4-4.2.1.1参数方程的概念剖析
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结参数方程是解决数学问题的一种有效方法，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
参数方程的基本概念和相关知识点对于学习者来说是非常重要的，下面将对参数方程的相关知识点进行总结和介绍。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是用参数表示的一组方程，通常用来描述曲线、曲面等几何图形。
在平面直角坐标系中，参数方程通常表示为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y分别是t的函数。
参数方程的引入可以将曲线或曲面的方程化简为一组关于参数的函数，从而更方便地进行分析和计算。
二、参数方程与常规方程的关系。
参数方程与常规方程之间存在着一定的对应关系。
对于平面曲线来说，常规方程通常是y=f(x)的形式，而参数方程则是x=g(t)，y=h(t)的形式。
通过参数方程可以将常规方程中的x和y表示为参数t的函数，从而更方便地进行曲线的研究和分析。
三、参数方程的应用。
参数方程在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性；在物理学中，参数方程常用来描述粒子在空间中的运动轨迹；在工程学中，参数方程常用来描述曲线、曲面的形状和特性，以及工程问题的求解等。
四、参数方程的性质。
参数方程具有一些特殊的性质，例如参数方程可以描述一些常规方程无法描述的曲线或曲面，参数方程可以简化一些复杂的数学问题，参数方程可以更直观地描述一些几何图形的特性等。
参数方程的这些性质使其在实际问题中具有重要的应用价值。
五、参数方程的求解方法。
对于给定的曲线或曲面，可以通过参数方程来描述其形状和特性。
参数方程的求解方法通常包括参数的选取、参数方程的建立、参数方程的化简等步骤。
通过适当选择参数，并建立相应的参数方程，可以更方便地对曲线或曲面进行分析和计算。
六、参数方程的实际应用举例。
参数方程在实际问题中有着丰富的应用，例如在物理学中，可以利用参数方程描述粒子在空间中的运动轨迹；在工程学中，可以利用参数方程描述曲线、曲面的形状和特性，以及工程问题的求解等。
选修4-4 2.1.1 参数方程的概念
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时时机呢？
投放点
提示： 即求飞行员在离救援点的水平距离 多远时,开始投放物资？
1. 参数方程
参数是联系变数x,y的桥梁,可以是一个与物理意义 或几何意义的变数,也可以是没有明显实际意义的变数. 练习：指出下列参数方程中的参数
x t 1， x sin cos ， (1) (2) y 1 2 t； y 1 sin 2 . x r cos t x r cos (4) (3) y r sin t y r sin
例题讲解
x 3t 已知曲线 C 的参数方程是 ( t 为参数) 2 y 2t 1
(1) 判断点M1 (0,1)，M 2 (5, 4)与曲线C的位置关系；
(2) 已知点M 3 (6, a)在曲线C上，求 a的值.
o
可以使其准确落在指定位置.
所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
x 代入x 100t, 得 x 1010m.
一、方程组有3个变量,其中的x,y表示点的坐标, 变量t叫做参变量,而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知,物体的位置由时间t唯一 决定,从数学角度看,这就是点M的坐标x,y由t唯 一确定,这样当t在允许值范围内连续变化 时,x,y的值也随之连续地变化,于是就可以连续 地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的 有序实数对(x,y)之间有一一对应关系。
北师版高二数学选修4-4 2-1-1参数方程的概念
[P24思考] 这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲
线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在
x＝2cos
π 60t，
y＝2sin
π 60t.
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】 已知圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10， |AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值． [思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立 平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示 出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子 来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值． 解 以AB所在直线为x轴，以线段 AB的中点为原点建立平面直角坐标 系．
＝1 可求得在直角坐标系下的方程为 y＝1，由 yx＝ 2＋1（，y－1）2＝1可解得xy＝ ＝1±.1， 所以直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1)
答案 (－1，1)，(1，1)
【例2】 (2009·安徽高考)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半 轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的
【反思感悟】 如果取半径绕原点 O 逆时针旋转转过的角度 θBiblioteka 为参数，圆x2＋y2＝r2
对应的参数方程为xy＝＝rrscions
θ， θ.
