路径积分作为量子力学（矩阵力学与波动力学之外）的另一种理论形式，其核心是如何计算量子系统的传播子．在费曼路径积分计算自由粒子传播子的过程中，会用到１．５中讨论的类高斯型积分．自由粒子传播子的计算需要计算两个高斯函数乘积的积分（见文献［１２］卷二１７６页），如下∫∞－∞ｅα（ｘ－ｘ１）２＋β（ｘ－ｘ２）２ｄｘ＝ ∫∞－∞ｅ（α＋β）［ｘ－（αｘ１＋βｘ２α＋β）］２ｅαβα＋β（ｘ１－ｘ２）２ｄｘ＝π－（α＋β）槡ｅαβα＋β（ｘ１－ｘ２）２（４９）其中为α、β纯虚数．３．３ 光学［６，１１，１３］在研究光在锋利刃边缘的衍射问题时，会出现１８ 大 学 物 理 第４０卷著名的菲涅耳积分（见文献［６］中７９ ８０页），其为：Ｆ０＝∫∞０ｃｏｓｘ２ｄｘ，Ｇ０＝∫∞０ｓｉｎｘ２ｄｘ．计算菲涅耳积分的方法之一是利用１．５中讨论的类高斯积分式（３７）（ｍ＝１，ｃ＝０）∫∞０ｅｉｘ２ｄｘ＝∫∞０ｃｏｓｘ２ｄｘ＋ｉ∫∞０ｓｉｎｘ２ｄｘ＝１２πｅ－ｉπ２槡＝π８槡＋ｉπ８槡（５０）分别对比式（５０）中等式左边与右边的实部与虚部可得Ｆ０＝∫∞０ｃｏｓｘ２ｄｘ＝π８槡（５１）Ｇ０＝∫∞０ｓｉｎｘ２ｄｘ＝π８槡（５２）２．４ 量子光学［１４］量子光学中，在原子能级因自发辐射衰减中考虑原子之间的弹性碰撞的贡献，需要计算积分（见文献［１４］中１６３ １６４页）：ｅ－ｉ∫ｔ０δω（ｔ′）ｄｔ′．虽然在文献［１４］中给出了结果，但此积分的具体形式不是显式的，如何得到计算结果也不是那么明显．考虑δω（ｔ）是高斯随机过程，且有δω（ｔ）δω（ｔ′）＝２γｐｈδ（ｔ－ｔ′）（５３）其中γｐｈ是常数．为更好的阐述积分过程，先计算ｅ－ｉｘ，其中ｘ满足高斯随机分布：Ｐ（ｘ）＝απ槡ｅ－αｘ２，其中α＝１２σ２＝１２ｘ２．因此ｅ－ｉｘ＝∫＋∞－∞ｅ－ｉｘαπ槡ｅ－αｘ２ｄｘ＝απ槡∫＋∞－∞ｅ－α［ｘ２＋２ｉ２αｘ＋ｉ２α()２－ｉ２α()２］ｄｘ＝ｅ－１４α＝ｅ－ｘ２２（５４）已经利用了１．４中类高斯型积分的结果．由于δω（ｔ）是高斯随机过程，∫ｔ０δω（ｔ′）ｄｔ′也是高斯随机过程，我们令ｘ＝∫ｔ０δω（ｔ′）ｄｔ′，则有 ｅ－ｉ∫ｔ０δω（ｔ′）ｄｔ′＝ｅ－ｉｘ＝ｅ－ｘ２２＝ｅ－１２∫ｔ０ｄｔ１∫ｔ０ｄｔ２δω（ｔ１）δω（ｔ２）＝ ｅ－１２∫ｔ０ｄｔ１∫ｔ０ｄｔ２２γｐｈδ（ｔ１－ｔ２）＝ｅ－γｐｈｔ（５５）３ 小结综上所述，我们对各类高斯与类高斯型积分进行讨论与计算．通过对得到的高斯与类高斯型积分结果的观察，我们发现当积分∫∞－∞ｅ－α（ｘ＋ｃ）２ｄｘ收敛时，α与ｃ在不同复数或实数条件下具有相同的积分公式，只需要将α的辐角限定在［－π／２，π／２］．这为应用高斯及类高斯积分提供了极大的便利．同时，我们还通过物理学科中的几个具体问题，展示了高斯及类高斯型积分的在物理学中的应用实例．参考文献：［１］ 程檀生．现代量子力学基础［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２０１３．［２］ 钱伯初．量子力学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．［３］ 汪志诚．热力学与统计物理［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１３．［４］ 程守洙，江之永．普通物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１３．［５］ 杨伯君．量子光学基础［Ｍ］．北京：北京邮电大学出版社，１９９６．