套利定价模型(APT)

APT不要求成立的假设条件 APT不要求成立的假设条件
• 单一投资期 • 不存在税的问题 • 投资者能以无风险利率自由地借入和贷出 资金 • 投资者以回报率的均值和方差选择投资组 合
主要内容
套利与“一价定律” 一 套利与“一价价模型的实现
的收益受某一因素影响） 1.单因素模型（ 所有资产 的收益受某一因素影响） 单因素模型（ 单因素模型
单因素模型定价公式推导
套利组合的预期收益率： 套利组合的预期收益率： rp = x1r1 + x2r2 + x3r3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + xn rn 约束条件： 约束条件：
x1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n = 0 b1 x1 + b 2 x 2 + b 2 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b n x n = 0
套利定价模型（APT） 定价模型（APT）
—另外一种阐述资产价格形成的逻辑
王志方 zhifang925@
套利定价理论的诞生
1976年，罗斯提出套利定价理论（APT）。 年 罗斯提出套利定价理论（ ）。 该理论认为各种证券的收益率受 某个或者某几 个因素 的影响，各种证券收益率之所以相关， 影响，各种证券收益率之所以相关， 是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 是因为它们都会对这些共同的因素起反应。 一样， 同CAPM一样，它预测了（或者说推导出） 一样 它预测了（或者说推导出） 与风险预期收益相关的证券市场线。 与风险预期收益相关的证券市场线。二者不同之 处在于： 建立在均值—方差基础之上 处在于：CAPM建立在均值 方差基础之上，而 建立在均值 方差基础之上， APT建立在“一价定律”之上。 建立在“ 建立在 一价定律”之上。 APT相对于 相对于CAPM更优越的地方还在于其较 相对于 更优越的地方还在于其较 少的假设条件： 少的假设条件：
x1 + x2 + x3 = 0 0.9 x1 + 3.1x2 + 1.9 x3 = 0 显然，上述方程有多解，这里我们令 x1 = 0.1, 则可求出x2 = 0.083, x3 = −0.183 也就是说，我们通过买进150万（0.1× 1500）的第一种股票， 124.5万的第二种股票，同时卖出274.5万的第三种股票，就 可以实现13.215万的净收益，相当于0.881%. 0.1× 0.16 + 0.083 × 0.2 − 0.183 × 0.13 = 0.881%
∂L = x1 + x2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn = 0 ∂λ0 ∂L = b1 x1 + b2 x2 + b2 x3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ bn xn = 0 ∂λ1 可得到： ri = λ0 + λ1bi ; 此即为单因素模型APT定价公式，其中λ0，λ1是常数。
一价定律
一般来讲，一价定律包括两个： 一般来讲，一价定律包括两个：
商品市场中的一价定律： 商品市场中的一价定律：就商品的价格来看 一价定律 金融市场中的一价定律：就金融资产的价格— 金融市场中的一价定律：就金融资产的价格—收益率来看 一价定律 即相同资产具有同一价格（同一有效价格？） 即相同资产具有同一价格（同一有效价格？
3.期望收益率取决于资产对风险 期望收益率取决于资产对风险 因素的敏感性
因素模型告诉我们， 因素模型告诉我们，资产的期望收益率 可以通过若干风险因素来解释。 可以通过若干风险因素来解释。因素的未来 不确定性使得资产的收益不定。 不确定性使得资产的收益不定。因素的不确 定性越大， 定性越大，投资者对该因素要求的风险报酬 率越高，否则，没有足够高的预期收益， 率越高，否则，没有足够高的预期收益，投 资者会远离该资产，造成该资产需求下降， 资者会远离该资产，造成该资产需求下降， 价格随之下降，同时，预期收益提高， 价格随之下降，同时，预期收益提高，直至 出现平衡。 出现平衡。
市场违背一价定律，套利机会就可能出现， 市场违背一价定律，套利机会就可能出现， 而套利的实施效果就是套利机会的消失， 而套利的实施效果就是套利机会的消失，一价定 律的成立。 律的成立。
套利组合的构建
根据套利的定义，套利组合要满足 个条件 个条件： 根据套利的定义，套利组合要满足3个条件： 1.套利组合要求投资者不追加资金，即套利组合属于自融资组合 套利组合要求投资者不追加资金， 套利组合要求投资者不追加资金 x1 + x 2 + x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n = 0
2.“一价定律”与套利交易密切相 一价定律” 一价定律 关
“一价定律”指出，如果两种资产在所 一价定律”指出， 有经济意义的相关方面都相等， 有经济意义的相关方面都相等，则它们的市 场价格相等。市场违背“一价定律” 场价格相等。市场违背“一价定律”是触发 套利交易的必要条件，也就是说， 套利交易的必要条件，也就是说，如果发生 了套利交易，市场上一定有违背“一价定律” 了套利交易，市场上一定有违背“一价定律” 的情况存在，而市场违背“一价定律” 的情况存在，而市场违背“一价定律”不是 触发套利交易的充分条件。 触发套利交易的充分条件。