同 理 ， 圆 (x － x0)2 ＋ (y － y0)2 ＝ r2 对 应 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数)．
解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系， 设炸弹投出机舱的时刻为 0 s，在时刻 t s 时其坐标为 M(x，y)， 由于炸弹作平抛运动，依题意，得 xy＝＝210000t0，－12gt2，即xy＝＝210000t0，－5t2，
参数方程总结知识点
参数方程总结知识点一、参数方程的概念参数方程是指用参数表示平面曲线、空间曲面上各点的坐标的方程，一个平面曲线或者空间曲面可以由一对参数方程来表示。
通常情况下，参数方程是形如x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)的方程，其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数。
参数t可以是实数也可以是整数。
二、参数方程的性质1. 参数方程的表示形式：参数方程有两种常用的表示形式，一种是向量形式，另一种是分量形式。
向量形式的参数方程可以表示为：r(t)=<x(t), y(t), z(t)>其中r(t)是位置向量，t是参数，x(t)、y(t)、z(t)分别是位置向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
分量形式的参数方程可以表示为：x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)其中x、y、z分别是曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)、g(t)、h(t)分别是曲线上某一点的坐标在x轴、y轴、z轴上的分量。
2. 参数方程的图形：参数方程描述的曲线或者曲面通常是比较复杂的几何图形，参数方程的图形特点不容易直接观察出来。
但是我们可以利用参数方程来绘制曲线或者曲面的图形，可以通过不同的参数值来确定曲线或者曲面上的一系列点，然后将这些点用线段或者曲线段连接起来，就可以得到参数曲线的图形。
3. 参数方程的应用：参数方程在物理、工程等领域有着广泛的应用，比如用来描述物体在空间中的运动轨迹、描述流体在空间中的运动状态等。
参数方程还可以用来求解一些复杂的几何问题，比如求参数曲线的长、面积等。
三、参数方程的运算参数方程的运算包括参数曲线的求导、求积分等。
参数方程的求导和求积分与普通的函数求导和求积分类似，只是要注意求导和求积分的对象是参数t，而不是变量x、y、z。
四、参数方程的方程组一条平面曲线或者空间曲面通常可以由多个参数方程组成，这些参数方程之间存在一定的关系，我们可以利用参数方程的方程组来求解曲线或者曲面上的一些特殊点。
五、参数曲线的方程与直角坐标系之间的转换参数曲线的方程与直角坐标系之间可以相互转换，通过参数曲线的方程，我们可以求解其在直角坐标系中的方程，通过直角坐标系中的方程，我们也可以求解其在参数方程中的方程。
参数方程的知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程的知识点总结参数方程是表示曲线或曲面的一种方法，它以一或多个变量作为参数来描述曲线或曲面上的点的位置。
参数方程有广泛的应用，包括几何、物理、工程等领域。
下面是对参数方程的知识点的总结。
1. 参数方程的基本概念：参数方程是用参数表示自变量与函数值之间关系的方程。
对于平面上的曲线，一般使用参数t来表示点的位置。
对于三维空间中的曲线或曲面，一般使用参数u和v来表示点的位置。
参数方程中的参数范围可以是实数集，也可以是一个有限区间，取决于具体的问题。
2. 参数方程与直角坐标系的转换：参数方程可以通过参数与直角坐标系中的点坐标之间的关系来进行转换。
对于二维平面上的参数方程，通过改变参数t，可以得到一系列点的坐标。
对于三维空间中的参数方程，通过改变参数u和v，可以得到一系列点的坐标。
3. 参数方程表示的曲线的性质：参数方程可以用来描述曲线的形状、方向等性质。
曲线的方向可以通过参数的变化来决定，当参数递增时，曲线的方向也随之递增。
曲线上任意一点的切线斜率可以通过参数方程对应点处导数计算得到。
4. 参数方程的举例：参数方程可以表示各种各样的曲线和曲面，例如直线、圆等。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
对于直线，通常可以使用参数方程表示为x = at + b，y = ct + d。
对于圆，可以使用参数方程表示为x = r * cos(t)，y = r * sin(t)。
5. 参数方程在几何中的应用：参数方程可以用来表示平面上的曲线、曲面等几何图形。
参数方程可以用来计算曲线的弧长、曲面的面积等几何量。
参数方程可以用来求解曲线与直线或曲线与曲线之间的交点。
6. 参数方程在物理中的应用：参数方程可以用来描述物体的运动轨迹。
参数方程可以用来描述物体的速度、加速度等物理量。
参数方程可以用来求解物体在空间中的位置、速度和加速度等问题。
7. 参数方程在工程中的应用：参数方程可以用来描述工程中的曲线和曲面，例如机械零件的形状等。
参数方程知识点总结
参数方程知识点总结参数方程是数学中的一种重要概念，它将一个二维对象的坐标表达成一个参数的函数形式，让我们能够更加简单、直观地描述和操作它。
如何理解参数方程、如何求解参数方程、如何利用参数方程求解相关问题，都是我们需要了解的知识点。
以下是关于参数方程的知识点总结。
一、参数方程的定义参数方程是指用一个或多个参数来表示平面直角坐标系内给定曲线上的点的坐标。
例如，一个直线的参数方程可以表示为x=a+bt，y=c+dt（a、b、c、d为常数，t为参数），表示它上面任意一点的坐标都可以用t这个参数来表示。
二、参数方程的基本性质1. 参数方程可以表示的曲线类型很多，具体分类如下：(1) 直线：y=mt+k（m为斜率，k为纵截距），参数方程可表示为x=t，y=mt+k。
(2) 圆：以(a,b)为圆心，r为半径，则参数方程可表示为x=a+rcos(t)，y=b+rsin(t)。
(3) 椭圆：以(x0,y0)为中心，a,b为长、短轴，参数方程可表示为x=x0+acos(t)，y=y0+bsin(t)。
(4) 双曲线：以(x0,y0)为中心，a,b为长、短轴，参数方程可表示为x=x0+asec(t)，y=y0+btan(t)。
2. 参数方程可以带来更直观的几何意义，例如，当参数t等于时间t时，参数方程可以表示为物体在平面直角坐标系上运动时的路径。
3. 参数方程是等价变形的，不同形式的参数方程对应着同一条曲线。
例如，参数方程x=t，y=t^2和x=cos(t)，y=sin(t)^2表示的是同一个抛物线。