［６］ 谢建平，明海，王沛．近代光学基础［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００６．［７］ 王竹溪．特殊函数概论［Ｍ］．北京：科学出版社，１９６３．［８］ 吴崇试．数学物理方法专题－数理方程与特殊函数论［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２０１２．［９］ 杨峥．统计物理中常用的级数和积分［Ｊ］．大学物理，２００３，２２（４）：２５ ２８．［１０］ 孟祥国．理论物理教学中的常用积分［Ｊ］．大学物理，２００５，２４（８）：３０ ３３．［１１］ 梁昆淼．数学物理方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［１２］ 曾谨言．量子力学（卷一，卷二）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１３．［１３］ 邢家省，杨义川，王拥军．菲涅耳积分的几种计算［Ｊ］．四川理工学院学报２０１６，２９（５）：８８ ９６．［１４］ Ｓｃｕｌｌｙ，ＭａｒｌａｎＯ，ＺｕｂａｉｒｙＭＳｕｈａｉｌ．ＱｕａｎｔｕｍＯｐｔｉｃｓ［Ｊ］．Ｌｏｎｄｏｎ：ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，１９９７．第５期 王 蒙，等：物理学中常用的高斯与类高斯型积分１９ＧａｕｓｓｉａｎａｎｄＧａｕｓｓｉａｎ－ｌｉｋｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｉｎｐｈｙｓｉｃｓＷＡＮＧＭｅｎｇ，ＴＡＯＪｕｎ ｑｉ，ＣＨＥＮＧＪｉａｎ ｊｉａｎ，ＺＨＥＮＧＨｕａ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓ＆ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＳｈａａｎｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ，Ｓｈａａｎｘｉ７１０１１９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｓｈｏｗｈｏｗｔｏｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｔｙｐｅＧａｕｓｓｉａｎａｎｄＧａｕｓｓｉａｎ ｌｉｋｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｗｉｔｈｃｏｌｌｅｇｅ ｌｅｖｅｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．ＷｅａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＧａｕｓｓｉａｎａｎｄＧａｕｓｓｉａｎ ｌｉｋｅｉｎｔｅｇｒａｌｓｉｎＴｈｅｒｍｏ ｄｙｎａｍｉｃｓａｎｄＳｔａｔｉｓｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ，ＱｕａｎｔｕｍＭｅｃｈａｎｉｃｓ，ＯｐｔｉｃｓａｎｄＱｕａｎｔｕｍＯｐｔｉｃｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｇａｕｓｓｉａｎｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ；Ｇａｕｓｓｉａｎｉｎｔｅｇｒａｌ；Ｇａｍｍａｆｕｎｃｔｉｏｎ（上接１２页）［６］ ＤｅｂｙｅＰ．