APT与CAPM共同的假设条件 与 共同的假设条件
• 投资者有相同的投资理念，存在着大量投 投资者有相同的投资理念， 资者 • 投资者追求效用最大化 • 投资者是价格的接受者，单个投资者的交 投资者是价格的接受者， 易行为对证券价格不发生影响。 易行为对证券价格不发生影响。 • 没有交易成本。 没有交易成本。
其中 x i 表示投资者持有 i 证券的金额比例 2.套利组合对任何因素的敏感度为零，即套利组合没有因素风险 套利组合对任何因素的敏感度为零， 套利组合对任何因素的敏感度为零
单因素模型如下： b1 x1 + b 2 x 2 + b 2 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b n x n = 0 而在双因素模型下，条 件 2的表达式为： b11 x1 + b12 x 2 + b13 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b1 n x n = 0 b 21 x1 + b 22 x 2 + b 23 x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ b 2 n x n = 0 多因素模型以此类推。
应用价值
这里就四点来看： 这里就四点来看： 1.大多数机构投资者评价投资业绩时 大多数机构投资者评价投资业绩时 2.监管当局确定监管对象的资本成本时 监管当局确定监管对象的资本成本时 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 3.法院就未来收入损失判断赔偿金额涉及 收益率时 4.企业资本预算决策确定最低收益率时 企业资本预算决策确定最低收益率时 不管如何，拿到 不管如何，拿到APT才是关键 才是关键
套利定价模型的意义
1.套利机制是实现金融市场均衡的重要机制 套利机制是实现金融市场均衡的重要机制
CAPM——理性预期均衡机制 理性预期均衡机制 大部分甚至全部投资者具有相同预期，并以此预期 大部分甚至全部投资者具有相同预期， 买卖资产， 买卖资产，推动均衡价格的形成 APT ——套利机制 套利机制 部分投资者可以识别并利用套利机会， 部分投资者可以识别并利用套利机会，以此买卖资 产，推动均衡价格的形成
套利定价模型（APT）的推导 套利定价模型（APT）
若套利机会存在， 若套利机会存在，投资者通过买入收 益率偏高的证券同时卖出收益率偏低的证 券来实现套利， 券来实现套利，其结果是使收益率偏高的 证券价格上升，则收益率将相应下降； 证券价格上升，则收益率将相应下降；同 时使收益率偏低的证券价格下降， 时使收益率偏低的证券价格下降，其收益 率将相应上升。 率将相应上升。这一过程将一直持续到各 种证券的收益率跟各种证券对各因素的敏 感度保持适当的关系为止。 感度保持适当的关系为止。
2 ri = a + bi F + ε i , 证券i的方差为 : δ i2 (证券风险) = bi2 F（因素风险） δ（非因素风险） + ε2i
2.双因素模型（ 所有资产 的收益受两个因素影响） 双因素模型 的收益受两个因素影响）
ri = a + bi1 F1 + bi 2 F2 + ε i
3.多因素模型（ 所有资产 的收益受多个因素影响） 多因素模型（ 的收益受多个因素影响） 多因素模型
则根据拉格朗日原理，建立如下函数： 则根据拉格朗日原理，建立如下函数：
MaxL = x1r1 + x2 r2 + x3r3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + xn rn − λ0 ( x1 + x2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ xn ) − λ1 (b1 x1 + b2 x2 + b2 x3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ bn xn ) L取最大值的一价条件： 分别对xi 和λ求偏导，令其为 0 ∂L = r1 − λ0 − λ1b1 = 0 ∂x1 ∂L = r2 − λ0 − λ1b2 = 0 ∂x2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∂L = rn − λ0 − λ1bn = 0 ∂xn
3.套利组合的预期收益率应大于零 套利组合的预期收益率应大于零
x1r1 + x 2 r2 + x3 r3 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x n rn > 0
例： 某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合 种股票组成的投资组合， 种股票的 某投资者拥有一个 种股票组成的投资组合，3种股票的 市值均为500万，投资组合的总价值为 万元。 市值均为 万 投资组合的总价值为1500万元。假定 万元 种股票均符合单因素模型， 这3种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为 种股票均符合单因素模型 16%，20%，13%，其对该因素的敏感度分别为 ， ， ，其对该因素的敏感度分别为0.9， ， 3.1和1.9.请问该投资者能否修改其投资组合，以便在不 请问该投资者能否修改其投资组合， 和 请问该投资者能否修改其投资组合 增加风险的情况下提高收益率