三、求解参数方程的方法1. 从坐标式转化为参数式，需要用到三角函数，例如：(1) 圆的参数方程中，x=a+rcos(t)，y=b+rsin(t)，可以通过勾股定理进行转化得到r=sqrt((x-a)^2+(y-b)^2)。
(2) 双曲线的参数方程中，x=x0+asec(t)，y=y0+btan(t)，可以通过勾股定理转化为(x-x0)^2/a^2-(y-y0)^2/b^2=1，然后再将常数项1移到右边得到y0=±b sqrt((x-x0)^2/a^2-1)，然后可以通过套公式计算出tan(t)的值，进而求解得到参数方程。
高中数学中的参数方程知识点总结
高中数学中的参数方程知识点总结参数方程是代表一个曲线或者一个点在平面坐标系中运动的方式。
与一般的笛卡尔坐标系不同，参数方程使用参数来表示曲线上的各点，使得曲线的运动更加灵活。
在高中数学中，学习参数方程是为了更好地理解和应用曲线方程。
本文将对高中数学中的参数方程知识点进行总结。
一、参数方程的基本定义和概念1. 参数的含义：在参数方程中，通常用一个或多个参数来表示曲线上的点。
参数的取值范围可以是实数集合，也可以是有限区间。
2. 参数方程的形式：参数方程一般以参数t作为自变量，用x和y的函数来表示曲线上的点的坐标。
例如，对于曲线C上的点P(x, y)，参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)。
3. 参数方程的解释：参数t表示曲线上的位置，通过改变参数t的取值，可以获得曲线上的不同点的坐标。
因此，参数方程可以看作是曲线上的一个点在不同位置的运动轨迹。
4. 参数方程和笛卡尔方程的转换：有时候，将曲线的笛卡尔方程转换为参数方程可以简化问题的求解，同时也可以更好地描述曲线的运动规律。
二、常见曲线的参数方程1. 直线的参数方程：对于一条直线L，可以通过选择合适的参数t，将直线上的点的坐标x和y表示为参数方程。
例如，直线的参数方程可以表示为x=a+bt，y=c+dt，其中a、b、c、d为常数。
2. 圆的参数方程：圆的参数方程可以通过选择圆上一点的极坐标表示。
例如，圆的参数方程可以表示为x=rcos(t)，y=rsin(t)，其中r为半径，t为参数。
3. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过选择椭圆上一点的极坐标表示。
例如，椭圆的参数方程可以表示为x=acos(t)，y=bsin(t)，其中a、b分别为长半轴和短半轴的长度。
4. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以通过选择抛物线上一点的极坐标表示。
例如，抛物线的参数方程可以表示为x=t，y=at^2，其中a为常数。
5. 双曲线的参数方程：双曲线的参数方程可以通过选择双曲线上一点的极坐标表示。
参数方程知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程学问点总结参数方程是描述曲线的一种方法，它使用一个参数变量来表示曲线上的点的位置。
参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域，对于描述简单的几何外形以及曲线运动具有很大的优势。
本文将对参数方程的基本概念、性质、应用以及参数方程与直角坐标系的转化等方面进行总结。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种将自变量$t$与变量$x$、$y$相关联的函数表示曲线上点的位置的方法。
设函数$x=f(t)$和$y=g(t)$在区间$I$上有定义，其中$f$和$g$是定义在$I$上的连续函数。
那么由$x=f(t)$和$y=g(t)$确定的点$(x,y)$称为参数方程的一个解。
曲线的参数方程通常表示为 $(x=f(t), y=g(t)), t\\in I$。
二、参数方程与直角坐标系的关系参数方程经常与直角坐标系的方程相关，通过转化可在两者之间进行切换。
设直角坐标系中的方程为$y=f(x)$，通过将$x$和$y$分别表示为$t$的函数，可以得到参数方程。
由于参数方程存在多种表示形式，因此通过不同的参数方程也可以得到相同的直角坐标系的方程。
三、参数方程的性质1. 参数方程是表示曲线上任意一点的方法，因此可以用参数方程来描述简单的几何外形，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程具有较强的机敏性，可以通过对参数的变化来描述曲线的不同性质，如曲线的方向、速度、加速度等。
3. 参数方程能够表示曲线上的无穷多个点，因此对于描述曲线上的点的分布、密度等性质具有很大的优势。
四、参数方程的图形表示与分类第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
1. 参数方程的图形可以通过给定参数的取值范围来确定。
可以通过转变参数的取值范围来对曲线进行缩放、平移等操作。
2. 参数方程可以通过给定参数的函数表达式来确定曲线的外形。
例如，当$x(t) = a\\cos(t)$，$y(t) = b\\sin(t)$时，参数方程描述了一个椭圆外形的曲线。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程与普通方程的对比举例说明参数方程与普通方程的区别和联系强调参数方程在解决特定问题上的优势第二章：参数方程的基本形式2.1 参数方程的通用形式介绍参数方程的通用形式：\(x = f(t)\), \(y = g(t)\)解释参数\(t\) 的作用和意义2.2 参数方程的简化形式介绍参数方程的简化形式：参数\(t\) 的取值范围、参数\(t\) 的速度和加速度强调简化形式在实际问题中的应用和重要性第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在物理问题中的应用以物体运动为例，解释参数方程在描述物体位置和速度上的应用强调参数方程在物理问题中的重要性3.2 参数方程在几何问题中的应用以圆的参数方程为例，解释参数方程在描述几何形状上的应用强调参数方程在几何问题中的优势和灵活性第四章：参数方程的图像与分析4.1 参数方程的图像绘制介绍如何绘制参数方程的图像强调参数方程图像的特点和规律4.2 参数方程的分析与变换介绍如何分析参数方程的图像和性质介绍参数方程的变换方法，如平移、旋转等第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用以实际问题为例，综合运用参数方程进行问题解决强调参数方程在实际问题中的应用能力和灵活性5.2 参数方程的进一步探索引导学生在参数方程的基础上进行进一步的探索和创新鼓励学生发现参数方程在更多领域中的应用和价值第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本形式解释极坐标方程与直角坐标系的关系6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程强调转换方法在解决特定问题上的应用和重要性第七章：参数方程与普通方程的转换7.1 普通方程的基本形式回顾普通方程的定义和常见形式强调普通方程在解决问题中的基本作用7.2 参数方程与普通方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为普通方程强调转换方法在问题解决中的灵活应用第八章：参数方程的综合应用案例分析8.1 参数方程在工程问题中的应用案例分析一个工程问题，如桥梁设计、电路模拟等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在工程问题中的重要作用8.