ＱｕａｎｔｅｎｈｙｐｏｔｈｅｓｅｕｎｄＺｅｅｍａｎ Ｅｆｆｅｋｔ［Ｊ］．ＰｈｙｓｉｋａｌｉｓｃｈｅＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ，１９１６，１７：５０７ ５１２．［７］ ＳｏｍｍｅｒｆｅｌｄＡ．ＺｕｒＴｈｅｏｒｉｅｄｅｓＺｅｅｍａｎ ＥｆｆｅｋｔｓｄｅｒＷａｓｓｅｒ ｓｔｏｆｆｌｉｎｉｅｎ，ｍｉｔｅｉｎｅｍＡｎｈａｎｇüｂｅｒｄｅｎＳｔａｒｋ Ｅｆｆｅｋｔ［Ｊ］．ＰｈｙｓｉｋａｌｉｓｃｈｅＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ，１９１６，１７：４９１ ５０７．［８］ ＳｏｍｍｅｒｆｅｌｄＡ．Ａｌｌｇｅｍｅｉｎｅｓｐｅｋｔｒｏｓｋｏｐｉｓｃｈｅｇｅｓｅｔｚｅ，ｉｎｓｂｅｓｏｎｄｅｒｅｅｉｎｍａｇｎｅｔｏｏｐｔｉｓｃｈｅｒＺｅｒｌｅｇｕｎｇｓｓａｔｚ［Ｊ］．ＡｎｎａｌｅｎｄｅｒＰｈｙｓｉｋ，１９２０，３６８（１９）：２２１ ２６３．［９］ ＬａｎｄéＡ．ＡｎｏｍａｌｅｒＺｅｅｍａｎｅｆｆｅｋｔｕｎｄＳｅｒｉｅｎｓｙｓｔｅｍｅｂｅｉＮｅａｎｄＨｇ［Ｊ］．ＰｈｙｓｉｋａｌｉｓｃｈｅＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔ，１９２１，２２：４１７ ４２２．［１０］ ＳｏｍｍｅｒｆｅｌｄＡ． ｂｅｒｄｉｅＤｅｕｔｕｎｇｖｅｒｗｉｃｈｅｌｔｅｒＳｐｅｋｔｒｅｎ（Ｍａｎｇａ，Ｃｈｒｏｍ，ｕｓｗ）ｎａｃｈｄｅｒＭｅｔｈｏｄｅｄｅｒｉｎｎｅｒＱｕａｎｔｅｎｚａｈｌｅｎ［Ｊ］．ＡｎｎａｌｅｎｄｅｒＰｈｙｓｉｋ，１９２３，７０：３２ ６２．［１１］ ＳｏｍｍｅｒｆｅｌｄＡ．ＺｕｒＴｈｅｏｒｉｅｄｅｒＭｕｌｔｉｐｌｅｔｔｓａｎｄｉｈｒｅＺｅｅｍａｎｅｆｆｅｋｔｅ［Ｊ］．ＡｎｎａｌｅｎｄｅｒＰｈｙｉｋ，１９２４，７３：２０９ ２２７．［１２］ ＬａｎｄéＡ． ｂｅｒｄｅｎａｎｏｍａｌｅｎＺｅｅｍａｎｅｆｆｅｋｔ［Ｊ］．ＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔｆüｒＰｈｙｓｉｋ，１９２１，５：２３１ ２４１．［１３］ ＬａｎｄéＡ． ｂｅｒｄｅｎａｎｏｍａｌｅｎＺｅｅｍａｎｅｆｆｅｋｔ［Ｊ］．ＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔｆüｒＰｈｙｓｉｋ，１９２１，７：３９８ ４０５．［１４］ ＬａｎｄéＡ．ＴｅｒｍｓｔｒｕｋｔｕｒｕｎｄＺｅｅｍａｎｅｆｆｅｋｔｄｅｒＭｕｌｔｉｐｌｅｔｔｓ［Ｊ］．ＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔｆüｒＰｈｙｓｉｋ，１９２３，１５：１８９ ２０５．［１５］ ＬａｎｄéＡ．ＴｅｒｍｓｔｒｕｋｔｕｒｕｎｄＺｅｅｍａｎｅｆｆｅｋｔｄｅｒＭｕｌｔｉｐｌｅｔｔｓ［Ｊ］．ＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔｆüｒＰｈｙｓｉｋ，１９２３，１９：１１２ １２３．［１６］ ＬａｎｄéＡ．ＥｉｎｅＱｕａｎｔｅｎｒｅｇｅｌｆüｒｄｉｅｒ ｕｍｌｉｃｈｅＯｒｉｅｎｔｉｅｒｕｎｇｖｏｎＥｌｅｋｔｒｏｎ ｒｉｎｇｅｎ［Ｊ］．