等差数列教学设计公开课

无为二中公开课
教
学
设
计
课题《等差数列》
执教人：汪桂霞
班级：高一（10）班
时间：（星期二）下午第一节
高一数学必修5 等差数列
第一课时
一、教学目标
（一）知识与技能目标
1.理解等差数列的定义及等差中项的定义
2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式
3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧
（二）过程与方法目标
1.培养学生观察能力
2.进一步提高学生推理、归纳能力
3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力
（三）情感态度与价值观目标
1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神；
2.渗透函数、方程、化归的数学思想；
3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。

二、教学重难点
（一）重点
1、等差数列概念的理解与掌握；
2、等差数列通项公式的推导与应用。

（二）难点
1、等差数列的应用及其证明
三、教学过程
（一）背景问题，创设情景
上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。

这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。

下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。

思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？
1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年
我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062......
思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？
特点：高度每增加一千米，温度就降低度。

我们把表格中的数据写成数列的形式：28, , 15, , 2, …, -24....... 学生活动（1）：学生观察下列三个数列具有怎样的共同特征： （1）1682，1758，1834，1910，1986，2062...... （2）28, , 15, , 2, …, -24....... （3）1,1,1,1,1,1,1,1,1,1......
共同特征：1.后一项与它的前一项的差等于一个定常数。

2.这个常数可以为正为负，还可以为零。

（二） 新知概念，例题讲解 1.等差数列的定义：
如果一个数列从第2项起，它的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么我们就称这个数列为等差数列.
要点：（1）从第二项起；
（2）)1(a ),2n (a 11≥=-≥=-+-n c a c c a n n n n 或是为常数 （3）同一常数c 。

2.公差：这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 “d ”来表示. 请同学们大声说出上例三个等差数列的公差为多少 （1）d=76 (2)d= (3)d=0 例1.下列数列是等差数列吗？为什么？
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10...... (2) 5，5，5，5，5，5，… (3) 4,7,10,13,16,19,20,23.......
例2.数列{3n-5}是等差数列吗？如果是，请给以证明；如果不是，请说明理由。

3.等差数列的通项公式
学生活动（2）: 你能根据规律填空吗?
（1）1，4，7，10，13，16，( ),( )…… （2）你能求出（1）中的20a 吗？
答案：58
319a ........
3
33103
2373
4a 12013412312=⨯+=⨯+=+==⨯+=+==+==a a a a a a a a 归纳得：
等差数列通项公式的推导过程：探索、猜想、证明
如果一个数列那么为是等差数列，它的公差d,,......,,,,a 4321n a a a a 老师引导过程:d a a =-12 即：d a a +=12
d a a =-23 即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34 即：d a d a a 3134+=+= ……
由此可得：d n a a n )1(1-+= （n ≥2） 当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式
d n a a n )1(1-+= （n ∈N *）
学生活动（3）: 请同学们思考：
你还能找到证明等差数列通项公式的方法吗？ 同学（一）：
2132431111123221111......(1),
(1)()()...()()(2)(1)上述式子左右两边分别相加得：当n=1时也成立。

整理得：学生（三）：
因为又所以有：------=-=-=-=-=-=+-=-+-++-+-+-=≥=+-n n n n n n n n n n n n a a d a a d a a d a a d
a a n d a a n d a a a a a a a a a a a a d n a a n d
教师小结：大部分学生用不完全归纳法，通过个别同学补充叠加法与拆项法，从而得到等差数列 {}n a 的通项公式为：d n a a n )1(1-+= （n ≥2），其中a 1 是这个数列的首项, d 是公差。

4.例题讲解
（1）类型：在等差数列通项公式中，有四个量，,,,,a 1n a d n 知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一 .
（2）等差数列的函数意义：等差数列由一次函数中某些特殊的点组成。

趁热打铁练一练：
活动问题：等差数列中a 1 =1,d=2,数列的通项公式是什么？（a n =2n-1） 那么要求等差数列的通项公式只需求什么？（a 1和d ） 学生活动（4）：
同学自己编出已知等差数列的首项和公差求通项公式的问题并解决。

通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解等差数列的定义及通项公式,对学困生来讲，这样才能打好基础，这样安排即符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求。

例3：求等差数列8，5，2…的第20项。

导析：由a 1=8，d=5-8=-3，n=20得，a 20=8+（20-1）×（-3）=-49
例是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 导析：由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n =-4n-1
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得-401=-4n-1成立，解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

变式训练：如果已知等差数列中任意两项，能不能求出a n 呢？ 学生：举例：在等差数列{a n }中，已知a 5=10，a 12=31，求a n 。

解： a 1 +4d=10 a 1 +11d=31 解得 a 1=-2 ，d=3，则a n =3n-5
教师：此解法是利用数学的函数与方程的思想，函数与方程的思想是重要的数学思想方法之一，应熟练掌握。

问：由a 5=a 1 +4d ，a 12=a 1 +11d 能够有什么启示？ 生：a 12=a 1 +11d=a 5+（12-5）d ，于是有
a n =a m +（n-m ）d ，(等差数列通项公式的推广公式)
上题可先求出d=3，那么a n = a 5+（n-5）d= a 12+（n-12）d=3n-5 例5. 在等差数列{an}中
(1) 1018059,112,70a a a 求若== 解：由等差数列推广的通项公式得：
154
21242
21)5980(801015980=+=⇒=∴==-=-d a a d d d a a
(2) q p q p
a p a q a +==求若,,
解： ()()0
1=∴=-++=-=∴-=-=-++q p p q p q p a d p q p a a d p
q d q p a a 则有：
(3)n a a a n 求若,263,143,234212=== 解：4120301242=⇒==-d d a a
()()263123112=-+=-+=d n d n a a n 又 61=∴n
（三）形成检测，反馈回授
1、 求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项。

2、100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

3、-20是不是等差数列0, ， -7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

4、 已知a 4=10，a 7=19，求a 1与d 。

5、已知a 3=9，a 9=3，求a 12 （四）课时小结，反思巩固
学生活动5：这节课你们学到了什么？
教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。

以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

并用多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。

生：（1）等差数列定义：即d a a n n =--1(n ≥2) 或a n+1- a n = d （n ∈N *
）
（2）等差数列通项公式 ：=n a d n a )1(1-+(n ∈N *
)
推导出公式：d m n a a m n )(-+= （3）等差数列通项公式的应用:知三求一 （五）知识延伸，作业布置
作业： 习题1、2、3、4 六：板书设计
七、教后反思
学生课后的评价
是：有新鲜感，生动有趣，思路开阔。

最大的感悟是学生的学习潜能是无穷的，只要我们积极地去开发引导，他们的智慧必定会放出耀眼的光芒，从而为数学教学增光添彩。