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析一个科学研究问题，如天体运动、生物种群动态等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在科学研究中的重要性和灵活性第九章：参数方程的教学实践与反思9.1 参数方程的教学实践分享教学参数方程的经验和做法强调教学实践中的重点和难点9.2 参数方程的教学反思反思教学过程中的优点和不足提出改进教学方法和策略的建议第十章：参数方程的扩展与深化10.1 参数方程的扩展介绍参数方程在其他领域的应用，如计算机图形学、控制理论等强调参数方程在不同领域中的广泛应用和潜力10.2 参数方程的深化研究引导学生在参数方程的基础上进行深入研究，如研究更复杂的参数方程、探索参数方程的新性质等鼓励学生发挥创新精神，发现参数方程的更多价值和意义重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注学生对参数方程概念的理解，以及参数方程与普通方程的区别和联系。
2.1 1.参数方程的概念 课件(人教A选修4-4)
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在 Rt△QBP 中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. ∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos y＝asin θ.
θ，
π (θ 为参数，0＜θ＜ )． 2
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求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任
转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、
斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意 义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
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1．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆作匀角速度运动， π 角速度为 rad/s，试以时间 t 为参数，建立质点运动轨 60 迹的参数方程．
(t 为参数)．
(1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的
参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲 线上．
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[解]
(1)把点 M1 的坐标(0,1)代入方程组，
解：选 t＝x，则 y＝2t＋3
x＝t， 由此得直线的参数方程为 y＝2t＋3，
(t 为参数)．
也可选 t＝x＋1，则 y＝2t＋1.
x＝t－1， 参数方程为： y＝2t＋1.
(t 为参数)
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[例 2]
x＝3t 已知曲线 C 的参数方程是 y＝2t2＋1
答案：D
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4．已知某条曲线 C
x＝1＋2t， 的参数方程为 y＝at2
(其中 t 为参
数，a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
高中数学人教A版选修4-4 2-1-1 参数方程的概念 2-1-2
2.1.1 参数方程的概念 2.1.2 圆的参数方程【学习目标】1．掌握曲线参数方程的的概念；2. 了解某些曲线参数的几何意义与物理意义；熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
3．能够选择常见的参数建立最简单的参数方程.【重点难点】重点：参数方程的概念及选择适当的参数求曲线的参数方程，熟悉圆的参数方程，进一步体会参数的意义。
.难点：参数的合理选择及求曲线的参数方程.学习过程：阅读教材2421P P -的内容，通过自学你能明白下面问题吗？（1）如图（一），我们知道单位圆的方程为221x y +=，设P ),(y x 是圆周上的动点，xOP θ∠=，由三角函数的定义，用θ表示y x ,得x = ；y = .（2） 如图（二）， 在平抛物体的运动中，物体在M 点抛出，高度为h ，水平速度为v ，则物体在时刻t 时位于(,)M x y 处，那么根据物理知识，有x = ,y = .（3）探究：如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s 的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？（一）（二）∙∙∙若以经过飞行航线且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系如上图所示，设物资在A 处投出机舱时刻为0=t ，在时刻t 物资的位置为),(y x M ，那么由物理知识得y x ,与t 的关系是：⎩⎨⎧==y x 归纳结论①一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数：（*），并且对于t 的每一个允许值，由方程组（*）所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上，那么方程（*）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做 ，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ．②曲线的普通方程与参数方程的区别与联系：曲线的普通方程),(y x F ＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量x 与y 之间的 联系；而参数方程⎩⎨⎧==)()(t g y t f x （参数t D ∈）是通过参数t 反映坐标变量x 与y 之间的联系；参数方程与普通方程是同一曲线的不同表现形式. 探究：圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程？圆心在原点()b a C ,，半径为r 的圆的参数方程？ 例题选讲例1．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数) (1) 判断点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置关系； (2) 已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值．练习1. 以初速度s m v 1000=发射炮弹，炮弹的发射角为4π，不计空气阻力，试写出炮．弹曲线的参数方程.例2．圆O 的半径为2，P 是圆上的动点，()6,0Q 是x 轴上的定点，M 是PQ 的中点，当点P 绕O 作匀速圆周运动时，求点M 的轨迹的参数方程. （教材P 24例2）例3、已知点P （x ，y ）是圆0124622=+--+y x y x 上动点， 求：（1）22y x +的最值， （2）y x +的最值，（3）P 到直线01=-+y x 的距离d 的最值。
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
参数方程的概念
参数方程的概念什么是参数方程？参数方程，又称为参数式方程，是描述曲线、曲面等几何图形的一种方式。
与直角坐标系方程不同，参数方程通过引入一个或多个参数，将图形上的每一个点表示为参数的函数形式。
在参数方程中，每个参数都对应图形上的一个点，通过对参数的取值范围进行遍历，可以绘制出图形的完整轨迹。
参数方程的表示形式一般情况下，参数方程可以写成以下形式： - 对于二维曲线：x = f(t), y = g(t) - 对于三维曲线：x = f(t), y = g(t), z = h(t) 其中，x、y、z分别表示图形上的点的坐标，t为参数，f(t)、g(t)、h(t)为参数的函数。
参数方程的优势相比直角坐标系方程，参数方程具有以下几个优势： 1. 更直观：通过引入参数，参数方程可以直观地表示图形的轨迹。
在直角坐标系方程中，通常需要对x、y或x、y、z同时进行操作才能得到完整图形。
2. 更灵活：参数方程可以对图形进行灵活的变换和调整。
通过调整参数的取值范围或函数表达式，可以改变图形的形状、位置、方向等。
3. 更适用于描述曲线：对于复杂的曲线，直角坐标系方程可能无法给出简洁的表达，而参数方程则可以通过适当选择参数和函数表达式，更好地描述曲线的性质。
参数方程的应用参数方程在数学和物理等领域具有广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1. 几何图形绘制参数方程可以用于绘制各种几何图形，例如： - 绘制圆：x = r * cos(t), y = r * sin(t)，其中r为半径，t为参数。
- 绘制椭圆：x = a * cos(t), y = b *sin(t)，其中a、b分别为椭圆的长短轴，t为参数。
- 绘制螺旋线：x = a *cos(t), y = a * sin(t)，z = b * t，其中a、b为常数，t为参数。
2. 运动学建模参数方程可以描述物体的运动轨迹，用于运动学建模和分析。
例如，在二维空间中，可以使用参数方程描述自由落体的轨迹： x = v0 * cos(theta) * t y = v0 *sin(theta) * t - 0.5 * g * t^2 其中v0表示初始速度，theta表示初始角度，g表示重力加速度。
参数方程》教案(新人教选修
参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念解释参数方程的定义举例说明参数方程的应用场景1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法展示不同类型的参数方程示例1.3 参数方程的解法介绍参数方程的解法方法演示解题过程，并提供练习题第二章：简单参数方程的求解2.1 线性参数方程的求解解释线性参数方程的定义展示线性参数方程的求解方法2.2 非线性参数方程的求解解释非线性参数方程的定义展示非线性参数方程的求解方法2.3 参数方程的图像解释参数方程的图像表示绘制不同参数方程的图像，并进行分析第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用介绍参数方程在几何中的应用展示参数方程在几何问题求解中的例子3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理中的应用展示参数方程在物理问题求解中的例子3.3 参数方程在工程中的应用介绍参数方程在工程中的应用展示参数方程在工程问题求解中的例子第四章：参数方程的变换4.1 参数方程的线性变换解释参数方程的线性变换展示参数方程的线性变换方法4.2 参数方程的非线性变换解释参数方程的非线性变换展示参数方程的非线性变换方法4.3 参数方程的合成解释参数方程的合成概念展示参数方程的合成方法第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在曲线设计中的应用介绍参数方程在曲线设计中的应用展示参数方程在曲线设计中的例子5.2 参数方程在优化问题中的应用介绍参数方程在优化问题中的应用展示参数方程在优化问题求解中的例子5.3 参数方程在其他领域的应用介绍参数方程在其他领域的应用展示参数方程在其他领域问题求解中的例子第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念解释极坐标方程的定义展示极坐标方程的表示方法6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍参数方程与极坐标方程的转换方法展示参数方程转换为极坐标方程的示例6.3 极坐标方程的应用介绍极坐标方程在几何中的应用展示极坐标方程在几何问题求解中的例子第七章：参数方程与直角坐标系的转换7.1 