ＶｅｒｈａｎｄｌｕｎｇｅｎｄｅｒＤｅｕｔｓｃｈｅｎＰｈｙｉｋａｌｉｓｃｈｅｎＧｅｓｅｌｌｓｃｈａｆｔ，１９１９，２１：５８５ ５８８．［１７］ ＢｏｈｒＮ．Ｄｅｒｂａｕｄｅｒａｔｏｍｅｕｎｄｄｉｅｐｈｙｓｉｋａｌｉｓｃｈｅｎｕｎｄｃｈｅｍｉｓｃｈｅｎｅｉｇｅｎｓｃｈａｆｔｅｎｄｅｒｅｌｅｍｅｎｔｅ［Ｊ］．ＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔｆüｒＰｈｙｓｉｋ，１９２２，９（１）：１ ６７．［１８］ ＳｔｏｎｅｒＥ．Ｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｅｌｅｃｔｒｏｎｓａｍｏｎｇａｔｏｍｉｃｌｅｖｅｌｓ［Ｊ］．ＰｈｉｌｏｓｏｐｈｉｃａｌＭａｇａｚｉｎｅ，１９２４，４８：７１９ ７３６．［１９］ ＰａｕｌｉＷ． ｂｅｒｄｅｎＺｕｓａｍｍｅｎｈａｎｇｄｅｓＡｂｓｃｈｌｕｓｓｅｓｄｅｒＥｌｅｋｔｒｏｎｅｎｇｒｕｐｐｅｎｉｍＡｔｏｍｍｉｔｄｅｒＫｏｍｐｌｅｘｓｔｒｕｋｔｕｒｄｅｒＳｐｅｋｔｒｅｎ［Ｊ］．ＺｅｉｔｓｃｈｒｉｆｔｆüｒＰｈｙｓｉｋ，１９２５，３１：７６５ ７８３．［２０］ ＵｈｌｅｎｂｅｃｋＧ．ａｎｄＧｏｕｄｓｍｉｔＳ．ＥｒｓｅｔｚｕｎｇｄｅｒＨｙｐｏｔｈｅｓｅｖｏｍｕｎｍｅｃｈａｎｉｓｃｈｅｎＺｗａｎｇｄｕｒｃｈｅｉｎｅＦｏｒｄｅｒｕｎｇｂｅｚüｇｌｉｃｈｄｅｓｉｎｎｅｒｅｎＶｅｒｈａｌｔｅｎｓｊｅｄｅｓｅｉｎｚｅｌｎｅｎＥｌｅｋｔｒｏｎｓ［Ｊ］．Ｎａｔｕｒｗｉｓｓｅｎｓｃｈａｆｔｅｎ，１９２５，１３：９５３ ９５４．ＴｈｅｆｏｕｒｑｕａｎｔｕｍｎｕｍｂｅｒｓｏｆｅｌｅｃｔｒｏｎｓｉｎａｎａｔｏｍＨＵＡＮＧＹｏｎｇ ｙｉ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，Ｘｉ’ａｎＪｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ，Ｓｈａａｎｘｉ７１００４９，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｐａｐｅｒｅｘｐｏｕｎｄｓｔｈｅｏｒｉｇｉｎｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒｑｕａｎｔｕｍｎｕｍｂｅｒｓｏｆｅｌｅｃｔｒｏｎｓｉｎａｎａｔｏｍａｎｄｂｒｉｅｆｌｙｐｒｅｓｅｎｔｓｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒｑｕａｎｔｕｍｎｕｍｂｅｒｓ：ｔｈｅｅｌｅｃｔｒｏｎｓｈｅｌｌｓｏｆａｎａｔｏｍａｎｄｔｈｅＰａｕｌｉｅｘｃｌｕｓｉｏｎｐｒｉｎ ｃｉｐｌｅ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂｏｈｒ－Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ’ｓｔｈｅｏｒｙ；ｆｏｕｒｑｕａｎｔｕｍｎｕｍｂｅｒｓ；ｅｌｅｃｔｒｏｎｓｈｅｌｌｓ；Ｐａｕｌｉｅｘｃｌｕｓｉｏｎｐｒｉｎｃｉｐｌｅ。
高斯积分原理
高斯积分原理
高斯积分原理（Gauss’s integral theorem）是多元函数微积分中的一种重要定理，它描述了一个向量场在一个封闭曲面上的通量与该场在该曲面所包围的体积内的散度之间的关系。
具体地说，设曲面S是一个封闭曲面，n为单位法向量，向量场F是一个具有连续偏导数的向量函数。
则高斯积分原理可以表示为：
∬_S F·dS = ∭_V ∇·F dV
其中，∬_S表示曲面S上的面积分，∭_V表示体积V内的体积分，F·dS表示F与dS的点乘，∇·F表示F的散度。
高斯积分原理可以解释为：一个向量场通过封闭曲面的总通量等于该向量场在被曲面包围的体积内产生的源和汇的总数。
高斯积分原理在物理学和工程学中有广泛应用，特别是在电磁学和流体力学中。
它可以用来计算电场、磁场、电流等在闭合曲面上的通量，从而帮助研究电磁感应、电场分布等问题。
同时，高斯积分原理也可以用来推导出一些其他重要的定理，如环量定理和斯托克斯定理等。
电磁学中的高斯积分定理的证明过程
电磁学中的高斯积分定理的证明过程电磁学中的高斯积分定理是一项重要的定理，它描述了电场和磁场的分布与它们所包围的电荷和电流之间的关系。
本文将从基础原理出发，逐步推导高斯积分定理的证明过程。
首先，我们需要了解电场的概念。
电场是由电荷产生的一种物理场，它可以用来描述电荷对其他电荷的作用力。
根据库仑定律，两个电荷之间的作用力与它们之间的距离成反比。
因此，电场的强度与电荷的数量和位置有关。
在电磁学中，高斯定律是一个重要的定理，它描述了电场通过一个闭合曲面的总电通量与该曲面内的电荷之间的关系。
高斯积分定理是高斯定律的数学表达形式，它给出了电场通过一个闭合曲面的总电通量等于该曲面内的电荷总量除以真空介电常数的关系。
为了证明高斯积分定理，我们首先需要定义一个闭合曲面S，并在该曲面上选择一个面元dS。
面元dS的大小可以任意选择，但是它必须足够小，以至于在该面元上电场的强度可以近似为常数。
我们还需要定义一个矢量n，它垂直于面元dS，并指向曲面S的外侧。
接下来，我们将面元dS上的电场强度与面元的面积相乘，得到一个矢量dE。
根据高斯定律，电场通过面元dS的电通量等于dE与面元的法向量n的点积。
因此，电场通过整个闭合曲面S的总电通量可以表示为对所有面元dS的电通量的积分。
现在，我们需要将电场的分布与曲面S内的电荷之间建立联系。
根据库仑定律，一个电荷q在点P产生的电场强度与点P到电荷q的距离的平方成反比。
因此，我们可以将电场的强度表示为电荷的分布密度与点P到电荷的距离的平方的乘积。
假设曲面S内存在一些电荷，我们可以将这些电荷分成若干个小的电荷元dq。
每个电荷元dq都在点P产生一个电场强度dE。
根据库仑定律，dE与dq之间的关系可以表示为dE等于dq与点P到dq的距离的平方的乘积再除以真空介电常数的比值。
现在，我们可以将电场通过面元dS的电通量表示为对所有电荷元dq的电通量的积分。
根据高斯积分定理，电场通过闭合曲面S的总电通量等于对所有电荷元dq的电通量的积分。
高斯分布相乘、积分整理
⾼斯分布相乘、积分整理⾼斯分布相乘、积分整理⽂章包括的内容有：⼀元⾼斯分布相乘的分布多元⾼斯分布相乘的分布[] ⼀元⾼斯的卷积分布应⽤：对多元⾼斯分布的参数推断应⽤：⾼斯线性系统的推导前三部分的参考⽂献。
应⽤的内容来⾃"machine learning a probabilistic perspective"的第四章p119~p120页。
引⾔⾼斯分布是⼀个很重要的连续分布形式，频繁出现应⽤场景和⾥也可以导出很多分布，如在典型的线性回归中对误差ε的建模就是⽤的标准正态分布，统计学的学⽣,t,分布就是从正态分布中导出。
随着贝叶斯统计学的⼴泛应⽤，相乘的⾼斯分布（⾼斯先验）等形式也出现在公式中，例如⾼斯线性系统，本⽂就这些形式进⾏说明。
⼀元⾼斯分布相乘假设p(x1)=(x|µ1,σ1),p(x2)=(x|µ2,σ2)均是关于变量x的分布，现想计算p(x1)p(x2)的分布形式。