直角坐标系的基本概念解释直角坐标系的定义和表示方法展示直角坐标系的特点和应用7.2 参数方程与直角坐标系的转换方法介绍参数方程与直角坐标系的转换方法展示参数方程转换为直角坐标系的示例7.3 直角坐标系中的应用介绍参数方程在直角坐标系中的应用展示参数方程在直角坐标系问题求解中的例子第八章：参数方程与函数的关系8.1 函数的基本概念解释函数的定义和表示方法展示函数的特点和应用8.2 参数方程与函数的关系介绍参数方程与函数的关系展示参数方程表示的函数示例8.3 函数图像是参数方程的应用介绍函数图像是参数方程的应用展示函数图像是参数方程的示例第九章：参数方程在实际问题中的应用9.1 参数方程在物理学中的应用介绍参数方程在物理学中的应用展示参数方程在物理学问题求解中的例子9.2 参数方程在工程学中的应用介绍参数方程在工程学中的应用展示参数方程在工程学问题求解中的例子9.3 参数方程在其他领域的应用介绍参数方程在其他领域的应用展示参数方程在其他领域问题求解中的例子第十章：参数方程的综合案例分析10.1 参数方程的综合案例介绍一个综合性的参数方程案例分析并解决该案例中的问题10.2 参数方程的解题策略介绍解决参数方程问题的策略和方法提供一些建议和技巧以提高解题效率10.3 参数方程的练习题和解答提供一些关于参数方程的综合练习题给出详细的解答和解释重点和难点解析重点一：参数方程的概念与表示方法重点关注参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
高中数学 北师大选修4-4 2.1参数方程的概念和圆的参数方程
1、相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 叫做普通方程；
2、参数是联系变数x,y的桥梁，可以是一个有物理意义或几 何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.
例题分析
例1、 已知曲线 C 的参数方程是
x y
3t, 2t 2
(t为参数) 1.
（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线
所以
(a,b)
r P1(x1, y1)
参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
x r cos y r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系.
2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系.
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆.
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A是x
轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA
中点M的轨迹是什么?
解:设M的坐标为(x,y),
y P M
(0 θ
2π )
⑴如果圆上点P所对应的参数θ 5π 则点P的坐标是 _______
3
2
如果圆上点Q所对应的坐标是
5 2
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数 等于_______
2、填空题 :
(1)参数方程
x
y
2 cosθ 2 sinθ
表示圆心为（2，-2）
半径为 1 的圆，化为标准方程为
参数方程知识点
参数方程知识点参数方程是解决数学问题的一种常见方法，它可以将曲线的坐标表示为一个或多个参数的函数。
参数方程在几何学、物理学和工程学等领域被广泛应用，它为我们研究和描述复杂的曲线提供了一种便捷的方式。
在本文中，我们将探讨参数方程的相关知识点。
一、参数方程的基本概念参数方程是用参数的形式给出曲线上的点的坐标。
通常，参数方程可以表示为x = f(t)和y = g(t)的形式，其中t是参数，x和y是与t相关的函数。
通过改变参数t的值，可以得到曲线上不同的点，从而描绘出完整的图形。
二、参数方程的应用1. 曲线的轨迹在几何学中，参数方程常用于描述曲线的轨迹。
例如，当我们考虑一个运动物体的轨迹时，可以用参数方程来描述其位置随时间的变化情况。
这种方法特别适用于复杂的曲线，如椭圆、双曲线和抛物线。
2. 曲线的长度参数方程还可以用于计算曲线的长度。
通过将曲线分成若干小段，并使用勾股定理计算每一段的长度，然后将它们相加，我们可以得到整个曲线的长度。
这在计算弯曲管道或其他曲线形状的长度时十分有用。
3. 参数方程的变换参数方程的另一个重要应用是进行坐标变换。
在平面几何学中，我们常常需要将坐标系从直角坐标系转换为极坐标系或其他坐标系。
通过使用参数方程，我们可以轻松地进行这种坐标变换，便于进一步分析和计算。
三、参数曲面的方程除了参数方程用于描述曲线外，我们还可以将其推广到参数曲面的方程。
与参数方程类似，参数曲面的表示形式为x = f(u, v)、y = g(u, v)和z = h(u, v)，其中u和v是两个参数。
通过改变u和v的值，我们可以得到曲面上不同的点，描绘出整个曲面的形状。
参数曲面的方程在三维几何学、计算机图形学和工程学中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以用参数曲面方程来描述三维模型的形状，从而实现真实感觉的渲染和动画效果。
四、参数方程的求解与性质在使用参数方程解决问题时，我们常常需要求解参数方程的一些性质，如曲线的对称性、拐点和渐近线等。
参数方程的知识点总结
千里之行，始于足下。
参数方程的知识点总结参数方程是一种表示曲线或曲面的方式，它将自变量的取值映射到曲线或曲面上的点。
参数方程常用于描述参数曲线、参数曲面、曲线的切线、曲线的长度、曲线的弧长、曲线的曲率等问题。
以下是关于参数方程的一些常见知识点总结：1. 参数方程的定义：参数方程由一组参数化变量和一个或多个关于这些参数的方程组成。
通常用参数t表示自变量。
2. 参数曲线：参数曲线是一个由参数方程描述的曲线。
比如，平面曲线可以用参数方程x = f(t)和y = g(t)来表示。
3. 参数曲面：参数曲面是一个由参数方程描述的曲面。
比如，三维空间中的曲线可以用参数方程x = f(u,v)、y = g(u,v)和z = h(u,v)来表示。
4. 曲线的切线：曲线上的切线可以通过求其参数方程的导数来得到。
对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，切向量的方向向量为(dx/dt, dy/dt)。
5. 曲线长度和曲面面积：参数方程可以用来计算曲线的长度和曲面的面积。
对于一个参数曲线或曲面，其长度和面积可以通过积分来计算。