p(x1)p(x2)=e−12σ(x−µ1)2e−12σ(x−µ2)2=e−12（σ+σ）x−2(µσ+µσ)x+constantσσ得两个⾼斯分布相乘仍为缩放的⾼斯分布，通过配⽅得到缩放的⾼斯分布参数为：µ=µ1σ22+µ2σ21σ21+σ22σ=σ21σ22σ21+σ22上式可写为如下形式，从⽽推⼴⾄n个⼀维⾼斯分布相乘：µ=(µ1σ21+µ2σ22)σ21σ2=1σ21+1σ22具体为何是缩放的⾼斯分布可以阅读参考资料。
多元⾼斯分布相乘我们熟知的多元⾼斯分布形式如下：12πD2|Σ|12e−12(x−µ)TΣ−1(x−µ)多元⾼斯分布的另⼀种形式⾃然分布形式⽤到的参数为：Λ=Σ−1ξ=Σ−1µ分布形式如下：12πD2|Λ|12e−12(x TΛx−2x Tξ+ξTΛ−1ξ)将指数外的系数放⼊指数部分，得到：e−12x TΛx+ξT x−ζ其中ζ为：12(ξTΛ−1ξ+D log2π−log|Λ|)在多个多元⾼斯相乘时，得到的结果如下：e−12x T(n∑iΛi)x+(n∑iξi)T x−n∑iζi通过对ζ进⾏变换可以发现，仍为多元⾼斯分布。
高斯积分的求解方法
高斯积分的求解方法高斯积分是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。
因此，掌握高斯积分的求解方法显得尤为重要。
本文将从基础概念入手，逐步介绍高斯积分的求解方法。
1. 高斯积分的基础概念高斯积分又称为普通高斯积分，是一种重要的定积分类型。
其表达式为：∫e^(-x^2) dx其中e表示自然常数，x为自变量。
高斯积分在物理学和工程学中经常出现，例如在求解等离子体（plasma）中的含量分布、计算图像处理算法中的模糊因素以及发电机中的电磁场等方面。
因此，我们需要掌握高斯积分的求解方法。
2. 求解高斯积分的方法2.1 用幂级数求解首先，我们可以采用幂级数的方法求解高斯积分。
在求解过程中，我们设定一个幂级数：e^(-x^2) = ∑a_n x^n对于任意正整数n，可以得到如下的递推公式：a_n = -a_(n-2)/n当n为奇数时，a_n = 0；当n为偶数时，a_n = (-1)^n/[(n/2)!]。
通过递推公式，我们可以逐步求得幂级数中的系数。
这样一来，我们就可以得到高斯积分的表达式：∫e^(-x^2) dx = ∑a_n x^n其中，系数a_n的求解过程已在上一步骤中介绍，这里不再赘述。
2.2 用换元法求解除了用幂级数求解高斯积分之外，我们也可以采用换元法求解。
将高斯积分中的x代入sinh(t)中，即：x = sqrt(2)sinh(t)此时，可得dx / dt = sqrt(2)cosh(t)。
将x代入高斯积分中，可以得到：∫e^(-x^2) dx = ∫e^(-2sinh^2(t)) sqrt(2)cosh(t) dt再对右式的函数做一个缩放变换：t' = sqrt(2)t即可得：∫e^(-x^2) dx = (1/sqrt(2)) ∫e^(-2sinh^2(t')) dt'最后，可以用数值积分的方法求解∫e^(-2sinh^2(t')) dt'，从而求得高斯积分的近似解。
高斯积分定理
高斯积分定理1. 引言高斯积分定理是微积分中的重要定理之一，它建立了曲面积分和体积积分之间的联系。
该定理由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪初提出，因此被称为高斯积分定理。
高斯积分定理在物理学和工程学中有广泛的应用，特别是在电磁学、流体力学和热力学等领域。
它不仅能够简化计算过程，还能够提供有关物理系统的重要信息。
2. 定理表述高斯积分定理可以用以下数学表述来描述：设V是一个封闭的有界区域，其边界曲面为S。
如果函数F在V的内部具有连续的偏导数，那么有：∬S F · dS = ∭V ∇ · F dV其中，∬S表示对曲面S进行的面积分，∭V表示对体积V进行的体积积分，F是一个向量场，∇是向量算子的梯度运算符，·表示向量的点乘。
3. 定理解释高斯积分定理实际上是对于一个封闭曲面的曲面积分与所包围的体积的体积积分之间的关系的描述。
它告诉我们，曲面积分可以通过对体积积分的边界进行计算得到。
在物理学中，高斯积分定理可以用来计算电场、磁场和流体流动等问题。
例如，在电磁学中，可以利用高斯积分定理来计算电场通过一个闭合曲面的总通量，从而得到该闭合曲面内的电荷分布情况。
在工程学中，高斯积分定理可以用来计算流体力学中的流量和压力分布。
例如，在流体力学中，可以利用高斯积分定理来计算一个封闭管道中的流体流量，从而得到该管道中的流速分布情况。
4. 定理证明高斯积分定理的证明可以通过对闭合曲面进行离散化，然后利用极限的方法来推导得到。
首先，将闭合曲面S划分为许多小面元，每个小面元的面积为ΔS。
然后，选择一个小面元，记为ΔSi，在该小面元上选择一个点Pi。
接下来，将向量场F在点Pi处的值记为Fi。
根据向量场F在点Pi处的值Fi，可以通过将其分解为法向量FNi和切向量FTi来计算曲面积分。
其中，法向量FNi与小面元的法向量ni的夹角为θi，切向量FTi 与小面元的法向量ni垂直。
概率论e的-x2次方的积分
概率论e的-x2次方的积分我们需要了解一下e的-x2次方的积分是什么意思。
在数学中，这个积分可以表示为∫e^(-x^2)dx。
这个积分在概率论中有着非常重要的应用，它被称为高斯积分或者正态分布的积分。
高斯积分在统计学和概率论中有着广泛的应用。
正态分布是一种常见的概率分布，它在自然界和社会科学中的现象中都可以找到。
例如，人的身高、体重、智力等都可以服从正态分布。
另外，正态分布也经常用于描述测量误差、随机变量和随机过程等。
高斯积分的计算相对复杂，但是我们可以通过一些近似方法来计算。
在实际应用中，人们经常使用查表或者计算机程序来计算高斯积分的值。
这些方法可以帮助我们更好地理解和应用高斯积分。
高斯积分的性质也是非常有意思的。
首先，它是一个关于x的偶函数，也就是说∫e^(-x^2)dx = ∫e^(-(-x)^2)dx = ∫e^(-x^2)dx。
这意味着正态分布的曲线关于y轴对称。
其次，高斯积分的结果是一个无穷级数，也就是说它可以用一系列的项来逼近。
这个特性使得我们可以用简单的方法来计算高斯积分的近似值。
除了以上的基本概念和性质，高斯积分还有一些重要的应用。
例如，在统计学中，我们可以利用高斯积分来计算正态分布中的概率。
给定一个正态分布的均值和标准差，我们可以利用高斯积分来计算在某个区间内的概率。
这种方法在实际应用中非常常见，例如用来计算考试成绩的分数百分比。
另外一个重要的应用是信号处理中的滤波器设计。
滤波器可以用来去除信号中的噪声或者增强信号的特定频率成分。
在滤波器设计中，我们常常需要计算滤波器的频率响应。
而正态分布可以提供我们所需的频率响应，因此我们可以利用高斯积分来计算滤波器的性能。
总结一下，概率论中e的-x2次方的积分在统计学和概率论中有着广泛的应用。
它可以用来计算正态分布的概率、滤波器的频率响应等。
虽然高斯积分的计算相对复杂，但是我们可以利用近似方法来计算它的值。
高斯积分的性质使得我们可以更好地理解正态分布的特性。