6. 曲线的弧长：曲线的弧长可以通过参数方程求出。
弧长等于参数t在给定区间上的变化范围所对应的曲线长度。
7. 曲线的曲率：曲线的曲率可以通过参数方程求出。
曲率是切向量的大小与曲线长度的比值，用来描述曲线的弯曲程度。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
8. 曲线的重参数化：重参数化是指用一个新的参数来表示原来的参数方程，常用于简化计算或改变曲线的参数表示方式。
9. 参数方程的应用：参数方程广泛应用于数学、物理、工程等领域。
例如，在物理学中，参数方程可以用来描述粒子在空间中的运动轨迹。
在计算机图形学中，参数方程可以用来表示曲线、曲面和三维模型。
总之，参数方程是一种强大的工具，可以用来描述各种曲线和曲面的性质和行为。
了解参数方程的知识点可以帮助我们更好地理解和应用这种表示方式。
参数方程的基本概念及其应用
参数方程的基本概念及其应用参数方程是解决数学问题中常用的一种表达方式，它以参数的形式描述了变量之间的关系。
本文将介绍参数方程的基本概念以及其在数学和物理等领域的应用。
一、参数方程的基本概念参数方程是一种用参数来表示函数关系的方法。
通常情况下，我们用字母t作为参数，并将函数的自变量和因变量用t来表示。
一个简单的参数方程可以写作：x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示函数的自变量和因变量，f(t)和g(t)分别表示x和y关于t的函数表达式。
通过给参数t不同的取值，我们可以得到一系列(x, y)的值，这些值构成了这个函数的图像。
参数方程的优点在于它能够描述一些图形在不同坐标系下的变化规律。
例如，对于一条曲线，在直角坐标系下可能很难用一个简单的函数表达式来描述，但在参数方程下，我们可以通过调整参数的取值来改变曲线的形状和位置。
二、参数方程的应用1. 几何学应用在几何学中，参数方程常用于描述曲线、曲面和体积等几何对象。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程来表示其每个点的坐标。
通过调整参数的值，我们可以绘制出曲线的图像，并研究其性质和变化规律。
此外，参数方程也可以用于描述曲面和体积。
通过给参数不同的取值范围，我们可以生成各种形状的曲面和体积，并对其进行分析和计算。
2. 物理学应用在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹和物理量之间的关系。
例如，对于抛体运动，我们可以用参数方程来表示物体在不同时间下的位置坐标。
通过调整参数的取值，我们可以研究物体的运动规律，并计算其速度、加速度等物理量。
参数方程还可以用于描述电路中的电流、电压和电阻之间的关系，通过调整参数的取值，我们可以研究电路的特性和响应。
3. 经济学应用在经济学中，参数方程用于描述经济模型中各个变量之间的关系。
例如，经济增长模型可以用参数方程来表示产出、消费和投资之间的关系。
通过调整参数的取值，我们可以研究经济增长的趋势和变化规律。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念1.1 参数方程的定义与形式引入参数的概念，解释参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程。
1.2 参数方程的图像利用图形展示参数方程所表示的曲线。
引导学生观察参数变化时，曲线的变化情况。
1.3 参数方程的应用结合实际问题，介绍参数方程的应用，如物体的运动轨迹。
引导学生理解参数方程在实际问题中的作用。
第二章：参数方程的变换2.1 参数变换的概念引入参数变换的概念，解释参数变换的作用。
举例说明参数变换的形式，如从直角坐标系到极坐标系的变换。
2.2 参数变换的方法引导学生掌握参数变换的方法，如代数变换、三角变换等。
利用实例演示参数变换的过程。
2.3 参数变换的应用结合实际问题，介绍参数变换的应用，如解三角方程。
引导学生理解参数变换在实际问题中的作用。
第三章：参数方程的求解3.1 参数方程的求解概念引入参数方程的求解概念，解释求解的目的。
举例说明参数方程的求解方法，如代数方法、图形方法等。
3.2 参数方程的求解方法引导学生掌握参数方程的求解方法，如代数求解、图形求解等。
利用实例演示参数方程的求解过程。
3.3 参数方程的求解应用结合实际问题，介绍参数方程的求解应用，如求解物理问题。
引导学生理解参数方程的求解在实际问题中的作用。
第四章：参数方程的综合应用4.1 参数方程与普通方程的转换引导学生理解参数方程与普通方程之间的转换关系。
利用实例演示参数方程与普通方程的转换过程。
4.2 参数方程在实际问题中的应用结合实际问题，介绍参数方程在实际问题中的应用，如工程问题、物理问题等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的重要性。
4.3 参数方程的综合实例分析提供综合实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
引导学生进行讨论和思考，提高学生解决问题的能力。
第五章：参数方程的进一步研究5.1 参数方程的性质研究引导学生研究参数方程的性质，如对称性、周期性等。
数学参数方程知识点总结
数学参数方程知识点总结参数方程是描述曲线的一种方式，它使用参数来表示曲线上的点的位置。
在数学中，参数方程被广泛应用于描述曲线、曲面以及其他几何图形。
本文将对数学参数方程的相关知识点进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一内容。
一、参数方程的基本概念。
参数方程是由参数 t 的函数组成的向量函数，通常用 (x(t), y(t)) 表示。
其中 x(t) 和 y(t) 分别是关于参数 t 的函数，描述了曲线上点的位置随参数 t 变化的轨迹。
参数方程可以描述直线、圆、椭圆、双曲线等各种曲线。
二、参数方程与直角坐标系的关系。
参数方程描述的曲线通常是在平面直角坐标系中的曲线，通过参数 t 的取值，我们可以得到曲线上的点的坐标 (x, y)。
参数方程和直角坐标系的转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
三、参数方程的应用。
1. 参数方程在物理学中的应用。
在物理学中，参数方程被广泛应用于描述物体的运动轨迹。
例如，抛体运动、圆周运动等都可以通过参数方程进行描述，这对于研究物体的运动规律具有重要意义。
2. 参数方程在工程学中的应用。
在工程学中，参数方程也有着重要的应用价值。
例如，在计算机图形学中，参数方程可以描述曲线和曲面的形状，用于建模和渲染。
在机械设计中，参数方程也可以描述各种复杂的曲线轨迹，用于设计和制造。
四、参数方程的性质和特点。
1. 参数方程可以描述一些直角坐标系下无法简单表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
2. 参数方程可以描述一些复杂的曲线轨迹，如螺旋线、阿基米德螺线等。
3. 参数方程可以方便地描述曲线上的点的运动规律，对于研究曲线的性质和特点有着重要的意义。
五、参数方程的求解和应用技巧。
1. 求解参数方程通常需要用到代数、几何、微积分等知识，需要灵活运用各种数学方法进行分析和计算。
2. 在应用参数方程进行实际问题求解时，需要根据具体情况选择合适的参数化方法，灵活运用参数方程的性质和特点进行分析和推导。
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一、曲线的参数方程 1、参数方程的概念
探 究：
落地点
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以 100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援 物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力）， 飞行员应如何确定投放时机呢？
y
V=100m/s
x 100t
A
M(x,y)
y
500
1 2
gt
2
500m
数学选修4-4
第二讲 参数方程
张家界市一中 高二数学组
在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方 程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲 线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利 用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以 方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可 以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。
3）平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对 （x,y）之间有一一对应关系。
3、参数方程的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意 一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t)
y
g(t)
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点
M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的
参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程。参数是联系x,y的桥梁，可以是一个有物
理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变
数。
4、应用举例 例1、以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不 计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
(2)因为点M3 (6, a)在曲线C上，
所以
6 a
3t 2t 2
1
解得t 2,a 9
所以，a 9
例3、方程
x y
sin cos 2
(为参数)表示的
曲线上的一个点的坐标是 ( C )
A、(2, 7) B、(1 , 1)，C、( 1 , 1), D(1, 0)
32
22
例4、由方程x2 y2 4tx 2ty 5t2 4 0 (t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是
( D)
A、一个定点 C、一条抛物线
B、一个椭圆 D、一条直线
小结：1、参数方程的定义：
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意 一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
x f (t) y g(t)
（2）
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定
的点M(x,y)都在这条曲线上，那么程(2)就叫做
这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参
变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出
点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
2、能够解决一些简单的参数方程
作业：习题2.1
P26 1、2
y
v0 sin
建立如图所示的平面直角坐标系
vy
v0
sin
t
1 2
gt 2
0
时刻t时的位置（x，y）
o v0 cos
x v0 cos t
x
弹道曲线的参数方程为
x
v0
cos
t
y
v0
sin
t
1 2
gt
2
(t为参数)
其中g是重力加速度(取g 9.8米 / 秒2 )
例2、已知曲线C的参数方程
x y
3t 2t 2
(t为参数) 1
（1）判断点M1(0,1), M2(5, 4)与曲线C的位置关系
（2）已知点M3 (6, a)在曲线C上，求a的值。
解：
(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t 0 所以M1在曲线C上。
把点M2
(5,
4)代入方程组，得到
5
4
3t 2t 2
1
这个方程组无解，所以点M2不在曲线C上。
o
x
2、归 纳：
1）方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t 叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
2）由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从 数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当 t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变 化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。